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第4章最优资产组合选择

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证券投资组合优化组合习题解答

证券投资组合优化组合习题解答

第二章1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：资产1市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差8 1/4资产2市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差8 1/4资产3市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差8 1/4资产4市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差81/3求每种资产的期望收益率和标准差。

解答：111116%*12%*8%*12%424E =++= 10.028σ=同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。

证券A证券B证券C时间价格股利价格股利价格股利1 578 333 10682 7598368210883 3598 0.725436881.35 1240.40 4 4558 23828212285 2568386413586 590.725 639781.35 614180.42 7 260839261658A. 计算每个公司每月的收益率。

B. 计算每个公司的平均收益率。

C. 计算每个公司收益率的标准差。

D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。

E.计算下列组合的平均收益率和标准差：1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3CB 、1.2%2.94%7.93%A B C R R R === C 、4.295%4.176%7.446%A B C σσσ=== D 、()()()0.140.2750.77AB AC BC ρρρ===- E 、3、已知：期望收益标准差证券1 10% 5% 证券24%2%在P P R σ-_空间中，标出两种证券所有组合的点。

假设ρ=1 ，-1，0。

对于每一个相关系数，哪个组合能够获得最小的P σ？假设不允许卖空，P σ最小值是多少？解答：设证券1比重为w122222(1,2)1112111,212(1)2(1)w w w w σσσρσσ=+-+-1ρ= m i n 2%σ= 10w = 21w =1ρ=- m i n 0σ= 12/7w = 25/7w =0ρ= m i n 1.86%σ= 14/29w = 225/29w =4、分析师提供了以下的信息。

第四章习题

第四章习题

第四章第二节习题：一、判断题：1、资本成本通常用相对数表示，即用资本占用成本与资本取得成本之和除以筹资总额。

（）2、通常将资本成本视为投资项目的“最低收益率”，只要预期报酬率大于资本成本，投资项目就具有经济上的可行性。

（）3、一般而言，债券成本要高于长期借款成本。

（）4、综合资本成本是指企业全部长期资本成本中的各个个别资本成本的平均数。

（）二、单选：１、下列筹资方式中，一般情况下资本成本最高的是（）A普通股 B长期借款 C长期债券 D留存收益２、用于追加筹资决策的资本成本是（）A个别资本成本 B综合资本成本 C边际资本成本 D加权资本成本３、某公司债券票面利率为9%，每年付息一次，发行费率为1%，所得税率为33%，则该债券的资金成本（）A.6%B.6.09%C.9%D.9.09%4、某笔银行借款，年利息率为6%，筹资费用率为1%，所得税率为33%，则该笔银行借款的资金成本（）A.4.06%B.4.10%C.9.05%D.12.53%5、某公司普通股发行价为20元，筹资费率为5%，第一年发放现金股利1元，以后每年增长2%。

假定所得税率为33%，则该股票成本为（）A.5.53%B.7.26%C.7.36%D.12.53%三、多项选择题：１、能够在所得税前列支的费用有（）A长期借款利息 B优先股股利 C普通股股利D债券利息 E资本取得成本２、决定综合资本成本高低的因素有（）A个别资本的数量 B个别资本的权重 C个别资本成本D总资本的数量 E个别资本的种类３、下列项目中，计入债券资金成本的筹资费用是（）A.债券利息B.发行印刷费C.发行手续费D.债券注册费４、决定加权平均资金成本的因素是（）A.个别资金成本B.边际资金成本C.资金筹资渠道D.各种资金所占的权重四、计算题：1、F公司的贝他系数β为1.45，无风险利率为10%，股票市场平均报酬率为16%，求该公司普通股的资本成本率。

2、公司现有优先股：面值100元，股息率10%，每季付息的永久性优先股。

最优投资组合公式

最优投资组合公式

最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。

最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。

最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。

马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。

其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。

此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。

为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。

马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。

最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。

在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。

通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。

需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。

第四章资本资产定价模型

第四章资本资产定价模型


证券风险概念的进一步拓展
1. 系统风险（Systemic risk）
它是指由于公司外部、不为公司所预计和控制的因 素造成的风险。通常表现为国家、地区性战争或骚 乱（如9.11事件，美国股市暴跌），全球性或区域 性的石油恐慌，国民经济严重衰退或不景气，国家 出台不利于公司的宏观经济调控的法律法规，中央 银行调整利率等。
收 益 与 风 险 。
❖ CML是无风险资产与风险资产构成的组合 的有效边界。
CML的截距被视为时间的报酬 CML的斜率就是单位风险溢价
❖ 思考 ❖ 请在上图中标注出非市场组合及单个金融
资产的位置
定价模型——证券市场线（SML）
❖ CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差 联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益 率是如何与其自身的风险相联系。
同质期望
❖ 如果IBM股票在市场资产组合中的比例是 0.1%，那么，同质期望假定就意味着每一 投资者都会将自己投资于风险资产的资金 的0.1%投资于同方的股票。
分析：如果IBM股票没有进入市场资产组合， 则投资者对IBM股票需求为零，其价格将会下 跌，当它的股价变得异乎寻常的低时（回报提 高），投资就会考虑让其进入市场组合。
❖ 系统风险及其因素的特征：
（1）系统性风险由共同一致的因素产生。 （2）系统性风险对证券市场所有证券都有影响，包括
某些具有垄断性的行业同样不可避免，所不同 的只是受影响的程度不同。 （3）系统性风险不能通过投资分散化达到化解的目的。 （4）系统风险与预期收益成正比关系，市场只对系统 风险进行补偿。
n i 1
w i2
2
n
(
i 1
1 n
i
)
2
2 m
第四章资本资产定价理论

第四章资本资产定价理论

贝塔系数
E (r i) rfE (r M ) rf iM
式（4.7）
iM
iM
2 M
16
4.2 资本资产定价模型
证券市场线
1、一个组合的贝塔值只是它的各成分证券贝塔值的加权平均， 而权数即为各成分证券的比例。
2、每一个证券或每一证券组合，都必然证券市场线上。这说明， 有效组合既落在资本市场线上也落在证券市场线上，然而非 有效组合则落在证券市场线上，但位于资本市场线之下。
9
4.2 资本资产定价模型
➢ 市场组合 在均衡时，切点组合的比例将与市场组合的
比例相对应。市场组合是由所有证券构成的组合， 在这个组合中，投资于每一种证券的比例等于该 证券的相对市值。一种证券的相对市值简单地等 于这种证券总市值除以所有证券的市值总和。
10
4.2 资本资产定价模型
➢ 有效集
1、M点代表市场组合，rf代 表无风险利率， 有效组合 落在直线rf M上。这一线性 有效集也就是“资本市场 线”（CML)；
零贝塔值资产组合 收益率
iR zM iaMR Z
式（4.8）
21
4.2 资本资产定价模型
传统资本资产定价模型(CAPM)的改进
➢ 存在个人所得税的CAPM模型 传统CAPM模型是在不考虑所得税的情况下推导出来的，但是现实经济
生活中的税收却极为复杂。假定资本市场上存在股利所得税和资本利得税 （印花税较低，不予考虑）；税率只与投资者的收入有关，与证券的种类 无关 。
r i E ( r i) iG D P G D P iI R I R e i
35
4.4 套利定价理论与风险收益多因素模型
E(r)由什么决定？
在CAPM中，证券期望收益的定价由两部分组成：用来补偿货 币时间价值的无风险利率和风险溢价，它决定于基准风险溢价 乘以衡量风险的贝塔值，若将市场组合的风险溢价用RPM表示， 则CAPM公式可表示为：
国际金融学 (第四章)

国际金融学 (第四章)


２．货币分析法的基本理论
货币分析法的基本理论可用以下方程表示：
Ms＝ Md
（4.1.3）
Md ＝Pf (Y，i)
Ms ＝m ( D＋R )
（4.1.4）
（4.1.5）
其中： Ms 表示名义货币供给量， Md 表示名义货币
需求量， f (Y，i)表示实际货币存量需求， D表示国内基础 货币， R表示国外货币供应基数。
放经济运行中的作用，在国际金融中有重要地位。
（2）货币论是一种长期理论，而在短期内，价
格弹性不成立，货币需求也并不是稳定的。
第二节 国际资金流动的微观机理
上一节从宏观角度研究国际资金流动问题，对国际资
金流动与开放经济运行之间的关系进行分析。
以上分析对国际资金流动的考察是不全面的，因为它
对国际资金流动本身的运行机制缺乏深入细致的分析。
（3）资金完全不流动时，BP曲线表现为垂直线 由于当资金完全不流动时，整个国际收支账户 仅仅表现为经常账户，因此国际收支平衡就是经常
账户平衡，则BP曲线退化为CA曲线。由于CA曲线
为垂直线，故此时BP曲线也为垂直线。
说明：由于第三种情况相关内容以在前面作了
较为详细讨论，故后面凡涉及此情况，不再重复。
MPT）的开端 ；
William Sharpe（1963）提出了均值-方差模型的简
化方法－单指数模型（single-index model）；
William Sharpe（1964）、John Lintner及（1965）
Jan Mossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下
的定价模型—CAPM； Richard Roll（1976）对CAPM提出了批评，认为这 一模型永远无法实证检验； Stephen Ross（1976）突破了CAPM，提出了套利 定价模型（arbitrage pricing model , APT)； Fama（1970）提出了有效市场假说。
资产组合选择

资产组合选择


最大化几何平均收益率：考虑某位投资者为将来某一目的进行投资，如20年后退休，一个合理的标准是选择期末财富期望值最高的组合。Latane证明了这样的组合是具有最高几何平均收益率的组合。选择期望几何平均收益率最高的组合成为组合选择的一个标准，此标准既不需要效用函数的形式，也不考虑证券收益率的分布特征。
1
2
第三节其他组合选择模型
Geometric Mean Returns
如果收益率是正态分布，等价于
安全第一：此模型认为投资者使用简单的关注坏结果的决策规则。已经提出的有三种不同的安全第一标准。
第一种由Roy提出，认为最优组合应该是收益率低于某一特定水平的可能性最小的组合：
面对资本配置线所给出的可行的投资机会集合，投资者必须在其中选择出一个最优的资产组合，这选择需要基于投资者对风险与收益之间权衡关系的偏好。这种偏好反映投资者的风险厌恶程度，用其效用函数来表示。从直观图形上，我们可以使用无差异曲线工具来说明。在期望收益-标准差平面上，无差异曲线是从左下到右上的曲线，由效用值相同的所有资产组合构成。无差异曲线向左上方平移，表示效用值增加。风险厌恶程度高的投资者，其无差异曲线越陡。
03
实际上投资者的借款的成本会超过其贷出的利率7%，假设借入的利率为9%，则资本配置线将在P点处弯曲。
04
第一节风险资产与无风险资产的资本配置
The Opportunity Set with Differential Borrowing and Lending Rates
第一节风险资产与无风险资产的资本配置
可行的投资机会：期望收益-标准差所有组合的直线
3
1
2
4
由y份风险资产和（1-y）份无风险资产组成的整个资产组合C的收益率为：
第4章 最佳投资组合的选择

第4章 最佳投资组合的选择

i 1
VAR( R) 1% 6% 32% 6% 6% 36% 13% 6% 32%
2 2 2
0.3136%
而其标准差为：
(R) VAR(R) 0.3136% 5.6%
8
也可以使用历史数据来估计方差（即样本 方差） 设单一证券的日、月或年实际收益率为 （t=1，2，· · · ，n），则计算方差的公式为：
（Capital Allocation Line）
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所 增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因
此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
二、两个风险资产构成的资产组合
rp rP wB rB wS rS

通过在无风险资产和风险资产之间合理分 配投资基金，有可能建立一个完整的资产 组合。

假设分配给风险资产P的比例为w 分配给无风险资产 F的比例是(1-w）
6-25
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

期望收益
投资比例 方差 标准差 0
无风险资 产 风险资产
1-w
rf
0
w
E(r)

2 r
r
2 p 2 B 2 B 2 S 2 S
7-32
相关系数: 可能的值
1,2值的范围
+ 1.0 > > -1.0 如果= 1.0, 资产间完全正相关 如果= - 1.0, 资产间完全负相关
7-33
两个风险资产的组合
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和
一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则 投资组合的期望收益和标准差为：
电大金融学课后练习第4章-信用与信用体系

电大金融学课后练习第4章-信用与信用体系

第4章信用与信用体系思考题1、列举生活中遇到的信用形式和信用问题。

信用形式是信用关系的具体表现，按照借贷主体的不同，现代经济生活中的基本信用形式包括商业信用、银行信用、国家信用、消费信用。

其中，商业信用和银行信用是两种最基本的信用形式。

按照现代社会信用运作的主体来划分，一般地可以把信用形式简单分为个人信用、企业信用。

政府信用三种形式。

但因企业信用包含的内容比较复杂，所以又可在企业信用中包含银行信用。

1.个人信用是指个人通过信用方式，向银行等金融机构获得自己当前所不具备的预期资本或消费支付能力的经济行为，它使得个人不再是仅仅依靠个人资本积累才能进行生产投资或消费支出，而是可以通过信用方式向银行等金融机构获得预期资金或消费支付能力。

个人信用的基本特征是利率较高，风险较大。

一般情况下，个人信用的活跃程度同一个国家、一个地区的金融服务发达状况成正比。

2.企业信用(也称商业信用)'企业信用是企业在资本运营、资金筹集及商品生产流通中所进行的信用活动。

企业信用也可称商业信用，是指工商企业之间在商品交易时，以契约(合同)作为预期的货币资金支付保证的经济行为，故其物质内容可以是商品的赊销，而其核心却是资本运作，是企业间的直接信用。

企业信用在商品经济中发挥着润滑生产和流通的作用。

企业信用的信用工具形式主要是商业票据。

在企业信用中又包括银行信用。

银行信用也是一种企业信用，是以货币资本借贷为经营内容，以银行及其他金融机构为行为主体的信用活动。

银行信用是在商业信用基础上发展起来的一种间接信用。

银行信用与企业商业信用相比。

具有以下差异:(1)作为银行信用载体的货币，在它的来源和运用上没有方向限制，既可以流入，也可以流出。

(2)由于金融交易的数量和规模一般都比较大，因此现代银行信用较之企业信用发展更快。

银行信用产生以后，在规模、范围、期限上都大大超过企业的商业信用，成为现代市场经济中最基本的占主导地位的信用形式。

3.政府信用在信用经济的链条中，政府信用是极其重要的一环。

《公司理财》第4章-风险衡量

《公司理财》第4章-风险衡量


i cov(Ri ,RM )

2 M
Ri表示第i个证券的期望收益率；
RM Rf 表示市场组合的风险溢价；
i风险溢价的系数；
cov(Ri ,RM )代表第i种风险资产与市场组合收益率之间的协方差；

2 M
市场组合的方差；
说明： （1）单个证券的期望收益率由 两部分组成，即无风险利率和 风险溢价组成； （2）风险溢价的大小取决于 i 的大小； （3）i 度量单个证券的系统性 风险，非系统性风险没有风险 补偿；
2、投资组合风险的衡量
（1）什么是投资组合？ 当投资者的投资目标是多个或一组金融资产时，表示投
资者在进行组合投资，此时投资者所拥有的金融资产称 为“投资组合”。 （2）投资组合的期望报酬：是投资组合中各单项资产 期望收益率的加权平均。 （3）投资组合的风险衡量 投资组合的风险并不等于组合中单个项目风险的加权平 均。它除了与单个项目的风险有关之外，还与组合中单 个项目的协方差有关。原因: 组合中各项资产之间的关 联性所导致的。
第4章 风险衡量
本章教学内容
4.1 风险的数学表达
4.2 投资组合的选择
4.3 风险与收益理论 -资本资产定价模型
4.4 风险与收益理论 -套利定价理论
2
4.1 风险的数学表达
持有资产，将来可能获得一定的收益，但是，也 许要承担资产价值的损失，即资产将来的价格变 化具有不确定性，这种不确定性被称为风险。从 数学角度看，风险表示各种结果发生的可能性。
21
4.1.3资本资产定价模型(CAPM)
β系数的含义
β 值可正可负，其绝对值越大，说明单项证券收益率的波 动程度越高。
当市场组合的β 系数等于1时，反映所有风险资产的平均 风险水平。
投资学之最优投资组合与有效边界

投资学之最优投资组合与有效边界


MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn

投资学课程教案

陇东学院课程教案
2012-2013学年第二学期
课程名称：投资学
授课专业：财务管理专业
授课班级： 2011级财管班
主讲教师：齐欣
所属院系部：经济管理学院
教研室：应用经济学教研室
教材名称：投资学
出版社、版次：中国人民大学出版社
第一版
2013年3月3日
陇东学院课程教案(首页)
陇东学院课程教案
使计算投资组合的期望收益率及期望收益率的方差。

参考资料（含参考书、文献、网址等）：
（1）是否有人会有兴趣投资股票B？
如果无风险收益率是3%，计算收益-变动比率并排序。

2.A先生投资5万元申购一只LOF基金—南方高增长，他采取了场外申购，即通过银行柜台等申购方式。

投资人A打算在天成基金和另一家以上证综指业绩为目标的基金中选择一家进行投资。

如果仅仅参考。

投资组合理论及应用 第二版 第四章 简化的投资组合选择模型

单指数模型-市场模型
• 模型的提出 • 指标估计
单指数模型与风险分散 单指数模型的参数估计 多指数模型
一、单指数模型的提出 -单因素模型： 收益表达式 期望收益率 方差 协方差
注意假设条件！
ri =E(ri )+ ßi m+ e i ßi = 公司的敏感系数 m = 宏观1
N
a P
1 N
ai
i 1
N
eP
1 N
ei
i 1
2 p
P2
2 M
2 (eP )
•风险分散程度
R2
=
i
2
2 m
2 i
cov(Ri ,
2 m
Rm
)
2
2 m 2 i
im i m
2 m
2
2 m
2 i
2 im
已知市场指数方差为0.4，计算下面两种资 产构成的组合的方差。
的实际马科维茨方差是多少？ Cov(Ra,Rb)= 0.02 Cov(Ra,Rc)= 0.035 Cov(Rc,Rb)=0.035
估计历史贝塔值
• 最小二乘法：推导
贝塔值的预测能力
证券特征线方程
收益表达式： 期望收益率和方差： 两指数模型
假设有两种股票A、B，两种股票收益率对市场股 价指数收益率（其方差为5%）、通货膨胀率（其 方差为3%）的敏感程度b系数和残差如下表所示：
股票
b1
b2
残差
A
0.8
1.2
0.04
B
1.2
0.4
0.05
假设投资者以0.6:0.4的比例将资金投资于这两种股 票上，那么该组合的方差是多少？
单指数模型的收益和风险 投资组合的系统性风险与非系统性风险 单指数模型的特征线方程 两指数模型的收益和风险

第4章最优资产组合..

4 最优资产组合选择
2018/10/5
1
5.3 资产组合的收益与风险

一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家 为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气 或为雨季或为旱季，概率各为0.5，两家公司在不 同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。
雨季 防晒品公司 雨具公司
2018/10/5
旱季
20%
2
将平方项展开得到
2018/10/5 5
E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))] w E (ri E (ri ))
i 1 n 2 i 2 n n i 1 j 1,i j
2

2018/10/5 9
无风险资产

只有政府可以发行无违约风险的债券。

实际中无风险资产是一种指数化债券，只有在投 资期限等于投资者愿意持有的期限时才能对投资 者的实际收益率进行担保。

短期国库券被看做无风险资产。

实际操作中，货币市场基金也被看做无风险资产。
6-10
一、单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
i 1 j i , j 1
WW
i j
n
ij
wi w j ij
i , j 1
n
证明：D(rp ) E[rp E (rp )]
n i 1
2 n
E[ wi ri E ( wi ri )]
i 1
2
E[ w1r1 w2 r2 ... wn rn w1E (r1 ) w2 E (r2 ) ... wn E (rn )] E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]2

《投资学》第四章 投资组合的选择

• wmin(D)=[E2-DEρDE]/[D2+E2-2 DEρDE] 13
举例
• 令2D=10，2E=15，ρDE=-0.5代入上式，有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wE=1-0.567=0.433 • 这个最小化方差的资产组合的方差为
• 2min=(0.567210)+(0.433215)
•
+(20.5670.433-6.123)=3.02
• 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。
• 这一组合的期望收益为：
• E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33%
14
15
托宾的收益风险理论
托宾(James Tobin)是著名的经济学家，1955-56年，发 现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产 的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上 投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资 产和现金的。
一、确定最优风险资产组合 ——证券选择决策
确定最优风险资产组合:决定每种风险资
产占风险资产组合的比例，从而达到投资效 用最大化。
（非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降低，因此投 资者会根据资产的期望收益与方差情况，来选择组合中的风 险资产，并考虑自己的风险厌恶程度）
12
补充：最小方差的风险资产组合的 比例推导
28
总结：最优风险资产组合的确定
• E(r)
–
•
I1
B（股票）
•
I2
•
N I3
•
A（债券)
I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组

第4章_最优资产组合选择

– 投资者没有差别（例如：贫富、有消息来源 与没有的、年轻的与年长的）
– 静态预期收益与方差——对收益和波动没有 预测（例如：金融分析、会计信息、宏观经 济变量在制定投资决策时不发挥任何作用）
一些需要思考的重要问题
• 证券分析能提高资产组合的业绩么？ • 分析师的观点怎么介入证券选择？
（二）风险厌恶与资产配置
分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合

假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-
E2
rS

2 B

E
rB

E
rS
E rS E rB 2
S ,B S B
• 情形一， S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们
容易得到：

2 P

w S

(1
w) B 2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：
U 0, U 0

•
在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲
线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无
差异曲线的效用水平。
•
给定投资者的效用函数 U U (, 程可以分为两个阶段：
•
首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协

第4章 资产组合理论

Ex1 Ex2 Ex Ex n
1 2 n
( ij )nn
Var ( x) E ( x )( x ) '
设投资组合投资于第i种证券的比例为
n
E (r ) pi ri
ri 是该资产收益的第 i 状态的取值 pi 为资产收益取值 ri 的概率
E (r ) 为资产的期望收益
i 1
⒉ 收益的方差
pi ri E (r )
2 i 1
n
2
3. 市场资产组合的收益和风险特征 收益的数学期望和方差－协方差矩阵分别为：
1 n n 1 2 ii n i 1 n
n 1 n 1 2 ii lim ( ' x) nlim 2 n n n i 1

四、 最小方差投资组合
设 T (t1 , t 2 ,t r ) ' 为一向量，f (T ) 是T的函数 定义
传统的资产组合管理而言，其过程主要 包括以下几个步骤：
(一) 确定所要建立的投资组合的目标 （二）选择证券、构建资产组合 （三）对组合进行监视和调整 （四）对组合的业绩进行评估
三、现代资产组合理论
在一般情况下，资产可分为实物资产和金融资产 两大类。 本章后面的内容中，如果不加以特别的注明，所涉 及到的“资产”都指的是“金融资产”。 现代资产组合理论有狭义和广义之分。
E (U ) f E (r ),
2

（二）关于资本市场的假设
⒈ 资本市场是有效的
⒉ 资本市场上的证券是有风险的
⒊ 每种证券都是无限可分的，只要投资者愿意， 可以购买少于一股的股票 ⒋ 资本市场的供给具有无限弹性 买卖行为不影响市场 ⒌ 市场允许卖空
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➢
同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的
额关系式：
2 p
aE2 (r%p )
bE(r%p ) c
其中：
a
2 S
E
2 B
2S ,B
r%S E r%B
S
2Bbຫໍສະໝຸດ 2Er%S 2 S
2E
r%B
2 B
E r%S
2 E r%S E r%B 2
E
r%B
S ,B S B
不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应
着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置
线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。
➢
我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标
准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的
一条线，我们称之为最有资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风
险资产组合。
第二节 最优资产组合选择
➢ 上一节中我们确定了市场的投资可行集。投资者接下来就 是确定在可行集中进行资产组合的选择。
➢ 对投资者的个人特征和行为准则做几个假定：
❖ 投资者都是风险规避的，即在收益相同的条件下，投资者 会选择风险最低的投资组合。
❖ 不同投资者无差异曲线的形状不同，与效率边界的切点位置也不同。对于风 险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产 组合。
c
E2
r%B
2 S
E2
r%S
2 B
E
r%B
E
r%S
E r%S E r%B 2
S ,B S B
❖ 情形一， S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们
容易得到：
2 P
w S
(1
w) B
2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
E
r%p
E r%S
S
E r%B
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合
➢
假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-
w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可
行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。
➢
随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是
❖
给定效用水平 ，在期望值-标准差平面中 U U (, ) 就是投
资者的无差异U曲线。
❖
对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用
水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：
U 0, U 0
❖
在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲
线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无
差异曲线的效用水平。
❖
给定投资者的效用函数 U U (, ) ，当风险和期望的边际替代
率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。
➢ 一个无风险资产和一个风险资产
❖ 此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线。给定 投资者的效用函数，我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线，得到 投资者的最优投资组合。
线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分： ❖ 在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部
分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
➢
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且
投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：
E r%p wE r%S (1 w)E r%B
2 p
w2
2 S
(1
w)2
2 B
2w(1
w)Cov(r%S , r%B )
w2
2 S
(1
w)2
2 B
2w(1
w)S,B S B
❖ 投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值、方差 以及协方差。
❖ 最有资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合，换 句话说，投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化 原则。
一、不同市场环境下最优资产组合的选择
➢
定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即
U U (, ),其中 E r%, Var(r%)
❖ 不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风险和收益之间的权衡也存在 差异，对于风险规避程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到无风险 资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。
➢ 两个风险资产
❖ 当市场中存在两个风险资产时，供投资者选择的有效资产组合就是上图中的 双曲线上半部分的效率边界。随着无差异曲线向左上方移动，两者相切的切 点即为最优资产组合。
B
( P
B)
E
r%B
❖ 情形二，S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可
以得到：
2 P
w S
(1
w) B 2
E
r%p
EEr%Sr%SSSEEBBr%Br%B((S
B ) E r%B , S B ) E r%B
当w B 时 S B
,当w B 时 S B
❖ 情形三， 1 S,B 1 此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲
E
r%p
rf
E
r% rf
p
上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时
候，资产组合所有可能的风险-收益集合，又称为投资组
合可行集。
❖
E r%p rf
E
r% rf
p
在“期望收益-标准差”平面中对应着一
条直线，穿过无风险资产 rf 和风险资产r，我们称这条直线为
资本配置线（Capital Allocation Line）
第4章 最优资产组合选择
第一节 资产组合的有效边界
一、一个无风险资产与一个风险资产的组合
➢ 假设投资者投资到风险资产的财富比例为w，投资到无风 险资产的财富比例为1-w，则投资组合的期望收益和标准 差可以写成如下形式：
E r%p wE r% (1 w)rf , p w
➢ 进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：
❖ 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加 的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们 有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
❖ 一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无 风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此 时，资本配置线就变成一条折线。
二、两个风险资产的组合