四年级 第4讲 等积变形(上)

第4讲 等积变形1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。

1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧例1:如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？A BE C答案：三角形BDE 的面积是4 D 解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB ，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC 面积：三角形BCE 面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE 的面积为2，又因为BD=2BC ，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE 的面积=1：1，所以三角形CDE 的面积是2，所以三角形BDE 的面积是4.例2：正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？ FE C 答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F ∥BD 。

则三角形BCD 与三角形BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。

因为他们有一条公共的底边BD ，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。

所以面积相等，而三角形BDC 的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。

例3：图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。

技巧总结1.
牙齿模型2.
平行四边形模型
3.等积变形
思维数学第04讲
一半模型和等积变形（一）
如图，正方形ABCD一半的面积是28平方厘米，矩形DEFG的宽DE＝7厘米，求它的长DG＝?
如图，阴影部分的面积是多少？
如图，已知红色三角形的面积是5，绿色三角形的面积是13，问：三角形OBD的面积是多少？
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为12厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为16厘米，求阴影部分的面积。

课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练习，1-3道不会为正常现象。

一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是10，黄色三角形的面积是22，绿色三角形的面积是11，那么蓝色三角形的面积是多
少？
如图，正方形ABCD的边长为8，AE＝2，CF＝3。

长方形EFGH的面积为
_______。

如图，长方形ABCD中，AB长18厘米，BC长10厘米，E、F、G、H
分别在长方形的四条边上，其中EC=4厘米，F、G、H均是中点，请问：阴影部分
的面积是多少？
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
如图所示，ABCD和BEFG是两个正方形，EF长6cm，求阴影部分的面积。

如图所示，大正方形的边长是10cm，求阴影部分的面积。

第4单元三位数乘两位数第4课时积的变化规律【教学内容】:教材第51页例3。

【教学目标】:理解和掌握积的变化规律, 能根据积的变化规律进行简便运算。

【重点难点】:重点: 理解积的变化规律。

难点: 运用积的变化规律进行简便计算。

【教学过程】:一、创设情境1.口算。

15×8= 25×4= 170×5=26×100= 30×50= 32×300=36×20= 9×800= 42×400=8×600= 20×300= 240×5=教师用卡片出示口算题, 学生开火车练习。

2.引入。

买一个文具盒需12元, 买2个文具盒需多少元？（24元）买4个文具盒呢？（48元）买6个文具盒呢？（72元）买文具盒的个数越多, 所需的钱就越多。

那么在乘法算式中, 积有怎样的变化规律呢？（板书课题: 积的变化规律）二、自主探究1.投影出示例3。

(1)6×2=12 （2）20×4=1806×20=120 10×4=406×200=1200 5×4=202.仔细观察两组题目, 说一说你发现了什么。

让学生充分讨论, 互相说出自己的观点。

引导学生交流看法, 在学生汇报中点拨。

（1）左边第一道算式与第二道算式比较, 哪个因数没有变, 哪个因数变了？是怎样变的？积又有什么变化？（2）左边第一道算式与第三道算式比较, 又有哪些地方变与没变呢？（3）请将左边第二道算式与第三道算式也作类似的比较, 发现规律。

（4）你能用自己的话概括出你的发现吗？一个因数不变, 另一个因数分别乘10、100, 积也分别乘10、100。

（5）用以上的方法比较右边三道算式, 概括出你的发现。

一个因数不变, 另一个因数分别除以2.4, 积也分别除以2.4。

（6）你还能举例说说你的发现吗？3.引导学生进行归纳、概括。

四年级数学上册《积的变化规律》公开课教学设计教学内容：人教版小学数学四年级上册第四单元第58页例4以及练习九。

教材分析：《积的变化规律》是小学四年级上册第四单元的内容，它是学生在掌握乘法运算的基本技能的基础上利用乘法运算，培养学生的推理能力，特别是合情的推理能力，是本单元教学的重要任务。

教材以两组乘法算式为载体，引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。

通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时，积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时体会事物间是密切相关的，受到辩证思想的启蒙教育。

例题的设计分为三个层次：观察问题——猜测规律——验证规律——得出结论，通过学习，使学生不但发现了积的变化规律，而且学会研究问题的一般方法。

《积的变化规律》是引导学生学会从一般现象中寻找规律，为学生今后学习相关内容提供必要的思维模式。

教学目标：知识与技能目标探索并掌握当一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也要随着乘（或除以）几的变化规律，能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题中。

过程与方法目标经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法与经验。

情感态度与价值观目标通过学习活动的参与，使学生获得成功的乐趣，增强学习的兴趣和信心。

教学重点、难点：引导学生自己发现规律，概括规律，进而运用规律。

教学准备：多媒体课件、平板电脑教学过程：一、师生计算比赛，引出课题1、黑板出示以下这组算式，教师笔算、学生用平板上的计算器算，看谁算得又快又准。

125×14125×28125×422、请小裁判发言，顺势引出课题师：这里可藏着一个小秘密呢，到底是什么秘密能让老师的计算比计算器还快呢？你们想知道吗？那好，接下来就让我们一起来探寻这个小秘密吧。

（板书：积的变化规律）二、新授知（一）规律1的探寻1 、情境引入：在探寻之前，我们的好朋友小英遇到问题想请大家帮忙解决。

四年级上册数学教案-第四单元第4课时积的变化规律人教版一、教学目标1. 让学生通过观察、比较，发现积的变化规律。

2. 使学生能够运用积的变化规律进行简便计算。

3. 培养学生的观察能力、抽象概括能力以及运用知识解决问题的能力。

二、教学内容人教版四年级上册数学第四单元第4课时：积的变化规律。

三、教学重点与难点重点：发现并掌握积的变化规律。

难点：理解并掌握一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变的规律。

四、教学过程1. 导入新课通过创设情境，引导学生回顾乘法的意义，为新课的学习做好铺垫。

2. 探究新知（1）出示例题，引导学生观察并发现积的变化规律。

例题：比较下列算式，你发现了什么规律？3 ×4 = 12 30 × 4 = 120 300 × 4 = 12003 × 40 = 120 30 × 40 = 1200 300 × 40 = 12000学生通过观察、比较，发现积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数不变，积也扩大相同的倍数。

（2）引导学生进一步探究积的变化规律。

让学生举例验证积的变化规律，并总结规律：一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。

3. 巩固练习（1）出示练习题，让学生运用积的变化规律进行简便计算。

练习题：计算下列算式的积。

5 × 8 = 50 × 8 = 500 × 8 =5 × 80 = 50 × 80 = 500 × 80 =（2）让学生互相出题，运用积的变化规律进行计算，提高学生的计算能力。

4. 总结提升引导学生回顾本节课所学内容，总结积的变化规律，并强调在计算过程中要注意的问题。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固积的变化规律。

2. 观察生活中的积的变化现象，与同学交流分享。