2016铁岭师范高等专科学校单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016铁岭师范高等专科学校单招数学模拟试题(附答案解析)

一．选择题（每个小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）

1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=

，则P+Q中元素的个数是

A．9 B．8 C．7 D．6

2．为了得到函数的图象，只需把函数上所有点

（A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

（B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

（C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

（D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

3．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

4．若，且，则向量与的夹角为

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

5．从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为

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（A） （B） （C） （D）

6．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是

（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ

（C）cos(α+β)

7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不．成立．．的是

（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC

8．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有

（A）种 （B）种 （C）种 （D）种

9．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]

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11．函数的图象大致是

12．．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是

A．168 B．96 C．72 D．144

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．函数的定义域是 .

14．的展开式中整理后的常数项等于 .

15．函数的最小正周期与最大值的和为 .

16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.

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三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题共12分）

已知=2，求

（I）的值； （II）的值．

18．（本小题共12分）

如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，

BC＝4， ∠A1B1C1＝90º

AA1＝4，点D是AB的中点，

（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；

（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求

（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；

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（II）的值.

20．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

21．（本小题满分12分）

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

求函数的解析式；

22．（本小题满分14分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1． B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D

7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

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13． 14．38 15． 16．500

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

17．（12分）解：（I）∵ tan=2, ∴ ;

所以=；

（II）由(I), tanα=－, 所以==.

18．（共14分）

（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴

DE//AC1，

∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；

（III）∵ DE//AC1，∴ CED为AC1与B1C所成的角，

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在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，

∴ ，

∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.

19.（12分）

解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又a2=，所以an=(n≥2),

∴ 数列{an}的通项公式为；

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（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴=

20．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：

ξ 0 1 2

P Eξ=0×+1×+2×=

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.

（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为

21解：

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由的图象经过P（0，2），知d=2，所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

22．（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，

整理得 ①

设①的两个不同的根，

②

是线段AB的中点，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

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（II）解法1：代入椭圆方程，整理得

③

③的两根，

于是由弦长公式可得

④

将直线AB的方程

⑤

同理可得

⑥

假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为

⑦

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于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

⑧

由⑥式知，⑧式左边=

由④和⑦知，⑧式右边=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（II）解法1及.

代入椭圆方程，整理得

③

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

⑤

解③和⑤式可得

不妨设

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∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）