2010年高考数学压轴题跟踪演练系列二[1]

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nxn – 1– n ( x + a)n – 1= n [xn – 1– ( x + a)n – 1] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n≤ n n– ( n + a)n. 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n–( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n– ( n+ a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2– v 2|=| (u + v )(u – v) |，取u =43∈[–1，1]，v =21∈[–1，1],则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2= 0 ( c ≠ 0 ).(1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+,法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-.∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1,∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4 > 0 ,∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) =1|a |4|a |4+=4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++4|a |4+>4|a ||a |++4|a |4+=1.即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2⎡⎤-⎣⎦上； （3） 若+212(13),(N )23nnn n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -<解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()20,0,2,3⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或()20,0,2,.3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124xyC +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)1241.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3M N Q N k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,M N M Q M N x k k k y ⋅=-=-所以11.3Q N y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3xy xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数.（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln1bb a bb a ba +<+<+解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取bb a x +=，1,0,1>+∴>>bb a b a ，一方面，由（1）知x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f bb a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba 即b a b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx xx G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ∴x x ln > 即b ba b b a +>+ln综上所述，.ln1bb a bb a ba +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠= ，B、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD D C =，ABC!的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且M P P N λ=，问在x轴上是否存在定点G ，使()BC G M G N λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD D C =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==． ∴双曲线E 的方程为2213yx -=． （5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC G M G N λ⊥-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=，得120y y λ+=． 即12y y λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-， ∴()BC G M G N λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-．xyDOCABxyDO CAB NBCOyxGMP即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213yx -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 km t k =． 当1t m=时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC G M G N λ⊥-． （12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2nn n n nnna a a f n S ++++=．(1) 求n a ；(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）；(3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．（4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11nnn p p p p S pp --==--．12121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n nn n n p p p p p =++++=+=+ ．∴12121C C C ()2nn n n nnna a a f n S ++++=1(1)2(1)nnnp p pp -+=⋅-， （5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p pp+++-+=⋅-．而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p ppp +++-+=⋅-，且1p >，∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p +，（*n ∈N ）．（8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f pppp-++++<-<-<<= ．∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （10分）（当且仅当1n =时取等号）．另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n kk k n k n kp p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦2221(1)(1)22(1)2(1)kn kk kn k n k p p p pp p ----++⋅⋅--…212(1)12(1)(1)nnkn kp p p p p--+=⋅--2212(1)121nnnk n kp p p pp p--+=⋅--+．∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴12(1)()(2)2()2(1)nnnp p f k f n k f n pp -++-⋅=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p --=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦剟，（*n ∈N ）．（14分）。