高等数学(2017高教五版)课件傅里叶级数(工科类)分解36页PPT

t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .

2

0

2
x
中央财经大学
数学分析
1 a0 f ( x )dx
1 0 1 ( x )dx 0 xdx ,
1 an f ( x ) cos nxdx
1 0 1 ( x ) cos nxdx 0 x cos nxdx
中央财经大学
数学分析
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
且等式右边级数一致收敛。
(1) 求a0 .

a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
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数学分析
较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动
yk Ak sin k x k
的叠加
n n
k 1, 2,
,n
y yk Ak sin k x k
k 1 k 1
（2）
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数学分析
如：非正弦周期函数:矩形波
1, 当 t 0 u( t ) 当0 t 1, u
m
u
E

o
Em

t
将其展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点t k( k 0, 1, 2,)处不连续.
Em Em E m ( E m ) 0, 收敛于 2 2
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若两个函数
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数

bn sinnx .
n1
此时傅氏系数
a n0 (n 0,1,2 , ).
2
b n0f(x )sin n d x x(n 1 ,2,3, ). 这 是an 因 1为 f(x)cn od sxx中 cons是 x 偶
函.数 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
n12[(1)n
1]
n22 ，n1,3,5,, 0，n2,4,6, .
a0
1
10
1
f(x)dx ()dx xdx
0
. 2
1
bn
f(x)sinnxdx
10
1
( )sinn d x x xsinn d x x
0
[n 1 cn o]0 x s n 1 [x cn o]0 x s n 1 0 cn od x x s
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为 周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果 (x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
n1,3,5,, n2,4,6, .
2
2
a 00f(x )d x0( x )d x ,
b n0 (n1,2 ,3, ).
又因为 f(x) 处处连续 ，故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 即
f(x) 2 4(cx os3 12co3xs5 12co5xs) ( x ).
四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数

1 端点处收敛于 [ f ( 0 ) f ( 0 )] 2
x , x 0 例 2 将 函 数 展 开 为 傅 立 叶 f ( x ) x , 0 x
级 数 .
解
所给函数满足狄利克雷充分条件.
y
拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在 [ , ] 收敛于f ( x) .

( n 1 , 2 , 3 , )
0 , m n sin mx sin nxdx , , m n

0 , m n cos mx cos nxdx , , m n

其中 m , n 1 , 2 , ) sin mx cos nxdx 0 . (
[ a cos kx sin nxdx b sin kx sin nxdx ] b , k k n
1 ( n 1 , 2 , 3 , ) b f ( x ) sin nxdx n
傅里叶系数
1 a f( x ) cos nxdx , ( n 0 , 1 , 2 , ) n 1 b f( x ) sin nxdx , ( n 1 , 2 , ) n
较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动
y A s i n kx k k k
的叠加
k 1 ,2 , ,n
y y A s i n k x k k k
k 1 k 1
n
n
（2）
如：非正弦周期函数:矩形波
1 , 当 t 0 u ( t ) 1 , 当 0 t u

0 2

bn =0，展开为余弦级数。
2.f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f (t )
an =0，展开为正弦级数。
▲ ■ 第 10 页
3.f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 其傅里叶级数中只含 奇次谐波分量，不含 偶次谐波分量；即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
2 an T
T 2 T 2
2 f (t ) cos( nt ) d t bn T
T 2 T 2
f (t ) sin( nt ) d t
an是n的偶函数，bn是n的奇函数。
▲ ■ 第 3页
将上式同频率项合并
A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1 bn 2 2 n arctan 式中，A0 = a0 An a n bn an An是n的偶函数， n是n的奇函数。

T , cosnt cosmt dt 2 0, T T , 2 T2 sin nt sin mt dt 2 0,
▲
T 2 T 2 T 2 T 2
cosnt sin mt dt 0
mn mn
f (t )
n
Fn e j nt
T 2 T 2

系数Fn 称复傅里叶系数
1 Fn T

f (t )e j nt d t
用cosx =(ejx + e–jx)/2从三角形式推出： 推导
▲ ■ 第 12 页
指数形式付氏级数推导
A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1
§4.2
傅里叶级数
• 傅里叶级数的三角形式 • 波形的对称性与谐波特性 • 傅里叶级数的指数形式 • 周期信号的功率——Parseval等式

积分变换
2020/4/20
10
积分变换法在电路分析中的应用
模型变换
数学 基础
电路 表现
积分变换
2020/4/20
11
PPT主要内容
4
拉普拉斯变换
3
傅里叶变换
2
傅里叶级数
1
正弦、余弦
2020/4/20
12
PPT主要内容
4
拉普拉斯变换
3
傅里叶变换
2
傅里叶级数
1
正弦、余弦
2020/4/20
13
正弦—>傅里叶级数 周期函数——正弦
45
PPT主要内容
4
拉普拉斯变换
3
傅里叶变换
2
傅里叶级数
1
正弦、余弦
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46
PPT主要内容
4
拉普拉斯变换
3
傅里叶变换
2
傅里叶级数
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14
正弦—>傅里叶级数 周期函数——正弦
一般周期函数
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15
正弦—>傅里叶级数 周期函数——正弦
一般周期函数
2020/4/20
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正弦—>傅里叶级数 周期函数——正弦
一般周期函数——许多正弦的叠加
傅里叶级数
2020/4/20
17
正弦—>傅里叶级数 周期函数——正弦
高阶动态 模型变换
电路
复频域电路
时域微分 积分变换
方程
频域非微分方程
时域解
反变换
频域解
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4
积分变换法在电路分析中的应用

k
ck
1 2l
l l
i kx
f ( x)e l dx
例5 把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示
为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶 级数。
f (x)
解 函数曲线如图 x
T
27
周期为 2l T , l T
2
ck
1 2l
l l
i 2kx
f ( x)e T dx
1
T
H
i
xe
方法
将函数 f（x）解析延拓到[-l，l]区间，再将[-l，l] 区间的函数再延拓到[－∞∞]区间上，构成周期函数 g（x），其周期为2l
例4 定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将
该函数展开为傅立叶级数。
解 函数曲线如图
f (x)
a x
l
21
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
16
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开；
方法 将函数 f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l
f (x)
l
l
f (x)
l
l
x x
17
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l，l]上，g(x)≡f(x).
例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：
x
f
(
x)
1
1
(1,0)
(0, 1 ) 2
( 1 ,1) 2

2
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
1 f ( x)dx
x2dx 22 ， 3
an
1
f ( x)cosnxdx 1
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
bn
1
x2sinnxdx0 ，
如例 1：
即 S(
x 时，
xxn)1((10x),,n,)1xx时n2ys(，innn.x,1(),f 1()n10n2)2sinf n(x0f)
(x) x ，
0 2
。
3 2 o 2 3 y
3 2 o 2 3
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
把 f (x) 在[, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为 （1）用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于f ( x) ； （4）画出 f ( x) 和S( x) 的图形（至少画出三个周期），
并写出 S( x)的表达式 。
例
2．设
f
(x)
以2
为周期，且
f
(
1,
x)
1,
x0 ， 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数S( x) 。
解： f ( x) 满足狄氏条件。求傅里叶系数：
a0
1
f
( x)dx
1
0
dx
1
0
dx0
，
1
10
1
an f ( x)cosnxdx (1)cosnxdx 0 cosnxdx

( = 1,2,3, ⋯ )
()的傅立叶级数展开式为:
∞
−2
1 −
1 − −
() =
+ ෍[
+
]
2
2


=1
(−∞ < < +∞, ≠ , ∈ )
()的傅立叶级数。
一般地，只要()是以2为周期且在[−, ]上可积的函数，就能
给出()的傅立叶级数，但这级数是否收敛？如果收敛，是否仍收敛
于()？狄利克雷给出了下面关于傅立叶级数收敛的定理。
定理
(狄利克雷充分条件) 若以2为周期的函数()在一个周期
内或是连续或是只有有限个第一类间断点，且最多只有有限个极值
0 =
0
,
2
= , = , = ，则(1)式右端的级数可
以写成
∞
0
+ ෍ ( + )
2
=1
定义1 级数
0
2
+ σ∞
=1( + ) 称 为 三 角 级 数 ， 其 中
简谐振动的函数是 = ( + )，其中y表示动点的位置，t表示时间，
2
A为振幅，为角频率，为初相，它是一个以 为周期的正弦型函数，正弦

型函数的问题比较简单，但在实际应用中出现的往往是非正弦型周期函数，
设函数f(t)是以为周期，通常的做法是用正弦型函数 ( + )组成
1
2
点，则()的傅立叶级数在点x处收敛于 [( − 0) + ( + 0)]。
例1
设()是以2为周期的周期函数，它在[−, )上的表达式为

高等数学第六节_傅里叶级
第六章 无穷级数 *§6 傅里叶级数
一、问题的提出
二、傅氏级数 三、在 [0,]上将函数 f(x)展成为
余弦级数或正弦级数 四、拓展与思考 五、小结
一、问题的提出
矩形波
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
u
1
o
t
1
u 4 sint
u4(sitn 1 3si3 nt)
f(x00)x lix0m f(x)
f(x),x是f(x)的连续点， f(x00)x lix0m f(x)
1 2[f(x00)f(x00)]x,0是 f(x)的第一类间
1 [f( 0 )f( 0 )x ] , .
2
例1 设f函 (x )以 2 数 为周(期 ,)上 ，的 且表 在
为 f(x)x,试f将 (x)展成傅 ,且 氏 画 级 出 数 傅 的和函数பைடு நூலகம்形. 解 先求傅氏系数
正交:
称为三角函数族.
任意两个不 积同 [在 ,函 ]上 数 的 的 定 乘 积 :
1cosnxdx
n1sinnx
0,
(n 1 ,2 , ).
1sinnxdxn1cosnx 0, (n 1 ,2 , ).
对 m ,n 1 ,2 ,3 ,
consxsinmxdx 1 2 [s m in n )x s (i m n n )x ] ( d 0 x . co nc sxo msx d 0,,x m m n n ,
a n 1 f(x )cn ox s , (n d 0 x ,1 ,2 , )
1 xconsxd0x
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )

第
幅频特性和相频特性
幅频特性
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
7 页
相频特性 arctan bn n a n 幅频相频特性的奇偶性
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
c1
离散谱，谱线
c3
O 1
3 1
相位频谱n源自 n ~ 曲线O1
3 1

指数函数形式的傅里叶级数
级数形式 f ( t ) 系数
F ( n 1 ) e j n1t

4
n
1 F n 1 T

T1
0
f ( t ) e j n1t d t
5
也可写为 Fn
三角级数形式的傅里叶级数
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
n 1
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F (n1 ) T
1 T


0
T
0
f (t )e j n1t d t 利用欧拉公式
T
1 f ( t ) cosn 1t d t j T

nx
dx
0
9
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
1
1d
x
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin 2 nx 1 cos 2nx
2
2
10
6.4.2 函数展开为傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
5x
( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , )
说明:
当
x
(2k
1)
时,
级数收敛于
0
(
2
)
2
22
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
23
例3. 将函数
2
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1 n
1, 2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4
522
cos 5 x
1 5
sin
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin

1
0
1


x


2 1 cos nx 1 cos nx n n 1 cos n n 0 4 , n 1,3,5, 2 n 1 (1) n n 0 , n 2 ,4 ,6 , 4 1 1 f ( x ) sin x sin 3 x sin( 2k 1) x ] 3 2k 1
利用三角函数系的正交性.
(1) 求a0 : 等式两边从 到 积分.
a0 dx (ak cos kx dx bk sinkx dx) 2 k 1
f ( x )dx



1 a0 2 , a0 2
f ( x )dx
可进行周期延拓:在[ , )外补充函数f ( x )
的定义，使其成为周期 2 的函数F ( x )。将 为 F ( x )展开为傅里叶级数，最 后限制x在( , ) 内，即得f ( x )的傅里叶级数展开式.
x , x 0 展开为傅立叶 例 4 将函数 f ( x ) x, 0 x
第七节 傅里叶级数
第十一章
周期函数的展开式
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
一、三角级数
周期函数反映客观世界中的周期性现象，
如心脏的跳动（心电图）、波浪、单摆 的振动。
正弦函数是最简单的周期函数之一。
( A为振幅,为角频率, 为初相 ) φ
问题：给定一个周期函数，能否展开为简单 的周期函数（如正弦函数）的和？
设 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数.如果它满足条件: (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f ( x ) 的傅里叶级数收敛,并且

o
x

o
x
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
例6. 将函数 数与余弦级数 .
分别展成正弦级
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 2 ( x 1) sin nx d x
周期函数, 并满足条件 (充分条件): 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
x=0时,得
1 1 1 2 0= ) (1 2 2 2 3 5 (2n 1) 4 2 1 1 1 所以 1 2 2 =σ 2 3 5 (2n 1) 8 1 1 1 1 1 1 S= 1 2 2 2 = σ+ 2 2 2 2 4 (2n) 2 3 n S = σ+ 4 2 2 4 4 1 1 1 所以 1 2 2 2 3 3 8 2 3 n 6 2 1 1 1 S 2 2 2 2 4 (2n) 24 4
例3. 将函数
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数如图 1 a0 f ( x)d x

展成傅里叶