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图论与网络流理论
例1.1.3 设G是简单图，若,则G必有偶圈。
证明：设是G的最长路。
因为， 所以存在两个与相异的顶点与相邻。必都在路P上，否则会得到比P更长的路。无妨设。
若中有奇数，比如i是奇数，则路P上到的一段与边构成一个偶圈；
若都是偶数，则路P上到的一段与边及构成一个偶圈。证毕。
例1.1.4设G是简单图，若,则G中各个圈长的最大公因数是1或2。
（4）图G的直径(diameter): .
（5）简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(circumference)。
例1.1.2 设G是一个简单图，若，则G中必含有圈。
证明：设G中的最长路为。因，故存在与相异的顶点v与相邻。若，则得到比P更长的路，这与P的取法矛盾。因此必定，从而G中有圈。证毕。
[6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。
[7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。
考核方式：平时成绩＋期末闭卷笔试
第一章 图的基本概念
§1.1 图的基本概念
1. 图(graph)：一集元素及它们之间的某种关系。具体地说，图是一个二元组，其中集合V称为顶点集，集合E是的一个子集（无序对，元素可重复），称为边集。
证明：由上例知，G中有长分别为和的圈。若，三数有公因数，则，于是，这是不可能的。因此，三数的公因数必不超过2。从而各个圈长的最大公因数是1或2。证毕。
6. 二部图
二部图 (bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集X和Y，使得任一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图（或偶图），记为G＝，称为G的一个划分。
证明：设是G的最长路。
因为， 所以存在两个与相异的顶点与相邻。必都在路P上，否则会得到比P更长的路。无妨设。
若中有奇数，比如i是奇数，则路P上到的一段与边构成一个偶圈；
若都是偶数，则路P上到的一段与边及构成一个偶圈。证毕。
例1.1.4设G是简单图，若,则G中各个圈长的最大公因数是1或2。
（4）图G的直径(diameter): .
（5）简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(circumference)。
例1.1.2 设G是一个简单图，若，则G中必含有圈。
证明：设G中的最长路为。因，故存在与相异的顶点v与相邻。若，则得到比P更长的路，这与P的取法矛盾。因此必定，从而G中有圈。证毕。
[6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。
[7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。
考核方式：平时成绩＋期末闭卷笔试
第一章 图的基本概念
§1.1 图的基本概念
1. 图(graph)：一集元素及它们之间的某种关系。具体地说，图是一个二元组，其中集合V称为顶点集，集合E是的一个子集（无序对，元素可重复），称为边集。
证明：由上例知，G中有长分别为和的圈。若，三数有公因数，则，于是，这是不可能的。因此，三数的公因数必不超过2。从而各个圈长的最大公因数是1或2。证毕。
6. 二部图
二部图 (bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集X和Y，使得任一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图（或偶图），记为G＝，称为G的一个划分。
图论及网路模型_图文_图文
程序中的第3]句中&1 #1t# &2是逻辑运算语 句，表示所说明的变量只有行小于列的部分，因 此所说明的矩阵是上三角阵.
1962年-1984年，作为一个数学教授任职于 Eindhoven Unviersity of Technology.
1984年至1999年，作为计算机系系主任任职与美国UT Austin分校，并于1999年退休。
2002年8月6日在荷兰Nuenen自己的家中与世长辞
Dijkstra 最短路径算法被广泛的应用 在网络协议方面，如OSPF。
返回
算法原理—— 查找最短路路径的方法
则由点i到j的最短路的路径为：
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
返回
算法步骤
TO MATLAB (road2(floyd))
返回
返回
(设备更新问题) 张先生打算购买一辆新轿车，轿
车的售价是12万元人民币.轿车购买后，每年的各
种保险费养护费等费用由表7-5所示.如果在5年之
2] nodes/1..6/;
3] arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;
4]endsets
5]data:
6] w = 7 12 21 31 44
7] 7 12 21 31
8]
7 12 21
9]
7
10]
7;
11]enddata 12]n=@size(nodes); 13]min=@sum(arcs:c*x); 14]@for(nodes(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: 15] @sum(arcs(i,j):x(i,j)) = @sum(arcs(j,i):x(j,i))); 16]@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1; END
1962年-1984年，作为一个数学教授任职于 Eindhoven Unviersity of Technology.
1984年至1999年，作为计算机系系主任任职与美国UT Austin分校，并于1999年退休。
2002年8月6日在荷兰Nuenen自己的家中与世长辞
Dijkstra 最短路径算法被广泛的应用 在网络协议方面，如OSPF。
返回
算法原理—— 查找最短路路径的方法
则由点i到j的最短路的路径为：
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
返回
算法步骤
TO MATLAB (road2(floyd))
返回
返回
(设备更新问题) 张先生打算购买一辆新轿车，轿
车的售价是12万元人民币.轿车购买后，每年的各
种保险费养护费等费用由表7-5所示.如果在5年之
2] nodes/1..6/;
3] arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;
4]endsets
5]data:
6] w = 7 12 21 31 44
7] 7 12 21 31
8]
7 12 21
9]
7
10]
7;
11]enddata 12]n=@size(nodes); 13]min=@sum(arcs:c*x); 14]@for(nodes(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: 15] @sum(arcs(i,j):x(i,j)) = @sum(arcs(j,i):x(j,i))); 16]@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1; END
《图论与网络流》课件
最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流最小割定理
总结词
最大流最小割定理是图论中一个重要的定理，它指出在一个有向图中，从源点到汇点的 最大流等于最小割的容量。
详细描述
最大流最小割定理是解决网络流问题的重要理论依据，它提供了一种将最大流问题转化 为最小割问题的思路。通过求解最小割问题，可以找到一个割点集合，使得从源点到汇 点的流量等于该割的容量，从而得到最大流。在实际应用中，最大流最小割定理可以应
感谢您的观看
THANKS
02
图论中的基本问题
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个路径是图中的一条边序列， 使得每条边只经过一次，起点和
终点是同一点。
欧拉回路
一个路径是图中的一条边序列，使 得每条边只经过一次，起点和终点 是同一点，且所有节点均不重复。
总结
欧拉路径和回路是图论中的基本概 念，它们在计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛应用。
最小割算法
01
最小割算法是图论中求解最小割问题的算法，旨在将图划分为两个不 相交的子集，使得两个子集之间的边权值之和最小。
02
最小割问题与最大流问题是互补的，一个问题的解可以通过另一个问 题的解得到。
03
最小割算法的实现通常基于最大流算法，通过求解一系列最大流问题 来逼近最小割问题的解。
04
最小割算法的时间复杂度也取决于所选的算法和图的具体结构，一般 在多项式时间内可求解。
最小费用流算法
最小费用流问题考虑了流的代价 ，即每条边的容量和代价，要求 在满足流量限制的前提下，总代 价最小。
最小费用流算法的基本思想是通 过不断优化流的路径和代价来逼 近最小费用流的解。
最小费用流算法是图论中求解最 小费用流问题的算法，旨在找到 从源点到汇点具有最小费用的流 。
(课件)图论讲义
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
和 Y。
（2）否则，设 u′ 是 P 与 Q 的最后一个公共顶点，因 P 的 (u, u′) 段和 Q 的 (u, u′) 段都是 u 到 u′ 的最短路，故这两段长度相等。
假如 P，Q 的奇偶性相同，则 P 的 (u′, v1) 段和 Q 的 (u′, v2 ) 段奇偶性相同，这两段与边 e 构成一个奇圈，与定理条件矛盾。可见 P，Q 的奇偶性不同，从而 v1, v2 分属于 X 和 Y。
这便证明了 G 是一个二部图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
图论中的网络流问题理论研究
图论中的网络流问题理论研究网络流问题是图论中的重要问题之一，它在网络设计、运输规划、电力调度等领域具有广泛的应用。
对于网络流问题的深入理论研究不仅可以提供有效的解决方案，还可以为相关领域提供理论指导，本文将对图论中的网络流问题进行理论研究。
一、网络流问题简介网络流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，以及每条边的容量限制，要求在满足容量限制的前提下，使从源点到汇点的最大流量尽可能大。
最大流问题是网络流问题中的一个典型子问题，它要求从源点到汇点的最大流量。
而最小割问题是最大流问题的对偶问题，它要求将图中的边分成两个不相交的集合，使得源点和汇点分属于两个集合，并且两个集合之间的最小边权之和尽可能大。
二、网络流问题的建模与求解网络流问题可以通过建立网络模型来进行求解。
首先，将问题抽象为有向图，将源点表示为s，汇点表示为t，边表示流量的路径，将每条边的容量限制作为边的权重。
然后，根据实际问题的特点，选择合适的算法来求解最大流或最小割问题。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是解决网络流问题最经典的算法之一。
该算法不断寻找增广路径，并根据路径上的最小残余容量更新当前流的值，直到无法找到增广路径为止。
最终得到的流就是最大流，并且可以通过最大流得到最小割。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种实现，它在选择增广路径时使用了广度优先搜索。
通过广度优先搜索找到的增广路径一定是最短增广路径，因此可以保证算法的效率。
3. Dinic算法Dinic算法是一种改进的网络流算法，它通过分层图的概念减少了不必要的计算。
在Dinic算法中，首先构建分层图，然后通过增广路径进行流量的调整。
该算法具有较高的效率，尤其在求解稠密图中的网络流问题时表现出色。
三、网络流问题的应用网络流问题在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域：1. 网络设计网络流问题在网络设计中起着至关重要的作用。
离散数学中的图论和网络流分析
离散数学中的图论和网络流分析离散数学是数学的一个重要分支，主要研究的是离散对象以及离散结构。
其中，图论和网络流分析是离散数学中最为重要的两个方向，被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
在本文中，我们将会深入探讨这两个方向的原理和应用，并为读者展示其形式和结构。
一、图论图论是离散数学中的一个分支，旨在通过图来研究对象和对象之间的关系。
一般而言，我们称一个图由若干个点和若干个边组成，其中点表示对象，边表示对象之间的关系。
对于一个完整的图，我们可以用以下方式进行表示：G = (V, E)其中，V 表示图中所有点的集合，E 表示图中所有边的集合。
如果两个点之间存在一条边连接它们，我们则称这两个点是相邻的。
对于一个图 G，我们可以用以下方式来定义它的度数：d(v) = |{u | (u, v) ∈ E}|其中，d(v) 表示点 v 在图 G 中的度数，|{u | (u, v) ∈ E}| 则表示与点 v 相邻的点的个数。
图论可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，图算法被广泛应用于网络设计、数据库设计、搜索引擎算法等领域。
在通信工程中，图算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
二、网络流分析网络流分析是一个分支领域，旨在通过图来研究网络流量的分布和优化。
在网络流分析中，我们通常将网络看作是一个图，其中节点表示不同的网络设备（例如路由器或交换机），边表示不同的网络连接，流表示网络数据的流动。
通常来说，我们使用以下方式来表示一个网络流问题：G = (V, E, s, t, c)其中，V 表示网络中所有节点的集合，E 表示网络中所有边的集合，s 表示网络中源节点的位置，t 表示网络中目的节点（或终端节点）的位置，c 表示网络中每个边能承载的最大流量。
网络流分析可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，网络流算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
网络图论基础.共55页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
网络图论基础.
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西—莎士 比
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
图论与网络流理论ppt课件
1）V (G ) { v 1 ,v 2 , ,v }是非空有限集，称为顶点集，
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
23
可编辑课件
3、Dijkstra算法
24
可编辑课件
25
可编辑课件
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可编辑课件
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可编辑课件
28
可编辑课件
定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
19
可编辑课件
定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
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3、Dijkstra算法
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可编辑课件
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可编辑课件
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
19
可编辑课件
定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
图论与网络流理论
为判定两图同构，一般要按定义构造出两图顶点间的一一映射，然 后检验它是否保持邻接关系。有时也可根据图的特点使用特殊方法。
1.2 最短路问题
1、赋权图 对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。
每个边都赋有权的图称为赋权图。 权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络
中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。
解：Herschel 图的一个顶点二划分如下： 可见 Herschel 图是一个二部 图。
Peterson 图中含有奇圈，因此不是二部图。
8 连通性
图中两点的连通：如果在图G 中u，v 两点间有路相通，则 称顶点u，v 在图G 中连通。
连通图（connected graph）：若图G 中任二顶点都连通， 则称图G 是连通图。
1. 算法思想：先从图G 中找出权最小的一条边作为最小生成树的边， 然后逐次从剩余边中选边添入最小生成树中，每次选边找出不与已选 边构成圈的权最小的一条边。直至选出υ (G) −1条边为止。
(二)Prim算法（Robert Clay Prim，1957）
（三） Prim 算法的矩阵实现―求最小树的 权矩阵法
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不 超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。 证毕。
例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。假如u与v
不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图 时，其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1 矛盾。证毕。
为边集的图称为G的补图，记为 G
定理1.1.1 对任何图G，其各顶点度数之和等于边数的2倍，
即 d(v) 2 vV (G)
1.2 最短路问题
1、赋权图 对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。
每个边都赋有权的图称为赋权图。 权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络
中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。
解：Herschel 图的一个顶点二划分如下： 可见 Herschel 图是一个二部 图。
Peterson 图中含有奇圈，因此不是二部图。
8 连通性
图中两点的连通：如果在图G 中u，v 两点间有路相通，则 称顶点u，v 在图G 中连通。
连通图（connected graph）：若图G 中任二顶点都连通， 则称图G 是连通图。
1. 算法思想：先从图G 中找出权最小的一条边作为最小生成树的边， 然后逐次从剩余边中选边添入最小生成树中，每次选边找出不与已选 边构成圈的权最小的一条边。直至选出υ (G) −1条边为止。
(二)Prim算法（Robert Clay Prim，1957）
（三） Prim 算法的矩阵实现―求最小树的 权矩阵法
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不 超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。 证毕。
例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。假如u与v
不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图 时，其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1 矛盾。证毕。
为边集的图称为G的补图，记为 G
定理1.1.1 对任何图G，其各顶点度数之和等于边数的2倍，
即 d(v) 2 vV (G)
图论讲义第9章-网络流理论
c( a ) − f ( a ) > 0 ； f (a ) > 0 .
a∈P
则称 P 是流 f 的一条可增路。沿路 P 可增加的流量为 Δf ( P ) = min Δf ( a ) ，称为路 P 上流的增量或可 增量。 例如：在下图中，每条弧上括号内的数字表示弧的容量，括号外的数字是当前流的流量。图（1）中虚 线 所 示 的 路 P 是 一 条 可 增 路 。 因 Δf ( v1 , v3 ) = 6 − 1 = 5 ， Δf ( v3 , v4 ) = 2 ， Δf ( v4 , v2 ) = 5 ，
此后的讨论中主要考虑单源单汇网络。 定义 9.1.4 设 N=(V, x, y, A, C)是一个单源单汇网络。 S ⊆ V ， S = V − S 。用 ( S , S ) 表示尾 在 S 中而头在 S 中的所有弧的集合(即从 S 中的点指向 S 之外点的所有弧之集)。若 x ∈ S ， 而 y ∈ S ，则称弧集 ( S , S ) 为网络 N 的一个割。一个割 ( S , S ) 的容量是指 ( S , S ) 中各条弧的 容量之和，记为 Cap ( S , S ) 。 例：对网络
v2 v1 x P Q v3 y v6 v4 v5
定义 9.2.2 设 f 是网络 N = (V , x, y , A, C ) 中的一可行流，P 是 N 中一条 x-y 路。如果对于 P 上任一条弧
a ，都有
(1) 若弧 a 是 P 的正向弧，则 Δf ( a ) (2) 若弧 a 是 P 的反向弧，则 Δf ( a )
是网络vxyacn中一条xy路无向若弧1vviia则称此弧为路p的一条正向弧或称前向弧顺向弧若弧1iivva则称此弧为路p的一条反向弧或称后向弧逆向弧