证明样本方差的期望值=总体的方差,即E(S2)=DX

D(期望方程公式
数学期望ex方差dx公式：
D(X)=E[X-E(X)]^2=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2。

D（X）指方差，E（X）指期望。

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量，或一组数据时离散程度的度量。

概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

D(X)指方差,E（x）指期望.
E(X)说简单点就是平均值,具体做法是求和然后除以数量.
D(X)就是个体偏离期望的差,再对这个差值进行的平方,最后求这些平
方的期望.具体操作是,（个体-期望）,然后平方,再对这些平方值求平
均值。

《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。

5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。

7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。

则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。

方差区间估计推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：统计学中的方差是一种衡量数据散布程度的统计量，它用来描述一组数据的离散程度。

方差区间估计是一种统计方法，用于估计总体方差的范围。

在实际应用中，我们往往无法得到总体的所有数据，而只能通过样本来估计总体的参数。

方差区间估计就是借助样本数据来估计总体方差的一种方法。

方差区间估计的推导过程可以分为以下几个步骤：1. 确定总体方差的分布类型：在进行方差区间估计之前，首先需要明确总体方差的分布类型。

常见的总体方差分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。

根据总体方差的分布类型，选择相应的统计方法进行推导。

2. 确定抽样分布类型：根据总体方差的分布类型，确定抽样分布的类型。

通常我们会利用中心极限定理来假设样本均值的抽样分布是正态分布。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

3. 计算样本方差：从总体中抽取样本数据，通过计算样本方差来估计总体方差。

样本方差是样本数据的离散程度的一种度量，它可以帮助我们估计总体方差的大小。

4. 计算置信区间：根据样本数据和样本方差的抽样分布，计算总体方差的置信区间，即估计总体方差的范围。

一般来说，方差的置信区间是基于样本方差和自由度的t 分布来计算的。

在计算置信区间时，我们需要确定置信水平和置信系数，以确保估计的准确性。

5. 判断总体方差的大小：根据计算得到的置信区间，判断总体方差的大小是否在该区间内。

如果总体方差的估计值在置信区间内，我们就可以认为我们对总体方差的估计是准确的；反之，如果估计值不在置信区间内，我们需要重新调整样本容量或考虑其他统计方法来提高估计的准确性。

方差区间估计是一种通过样本数据来估计总体方差的统计方法，它可以帮助我们了解总体数据的分布情况，并做出相应的推断和决策。

通过合理选择样本数据和统计方法，我们可以获得准确的总体方差估计值，从而为实际问题的解决提供有力支持。

在实际应用中，我们可以根据方差区间估计的结果，对数据进行分析和预测，从而更好地指导决策和实践。

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…XnA．有相同的数学期望；B．有相同的方差；C．服从同一指数分布；D．服从同一离散型分布．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且A．Y1、Y2均与独立．B．Y1、Y2均与不独立．C．Y1与独立，而Y2未必．D．Y2与独立，而Y1未必．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计填空题3．对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计4．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．正确答案：χ涉及知识点：概率论与数理统计5．设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计6．设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7．对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34．涉及知识点：概率论与数理统计8．对随机变量X，Y，已知EX2和EY2存在，证明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．正确答案：t∈R1，有0≤E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为t)无实根或有重根，所以其判别式△≤0，而△=4[E(XY)]2一4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2)．E(Y2)．涉及知识点：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn是同分布的随机变量，且EX1=0，DX1=1．不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．(不熟者可对n=2证明)正确答案：由已知可知：E(Xi2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(x1，x2，…，xn) 涉及知识点：概率论与数理统计10．两家影院竞争1 000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(φ(2．328)=0．990 0)正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1 000名观众中有X名选择甲影院，则X～B由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：涉及知识点：概率论与数理统计11．(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率．=0．952 2．(2)如果上述系统由n个部件组成，至少有80%的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．95?φ(1．645)=0．95．正确答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)∴EX=90，DX=9，∴P{系统正常工作}=P{X≥85}=(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX=0．9n，DX=0．09n∴P{X≥0．8n}=得n≥24．35即n≥25．涉及知识点：概率论与数理统计12．对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：正确答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则EekX=∫-∞+∞ekx.f(x)dx，而P{x≥ε}= 涉及知识点：概率论与数理统计13．当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0．6之间的概率不小于0．9?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．正确答案：没抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n，0．5)．现要求．即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)=P(|X 一0．5n|＜0．1n)≥得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)=∴n ≥67．65即n≥68．涉及知识点：概率论与数理统计14．利用中心极限定理证明：正确答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互独立．由泊松分布的再生性知涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X具有概率密度：f(x)=从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T=正确答案：T的分布函数为FT(t)=P(T≤t)==P(X1≤t，…，X4≤t)=[P(X1≤t)]4= 涉及知识点：概率论与数理统计16．设总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本，记|Xi一μ|，求E(d)，D(d)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?φ(1．645)=0．95正确答案：由题意知：∴n≥67．65，即n≥68 涉及知识点：概率论与数理统计18．从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(φ(2．33)=0．99)．正确答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn+1，记试求的分布．正确答案：相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计20．设k个总体N(μi，σ2)(i=1，…，k)相互独立，从第i个总体中抽得简单样本：Xi1,Xi2…，Xin，记正确答案：由～χ2(ni一1)，i=1，2，…，k．且χ12，…，χk2相互独立，∴即T～χ2(n一k) 涉及知识点：概率论与数理统计21．从总体X～N(0，σ2)中抽得简单样本X1，…，Xn+m，求正确答案：，i=1，…，n+m，且诸Xi相互独立，故：又∵相互独立，故涉及知识点：概率论与数理统计22．设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数．从X中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．试求θ和μ的矩估计和最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X在区间(μ一ρ，μ+ρ)上服从均匀分布，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，求μ和ρ(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计24．设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，其中θ＞0为未知参数，而X1，…，Xn为从X中抽得的简单样本，试求θ的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是θ的无偏估计?正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计25．设Y=lnX～N(μ，σ2)，而X1，…，Xn为取自总体的X的简单样本，试求EX的最大似然估计．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计26．从均值为μ，方差为σ2＞0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别记为X1和X2．试证：对任意满足a+b=1的常数a、b，都是μ的无偏估计．并确定a、b，使D(T)达到最小．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计27．总体X～N(2，σ2)，从X中抽得简单样本X1，…，Xn．试推导σ2的置信度为1一α的置信区间．若样本值为：1．8，2．1，2．0，1．9，2．2，1．8．求出σ2的置信度为0．95的置信区间．(χ0.9752(6)=14．449，χ0.0252(6)=1．237．下侧分位数．)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计28．为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为0．95的置信区间(t0.975(11)=2．201，下侧分位数)．正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体X与Y，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，本题中n=6,=4，1一α=0．95，故μ1一μ2的置信下限为涉及知识点：概率论与数理统计29．某种清漆的9个样品的干燥时间(小时)为：6．5，5．8，7，6．5，7，6．3，5．6，6．1，5．设干燥时间X～N(μ，σ2)，求μ的置信度为0．95的置信区间．在(1)σ=0．6(小时)；(2)σ未知．两种情况下作．(u0.975=1．96，t0.975(8)=2．306 0，下侧分位数)正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计30．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11．设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．正确答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05．∴α的置信下限为，σ的置信上限为涉及知识点：概率论与数理统计31．一个罐子里装有黑球和白球．黑、白球数之比为R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记X为所抽的白球数．这样做了n次以后，我们获得一组样本：X1，X2，…，Xn．基于此，求R的最大似然估计．正确答案：由题意，总体X的分布律为：P{X=k}=，k=0，1，2，…似然函数为L= 涉及知识点：概率论与数理统计32．用过去的铸造方法，零件强度的标准差是1．6 kg／mm2．为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52．设零件强度服从正态分布，取显著性水平α=0．05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?(χ0.9752(8)=17．535，χ0.0252(8)=2．180，下侧分位数)正确答案：设零件强度为总体X，则X～N(μ，σ2)，检验H0：σ2=1．62．拒绝域为．故接受H0．涉及知识点：概率论与数理统计33．一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α=0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为3．26．(t0.99(3)=5．840 9，下侧分位数)．正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体X，则X～N(μ，σ2)．检验H0：μ=μ0．这儿μ0=3．26，n=4，拒绝域为：涉及知识点：概率论与数理统计34．测得两批电子器材的部分电阻值为：A批：140，138，143，142，144，139；B批：135，140，142，136，135，140．设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在α=0．05下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异．(t0.975(10)=2．2281，F0.975(5，5)=7．15，下侧分位数．提示：先检验方差相等)正确答案：设A、B批电子器材的电阻值分别为总体X和Y，则X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)．①先检验H0：σ12= 涉及知识点：概率论与数理统计。

考研数学一（概率统计）-试卷14(总分：92.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设X 1，X 2，…，X n，…相互独立，则X 1，X 2，…，X n，…满足辛钦大数定律的条件是( )．（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1，X 2，…，X n，…同分布且有相同的数学期望√C.X 1，X 2，…，X n，…为同分布的离散型随机变量D.X 1，X 2，…，X n…为同分布的连续型随机变量解析：3.设(X 1，X 2，X 3 )为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，故选(B)．4.设(X 1，X 2，…，X n)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则( )．（分数：2.00）A.B.C.D. √5.设x～t(2)( )．（分数：2.00）A.χ2 (2)B.F(1，2)C.F(2，1) √D.χ2 (4)6.设随机变量X～F(m，n)，令P{X＞F a (m，n)}=a(0＜a＜1)，若P(X＜k)=a，则k等于( )．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：根据左右分位点的定义，选(B)．7.设X，Y都服从标准正态分布，则( )．（分数：2.00）A.X+Y服从正态分布B.X 2 +Y 2服从χ2分布C.X 2，Y 2都服从χ2分布√D.X 2／Y 2服从F分布解析：解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)．8.设随机变量X～F(m，m)，令P=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则( )．（分数：2.00）A.p＜qB.p＞qC.P=q √D.p，q的大小与自由度m有关9.总体X～N(μ，5 2 )，则总体参数μ的置信度为1-a的置信区间的长度( )．（分数：2.00）A.与a无关B.随a的增加而增加C.随a的增大而减少√D.与a有关但与a的增减性无关解析：解析：总体方差已知，参数μ的置信度为1-a的置信区间为，其中n为样本容量，长度为，因为a越大，所以置信区间的长度随口增大而减少，选(C)．10.在假设检验中，H 0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是( )．（分数：2.00）A.H 0为假，接受H 0B.H 0为真，拒绝H 0√C.H 0为假，拒绝H 0D.H 0为真，接受H 0解析：二、填空题(总题数：16，分数：32.00)11.设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X-E(X)｜≥2)≤ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）12.若随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立同分布于N(μ，2 2)，则根据切比雪夫不等式得1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）（分数：2.00）填空项1:__________________解析：14.设X 为总体，E(X)=μ，D(X)=σ 2 ，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体的简单随机样本，S 2则E(S 2)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：σ 2）15.设总体X ～N(μ，σ 2)，X 1 ，X 2 ，…，X 10 为总体的简单样本，S 2为样本方差，则D(S 2)= 1。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

习 题 四1．设总体X 服从正态分布N ()6212,,,, 3,10X X X ⋯是它的一组样本，∑==6161i i X X（1）写出X 所服从的分布； （2）求X ＞11的概率.解 （1）X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛63,102，即X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,10.（2）{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=≤-=231011 2310 111 111 X P X P X P ＞⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Φ-=231011 1 =1-Φ(0.8165) .解法一：{}().2061.0 7939.01 82.0111=-≈Φ-≈＞X P解法二：查表得：Φ(0.81) = 0.7910， Φ(0.82) = 0.7939，可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：(),.x .....y 81081082079100793*******---+= 对于x ∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x )，则有 Φ (0.8165)().7929.081.08165.081.082.07910.07939.07910.0≈---+≈ 故{}()2071.0 7929.01 8165.0111=-=Φ-=＞X P这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.2. 设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本， ∑==ni i X n X 11，分别按总体服从下列指定分布求E (X )，D (X ).（1）X 服从0-1分布：{}()1011,k ,p p k X P kk =-==-；（2）X 服从二项分布：{}(),k ,p p C k X P km kk m 01=-==-1，2，…，m ；（3）X 服从泊松分布：{}k k k X P k,0,e !＞λλλ-===0，1，2，…；（4）X 服从均匀分布：f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他； 0 1,,b x a ,a b（5）X 服从指数分布：f (x ) =().0,0e ＞＞λλλx x - 解（1）X 服从0-1分布，EX =p ，DX =p (1-p ),故.· 1 1 1 1111p npn EX n X E n X n E X E ni i n i i n i i ==∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====ni in i i n i i DX n X D n X n D X D 121211 1 1 ()().111 · 1 2p p np np n-=-=（2）X 服从二项分布，EX =mp ，DX =mp (1-p )，同（1），可以求得().p mp nX D ,mp X E -==11（3）X 服从泊松分布EX =λ，DX =λ，同（1），可以求得：E X =λ，D X =n1λ.（4）X 服从均匀分布()1222a b DX ,ba EX -=+=， 同（1），可以求得()na b X D ,b a X E 1222-=+=.（5）X 服从指数分布其他211λλ==DX ,EX ,同（1），可以求得211λλn X D ,EX ==.注 一般地讲，设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本，∑==ni i X n X 11，若X 的样本与方差均存在，则 .DX nX D ,EX X E 1== 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.3．设总体X 服从正态分布()230.,N μ，X 1，X 2，…，X n 是总体X 的一组样本，X 是样本均值，试问：样本容量n 至少应取多大，才能使{}.95.01.0 ≥-＜μX P解 X ～N ()230.,μ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n.,N X 230μ～ 故{}1.0 ＜μ-X P.n n n n n n /..n /.X n /..P 132313333010303010-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=ΦΦΦΦΦμ＜＜根据题目的要求,.n ,.n 97503950132≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦ查表得Φ(1.96)=0.975. 故..n .n57349613≥≥， 因为n 只能取正整数，所以，样本容量n 至少应取35.4．设X 1，X 2，…，X 6为正态总体N ()220,的一个样本，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=612546i i .X P ＞. 解 由X i ～N ()220，（i =1，2， (6)， 知20-i X ～N （0，1）（i =1，2，…，6），且它们相互独立，故()14122X X i ～, ∑=6122641i i X X ）（～ 所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=＞6.5461i 2i X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=6i i X P 12＞1.63541＝=0.955．设总体X 和Y 相互独立，都服从正态分布N （30，32），X 1，X 2，…，X 20，Y 1，Y 2，…，Y 25分别是来自X 和Y 的样本.求＞0.4Y X -的概率.解 由X i ～N （30，32）（i =1，2，…，20），Y i ～N （30，32）（i =1，2，…，25）， 知),203(30,2N X ～),253(30,2N Y ～又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 也相互独立.从而 )，253＋203(0，22N Y X ～－即).(0,0.92N Y X ～- 故{}4.0>-Y X P{}4.0·2>-=Y X P{}[]4.01·2<--=Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=9.004.012Φ()[]4444.012Φ-= ()67.012-= 66.0=.6．设X 和Y 是来自正态总体N (μ , σ2)的容量为n 的两个样本均值.试确定n ，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.解 ,1,~2⎪⎭⎫⎝⎛σμn N X,1,~2⎪⎭⎫ ⎝⎛σμn N Y因为X ，Y 是两个不同的样本，故X 与Y 相互独立，X 与Y 也相互独立.从而 ,2,0~2⎪⎭⎫⎝⎛-σn N Y X故{}σ>-Y X P{}σ>-=Y X P 2{}[]σ<--=Y X P 12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=σσn Φ2012 .212⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n Φ 根据题设,01.0212≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Φ ,995.02≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛n Φ 查表得2n,58.2≈ n =13.3128.所以n 可以取13或14.7.设X 服从正态分布N （2,σμ），1021,,,X X X ⋯是X 的样本.试求下列概论：（1）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σμσi i X P（2）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σσX X p i i解 (1)()(),10,,2,1,~2⋯=i N X i σμ()(),10,2,11,0~2⋯=-i N X i σμ从而 ()∑⎪⎭⎫⎝⎛-=10122,10~i i X χσμ即()()∑-=10122.10~12i i X χμσ记()()∑-==101222, . 10~,1i i W X W 于是则χμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤=1012223.210125.0i i X P σμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X P μσ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P{}{}235.2>-≥=W P W P）分布表， （查1001.099.02=-=n χ .98.0=(2) 根据样本方差的性质，()()∑--=101222,110~1i i X X χσ记 ()()∑-==101222, ,9~,1i i x W X X W 于是则σ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑-≤=2210123.210125.0σσi i X X P()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X X P σ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P {}{}235.2>-≥=W P W P 005.0975.0-= .97.0=8.用附表4求下列各式中的λ值：(){};95.0912=>λχP ）（(){};01.0922=<λχP ）（ (){};025.01532=>λχP ）（ (){};025.01542=<λχP ）（解 （1）.325.3＝直接查表得λ（2）由(){},01.092=<λχP得(){},99.092=>λP χ 查表得.088.2=λ（3）直接查表，.488.27=λ （4）由(){},025.0152=<λP χ 得{}，＝＞975.0)5(2λP χ 查表得.262.6=λ9.用附表5求下列各式中的λ值：（1）(){};05.010=>λt P（2）(){};90.010=<λt P （3）(){};05.010=>λt P （4）(){};01.010=<λt P （5）(){}.025.0150=>λt P 解 （1）.228.2＝直接查表得λ（2）(){}90.010=<λt P 由 得 (){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){}0,05.0103>=>λλ知）由（t P 故有(){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){},0 ,01.0104<=<λλ知）由（t P (){}01.010=->-λt P(){}()002.010>-=->λλt P查表，.764.2764.2-==-λλ， 比较大，）因为（1505=n 由(){},025.0150=>λt P 知(){},05.0150=>λt P查表得.96.1=λ10.用附表6求下列各式的λ值：(){};05.0981=>λ，）（F P(){};05.09,82=<λF P ）（ (){};95.015,103=>λF P ）（(){}.90.015,104=<λF P ）（解 (1)先找05.0=a 的表，在该表中，找9,821==n n 对应的λ值，可知.23.3=λ （2）在这里先复习一下F 分布的一个性质：若F~F ()(). ,~1, ,m n F Fn m 则利用上述性质，可得： (),05.08,91=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P (),05.018,9=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P查表得,39.31=λ故.295.039.31≈=λ (){},95.010,153=>λF P ）（(){},05.015,10=<λF P(),05.010,151=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P(),05.0110,15=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P 查表得,85.21=λ.351.085.21==λ (){},90.015,104=<λF P ）（(){},10.015,10=>λF P 查表得.06.2=λ11.设总体X 服从标准正态分布N （0,1）n X X X ,,,,21 为其样 本，S 2为样本方差，X 为样本均值，求D (X ), E (S 2).解 ⎪⎭⎫⎝⎛∑==n i i X n D X D 11)((1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==n i i X D n 121 ∑==ni i DX n 121 n .n 21=.1n= （2）解法一：()22i i i EX DX EX +=01+=().,,2,11n i ==()22X E X D X E +=01+=n,1n=故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X X n E S E 12211()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X X E n 1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==n i i i X X X X E n 122211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑+--===n i n i i i X n X X X E n 1122211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅∑--==212211X n X n X X E n n i i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X n X E n 12211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X nE EX n 12211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯-=n n n n 1111 ()111--=n n.1= 解法二：()()()[]22X X E X X D XX E i i i -+-=-()0+-=X X D i()X X D i-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n X X X X D n i 21⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=+-n i i i X n X n X n n X n X n D 11111111 +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111i i X n D X n D⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i X n D X n D X n n D 1111 ()+-+++=-ii DX n n DX n DX n 221212111 n i DX n DX n 21211+++ ()个个　i n i n n n n n n --+++-+++=222212211111 ()()2221111-+-=n n n n .1nn -= 故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i XX n E S E 12211()∑--==n i i X X E n 1211()∑--==n i i X X E n 1211 ∑--==n i n n n 1111 ()111--=n n .1=12. A 牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B 牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A 牌灯泡的平均寿命至少大于B 灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？解 （1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,Y X 与近似地服从正态分布.22001400,250X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，21001200,250Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，根据题意, X Y 与相互独立，故().200,200,250100250200,1200140022N N Y X 即－近似服从⎪⎪⎭⎫⎝⎛+- 从而 {}{}1801180≤--=>-Y X P Y X P()1801F -= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--≈2002001801Φ ()4142.11--=Φ()[]4142.111Φ--=()4142.1Φ=.9213.0≈注 在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用()41.1Φ ()922200421920730..Φ ,.==进行线性插值，可得()()()()[]41.142.141.142.141.14142.141.14142.1ΦΦΦΦ---+≈ .9213.0={}2302>-Y X P ）　（ {}2301≤--=Y X P ()2301F -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2002002301Φ ()983.011213.21-=-=Φ 017.0=.注 2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围. 解 对于第1个样本.20 ,8211==σn 对于第2个样本 .35 ,10222==σn 统计量(),n ,n F ~S S F 11212222121--=σσ即 ().9,7~35/20/2221F S S F =故 {}22212S S P ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=22221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯≥⋅=2203520352221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=5.335/20/2221S S P{}.5.3≥=F P 查F 分布表{},05.029.3=>F P{}.025.020.4=>F P由 {}{}{},20.45.329.3>>≥>>F P F P F P 可得 {},025.05.305.0>≥>F P 即 {}.025.0205.02221>⋅≥>S S P所求的概率范围为（0.025，0.05）.14.设n X X X ,,,21 是取自正态总体()2,σμN 的一个样本，S 2为样本方差，求满足等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值. 解由 ,95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P知 ,05.05.122≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>σS P即 ()())(.05.015.1122A n S n P ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-σ 依题设，易知()221σS n -服从自由度为()1-n 的2x 分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 ()() .05.011205.022=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-n S n P χσ（B ） 由（A ）、（B ）两个式子，可以得到()() .115.1205.0->-n n χ（C ） （A ）式与（C ）式等价，因此满足（C ）式的最小n 值即为满足（A ）式的最小n 值.查表并整理得n()()()()115.1115.11205.0205.0->----n n n n n χχ2 1 1.5 3.841 ×3 2 3 5.991 ×4 3 4.5 7.815 × 25 24 36 36.415 × 26 25 37.5 37.652 × 27 26 39 38.885 √ 28 27 40.5 40.113 √故所求的最小n 值为27.15. 已知X 服从n 个自由度的t 分布，求证X 2服从自由度为 （1，n ）的F 分布，即()n F X ,1~2 证 当()()时n W N U 2~,1,0~χ()n t n~/W UX ＝()1~,/2222χU nW U X 又=所以().,1~/1//222n F nW U n W U X ==16.设92,,,1X X X 是来自正态总体）（22,0N 的简单随机样本，求系数a ,b ,c ,使 ()()()298762543221X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从χ2分布，并求其自由度.解 由于X i 独立同分布，有()(),2.2 ,0~,2,0~2212N X X N X i +(),2.3 ,0~2543N X X X ++(),42 ,0~29876N X X X X +++从而()()()(), 1 ~121, 1 ~81225432221χχX X X X X +++ ()(). 1 ~161224321χX X X X +++由χ2分布的可加性知，()()()29876254322116112181X X X X X X X X X ++++++++ ().3~2χ所以，当分布，的服从自由度为时，23Q 161,121,81χc b a ==().3~Q 2χ即17.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0，32），X 1, X 2,…, X 9和Y 1,Y 2, …,Y 9分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，试证统计量292221921Y Y Y X X X T ++++++=服从自由度为9的t 分布.证 首先将X i ,Y i 分别除以3，使之化为标准正态.令()).1,0(~,1,0~,9,,2,1,3,3N Y N X i Y Y X X i i i i i i ''=='='则 再令()().1,0~3.9,0~,X 921N X N X X X X '''++'+'='则().9~,222/92/22/12χY Y Y Y Y '+++='因此 2/92/22/1921292221921Y Y Y X X X Y Y Y X X X T +++'++'+'=++++++= .,9/3/222相互独立，且Y X Y X Y X ''''=''=由服从t 分布统计量的典型模式知，T 服从自由度为9的t 分布，即T ~t ( 9 ).18.设总体X 服从正态分布N (),,2σμ从中抽取一个样本X 1,X 2,…,X n +1. 记()∑∑==--==n i n i ni n i n .X X n S ,X n X 1212111试证：().1~11--⋅++n t S n X X n nnn 分析：因为()()分布知，由t ,n ~S n n11222--χσ分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证明σnn X X n n -++11()1,0~N 即可.证 ().2,~,2,~X 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+n N X N n n σμσμ,1,0~21⎪⎭⎫⎝⎛+-+σn n N X X n n 故 (), ,N ~n nX X n n X X U n n n n 101111+⋅-=+-=++σσ()()相互独立，、且W n S n W nU , 1~1222--=χσ所以 ().1~1/--=n t n W U T又 ()1/11221--+⋅-=+n S n n n X X T n nn σσ,11+⋅-=+n nX X X n n n 从而().1~11-+⋅-+n t n n S X X n n 19. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体()2,σμN 的样本，记∑==ni n 11d .μ-i X 试证：()().π21d ,π22n D E σσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ｄ证明 记,μ-=i i X Y 则().,,2,1,,0~2n i N Y i =σ()()dy eπ21222σσμy ii y Y E X E -∞+∞-⎰==-dy eπ220222⎰=∞+-σσy y .π2e π2202 22σσσ=-=∞+-y ()()()()[]22iiii Y E Y E Y D X D -==-μ()22π2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=σi i EY DY 22π20σσ-+=,π212σ⎪⎭⎫⎝⎛-=所以 ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i n i iX E n X n E E 1111d μμ.π2π21σσ=⋅=n n ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i ni i X D n X n D D 12111d μμ.π212n σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 20.设总体X 服从正态分布N (62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解 设需要样本容量为n , 则(),1,0~/N n X nX ⋅-=-σμσμ{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>n n X P X P 106260106360()().95.02.02.01≥=--=n Φn Φ查标准正态分布表，得 ().95.064.1≈Φ 所以 .24.672.064.164.12.02=⎪⎭⎫⎝⎛≥⇒≥n n故样本容量至少应取68.21.设X 1,X 2,…,X 9为来自总体X ～N (a ,22),Y 1,Y 2,…,Y 16为来自总体Y ～N (b ,22)的两个相互独立的简单随机样本. 记()()∑∑==-=-=911612221i j j i .YY Q ,X X Q求满足下列各式的常数.,,,,,212121γγββαα {}{};05.0)1(1121=≤=≥a Q P a Q P {};9.0)2(1=<-βa X P;9.0)3(22=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-βQ b Y P.05.0)4(112212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P解 从而由题设知,4)1(2σ==DX()∑-===912211)8(~414i i X X Q W χ，故 {}.05.0442121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≡≥ααQ P Q P{}().507.1584,05.005.202)8(05.201===≥χαχW P 类似地 {},05.0444111111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤αααW P Q P Q P.733.2)8(495.201==χα 所以 .028.62;932.10733.2421==⨯=αα()()(),1,0~233/29/21N a X a X a X U -=-=-=σ {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-112323ββa X P a X P,9.02311=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=βU P查标准正态分布得.093.1,64.12311==ββ所以 ()(),1,0~24/216/)3(2N b Y bY b Y U -=-=-=σ()()∑-===1612222.15~414j j Y Y Q W χ可见 ().15~15/22t W U T =即 ()(),15~615415/41222t Q Y Q bY T -=-=所以 .9.01541542222=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-ββQ b Y P Q b Y P查表得{}{}.9.0753.1 10.0753.1=<=≥T P T P ， 可知 .113.0 ,753.115422==ββ即()()可得由,8,15~18/15/F 412F Q Q =,05.01588/15/212212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P,05.01588/15/112112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤γγQ Q P Q Q P因此 ().0375.622.38,15158205.02=⇒==γγF().709.0645.2115,81158105.01=⇒==γγF习 题 五1. ∑==ni i X n X X X X X 1n 21,1,,,的样本，是总体设 ()∑--==n i i X X n S 122, 11分别按总体服从下列分布求().2S E （1）X 服从均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,0,,1)(b x a a b x f（2）X 服从泊松分布：{},0,e !>==-λλλx x X P x.),2,1,0( =x（3）X 服从二项分布：()()xm x x p P C x X P m--==1().,2,1,0m x =解 ，因为DX S E =)(2故由方差的计算公式可以直接求出E (S 2).（1）X 服从均匀分布()().1222a b DX S E -== （2）X 服从泊松分布 ().2λ==DX S E （3）X 服从二项分布()().12p np DX S E -==2. 设X 1,X 2,…,X n 是总体X 的一个样本,.μ=EX 试证：()∑-==n i i X n S 12201ˆμ是总体方差的无偏估计量. 证 由期望公式有()()()∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-===ni i X E n X n E S E 12n 1i 2i 2011ˆμμ ∑=⋅===n i i DX nDX n DX n 1.11所以，()∑-==ni iX n S 12201ˆμ是DX 的无偏估计量 . 3. 对样本X 1,X 2,…,X n 作变换()()0,,≠-=m m a a X m Y i i 为常数 试证：;)1(a mYX +=.1)2(222Y X S mS =证 ()得由因为a X m Y m i i -=≠,0)1(,1a Y m X i i +=∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+====n i n i i i a Y m n X n X 11111∑+==n i i a Y m n 111a Y m Y n m n i i +=∑⋅==1111其他.()∑--=-n i i X X X n S 12211)2( ∑⎪⎭⎫⎝⎛--+-==n i i a Y m a Y m n 121111()∑--=-n i i Y Y m n 122 111()∑--⋅=-n i i Y Y n m 122 111.122Y S m=4. 设X 1 , X 2 , … , X n 是X 的一样本，试证估计量,11∑==ni i X n X ,)a a (X a W ni i i ini i 1011=≥=∑∑==为常数，都是EX 的无偏估计，且X 的方差不超过W 的方差.证 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑===ni i n i i EX n X n E X E 1111因为X 与X i 同分布，所以EX i =EX .故 EX X E =同理，∑=∑===ni i i i ni i EX a X a E EW 11.1EX a EX ni i =∑==所以.的无偏估计都是与EX W X由于∑∑⋅=====n i n i i i a DX DX a DW DX nX D 1122,,1根据柯西不等式 ∑=∑≥==n i n i i i a a n 1212,1)(得 ,1DX nDW ≥从而有 .DW X D ≤5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520 1483 1827 1654 1631 1483 1411 1660 1540 1987试求方差的无偏估计 .解 因为()∑-==n i i X X n S 122 1是方差的无偏估计量，故只要计算S 2的值.1411148316311654182714831520(101++++++=X)198715401660+++ 6.1619=()()∑∑-=--===n i n i i i X X X n S 112226.161991 11=30892.49.6. 设X 1,X 2,…,X n ()2≥n 为正态总体()2,σμN 的一个样本，适当选择常数C ，使()∑-=+-11221n i i i .X X C 的无偏估计为σ解 设()().112121∑-=-=+n i i i n X X C ,X ,,X X ϕ由期望的定义与性质可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=-=+112121 ,,, n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑+-=-=++1121212n i ii i i X X X X E C[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X X E X E C()[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X E X E X E C[]∑-+-=-=+1122221)()()(n i ii X E EX EX X E C ()(),21221122σσσσ=-=∑+=-=n C C n i故 ().121-=n C7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧><<=-. ,,,x ，x );x (f 其他00101αααα n x x x ,,,21 是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.解 似然函数.1111-=-=∏=∏=ααααini n ini x x L.ln )1(ln ln 1∑-+==ni i x n L αα,0ln d dlnL 1=∑+==ni i x n αα 得 .)ln 1(ln 111-==∧∑=∑=ni i mi ix n x n α 8. 设总体X 服从韦布尔分布，密度函数是0,0,0e );(1>>>=--αθθαθαθαx x x f x其中α为已知，X 1, X 2, … , X n 是来自X 的样本,求参数θ的最大似然估计. 解 似然函数 αθαθαiX i ni X L --==e Π11.e Π11αθααθiX i ni nnX --==∑∑--++===n i ni i i X X n n L 11.ln )1(ln ln ln αθααθ∑=-==n i i X n L 1,0d dln αθθ 从而得到111)1(ˆ-==∑=∑=ni i ni iX n Xn Q αα 9.设总体X 服从马克斯韦尔分布，密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=-0,0,0,0,e π4);(2)(32x x x x f x ααααX 1, X 2, … , X n 是总体X 的样本，求α的最大似然估计. 解 似然函数2eπ4Π321⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ααi x i ni X L21e π4Π321∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅⋅=n i i X n i ni X αα ∑-===ni i i n i X n X L 122211-ln 3π4Πln ln αα∑=+-==ni i X n L 123023d dln ααα 所以 ∑==n i i X n a 12.32ˆ10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是0,0e );(>>=-λλλλx x f x今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求λ的最大似然估计值. 解 由于指数分布λ的最大似然估计2013 ,11==∑==∧X X Xn n i i又λ所以 .20131=∧λ 11.设总体X 服从［a , b ］区间上的均匀分布，n x x x ,,,21⋯是总体X 的一组样本,求a 和b 的最大似然估计量.解 似然函数()=b a x x x L n ,,,,2,1 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-. ,0,,,,,)(121其他b x x x a a b n n由于似然方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=-=∂∂++,0,0L 11n n a b n bL a b n a 无解，不存在驻点，考虑边界上的点， 因为,,,,21b x x x a n ≤≤故有{},,,,m in 21n x x x a ≤{}.,,,m a x 21n x x b ≥a b -越小L 越大，所以当{}==b x x x a n ,,,,m in 21 {}时，n x x x ,,,m ax 21 L 取到最大值.即：{}{}n n x x x b x x x a ,,,m ax ,,,,m in 2121 ==∧∧是a , b 的最大似然估计量. 12.设总体X 的密度函数为()0,0e1, >>=-θθθθx x f x问∑==ni i X n X 11是否为θ的无偏估计？为什么？ 解 因总体X 是服从参数θλ1=的指数分布，由指数分布的期望公式知，,1θλ==EX又 ,EX X E =所以 . ,的无偏估计是即θθX X E =13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解 （7）由于()⋅+=⋅⎰=⎰∞-+∞=-1d 01d ,1αααααx x x x x xf EX故，11V =+αα解得 .111V V -=α 取 ∑===ni iX X n V 11.1ˆ 所以α的矩估计量.1ˆXX-=α（10）已知，x x f λλ-=e )(.11,1ˆ1111V EX V X X n V ni i===∑===λλ，所以 .201311ˆ1ˆ1===X V λ（11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+==),(31,222221b ab a EX V b a EX V即 ⎩⎨⎧=++=+,3,22221V b ab a V b a ⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=⇒.)(3,)(321212121V V V b V V V a 用 ∑===ni K iK V ），K X n V 1,21( 1ˆ估计 得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=，S X b ，S X a20203ˆ3ˆ其中 ∑-==n i i X X n S 1220.)(114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是37.6 33.636.6 32.6 37.6(厘米)，试求样本均值和样本方差.解 35.6)37.632.636.637.633.6(51=++++=X (厘米)∑++++=-==n i i X X S 122222203.001.002.002.0(41)(41.105.5)02.042-⨯=15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知σ＝0.01 (2)若σ未知解 (1)由于已知σ＝0.01，α＝0.1 .64.105.02==u u α所以μ的置信区间为23216116010641160106411.X X ..X ,..X ni i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑= 故得μ的90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知23.2=X00028.0 0042.0151)(15116122=⨯∑=-==i i X X S 由α＝0.10，查自由度为15的t 分布，得分位数,223.240167.0753.123.2)1(.753.1)15(21.0=⨯-=--=n S n t X t α( 2.237.X t n α+=得EX 的置信度为0.9的置信区间为(2.223，2.237).16．设正态总体的方差σ2为已知，问抽取的样本容量n 应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L .解 正态总体置信区间长为,22n σu α.96.1025.02==u u α由题意 .96.1422222L n σL nσu ≤⨯⇒≤σ故 2237.15Lσn ≥.17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？解 若假定反应时间X 服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n .06.96)02.005.0(37.15)01.02(05.022222=≥⨯==n L ，σ 所以应取样本容量n ＝97.若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n 较大，故可以假定其服从正态分布.18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.解 因样本容量n 较大，故可假定滚珠轴承的直径x 服从正态分布.由已知.042.0826.0 196===，S X ，n .58.296.1005.0025.02===U ，u u α将上述各值代入置信区间公式中，可得)196042.096.1826.0 196042.096.1826.0(⋅+⋅-，).832.0 ,820.0(≈)14042.058.2826.0 14042.058.2826.0(⋅+⋅-，).834.0 ,818.0(≈19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：578 582 574 568 596 572 570 584 578设抗拉强度服从正态分布，求σ2的置信度为0.95的置信区间.解 由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ2的置信区间为.)1()1()1()1(22 12222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----n S n n S n ααχχ，经计算 ∑===ni i X X 1,57891.592)(912=∑-=i i X X .535.17)8( ,180.2)8(2025.012975.02====χλχλ 置信区间为 (33.76，271.56).20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间. 解 由14题知.5,105.5,35.642=⨯==-n S X.711.0)4(,488.9)4(,132.2)4(295.0205.09.0===χχtμ的置信区间 ⎝⎛⨯--5105.5132.235.64， )372.6 ,328.6(5105.5132.235.64≈⎪⎪⎭⎫⨯+- 2σ的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯--711.04105.5 ,488.94105.544 ).00309.0 ,00023.0(≈*21．为比较A 牌与B 牌灯泡的寿命，随机抽取A 牌灯泡10只，测得平均寿命1400=A X 小时，样本标准差=A S 52小时；随机抽取B 牌灯泡8只，测得平均寿命=B X 1250小时，样本标准差=B S 64小时，设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值B A μμ-的95％置信区间.解 由题设22BA σσ=，故两总体均值差的置信区间为 )([ 21X X -,11)2(2121n n S n n t w++-+-α ]11)((212121n n S n n t X X W+++-α (*) ,56.57281064)18(52)110( 2)1()1(2222=-+-+-=-+-+-=B A BB A A W n n S n S n S.120.2)16(,1.278110156.571105.021=≈+=+t n n S W将以上各数值代入(*)，得B A μμ-的置信区间为(92.65，207.35).22．从二正态总体X 、Y 中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得∑∑=-=-==16110122.180)(038)(i i i i Y Y X X ，试求方差比22yx σσ的95％置信区间.解 已知380) ,1016161i 2i 21=∑-===X X n n （，∑===-=101i 222122033.25180)(，S S ，y y i 从而又α＝0.05，查F 分布上侧分位数表，得F 0.025(15, 9) = 3.77, F 0.025(9, 15) = 3.12， 代入方差比的置信区间⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22211222221212)1 ,1(,)1,1(1S S n n F S S n n F αα 得 0.95置信区间为).95.3,34.0(2033.2512.32033.2577.31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，23．在某一地区中，随机对100名成年居民作民意测验，有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.解 因为100,9.08.01.08.0ˆ=≤≤=n ，p是大样本，由比率的置信区间公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--n p p u p n p pu p )ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ22αα得 .0784.004.096.11002.08.096.1)ˆ1(ˆ2=⨯=⨯=-n p p u α所以置信区间为(0.7216，0.8784).同理可得置信度为0.99的置信区间为 )04.058.28.0,04.058.28.0(⨯+⨯- ≈(0.697，0.903)*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗衣机家庭比率的0.99置信区间. 解 利用二项分布和F 分布的关系∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-n k kn k k n np f p f F p p C μ,)1()1(12 其中)(x F 是自由度为n f μ21=和)1(22+-=n n f μ的F 分布函数，可得p 的α-1置信区间,22,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b f f a f f其中),2,2()1(),,(2112/2122/2-+-==-f f F f b f f F f a αα而),(21f f F β是自由度为),(21f f 的F 分布水平β上侧分位数.我们利用上面公式求p 的0.90置信区间)ˆ,ˆ(21p p，其中15=n ，6=n μ，90.01=-α，10.0=α；自由度n f μ21=，20)1(22=+-=n n f μ，由附表可直接查出F 0.05(f 2，f 1)＝F 0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F 0.05(f 1+2，f 2-2)＝F 0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有F 0.05(10, 18)＝2.41，F 0.05(15, 18)＝2.27 则F 0.05(14, 18)≈F 0.05(15, 18)+[]18) (15,18) (10,0.050.05F F - ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得105.0-F (14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有a ＝f 2F 0.05(f 2, f 1)＝20×2.54＝50.8，b ＝(f 2-1)105.0-F (f 1+2，f 2-1)＝18×0.435＝7.83.于是1ˆp＝191.08.50121211=+=+a f f , 2ˆp＝.641.083.714142211=+=+++b f f最后，求得p 的0.90置信区间为(0.191，0.641).*25.设总体X 的期望为μ，方差为σ2，分别抽取容量为n 1、n 2的两个独立随机样本，1X ，2X 为两个样本的均值，试证：如果a ，b 是满足a +b =1的常数，则Y ＝a 1X +b 2X 就是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使DY 最小.证 由两个样本独立知1X 与2X 独立，有EY ＝E (a 1X +b 2X )＝aE 1X +bE 2X ＝a μ+b μ＝μ(a +b )＝μ，所以Y 是μ的无偏估计量.DY ＝D (1X a +2X b )＝12X D a +22X D b＝a 2·DX n n b DX n n 222212111⋅+ =.22212σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n b n a为使DY 最小，需求2212n b n a +的最小值. 设 g (a )＝12n a +.)1()1(21212222n n a n a n n a -+=- g ′(a )＝.)1(222112n n a n a n --令 g ′(a )＝0， 得 a ＝211n n n +，由于a +b =1,所以，b ＝211n n n +. 将a =211n n n +，b =211n n n +代入DY 中， 得 (DY )min ＝212n n +σ.*26．设总体X 、Y 相互独立，且X ～N (μ1，σ2)，Y ～N (μ2，σ2)，从中分别取容量为n 1，n 2的简单随机样本，记21S ，22S 为样本方差，试证：当常数a ，b 满足a +b ＝1时，Z ＝a 21S +b 22S 是σ2的无偏估计量，并确定a ，b ，使DZ 最小.证 因为21S 与22S 是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有EZ ＝E (a 21S +a 22S )=aE 21S +bE 22S ,又21S 与22S 都是σ2的无偏估计量，故 EZ ＝a σ2+b σ2=σ2(a +b )=σ2.DZ =a 2D 21S +b 2D 22S=a 2·1214-n σ+b 21224-n σ=42212211σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n b n a .(*)为使DZ 达到最小值，仿25题g (a )=)1)(1()1)(1()1(1)1(12121222212----+-=--+-n n a n a n n a n a ， 求 g ′(a )=0， 即可得到 a =21,21212211-+-=-+-n n n b n n n .代入DZ 中，得 (DZ )min =22214-+n n σ.注：在(*)式中用到D (S 2)＝124-n σ这一结论.因为∑-=-=ni i X X S n 12222)(11σσ～)1(2-n x .已知Γ(α，β)的方差等于2βα，而χ2(n )＝Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，2n ，故χ2(n )的方差等于2n ，于是)1(2122-=⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)(42n S D σ.习 题 六 5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X ～N(μ，σ2)，其中μ＝15，σ2＝0.05，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05) 解 待检验的假设是H 0 : μ＝15. 取统计量U ＝nX σ15-，在H 0成立时，U ～N (0，1).查表知P ｛｜U ｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得X ＝14.95，6325.0805.01595.140-=-=U .因｜U 0｜＝0.6325＜1.96故H 0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.550，0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝4.550. 因X ＝4.484，故 ｜U 0｜＝833.19108.0550.4=-X .在H 0成立条件下，U ～N (0，1)，查表知P {｜U ｜＞1.96}＝0.05. 而｜U 0｜＝1.833＜1.96，故H 0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.8731.05公斤/厘米2.设砖的抗断强度X ～N (μ，1.12).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝32.5 在H 0成立条件下统计量 nX U σ5.32-=～N (0，1)，查表知 P {｜U ｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得X ＝31.25｜U 0｜＝78.261.15.3225.31=-＞2.58.故否定H 0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米2.8．某厂生产的钢筋断裂强度X ～N (μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值X 较以往的均值μ大17(公斤/厘米2).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≤μ0. 取统计量nX U σμ0-=， 由题设知 X -μ0＝17，U ＝457.193517=查表得 P {U ＞1.64}＝0.05，故α＝0.05时，H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α＝0.1时，查表得P {U ＞1.29}＝0.1， U ＝1.457＞1.25，故应否定H 0，即在α＝0.1水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高.9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，(样本方差S 2＝1092(小时2)，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α＝0.05和α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝1120. 取统计量T ＝nSX 1120-，在H 0成立条件下，T ～t (n -1).由样本值 X ＝1070，S ＝109，得 T 0＝81091120-1070＝1. 297.当α＝0.05时，查t 分布临界值表，得t 0.05(7)＝2.365，因｜T 0｜＝1.297＜2.365，故H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当α＝0.01时，查t 分布临界值表，t 0.01(7)＝3.499，｜T 0｜＝1.297＜3.499.故H 0相容，即在α＝0.01水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为54 68 65 77 70 64 69 72 6271(次/分).设患者的脉博次数X 服从正态分布，试在显著水平α＝0.05下，检验患者的脉博与正常人的脉博有无差异？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝72(σ未知). 取统计最T ＝nX 72-，当H 0成立时，T ～t (n -1). 由样本值算得X ＝67.2，∑=--==n i i X X n S 122178.40)(11，故 ｜T 0｜＝3947.2106.3472-67.2=. α＝0.05时，查t 分布临界值表得t 0.05(9)＝2.262，而｜T 0｜＝2.3947＞2.262.故否定H 0，即在显著水平α＝0.05下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异.11．过去某工厂向A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B 公司订购原料，随机抽取向B 公司订的8次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44问B 公司交货日期是否较A 公司为短(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≥49.1. 使用统计量T ＝nSX 1.49-，α＝0.05，自由度为7，查t 分布临界值表t 0.1(7)＝1.895，故H 0在检验水平α＝0.05的否定域为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-= 1.895＜81.49-S X V .由样本值算得X ＝42.75，S 2＝32.7832， 因此 S ＝5.7257.87257.51.4975.420-=T = -3.137＜-1.895，。