高一数学下册期末考试

成都七中高2026届高一下期期末考试数学试题一.单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2i z =-,则z z -=（）A.B.2iC.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据共轭复数写出z ，即可求出模长.【详解】2i z =- ，2i z ∴=+，即(2i)(2i)2i 2z z -=+--==.故选：C.2.若2,a a = 与b 夹角为60，且()b a b ⊥- ，则b = （）.A.32B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直，结合数量积的定义即可列方程求解.【详解】由()b a b ⊥- ，得20b a b ⋅-= ，故22cos600b b ⋅-=，故1b = 或0b = ，若0b = ，则,a b共线，不满足题意，故1b = ，故选：B3.已知tan 2α=，α为锐角，则πsin()4α+=（）. A.1010B.1010 C.31010-D.31010【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式把πsin()4α+展开，然后利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】πππ2sin(sin coscos sin (sin cos )4442ααααα+=+=+ ,，,α为锐角，sin 0,cos 0αα∴>>，sin tan 2cos ααα== ，sin 2cos αα∴=，又22sin cos 1αα+= sin ,cos 55αα∴==，即35sin cos 5αα+=，得0π2sin()31n cos 4201ααα+=+=.故选：D.4.将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴可能为（）.A.5π12B.π12C.5π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】根据平移伸缩得到三角函数解析式再求对称轴即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()1πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则对称轴为πππ,Z 232x k k +=+∈,所以对称轴为π2π,Z 3x k k =+∈，当0k =时对称轴为π3x =.故选：D.5.已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，且m αβ⋂=，给出下列四个命题:①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥③若,αβγβ⊥⊥，则//αγ④若,//n m n γβ⋂=，则//γα则上述命题中正确的个数为（）.A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用直线、平面间的位置关系判断即可.【详解】对于①，若,//m m n αβ⋂=，则如图所示，第一种情况，n 在,αβ外，可得//n α或//n β；第二种情况，n 在β内，可得//n α；第三种情况，n 在α内，可得//n β，综上所述，//n α或//n β，故①正确；对于②，若,m m n αβ⋂=⊥，则n 与α相交或在α内，n 与β相交或在β内，故②错误；对于③，若m αβαβγβ⊥⋂=⊥，，，则,αγ相交或//αγ，故③错误；对于④，若,,//m n m n αβγβ⋂=⋂=，则//γα或γ与α相交，故④错误.故选：B.6.同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数之差绝对值小于2的概率为（）.A.23B.59C.49D.13【答案】C 【解析】【分析】|根据古典概型计算即可.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数分别为,x y ，共有36种情况，点数之差绝对值小于2的情况有()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5共16种点数之差绝对值小于2的概率为()1642369P x y -<==.故选：C.7.羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色.碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁.现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台1111ABCD A B C D -，如图，已知该棱台的体积为311224m 8m 4m AB A B ==，，，则二面角1A AB C--的正切值为（）.A.3B.2C.D.32【答案】A 【解析】【分析】先求出正四棱台的高，再取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，即可求解．【详解】解：设正四棱台的高为h ，则(221843V h =++，得()12246416323h =++，得6h =，取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，如图所示：取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，则184=6,22MN OO h EN -====，得6tan 32MN MEN EN∠===，故选：A8.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知160a A == ，，设O G ，分别是ABC 的外心和重心，则AO AG ⋅的最大值是（）A.12B.13 C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，求得212AO AC AC ⋅= ，212AO AB AB ⋅= ，化解得221166AO AG AB AC +=⋅ ，再通过余弦定理及均值不等式即可求解.【详解】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，因为21|||cos |||||2AO AC AO AC OAC AH AC AC ⋅=⋅∠=⋅= ,同理21|||cos 2|AO AB AO AB OAB AB ⋅=⋅∠= ,则()221332AO AG AO AD AO AB AC ⎛⎫⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭()()222211113666AO AB AC AB b c =⋅+=+=+，在ABC 中，1,60a A ==︒，由余弦定理得2222cos60a b c bc ︒=+-，即221b c bc +=+，由均值不等式，2212bc b c bc +=+≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==等号成立），所以()()()2211111116663AO AG c b bc ⋅=+=+≤+= .故选：B．二.多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知()()1,,2,3a b ==+λλr r，则（）.A.“1λ=”是“a ∥b”的必要条件B.“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件C.“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件D.“12λ=”是“a b ⊥ ”的充分条件【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ：根据向量平行的坐标表示结合充分必要条件分析判断；对于CD ：根据向量垂直的坐标表示结合充分必要条件分析判断.【详解】因为()()1,,2,3a b ==+λλr r，对于选项AB ：若a ∥b，则()23+=λλ，解得1λ=或3λ=-，可知a ∥b，等价于1λ=或3λ=-，若a ∥b ，不能推出1λ=，所以“1λ=”不是“a ∥b”的必要条件，故A 错误；若3λ=-，可以推出a ∥b ，所以“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件，故B 正确；对于选项CD ：若a b ⊥，则230++=λλ，解得12λ=-，可知a b ⊥ ，等价于12λ=-，若a b ⊥ ，可以推出12λ=-，所以“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件，故C 正确；若12λ=，不能推出a b ⊥ ，“12λ=”不是“a b ⊥ ”的充分条件，故D 错误；故选：BC.10.已知一组样本数据()12201220,,,,x x x x x x ≤≤≤ 下列说法正确的是（）.A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.若样本数据的方差2022112520i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和为100D.若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由200.612⨯=，可得第60百分位数为12132x x +，错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，正确；对于C ，由()11222202011252020i i i i s x x x ===∑-=∑-，则20202221150020i i i i x x x ==-=-∑∑，所以5x =,故这组样本数据的总和等于20100x =，正确；对于D ，若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍，正确．故选：BCD ．11.如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，2,4,AB BC AA '===N 为棱C D ''中点，1,2D M P '=为线段A B '上一动点，下列结论正确的是（）.A.线段DP 长度的最小值为655B.存在点P ,使AP PC +=C.存在点P ，使A C '⊥平面MNP D.以B 为球心，176为半径的球体被平面AB C '所截的截面面积为6π【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，在三角形中，由垂线段最短即可计算得到；对于B ，通过平面翻折，化空间到平面，利用两点之间线段最短计算出AP PC +的最小值，再与C ，依题意作出经过三点,,M N P 的平面，再证明A C '与平面垂直即得；对于D ，利用球的截面圆的性质，先通过等体积求得球心到平面的距离，再由垂径定理求出截面圆半径即得.【详解】对于A ，如图1，因A B A D ''===,BD =,故当DP A B ⊥'时，线段DP 长度最小，此时由等面积，1122DP ⨯⨯，解得655DP ==，故A 正确；对于B ，如图2，将平面A D CB ''旋转至平面11BC D A ',使之与平面A AB '共面，连接1AC 与A B '交于点1P ，此时1111AP PC AC +=为最小值.sinA BA '∠==,190A BC '∠=,故1cos cos(90)sinABC A BA A BA ''∠=∠+=-∠=-由余弦定理，2221122222cos 88(8AC ABC =+-⨯⨯∠=-⨯-=+,故1AC =>因此不存在这样的点P ，使AP PC +=B 错误；对于C ，如图3，取131,,22B E B F A G =='=''，连接FG 交A B '于P ，下证AC MN '⊥.连接D C ',由2D N D DD M DC''=='可得ND M D DC '' ,则得D C MN '⊥,因D A ''⊥平面DCC D '',因MN ⊂平面DCC D '',则D A MN ''⊥,因D C D A D ''''⋂=,,D C D A '''⊂平面A D C ''，故MN ⊥平面A D C ''，又A C '⊂平面A D C '',故A C MN '⊥.同理，A C EN '⊥,因MN EN N ⋂=,,MN EN ⊂平面MEN ,故A C '⊥平面MEN .下证//EF GM .取线段A G '的三等分点,J K ,取A D ''的中点H ，连接,,,EH HJ JF D K ',易证////,EH A B FJ EH A B FJ ''''==,则得EFJH ,得//EF JH ,易得//JH D K ',因//,D M GK D M GK ''=,得D MJK ' ,得//D K GM ',故得//EF GM .同理可得//MN FG ，因此,,,,M N E F G 五点共面．由A C '⊥平面MEN 可得A C '⊥面MNEFG .所以存在这样的点P 使A C '⊥面MNP ，故C正确；对于D ，如图4，以点B 为球心，176为半径的球面被面AB C '所截的截面为圆形，记其半径为r，则r =（*），其中d 为点B 到平面AB C '的距离．由B ABC B AB C V V --''=可得，1133ABC AB C S BB S d ''⨯⨯=⨯⨯ ，则122442132d ⨯⨯⨯==⨯，代入（*），得52r =，所以截面面积225ππ4S r ==，故D 错误．故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查多面体中与动点有关的距离最值，截面性质问题，属于难题.解题关键在于处理距离和的最小值常常需要平面翻折，截面问题，一般应先作出截面，再根据条件分析截面性质，对于球的截面圆，常通过垂径定理求解.三.填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.习主席曾提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断，为响应国家号召，农学专业毕业的小李回乡创业，在自家的田地上种植了,A B 两种有机生态番茄共5000株，为控制成本，其中A 品种番茄占40%.为估计今年这两种番茄的总产量，小李采摘了10株A 品种番茄与10株B 品种番茄，其中A 品种番茄总重17kg ，B 品种番茄总重23kg ，则小李今年共可收获番茄约_______kg .【答案】10300【解析】【分析】求解两种番茄的种植株数，利用比例即可求解.【详解】由题意，知A 品种番茄共40%5000=2000⨯株，B 品种番茄3000株，故共可收获番茄约172320003000103001010⨯+⨯=kg ，故答案为：1030013.已知三棱锥A BCD,ABC - 是边长为2的等边三角形，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______.【答案】28π3##28π3【解析】【分析】判断出等腰直角三角形BCD △的直角，根据面面垂直的性质说明四边形1O EGO 为矩形，求出相关线段长，即可求得三棱锥外接圆半径，即可求得答案.【详解】由于ABC 是边长为2的等边三角形，故2BC =，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，假设BDC ∠为直角，则BD DC ==112BCD S ==△不合题意；故DBC ∠或DCB ∠为直角，不妨设DBC ∠为直角，则2BD BC ==；设ABC 的中心为G ，E 为BC 的中点，则,,A G E 共线，且AE BC ⊥，由于平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，故⊥AE 平面BCD ，设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，1O 为DC 中点，即为BCD △的外接圆圆心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BCD ，则1OO AE ∥，连接1OG,O E ，则OG ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ,则OG AE ⊥，又⊥AE 平面BCD ，1O E ⊂平面BCD ，则1AE O E ⊥，则四边形1O EGO 为矩形，则112122323OG O E DB ,AG ====⨯=,故22273OA OG AG =+=，故三棱锥A BCD -的外接球表面积为228π4π3OA ⨯=，故答案为：28π314.在ABC 中，43AB AC AB AC P ⊥==，，，为斜边BC 上一动点，点Q 满足2PQ =，且AQ mAB nAC =+，则2m n +的最大值为______________.【答案】1323+【解析】【分析】取AB 中点D ，连接CD 交AQ 于点E ，由平面向量的线性运算得2AQ m n AE+=，过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=，如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值，即可求解．【详解】AB 中点D ，由题可知点Q 点在以P 为圆心，以2为半径的圆上，则2AQ mAB n AC mAD n AC =+=+；连接CD 交AQ 于点E ，()1AE AD AC λλ=+-，则()()1AQ AQ AQ AE AD AC AE AEλλ=⋅=⋅+- ，故2AQ m n AE+=．过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=．如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值．则3tan tan 2∠=∠=BFQ ADC，得sin ∠=BFQ ，得2,223sin 33BQ AB BF BF m n BFQAD +===+==∠．故答案为：1323+四.解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是1AA 的中点，点F 在AB上.（1）当F 是AB 的中点时，证明:平面//EFO 平面11A D C ;（2）当F 是靠近B 的三等分点时，求异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3015．【解析】【分析】（1）利用OF OE ，分别为11,BC A C A D 的中位线，得到//OF 平面11A D C ，//OE 平面11A D C ，借助面面平行的判定定理证明即可;（2）由1//OE A C 可知EOF ∠或其补角为异面直线FO 与1AC 所成角，借助余弦定理求出即可.【小问1详解】由正方体1111ABCD A B C D -可知，,O E 是1,AC AA 中点，所以1//,OE A C 因为11A D ⊂平面11,A D C OE ⊄平面11A D C ，所以//OE 平面11A D C .因为F 是AB 中点，O 是AC 中点，所以OF 为ABC 的中位线，故11////OF BC A D ．又由于1AC ⊂平面11,A D C OF ⊄平面11A D C ，所以//OF 平面11A D C ．又,,OE OF O OE OF =⊂ 平面EFO ，故平面//EFO 平面11A D C ．【小问2详解】由1//OE A C 知，异面直线FO 与1AC 所成角即为EOF ∠或其补角．由于1AA ⊥平面,,ABCD AB AO ⊂平面ABCD ，则1AA 与,AB AO 都垂直，所以90EAF EAO ∠=∠=︒，由题意得4AF =，在Rt EAF △中，由勾股定理可得5EF =．易得3AO AE ==，在Rt EAO △中，由勾股定理可得EO =在OAF △中，45CAB ∠=︒，由余弦定理得FO ==，在EOF 中，由余弦定理可得2222cos EF EO FO EO FO EOF =+-⋅⋅∠，代入解得cos 015EOF ∠==>．所以异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值为3015．16.2024年4月26日，主题为“公园城市、美好人居”的世界园艺博览会在四川成都正式开幕，共建成113个室外展园，涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格，吸引了全球各地游客前来参观游玩.现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了50名游客，统计他们的参观时间(从进入至离开该展园的时长，单位:分钟，取整数)，将时间分成[)[)[]455555658595 ，，，，，，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值;（2）由频率分布直方图，试估计该展园游客参观时间的第75百分位数(保留一位小数);（3）由频率分布直方图，估计样本的平均数¯(每组数据以区间的中点值为代表).【答案】（1）0.015a =；（2）78.3（3）69x =．【解析】【分析】（1）应用频率和为1求参数；（2）应用频率分布直方图求百分位数步骤求解；（3）应用频率分布直方图求平均数步骤求解.【小问1详解】由样本频率分布直方图可知()0.0120.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =；【小问2详解】样本频率直方图前三组频率之和为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，前四组频率之和为()0.0100.0250.0350.015100.850.75+++⨯=>，所以样本数据的第七十五百分位数在第四组内，设其为x ，则()750.0150.700.75x -⨯+=，解得78.3=x ，所以样本数据的第七十五百分位数为78.3．由样本估计总体，估计该展园游客参观时间的第七十五百分位数也为78.3；【小问3详解】0.0110500.03510600.02510700.01510800.0151090x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，计算可得，样本的平均数69x =．17.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下:在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球;若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为23，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.（1）求甲至少赢1个回合的概率;（2）求第二回合中有选手得分的概率;（3）求甲乙两人在比赛中平局的概率.【答案】（1）2627（2）59（3）427．【解析】【分析】（1）根据对立事件概率求法及乘法公式结合条件即得；（2）结合对立事件和独立事件，应用和事件求概率；（3【小问1详解】设事件=i A “第i 回合甲胜”，事件M =“甲至少赢一回合”，故M =“甲每回合都输”．i A 为i A 对立事件，()23i P A =，故()13i P A =．()()()()()()31231231261111327P M P M P A A A P A P A P A ⎛⎫=-=-=-=-=⎪⎝⎭，故甲至少赢1个回合的概率为2627．【小问2详解】设事件N =“第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =⋃，且12A A 和12A A 互斥，则()()()()()()()1212121259P N P A A P A A P A P A P A P A =+=⋅+⋅=，故第二回合有人得分的概率为59．【小问3详解】设事件Q =“甲乙两人平局”，由题可知，只有0:0与1:1两种情况，因此123123Q A A A A A A =⋃，故()()()()()()()()()123123123123427P Q P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A =+=+=，故甲乙两人平局的概率为427．18.记ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知4,2,sin sin 2sin a c a A c C b B ==+=，D 是线段AC 上的一点，满足13AD AC =，过D 作一条直线分别交射线BA 、射线BC 于M N 、两点.（1）求b ，并判断ABC 的形状;（2）求BD 的长;（3）求BM BN ⋅的最小值.【答案】（1）b =，钝角三角形（2）2133（3）409【解析】【分析】（1）由正弦定理得b =cos 0A <，得到π2A >，ABC 是钝角三角形；（2）,BA BC 可作为一组基底，求出5cos ,cos 8BA BC B 〈〉== ，根据题目条件得到2133BD BA BC =+ ，平方后2BD，从而求出答案；（3）设,BM xBA BN yBC ==，根据向量共线得到()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈ ，由向量基本定理得到()21,313x y t t ==-，表达出()291BM BN BA BC t t⋅=⋅-⋅ ，其中50BA BC ⋅=>，由基本不等式求出最小值.【小问1详解】由正弦定理得，222sin sin 2s n 2i a a c A c C b B b ⇒+=+=，又4,2a c ==，解得b =．又因为22220b c a +-=-<，故222cos 02+-=<b c a A bc，因为0πA <<，故π2A >，所以ABC 是钝角三角形．【小问2详解】由平面向量基本定理，,BA BC可作为一组基底向量，且有2,4BA BC == ，2225cos ,cos 28a cb BA BC B ac+-〈〉===．由于13AD AC = ，所以()13BD BA BC BA -=- ，故2133BD BA BC =+ ．BD ==3===；【小问3详解】由题意可设,BM xBA BN yBC == ．由于,,M D N 三点共线，设MD tMN =，01t <<，故()BD BM t BN BM -=- ，故()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈．所以()21133BD t x BA ty BC BA BC =-⋅+⋅=+ ，由平面向量基本定理，解得()21,313x y t t ==-，所以()21,313BM BA BN BC t t ==-．因此()()21231391BM BN BA BC BA BC t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭⎝⎭，而||||cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，其中()11122t t t t -+-≤=，当且仅当1t t -=，即12t =时，等号成立，因此当12t =时，409BM BN ⋅= 为最小值．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.19.如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，90ABC ∠= ，四边形11ABB A 是菱形，D 为AB 中点，1A D ⊥平面ABC ，点1A 到平面11BCC B 1AA 与1CC 的距离为2.（1）求证:CB ⊥平面11ABB A ;（2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值;（3）若E F ，分别为1AA AC ，的中点，求此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）53412．【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；（2）先根据线面垂直判定定理证明线面垂直，几何法得出线面角，再计算得出正弦值；（3）先找到截面，再计算截面即可.【小问1详解】因为1A D ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，故1A D BC ⊥．又由90ABC ∠=︒，即1,,AB BC AB A D D AB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,1A D ⊂平面11ABB A ，因此BC ⊥平面11ABB A ．【小问2详解】由于菱形11ABB A ，且1A D 为AB 的垂直平分线，因此可知1A AB △和11B A B 均为等边三角形．由BC ⊥平面11,ABB A BB ⊂平面1ABB A ，可得1BC BB ⊥，斜三棱柱进一步可得11B BCC 是矩形．此时作1111,A P BB AQ CC ⊥⊥，连接1,,PQ PC AC ．由题知，112,AQ A P =⊂平面11ABB A ，可得111,BC A P BC BB B BB ⊥⋂=⊂，平面11,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，因此1AP ⊥平面11BCC B ，因此由题知，1,A P PQ PC =⊂平面11BCC B ，所以也有11,A P PQ A P PC ⊥⊥．因此，1ACP ∠为1AC 与平面11BB C C 所成角．在1Rt A PQ △中，1PQ ==，由矩形可知1BC PQ ==．由于1A P =1B AB △中，可以解得12,BB P =为1BB 中点，1BP =．所以，在Rt BCP △中，PC =1Rt ACP △中，1AC =．因此，111115sin ,5A P ACP AC AC ∠===与平面11BB C C所成角的正弦值为5．【小问3详解】延长1,EF C C 交于点M ，连接1MB ，交BC 于N ，连接FN ，如图，故四边形1B EFN 即为所得截面．上一问可知，菱形11ABB A 的边长为2，矩形11B BCC 中1BC =，平行四边形11ACC A中111112,AA CC AC AC AC =====．要计算截面1B EFN 的面积，首先研究1B EM △．在11A B E △中，由于11120EA B ∠=︒，由余弦定理可得1B E =,E F 为中点，因此12EM EF AC ===，此时有1MC AE ==，在直角11MB C中1MB N =为BC 的三等分点．因此1B EM △中，由余弦定理可得2221111cos 25EM MB EB EMB EM MB +-∠==⋅⋅，第21页/共21页所以可以计算得117sin 5EMB ∠=．设截面面积为S ，由于111,23MF ME MN MB ==，有11111115534sin sin 22612B EM NFM B EM S S S ME MB EMB MF MN EMB S =-=⋅⋅∠-⋅⋅∠==△△△因此，此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积为53412．。

新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。

4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。

5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。

6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。

7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。

8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。

9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。

10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。

分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。

因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。

顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。

而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。

2023-2024学年湖北省五市州高一数学（下）期末考试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知3i z =+，则1iz=+（）A ．42i-B ．42i +C ．2i-D ．2i +2．当()0,2πx ∈时，曲线2cos y x =+与直线13y x =的交点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知()2,0a = ，()1,1b = ，则a 在b 上的投影向量为（）A ．)B ．()1,1C ．()2,1D ．()2,24．已知1z ，2z ∈C ，则下列说法正确的是（）A ．若3z ∈C ，1323z z z z =，则12z z =B ．若12z z =，则12=z zC ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．1212z z z z +=-5．如图所示，角x （π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为P ，分别过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线交角x 的终边于T ，S ，根据三角函数的定义，tan x AT =．现在定义余切函数cot y x =，满足1cot tan x x=，则下列表示正确的是（）A ．cot x OT =B ．cot x PS =C ．cot x OS =D ．cot x BS=6．已知单位向量a ，b互相垂直，若存在实数t ，使得()1a t b +- 与()1t a b -+ 的夹角为60 ，则t =（）AB ．1-CD ．1-7．1cos 20cos 40cos 202︒-︒︒=（）A ．14-B ．14C ．12-D ．128．已知函数()sin sin 2f x x x =+，下面关于函数()f x 的图象与性质描述正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．方程()0f x =在[]π,π-上有5个不同的实根D ．()f x ≤恒成立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：cm ），并整理得到下表身高[)155160,[)160165,[)165170,[)170175,[)175,180频数60120180240100根据表中数据，下列说法正确的是（）A ．该校高一年级男生身高的中位数小于170cmB ．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同C ．该校高一年级男生身高的极差介于15cm 至25cm 之间D ．该校高一年级男生身高的平均数介于170cm 到175cm 之间10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移y （单位：m ）和时间x （单位：s ）满足函数关系：()sin y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a ，b ，c ，d 为未知数），则下列有关函数()y f x =的描述正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 的图象可由函数sin y A x ω=的图象向右平移13个单位得到C ．函数()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4D ．函数()f x的图象与函数ππ23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是1CC 的中点，下列说法正确的是（）A ．若P 是线段1AC 上的动点，则三棱锥P BQD -的体积为定值B ．三棱锥1A BQD -C ．若AQ 与平面AC ，平面1AD ，平面1AB 所成的角分别为i θ（1,2,3i =），则321cos 2i i θ==∑D ．若平面ABQ 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为()1,,6i i θ= ，则612sin 4i i θ==∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知()tan 1αβ+=，()tan 2αβ-=，则tan 2α=．13．在ABC 中，π2A =，3BC BA CA CB ⋅=⋅，则ABC 中最小角的余弦值为．14．设x ∈R ，m ∈Z ，若1122x m -<-≤，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =，如{}2.42-=-．另外，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.63-=-．令()f x x x =⎡⎤-⎣⎦，(){}g x x x =-，当[]2024,2024x ∈-时，如果存在i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）满足()()i i f x g x =，那么112025ni i x ==∑．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 最大，πsin cos 2cos sin 3A C B C ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求B ；(2)若AC 边上的高为4，求ABC 面积的最小值．16．已知函数()224sin cos sin 3cos 1f x x x x x =-+-．(1)求函数()f x 的最值与单调递增区间；(2)若方程()()()2220f x a f x a -++=在[]0,π上恰有4个不同的实数根，求a 的值．17．在三棱锥-P ABC 中，AC CB ⊥，AB BP ⊥，CB CP CA ==，12BP AP =.点C 在平面PAB 上的射影D 恰好在PA 上.(1)若E 为线段BP 的中点，求证：BP ⊥平面CDE ；(2)求二面角C AB P --的余弦值.18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.(1)求m 的值；(2)若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？(3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）19．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB =，123BC AA ==，点M 是平面ABC 上的动点．(1)若点M 在线段BC 上（不包括端点），设α为异面直线AC 与1B M 所成角，求cos α的取值范围；(2)若点M 在线段AC 上，求112A M MC +的最小值；(3)若点M 在线段BA 上，作MN 平行AC 交BC 于点N ，Q 是1BB 上一点，满足2MB BQ +=．设MB x =，记三棱锥Q MBN -的体积为()V x ．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．据此，判断函数()y V x =在定义域内是否存在0x ，使得函数()y V x =在()00,x 上的图象是中心对称图形，若存在，求0x 及对称中心；若不存在，说明理由．1．C【分析】根据复数的除法法则计算．【详解】由题意23i (3i)(1i)33i i i 2i 1i 1i (1i)(1i)2z ++--+-====-+++-，故选：C ．2．A【分析】结合函数图象，函数的单调性得出结论．【详解】作出函数2cos y x =+和13y x =的图象，记()2cos f x x =+，1()3g x x =，函数2cos y x =+在[0,π]上递减，在[π,2π]上递增，π(π)1(π)3f g =<=，(0)3(0)0f g =>=，2π(2π)3(2π)3f g =>=，结合图象知在(0,2π)上有两个交点，故选：A ．3．B【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解．【详解】由已知b = 21012a b ⋅=⨯+⨯=，a 在b上的投影向量为(1,1)(1,1)a b b bb⋅⋅== ，故选：B ．4．B【分析】根据复数的运算及复数、复数的模的概念判断各选项．【详解】选项A ，取1320,1,2z z z ===，满足1323z z z z =，但12z z =不成立，A 错；选项B ，设2i(,R)z a b a b =+∈，12i b z z a ==-，则12z z ==，B 正确．选项C ，取121,i z z ==，满足1212z z z z +=-，但12i 0z z ⋅=≠，C 错；选项D ，取1212i,z 12i z =+=-，则122z z +=，12(12i)(12i)4i z z -=--+=-，D 错；故选：B ．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，OBS TAO ，则OB BSAT OA=，即1BS AT OB OA ⋅=⋅=，所以11cot tan BS x AT x===.故选：D 6．D【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.【详解】因为()()()()()222111111a t b t a b t a t a b t b⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-+=-+-+⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122t t t =-+-=-，()1a t b +-=()1t a b -+=又()1a t b +-与()1t a b -+ 的夹角为60 ，所以()22211cos60t t ⎡⎤-=+-⎣⎦，即()24411t t -=+-，解得：1t =-±故选：D.7．A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．【详解】1cos 20cos 40cos 20(cos 60cos 40)cos 202︒-︒︒=︒-︒︒[cos(5010)cos(4010)]cos 20=︒+︒-︒-︒︒(cos 50cos10sin 50sin10cos 50cos10sin 50sin10)cos 20=︒︒-︒︒-︒︒-︒︒︒2sin 50sin10cos 20=-︒︒︒2cos 20cos 40cos80=-︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos80sin 20-︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin1602sin 204sin 204sin 20-︒︒︒-︒︒-︒===︒︒︒sin 2014sin 204-︒==-︒．故选：A ．8．C【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD 错误，解方程判断C 正确．【详解】选项A ，ππ(sin()sin(π)122f -=-+-=-，πππ(sin sin π1()222f f =+=≠-，即()()f x f x -=不可能恒成立，A 错；选项B ，()()πsin π)+sin(2+2πsin sin 2f x x x x x +=+=-+，即(π)()f x f x +=不可能恒成立，B 错；选项C ，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+，由()0f x =得sin 0x =或1cos 2x =-，[π,π]x ∈-，则由sin 0x =得π,0,πx =-，由1cos 2x =-得2π2π,33x =-，即()0f x =在[]π,π-上有5个不同的实根，C 正确；选项D ，πππ2()sin sin 14422f =++D 错．故选：C ．9．AC【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A （利用频数），再由众数定义判断B ，由极差定义判断C ，求出身高期望值判断D ．【详解】选项A ，由统计表，身高小于170cm 的频数为360，身高不小于170cm 的频数为340，因此身高的中位数小于170cm ，A 正确；选项B ，由统计表身高的众数在区间[)170,175上，结合选项A 的判断知B 错误；选项C ，由统计表，身高的极差最大为18015525cm -=，最小为17516015cm -=，C 正确；选项D ，身高的平均值为601575120162518016752401725100177516893cm 60120180240100......⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈++++，D 错．故选：AC ．10．BC【分析】根据五点法求出()f x 的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．【详解】由五点法知41073323b +==，从而13a =，133d =，由正弦函数性质知c =，A =2ππ131233ω==-，π1023ϕ⨯+=，π6ϕ=-，所以ππ()sin(26f x x =-，选项A，16π16π(3236f =⨯-=A 错；选项B，πππ1()3sin(()2623f x x x =-=-，其图象可由π2y x =的图象向右平移13个单位得到，B 正确；选项C ，函数()f x4=，C 正确；选项D，πππππππ()3sin()cos(2623223f x x x x =-=+-=+，D 错．故选：BC ．11．ACD【分析】对于A ，连接AC 交BD 于点O ，连接OQ ，可证得1AC ∥平面BDQ ，进而进行判断，对于B ，根据线面垂直的判定定理可证得OQ ⊥平面1A BD ，设G 为等边三角形1A BD 的外心，过G 作平面1A BD 的垂线，则三棱锥1A BQD -外接球的球心在此直线上，然后求解，对于C ，取11,DD BB 的中点,M N ，连接,,,AM AN MQ NQ ，可得AQ 与平面AC ，平面1AD ，平面1AB 所成的角分别,,QAC QAM QAN ∠∠∠，然后求它们的余弦值即可，对于D ，由题意可得平面ABQM ⊥平面11BCC B ，平面ABQM ⊥平面11ADD A ，QBC ∠为二角面Q AB C --的平面角，1QBB ∠为二面角1Q AB B --的平面角，然后求出它们的正弦值判断.【详解】对于A ，连接AC 交BD 于点O ，连接OQ ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，因为Q 是1CC 的中点，所以OQ ∥1AC ，因为1AC ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以1AC ∥平面BDQ ，因为P 是线段1AC 上的动点，所以点P 到平面BDQ 的距离为定值，因为BDQ △的面积也为定值，所以三棱锥P BQD -的体积为定值，所以A 正确，对于B ，因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为AC BD ⊥，1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，由选项A 可知OQ ∥1AC ，所以BD OQ ⊥，1A B OQ ⊥，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以OQ ⊥平面1A BD ，设G 为等边三角形1A BD 的外心，则112233AG AO ==⨯过G 作平面1A BD 的垂线，则三棱锥1A BQD -外接球的球心在此直线上，设球心为H ，连接1,A H QH ，过H 作HE OQ ⊥于E ，则111363323HE OG AO ===⨯，OQ ===设三棱锥1A BQD -外接球的半径为R ，则1A H QH R ==，设OE m =，则HG m =，因为22222211,A H AG GH HQ HE QE =+=+，所以)222222,R m R m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得m =，2R =，所以B 错误，对于C ，取11,DD BB 的中点,M N ，连接,,,AM AN MQ NQ ，则MQ ∥CD ，NQ ∥BC ，所以MQ ⊥平面1AD ，NQ ⊥平面1AB ，因为QC ⊥平面AC ，所以AQ 与平面AC ，平面1AD ，平面1AB 所成的角分别,,QAC QAM QAN ∠∠∠，因为3AM AN AQ =====，所以cos 333AC AM AN QAC QAM QAN AQ AQ AQ ∠==∠==∠==，所以222222cos 2333QAC cos QAM cos QAN ⎛⎛⎛∠+∠+∠=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即321cos 2i i θ==∑，所以C 正确，对于D ，因为MQ ∥CD ，AB ∥CD ，所以MQ ∥AB ，所以平面ABQ 就是平面ABQM ，因为AB ⊥平面11BCC B ，AB ⊥平面11ADD A ，AB ⊂平面ABQM ，所以平面ABQM ⊥平面11BCC B ，平面ABQM ⊥平面11ADD A ，因为AB ⊥平面11BCC B ，BQ ⊂平面11BCC B ，所以AB BQ ⊥，所以QBC ∠为二角面Q AB C --的平面角，1QBB ∠为二面角1Q AB B --的平面角，sin QC QBC BQ ∠==，1sin sin BC QBB BDC BQ ∠=∠==所以平面ABQ与左右两个平面所成二面角的正弦值为πsin12=，所以226221sin 22214i i θ==⨯+⨯+⨯=∑，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12．3-【分析】由两角和的正切公式计算．【详解】tan()tan()12tan 2tan[()()]31tan()tan()112αβαβααβαβαβαβ++-+=++-===--+--⨯，故答案为：3-．13【分析】根据数量积的定义化简已知式后求解．【详解】因为π2A =，所以22cos ,cos B B A BC C C BA BA CA CB C CB B A CA ⋅===⋅= ，又3BC BA CA CB ⋅=⋅，所以223BA CA =，即BA =，因此B 最小，且cos BA B BC ===14．2024【分析】由函数()f x 与()g x 为偶函数，只需考虑[]0,2024x ∈的情形，然后设N m ∈，x m =，12m x m <≤+，112m x m +<<+分类讨论确定(1,2,,)i x i n = 的值，再求和．【详解】由题意()f x 与()g x 为偶函数，只需考虑[]0,2024x ∈的情形，设N m ∈，x m =时，由定义知{}[]m m m ==，()()0f x g x ==，12m x m <≤+时，{}[]x m x ==，()f x m x =-，()()g x x m f x =-≠，112m x m +<<+时，{}1x m =+，[]x m =，()f x m x =-，()(1)()g x x m f x =-+≠，所以i x i =（0,1,2,,2024i =⋅⋅⋅），()()1202412024111012202410122025202520252n i i x =⋅+=+++⋅⋅⋅+=⋅=∑由偶函数对称性可知，112101220242025ni i x ==⨯=∑．故答案为：2024.【点睛】方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对x 的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有()()f x g x =．15．(1)π2B =(2)16【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得B 角；（2）由面积建立,,a b c 的关系，利用基本不等式求得b 的最小值，得面积最小值．也可用A 角表示出边,a c ，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．【详解】（1）因为()πsin cos 2cos sin 3B C C B C ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，所以1sin cos sin cos cos 2cos sin cos 22B C C B C B C C ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．sin cos sin cos cos sin cos cos B C C B C C B B C +-=．()sin 1cos cos cos B C B C -．因为b 最大，所以cos 0C ≠，从而sin 1B B -=，即sin 1B B =，所以π1sin 32B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππ36B -=或π5π36B -=（舍）从而π2B =．（2）法一：设ABC 面积为S ，1422S b b =⨯⨯=，因为π2B =，所以222b a c =+，又12S ac =，所以4b ac =，所以22222422161664a c a cb b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=，所以8b ≥，当且仅当a c =时取等号，所以216S b =≥，ABC 面积的最小值为16．法二：由AC 边上的高为4，可得4sin A c =，即4sin c A=，同理444πsin cos sin 2a CA A ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，116161622sin cos sin 2ABC S ac A A A===≥△，当且仅当π4A =即a c =时取等号．ABC 面积的最小值为16．16．(1)最大值-3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．(2)a =-a =【分析】（1）由三角公式化简函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后根据正弦函数的性质求解；（2）方程化为()2f x =或()f x a =，求得()2f x =在[]0,π上有三个根，因此()f x a =在[]0,π上有且仅有一个不同于π0,,π4x =的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论．【详解】（1）由题意()()31cos 21cos 22sin 2122x x f x x +-=-+-，化简得()()π2sin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当ππ22π42x k +=+，Z k ∈时，即ππ8x k =+，Z k ∈，()f x取得最大值当ππ22π42x k +=-，Z k ∈时，即3ππ8x k =-，Z k ∈，()f x取得最小值-；当πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈时，即3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递增．所以()f x 的最大值-，单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）由题意()()()()20f x f x a --=，()2f x =或()f x a =．因为0πx ≤≤，ππ9π2444x ≤+≤当()2f x =时，所以π224x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π224x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ244x +=或π3π244x +=或π9π244x +=，可得π0,,π4x =．所以()f x a =在[]0,π上有且仅有一个不同于π0,,π4x =的实数根．所以a =-a =17．(1)证明见解析【分析】（1）连接CD ，DE ，由CD ⊥平面PAB ，得CD BP ⊥，再由中位线定理得平行从而得BP DE ⊥，从而证得线面垂直；（2）作DF AB ⊥于F ，连接CF ，证明CFD ∠即为二面角C AB P --的平面角，然后在直角三角形中求解.【详解】（1）证明：连接CD ，DE ，CD ⊥ 平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，CD AP ∴⊥，CD BP ⊥，又CA CP =，D ∴为AP 中点.又E 为BP 中点，DE AB ∴∥又AB BP ⊥，BP DE ∴⊥，CD DE D = ，,CD DE ⊂平面CDE ，BP ∴⊥平面CDE .（2）作DF AB ⊥于F ，连接CF ，CD ⊥ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，则CD AB ⊥，又因为CD DF D ⋂=，,CD DF ⊂平面CDF ，AB ∴⊥平面CDF ，而CF ⊂平面CDF ，AB CF ∴⊥.又CB CP CA == ，,D F ∴为,AP AB 的中点，所以DF PB ∥，又BP AB ⊥，DF AB ∴⊥.则CFD ∠即为二面角C AB P --的平面角.在Rt CDF △中，cos DFCFD CF∠=.设CB CA a ==，AC CB ⊥，则122CF AB a ==.因为12BP AP =，在Rt ABP 中，())22222BP BP AB -==，则3BP a =，126DF BP a ==，cos 3CFD ∠==.18．(1)0.016m =(2)不正确(3)78.26【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【详解】（1）根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.（2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.（3）由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010i i x x =-=∑，所以()()()()404011220i ii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220j ji i y yy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z z z ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19．(1)64；(2)5；(3)存在，对称中心为283(,381，043x =．【分析】（1）作//MG AC 交AB 于G ，确定异面直线所成角，再利用余弦定理求解即得.（2）把矩形1ACC A 与ABC 置于同一平面，再求出点1A 到直线BC 的距离即可.（3）求出(x)V ，结合给定信息，利用奇函数建立方程求解即可.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，作//MG AC 交AB 于G ，连接1B G ，则1B MG ∠为异面直线AC 与1B M 所成角或其补角，设BM x =，0x <<由BMG BCA △∽△223BG =，则3BG =3MG x =，2112B M x =+，21123x B G =+在1B MG △中，2221222412(12)3333cos 21221212213x x x x B MG x x x++-+∠===+++由023x <<21212x +>2361221x+，16cos (0,4B MG ∠∈，所以AC 与1B M 所成角余弦值的取值范围为6(0,4．（2）由AB BC ⊥，2AB =，23BC =，得30ACB ∠= ，60ABC ∠= ，将平面ABC 翻折使得与平面1AC 在同一平面上，且使矩形1ACC A 与ABC 在AC 两侧，过1A 作1A E BC '⊥于E '，交AC 于M '，则12M E M C '''=，对任意点M ，过M 作ME BC ⊥于E ，连接AE ，12ME MC =，则1111111212A C M MC E A M M '++=''''≥≥=+=+，当且仅当M 与M '重合时取等号，显然1//A M AB '，设AM a '=，4M C AC a a '=-=-，11222M E M C a '''==-，从而11132(2)222A E A M M E a a a ''''=+=+-=+，3)E C a '=-，在1Rt A E C ' 中，22211A E E C A C ''+=，即2233(2)(4)2824a a ++-=，化简得231628a +=，解得2a =，即15A E '=，所以112A M MC +的最小值为5．（3）043x =，对称中心为283(,381．由BMN △∽△BAC ，得2(2BMN BAC S x S = ，232BMN S x = ，BQ ⊥平面BMN ，2BQ x =-，21()(2)32V x x x =⋅-，整理得2()(2)6V x x x =-（02x <<），令2()(2)f x x =-，设其图象对称中心为(,)a b ，则()y f x a b =+-为奇函数，则2)(2)y x a x a b =+---32223)(3)(43)2a x a a x a a b=----为奇函数，23230)0a a a b -=⎧--=，解得238381a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以对称中心为2(,381，由对称性可得043x =．【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.。

江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。