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2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)一、情境导入你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋ 2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋ 2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．【类型二】列表求一元二次方程的近似根下面表格列出了函数y＝ax2＋bx ＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x 的取值范围是( )A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20解析：由表格中的数据得，在 6.17＜x ＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x ＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．变式训练：见《习题》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx ＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则x1＋x22＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．变式训练：见《习题》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y＝2x2－2和函数y ＝5x＋1.(1)你能用图象法求出方程2x2－2＝5x ＋1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解．解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y ＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，如图所示：图象交点的横坐标是－12，3，故2x 2－2＝5x ＋1的解是x 1＝－12，x 2＝3；(2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x2－2＝5x ＋1的解，化简得2x 2－5x －3＝0，因式分解，得(2x ＋1)(x －3)＝0.解得x 1＝－12，x 2＝3，可知(1)中求得的解正确．方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．变式训练：见《习题》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程6x－x ＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)．解析：(1)一元二次方程x 2＋x －3＝0可以转化为x 2－3＝－x ，所以一元二次方程x2＋x －3＝0的解可以看成抛物线y ＝x 2－3与直线y ＝－x 交点的横坐标；(2)函数y ＝－6x的图象与直线y ＝－x ＋3的交点的横坐标就是方程6x－x ＋3＝0的近似根．解：(1)x 2－3 (2)图象如图所示：由图象可得，方程6x－x ＋3＝0的近似根为x 1＝－1.4，x 2＝4.4.方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《习题》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.。
课时作业(十八)[第二章 5 第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根]一、选择题1．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c －0.03－0.010.020.06A.6＜x＜6.17 B．6.17＜＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.202．如图K－18－1为二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知图K－18－1关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )A．－1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对3．借助二次函数y＝2x2－3x－1的图象，可求出下面哪个方程的近似根( )A．x2＋5x－1＝0 B．2x2＋3x－1＝0C．2x2－3x＋5＝6 D．x2＋5x＝04．二次函数y＝－x2＋mx的图象如图K－18－2，其对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是( ) A．t＞－5 B．－5＜t＜3C．3＜t≤4 D．－5＜t≤4图K－18－2二、填空题5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图K－18－3所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是____________．图K－18－36．如图K－18－4，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．图K－18－4三、解答题7．画出函数y＝－2x2＋8x－6的图象，根据图象回答：(1)方程－2x2＋8x－6＝0的解是什么？(2)当x取何值时，y＞0?(3)当x取何值时，y＜0？链接听课例题归纳总结8. (1)请在坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上表示出来(描点)；(3)观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1)．图K－18－59．利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图K－18－6)，求方程x3－x－2＝0的解(结果精确到0.1)．图K－18－610．某地发生大地震，空军某部奉命第一时间赴灾区投放救灾物资，已知物资离开飞机后在空中降落的路线是抛物线，抛物线的顶点在机窗窗口点A处(如图K－18－7所示)．如果物体离开A处后下落的竖直高度AB＝160 m，水平距离BC＝200 m，那么要使飞机在竖直高度OA＝1 km的空中空投物资恰好落在点P处，求飞机到P处的水平距离OP应为多少．图K－18－7阅读理解阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴由此可得二次函数y＝x2－2x－3的大致图象如图K－18－8所示．观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0，∴不等式x2－2x－3＞0的解集是x＜－1或x＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集是__________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0.图K－18－8详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] C 由于当x ＝6.18时，y ＝－0.01<0；当x ＝6.19时，y ＝0.02>0，说明在6.18＜x ＜6.19中有一个x 的值使y ＝0，即在这个范围内有一个x 的值使ax 2＋bx ＋c ＝0.故选C.2．[解析] C 由图象可知其对称轴为直线x ＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x 轴的两个交点关于x ＝3对称，而关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1，x 2，那么两根满足2×3＝x 1＋x 2，而x 1＝1.6，∴x 2＝4.4.3．[答案] C4．[解析] D 如图，关于x 的一元二次方程－x 2＋mx －t ＝0的解就是抛物线y ＝－x 2＋mx 与直线y ＝t 的交点的横坐标，当x ＝1时，y ＝3，当x ＝5时，y ＝－5，由图象可知若关于x 的一元二次方程－x 2＋mx －t ＝0(t 为实数)在1＜x ＜5的范围内有解，则直线y ＝t 在直线y ＝－5和直线y ＝4之间(包括直线y ＝4)，∴－5＜t ≤4.故答案为D.5．[答案] －1＜x 2＜0[解析] 由图象可知当x ＝2时，y ＜0；当x ＝3时，y ＞0.由于直线x ＝1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：当x ＝0时，y ＜0；当x ＝－1时，y ＞0.所以另一个根x 2的取值范围为－1＜x 2＜0.故答案为－1＜x 2＜0.6．[答案] 12(答案不唯一)7．[解析] 利用描点、连线的方法画出函数y ＝－2x 2＋8x －6的图象，再根据图象判断函数的增减性．解：函数y ＝－2x 2＋8x －6的图象如图． 由图象可知：(1)方程－2x 2＋8x －6＝0的解是x 1＝1，x 2＝3. (2)当1＜x ＜3时，y ＞0. (3)当x ＜1或x ＞3时，y ＜0. 8．解：(1)如图．(2)如图，点M ，N 的横坐标就是方程x 2－2x ＝1的根．(3)方程x2－2x＝1的根为x1≈－0.4，x2≈2.4(答案合理即可)．9．解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，其与函数＝的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程x3－x－2＝0的解为x≈1.5.10．[解析] 由题意可知点A与点C的坐标，然后可求出抛物线的函数表达式．解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(0，1000)，点C的坐标为(200，840)．设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋1000.又∵点C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得a＝－1250，∴抛物线的函数表达式为y＝－1250x2＋1000.当y＝0时，－1250x2＋1000＝0，解得x1＝500，x2＝－500(舍去)．∴飞机到P处的水平距离OP应为500 m.【素养提升】[解析] (1)由图象可得不等式x2－2x－3＜0的解集是－1＜x＜3；(2)仿照(1)的方法，画出函数y＝x2－1的图象，找出图象与x轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的范围．解：(1)－1＜x＜3(2)设y＝x2－1，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴由此可得二次函数y＝x2－1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜－1或x＞1时，y＞0，∴不等式x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1.。
