2010年高考数学信息试卷(二)

２０１　０年高考数学信息试卷（二）　

一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分。共６０分。　在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目　要求的。　１．（２０１０年广东汕头重点中学一模题）若集合Ａ＝｛Ｉ，　ｍ　｝，Ｂ＝｛２，４｝，则“ｍ＝２”是“Ａ　ｎ　Ｂ＝｛４｝”的　（　）　Ａ．充分不必要条件　Ｂ．必要不充分条件　Ｃ．充要条件　Ｄ．既不充分也不必要条件　２．（２０１０年吉林省实验中学二模题）（理）已知复数　＝。＋２ｉ，ｚ：＝３—４ｉ，若　为实数，则实数。的值为　（　）　Ａ．　Ｂ．一手　ｃ．÷　Ｄ．一手　（文）幂函数　）＝　。的图像过点（２，４），那么函数　）的单调递增区间是（　）　Ａ．（一２，＋∞）　Ｂ．［一１，＋∞）　ｃ．［０，＋∞）Ｄ．（一∞，一２）　３．（２０１０年广东省东莞市月考题）已知０＜０＜１，　＝　ｌ。ｇ口　＋ｌ％　，ｙ＝÷ｌ。ｇ　５，ｚ＝ｌ％　一ｌｏｇ　则（　）　Ａ．　＞Ｙ＞　Ｂ．ｚ＞Ｙ＞　Ｃ．ｙ＞　＞　Ｄ．　＞　＞Ｙ　４．（２０１０年南安一中质检题）已知函数ｙ＝ｓｉｎ　＋ＣＯＳＸ，　（一盯，盯）则下列正确的是（　）　Ａ．是偶函数，有最大值为—｝　Ｂ．是偶函数，有最小值为÷　Ｃ．是偶函数，有最大值为２　Ｄ　是奇函数，没有最小值　５．（２０１０年上海市长宁区调研题）在二项式（　２一　）ｓ　的展开式中，含　的项的系数是（　）　Ａ．÷　Ｂ．２１ｏ３　ｃ．　１９　Ｄ．　９．（江西省宜黄一中孙小明原创题）椭圆－　５－＋　＝１　ｕ　０　（ｎ＞６＞０）的左、右焦点Ｆ１　［　，氧　

Ａ．等＋　＝１　Ｂ．争＋等＝１　ｃ．等＋等＝ｔ　。．等＋等：　

，３　一ｙ～２≤０，　条件｛　一，，≥０，　若目标函数ｚ＝似＋６，，（ｎ＞０，ｂ　ｌ　≥ｏ，ｙ≥ｏ，　数学信息（－－）　１　【高中生之友２０１０．７－８．上半月刊】２５

　＞０）的最大值ｌ，则　＋÷的最小值为（　）　ａ　Ｄ　Ａ．　Ｂ．　ｃ．　Ｄ．４　１１．（２０１０年泉州一中质检题）定义：平面内两条相交　但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重　合且单位长度相同）称为平面的斜坐标系。在平面　的斜坐标系　ｏｒ中，若　：ｘｅ　＋ｙｅ　（其中Ｐ，，ｅ２分　别是斜坐标系　轴、Ｙ轴正方向上的单位向量，　ｘ，ｙ　Ｒ，０为坐标原点），则称有序数对（　，　）为点　Ｐ的斜坐标。在平面的斜坐标系ｘＯｙ中，若Ｚ．ｘＯｙ　＝１２０。，点　的斜坐标为（１，２），则以　为圆心，半　径为１的圆在斜坐标系ｘｏｒ中的方程为（　）　Ａ．　＋ｙ２一ｘｙ一３ｙ＋２＝０　Ｂ．　＋ｙ２—２　一４ｙ＋４＝０　Ｃ．　＋Ｙ　一ｘｙ＋３ｙ一２＝０　Ｄ．　＋Ｙ　一２ｘ＋４ｙ一４＝０　１２．（２ｏ１０年江西省南昌市一模题）已知　）＝　，　∈［０，３］，已知数列｛ａ　｝满足０＜ａ　≤３，ｎ∈Ｎ　，且　ａｌ＋ａ２＋…＋ａ加ｌ０＝６７０，贝０厂（ａ１）＋厂（ａ２）＋…＋　，（口２０ｌ０）（　）　Ａ．最大值为６０３０　Ｂ．最大值为６０２７　Ｃ．最小值为６０２７　Ｄ．最小值为６０３０　二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分，把　答案填在题中横线上。　１３．（２０１０年广东省六所名校联考题）若偶函数，（　）在　（一　，０］内单调递减，则不等式ｌ厂（一１）＜，（１ｇｘ）的　解集是　。　１４．（２０１０年重庆市云阳中学月考　题）如图，四边形ＡＢＣＤ中，设　：口，　：西，对角线ＡＣ与ＢＤ交　于点ｏ，若点０为ＢＤ的中点，且　：２　，则赢：　——（用ａ，ｂ表示）。　１５．（２０１０年广西桂林市调研题）设－厂（　）是定义在Ｒ上　的奇函数，且当　≥０时　）＝　，若对任意的　［ｔ，ｔ＋２］，不等式ｆ（　＋￡）≥　）恒成立，则实数ｔ　的取值范围是——。　１６．（２０１０年安徽省皖南八校第二次联考题）关于正四　棱锥Ｏ—Ａ　∞，给出下列命题　①异面直线ＯＡ与ＢＤ所成的角为直角；　②侧面为锐角三角形；　③侧面与底面所成的二面角大于侧棱边与底面所　成的角；　④相邻两侧面所成的二面角可能是锐角。　其中正确命题的序号是　三、解答题：本大题共６小题，共７４分　字说明，证明过程或演算步骤。　１７．（本小题满分１２分）　～０　解答应写出文　

（２０１０年湖南省张家界市第一中学月考题）已知函　数八　）满足，（　）＝Ｘ３＋厂（　）　２一　＋ｃ（其中　厂（　）为八　）在点　＝÷处的导数，ｃ为常数）。　（１）求函数，（　）的单调区间　（２）若方程，（　）＝０有且只有两个不等的实数根，　求常数Ｃ。　

１８．（本小题满分１２分）　

【高中生之友２０１０．７—８．上半月刊１　数学信息【二　（２０１０年福建省福州市质检题）在ＡＡＢＣ中，角Ａ、　曰、Ｃ的对边分别为０、ｂ、ｃ，且满足（２ａ—ｃ）ｃｏｓＢ＝　ｂｃｏｓＣ。　

２　（１）求角Ｂ的大小；　（２）若Ｉ蔚一赢　２，ＡＡＢＣ的面积的最大值。　

１９．（本小题满分１２分）　（２ＯＬＯ年深圳市调研题）某投资公司在２０１０年年初　准备将１０００万元投资到“低碳”项目上，现有两个　项目供选择：　项目～：新能源汽车。据市场调研，投资到该　项目上，到年底可能获利３０％，也可能亏损１５％，　且这两种情况发生的概率分别为舌和吾；　项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项　目上，到年底可能获利５０％，可能亏损３０％，也可　能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为÷、　了１利　１。　（１）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择　一个合理的项目，并说明理由；　（２）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项　目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投　资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本　金）可以翻一番？（参考数据：ｌｇ　＝０．３０１０，ｌｇ３　＝０．４７７１）　（文）一个袋中有４个大小相同的小球，其中红球１　个，白球２个，黑球１个，现从袋中有放回地取　球，每次随机取一个，求：　（１）连续取两次都是白球的概率；　（２）若取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一　个黑球记０分，连续取三次分数之和为４分的　概率。　

２０．（本小题满分１２分）　（２０１０年浙江省第一次调研题）如图，在平面内直　线ＥＦ与线段ＡＢ相交于Ｃ点，　ＢＣＦ：３０。，且ＡＣ　：ＣＢ＝４，将此平面沿直线ＥＦ折成６０。的二面角　—ＥＦ一８，ＢＰ１平蔼ｏｃ，点Ｐ为垂　ｏ　（１）求ＡＡＣＰ的面积；　（２）求异面直线ＡＢ与ＥＦ所成角的正切值。　

数学信息（二）３　高中生之友２ｏｌｏ．７—８．

上半月刊】２７　２１．（本小题满分１２分）　（２０１０年吉林省实验中学二模题）已知｛ａ　｛是等比　数列，ａ　：２，　：１８，｛ｂ　｝是等差数列，ｂ　＝２，ｂ。＋　ｂ２＋ｂ３＋ｂ４：ｒ上ｉ＋口２＋　３＞２０。　（１）求数列｛ａ　｝的前ｎ项和ｓ　；　（２）求数列｛ｂ　｝的通项公式；　（３）设Ｐ　＝ｂ１＋ｂ４＋ｂ７＋・・・＋ｂ３　一２，Ｑ　＝ｂ１ｏ＋ｂ１２＋　ｂｌ４＋…＋ｂ２　，其中ｎ＝１、２、３、…，试比较Ｐ　与Ｑ　的大小，并证明你的结论。　

２２．（本小题满分１４分）　２　（理）（２ＯＬＯ年湖南八校第二次联考题）已知椭圆　ａ　２　＋　＝ｌ（ｎ＞ｂ＞ｃ＞０，ｎ　＝６　＋ｃ　）的左、右焦点分　别为Ｆ。、　，若以　为圆心，ｂ—ｃ为半径　作圆　，过椭圆上一　点Ｐ作此圆的切线，　切点为　，且ｌＰ７Ｔｆ的　最小值不小于　（。一　，　

（１）求椭圆的离心率ｅ的取值范围；　（２）设椭圆的短半轴长为１，圆　与　轴的右交点　为Ｑ，过点Ｑ作斜率为　（　＞Ｏ）的直线ｌ与椭圆　相交于Ａ、Ｂ两点，若ｏＡ上ＯＢ，求直线ｆ被圆　磷【膏中生之友２０１０．７—８．上半月刊】　数学信息（－－）　４　截得的弦长ｓ的最大值。　（文）（２０１０年广东　省实验中学第三次　月考题）如图，已知　点Ａ（０，一３），动点　Ｐ满足Ｉ　ＰＡ　Ｉ＝　２ｌＰＯＩ，其中０为坐　标原点。　口　：　１　Ｐ　＿　Ｌ　０　

．３　（１）求动点Ｐ的轨迹方程。　（２）记（１）中所得的曲线为Ｃ。过原点０作两　条直线ｚ　：，，：ｋｌ　，乞：ｙ：ｋ２ｘ分别交曲线Ｃ于点　Ｅ（ｘ　，Ｙ１）、Ｆ（ｘ　，Ｙ２）、Ｇ（　，ｙ３）、Ｈ（　，ｙ４）（其中　＞Ｕ’０　ｙ４＞０）　：　；　－十　，　十　（３）对于（２）中的Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，设Ｅｌｉ交　轴于点　Ｑ，ＧＨ交　轴于点Ｒ。求证：ＩＯＱ１．１ＯＲＩ。　（证明过程不考虑ＥＨ或ＧＦ垂直于　轴的情　形）　

选编人：周翔（《高中生之友》编辑部）

　）＋１＝　１　‘　１）＋１　………（８　５ｙ）　。＝扣，　（÷）一　．－．………・（１０分）　（３）ｃ　＝（２　一　÷）　＝（　）（ｎ　一‘丁１）　

（丢）２２一（÷）３２＋．．．＋（丢）　一（÷）　＝　一　（　＜ｌ。…………………（１４分）　２０１０年高考数学信息卷｛二）参考答案　一、选择题　１．Ａ　２．（理）Ｄ（文）Ｃ　３．Ｃ　４．Ａ　５．Ｂ　６．Ｂ　７．Ｃ　８．Ｂ　９．Ａ　１０．Ｄ　ｌ１．Ａ　１２．Ａ　二、填空题　１３．（０，　）ｔ＿Ｊ（１０，　１４．一　＋　１５．［　，＋　］　１６．①②③　三、解答题　１７．解．（１）由　）＝Ｘ３＋，　（　）　２一　＋Ｃ，￣－ｆ　）　＝３　２＋２ｆ，（号）　＿ｌｃ取　＝了２，　得，　（　）＝　×（÷）　＋２ｆ　（了２）×（÷）一　，得　／　（÷）＝．１，．・．　）：　３　Ｘ２一　＋ｃ。……　……………・…………………………一（２分）　从而　）＝３　一２　一１＝３（　＋÷）（　—１），　列表如下：　（　一÷　１　（—　１，１）　ｌ　（１，＋ｏｏ）　，　（　）　０　０　，（　）　有极大值　有极小值　．＿．ｆ（　）的单凋递增区间是（一∞，一÷）和　（１，＋。。）　）的单调递减区间是（一÷，１）；…　………………・…・………………－……（６　子）　（２）由（１）知，Ｉｆ（圳　大值：　一÷）＝（一÷）　・　（一÷）２－（一÷）＋ｃ＝寺＋ｃ；　［　）］楹小值＝，（１）：１　一１　一１＋Ｃ＝一１＋Ｃ。　…………………………－……………・・（９分）　．＿．方程＿厂（　）＝０有且只有两个不等的实数根，等　价于［　）］极大值＝０或［，（　）］极，Ｊ、值＝Ｏ。　………　…………………………………………（８分）　・・・常数ｃ＝一寺或Ｃ＝１。………………（１２分）　１８．解：（１）在ＡＡＢＣ中，　．　（２ａ—Ｃ）ＣＯＳ　Ｂ＝ｂｃｏｓ　Ｃ，　根据正弦定理　有（２ｓｉｎ　Ａ—ｓｉｎ　Ｃ）ＣＯ￥Ｂ＝ｓｉｎ　Ｂｃｏｓ　Ｃ，……（３分）　．‘．２ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｓｉｎ（Ｃ＋Ｂ），即２ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｓｉｎＡ。　．．．ｓｉｎ　Ａ＞０，．．．ＣＯＳ　Ｂ：　１，………………（５分）　又－．・Ｂ　（０，竹），．・．曰＝　。………………（６分）　（２）・．・ｆ赢一　ｌ－２，．・．Ｉ　Ｉ：２，即ｂ：２。…．．　…………………………………………（８分）　根据余弦定理６　＝ａ　＋ｃ　一２ａｃｃｏｓ　Ｂ，有４＝ａ　＋ｃ　一ａｃ。　・．’ａ　＋ｃ　￣＞２ａｃ（当且仅当口＝ｃ＝２时取“＝”号），　…………………………………………（９分）　．－．４＝ａ　＋ｃ。一ａｃ＞￣２ａｃ一∞＝ｎｃ，………（１０分）　即们≤４，．’．ａ，４ＢＣ　面积ｓ＝÷∞ｓｉｎ　＝．　／５ｎｃ≤