雅克比高斯赛德尔迭代法

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel iteration）是一种用于解线性方程组的迭代计算方法。

它是雅可比迭代（Jacobi iteration）的一种改进，以求解形如 Ax = b 的线性方程组。

迭代过程中，高斯-赛德尔方法按顺序更新解向量的每个分量，所得新值将直接用于后续计算。

这种按顺序更新的方法使收敛速度通常比雅可比迭代法更快。

给定一个 n×n 的系数矩阵 A 和一个 n 维列向量 b ，线性方程组表示为 Ax = b。

高斯-赛德尔迭代的步骤如下：将系数矩阵 A 分解为两部分：一个下三角矩阵 L（包括对角线）和一个上三角矩阵 U（不包括对角线）。

因此，A = L + U。

选取一个初始解向量 x^(0)。

对于每次迭代，按以下顺序更新 x 中的每个分量：x^(k+1)_i = (b_i - sum(A_ij * x^(k+1)_j, j=1 to i-1) - sum(A_ij * x^(k)_j, j=i+1 to n)) / A_ii, for i=1 to n其中，k 是迭代次数，x^(k)_i 是第 k 次迭代得到的解向量中的第 i 个分量。

判断收敛性：计算解向量相邻两次迭代之间的误差，通常采用范数（如无穷范数）表示。

如果误差满足设定的收敛准则（如小于某个阈值），则停止迭代。

如果未达到收敛准则，返回步骤 3，再次迭代。

需要注意的是，高斯-赛德尔迭代的收敛性并非总是得到保证。

通常，当系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵（或正定矩阵）时，迭代方法才具有收敛性。

在实际应用中，常尝试使用一系列预处理技术（如 ILU 分解）通过改变原始线性方程组的形式来提高迭代收敛性。

线性方程组的迭代法一、实验目的及要求掌握解线性方程组的雅可比迭代法，培养编程与上机调试能力。

二、相关理论知识1、雅可比迭代计算b Ax =，将系数矩阵分解U L D A --=，雅可比迭代格式为f Jx x k k +=+)()1(其中)(1U L D J +=-，b D f 1-=。

Matlab 相关函数：D=diag （diag （A ））n=norm(a,inf) 表示求向量a 的无穷范数。

2、高斯-塞德尔迭代法计算b Ax =，将系数矩阵分解U L D A --=，雅可比迭代格式为f Gx x k k +=+)()1(其中U L D G 1)(--=，b L D f 1)(--=。

Matlab 相关函数：tril （A ，-1） 表示输出矩阵为矩阵A 的下三角，主对角线元素为0.triu （A ，1） 表示输出矩阵为矩阵A 的上三角，主对角线元素为0.三、研究、解答以下问题问题 1、用雅可比迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2010311102143210321321321x x x x x x x x x ， （1）取初始值)0,0,0('，分别保证当3)()1(10-∞+<-k k x x 和6)()1(10-∞+<-k k x x 时，迭代终止，要求输出对应的近似解。

（2）输出对应的迭代的次数。

（3）输出一个矩阵，每行表示每次迭代的向量。

1．程序：function [x,i,G]=kb(A,b,max,eps)A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10];b=[14 11 20]';max=100;eps=1e-006D=diag(diag(A));ID=inv(D);J=ID*(-A+D);f=ID*b;x0=zeros(rank(A),1);x=x0;G(1,:)=x0';for i=1:maxk=x;x=J*x+f;G(i+1,:)=x';n=norm((x-k),inf);if n<=epsbreak ;endendGi结果：（1）eps = 1.0000e-003G =0 0 01.4000 1.10002.00000.5800 0.6200 1.47000.8350 0.8370 1.76400.7034 0.7566 1.66580.7489 0.7927 1.71330.7275 0.7789 1.69600.7354 0.7849 1.70390.7319 0.7825 1.70090.7332 0.7835 1.70220.7326 0.7831 1.7017i =10ans =0.73260.78311.7017（2）eps =1.0000e-006G =0 0 01.4000 1.10002.0000 0.5800 0.6200 1.4700 0.8350 0.8370 1.7640 0.7034 0.7566 1.6658 0.7489 0.7927 1.7133 0.7275 0.7789 1.6960 0.7354 0.7849 1.7039 0.7319 0.7825 1.7009 0.7332 0.7835 1.7022 0.7326 0.7831 1.7017 0.7329 0.7833 1.7019 0.7328 0.7832 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.7018 0.7328 0.7833 1.70180.7328 0.7833 1.70180.7328 0.7833 1.7018i =18ans =0.73280.78331.70182、用高斯-塞德尔迭代法计算第1题中的线性方程组。

Gauss Seidel迭代法简介Gauss Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。

它是Jacobi迭代法的改进版本，通过逐次更新未知数的估计值，逐渐逼近方程组的精确解。

本文将详细介绍Gauss Seidel迭代法的原理、算法步骤以及应用领域。

原理Gauss Seidel迭代法基于以下原理：对于线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n 的矩阵，x和b是n维向量。

我们可以将矩阵A分解为L、D和U三个矩阵的和，其中L是A的下三角部分（不包括对角线），D是A的对角线部分，U是A的上三角部分（不包括对角线）。

则方程组可以重写为：(A = L + D + U)(L + D + U)x = b(L + D)x + Ux = b将上式中的x视为已知量，将(L + D)x视为已知量的估计值，我们可以得到迭代公式：x^(k+1) = -D^(-1)(Lx^(k+1) + Ux^(k)) + D^(-1)b其中，x(k)表示第k次迭代的估计值，x(k+1)表示第(k+1)次迭代的估计值，D^(-1)表示矩阵D的逆矩阵。

算法步骤Gauss Seidel迭代法的算法步骤如下：1.初始化估计值向量x^(0)为任意非零向量。

2.根据迭代公式计算x^(k+1)。

3.判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，输出x^(k+1)作为线性方程组的近似解；否则，令k=k+1，返回第2步。

终止条件通常有以下几种方式： - 迭代次数达到预设的最大值。

- 两次迭代之间的误差小于预设的阈值。

- 迭代估计值与精确解之间的误差小于预设的阈值。

应用领域Gauss Seidel迭代法在科学计算和工程领域有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用领域：电力系统分析Gauss Seidel迭代法可以用于电力系统的潮流计算。

潮流计算是电力系统分析的基础，用于确定电力系统各节点的电压幅值和相角。

通过迭代计算节点电压，可以实现电力系统的稳态分析和潮流优化。

Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较目录1 引言 (1)1.1Jacobi迭代法 (2)1.2Gauss-Seidel迭代法 (2)1.3逐次超松弛（SOR）迭代法 (3)2算法分析 (3)3 结论 (5)4 附录程序 (5)参考文献 (8)Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法比较1 引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。

这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。

对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。

迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。

即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。

因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。

迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。

设n 元线性微分方程组b Ax = (1)的系数矩阵A 非奇异，右端向量0≠b ,因而方程组有唯一的非零解向量。

而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi 迭代法、Gauss —Seidel 迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR 法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A 分解成两个矩阵N 和P 的差，即P N A -=；其中N 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：b x P N =-)（b Px Nx +=b N Px N x 11--+=可得到迭代方法的一般公式：d Gx xk k +=+))1(（ （2）其中：P N G 1-=，b N d 1-=，对任取一向量)0(x 作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个向量序列)1(x ，)2(x ，...，）k x(，...，当k 足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似解。

计算方法实验报告Jacobi,Gauss_Seidel迭代法班级：学号：姓名：一、实验目的利用Jacobi(Gauss-Seidel)迭代法的算法，解n阶线性方程组。

二、程序功能输入方程组(矩阵A,b)，最大迭代次数以及误差限若结果可以收敛，则输出，若不可收敛则返回迭代失败信息。

三、迭代算法流程图Jacobi Gauss-Seidel四、代码（见附录）五、运行情况分析Jacobi（freopen） Gauss_Seidel（手动输入数据）比较分析：相同的测试数据，Gauss_Seldel的迭代次数明显要比Jacobi少得多。

六、附录#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#define N 1000using namespace std;double A[N][N],b[N],ans[N],ans_f[N],e;int n,num;bool ansnot(){for(int i=1;i<=n;i++){if(fabs(ans[i]-ans_f[i])>e)return 1;}return 0;}void inputX(){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&ans[i]);}bool Jacobi(){int i,j,k;printf("-----请输入最大迭代次数和误差线:-----\n");scanf("%d%lf",&num,&e);printf("-----请输入ans初始值:-----\n");inputX();i=0; //迭代次数do{for(j=1;j<=n;j++)ans_f[j]=ans[j];for(j=1;j<=n;j++){if(A[j][j]==0){printf("算法失败,");return 0;}ans[j]=b[j];for(k=1;k<=n;k++){if(k!=j)ans[j]-=A[j][k]*ans_f[k];//Gauss_seldel修改ans[k]}ans[j]/=A[j][j]; }i++;}while(ansnot()&&i<num);if(i<=num){printf("迭代次数为:%d\n",i);return 1;}printf("迭代失败,");return 0;}void init(){memset(A,0,sizeof(A));memset(b,0,sizeof(b));memset(ans,0,sizeof(ans));printf("请输入矩阵A：\n");for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&A[i][j]);printf("请输入矩阵b：\n");for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&b[i]);//Print();}int main(){freopen("in.txt","r",stdin);int index=1;while(1){printf("请输入阶数n：\n");scanf("%d",&n);if(n<1) break;printf("------------------test %d------------------\n",index++); init();if(!Jacobi())printf("no answer!!!");elsefor(int i=1;i<=n;i++)printf("x[%d] = %lf\n",i,ans[i]); printf("\n\n");}return 0;}。

实验五解线性方程组的迭代法5.1实验目的①掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；②培养编程与上机调试能力.5.2算法步骤5.2.1迭代法的基本思想根据方程组设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，如此反复进行，得到向量序列.当收敛时，其极限即为原方程组的解.5.2.2雅可比（Jacobi）迭代法解方程组设方程组的系数矩阵对角线元素，为最大迭代次数，为容许误差. 雅可比（Jacobi）迭代法解方程组算法步骤如下：①取初始向量，令.②对，计算.③如果，则输出，结束；否则执行④④如果，则不收敛，终止程序；否则，转②5.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi）迭代法改造得到.5.3实验题目及参考结果：题目应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组参考结果：雅可比迭代法迭代次数20次，结果如下：5.4实验要求：（1）选择一种计算机语言设计出雅可比（Jacobi）迭代法的算法程序，并且选择不同的迭代次数，观察输出结果；（2）利用Matlab求方程组的解步骤如下：调用格式： %得到线性方程组的解向量Matlab6.1环境下操作如下：>>; %输入系数矩阵>>; %输入常数项>> %方程组求解5.5思考：①判别迭代法收敛的充分必要条件及充分条件是什么？②雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法收敛性的各种判别条件是什么？?? ?? ?? ??。