汉明码纠错原理

汉明码编码原理介绍

为了保证通信过程中数据传输的正确性和完整性，并且在通信过程中，如果数据传输发生一位错误，能够将其矫正过来，将信息数据进行汉明编码后再进行数据传输。

汉明码（Hamming Code）也叫海明码，是Richard Hamming（贝尔实验室）于1950年发明的，汉明码也是利用了奇偶校验位概念，通过在数据位后增加一些比特以验证数据的有效性，故汉明码也属于线性纠错码（可纠错1-bit错误检出2-bit错误）。汉明码无法实现2位及2位以上纠错。

汉明码原理汉明码运算需要构造G生成矩阵和的离散值里取值，所以信息位也可能不是最大值，比如信息位为24，计算需要校验位5，但同样可信息位为25时，校验位同样是5。

校验位数VS信息位数关系如下表：

注：汉明码的特性决定，一般不会做太多信息位的校验，信息位越长出现多余两个错误的概率会越高，这将带来纠错的难度。

汉明码编码原理设码长为n，信息位长度为k，监督位长度为r=n-k。如果需要纠正一位出错，因为长度为n的序列上每一位都可能出错，一共有n种情况，另外还有不出错的情况，所以我们必须用长度为r的监督码表示出n+1种情况0 1 0 a1

1 0 0 a2

0 1 1 a3

1 0 1 a4

1 1 0 a5

1 1 1 a6

0 0 0 无错

按照表中的规定可知，仅当一个错码位置在a2，a4，a5或a6时校正子S1为1，否则S1为0。这就意味着a2，a4，a5，a6四个码元构成偶校验关系：

S1 = a6⊕a5⊕a4⊕a2 （1）式

同理，可以得到：

S2 = a6⊕a5⊕a3⊕a1 （2）式

汉明码编译码实验

一、实验目的

1.掌握汉明码2的编解码原理。掌握汉明码的纠错和检测原理

二、实验内容

1.汉明码编码实验。2.汉明码译码实验。

3、汉明码纠错检错能力验证实验。

三、 实验设备

lte-tx-02e通信原理综合实验系统----------------------------------------------模块8

四、 实验原理

在随机信道中，错码的出现是随机的，且错码之间是统计独立的。例如，由高斯白噪声引起的错码就具有这种性质。因此，当信道中加性干扰主要是这种噪声时，就称这种信道为随机信道。由于信息码元序列是一种随机序列，接收端是无法预知的，也无法识别其中有无错码。为了解决这个问题，可以由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监督码元。这些监督码元和信码之间有一定的关系，使接收端可以利用这种关系由信道译码器来发现或纠正可能存在的错码。在信息码元序列中加入监督码元就称为差错控制编码，有时也称为纠错编码。不同的编码方法有不同的检错或纠错能力。有的编码就只能检错不能纠错。

那么，为了纠正一个错位码，至少应该向块码中添加多少监督位？编码效率可以提高吗？基于这一思想的研究催生了汉明码。汉明码是一种线性分组码，它能纠正位错码，编码效率高。接下来，我们介绍了汉明码的构造原理。

一般说来，若码长为n，信息位数为k，则监督位数r＝n?k。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求

2r？1.≥ n或2R≥ K+R+1

下面我们通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。

在分组码（n，k）中设k=4。为了纠正错位代码，从公式（14-1）中可以看出，监管数字R需要≥ 3.如果r=3，那么n=K+r=7。我们用α6α5？α0代表这七个符号，S1、S2和S3代表三种监督关系中的校正器。然后可以指定s1s2s3的值与错误代码位置之间的对应关系，如表14-1所示。

汉明码(Hamming)的编码和译码算法

本文所讨论的汉明码是一种性能良好的码，它是在纠错编码的实践中较早发现的一类具有纠单个错误能力的纠错码，在通信和计算机工程中都有应用。例如：在“计算机组成原理”课程中，我们知道当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错。简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。如果对汉明码作进一步推广，就得出了能纠正多个错误的纠错码，其中最典型的是BCH码，而且汉明码是只纠1bit错误的BCH码，可将它们都归纳到循环码中。

各种码之间的大致关系显示如下。

一、 汉明码的编码算法

输入：信源消息u（消息分组u）

输出：码字v

处理：

信源输出为一系列二进制数字0和1。在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组（message blocks）。每个消息分组记为u，由k个信息位组成。因此共有2k种不同的消息。编码器按照一定的规则将输入的消息u转换为二进制n维向量v，这里n >k。此n维向量v就叫做消息u的码字（codeword）或码向量（code vector）。 因此，对应于2k种不同的消息，也有2k种码字。这2k个码字的集合就叫一个分组码（block code）。若一个分组码可用，2k个码字必须各不相同。因此，消息u和码字v存在一一对应关系。由于n符号输出码字只取决于对应的k比特输入消息，即每个消息是独立编码的，从而编码器是无记忆的，且可用组合逻辑电路来实现。

定义：一个长度为n，有2k个码字的分组码，当且仅当其2k个码字构成域GF(2)上所有n维向量组成的向量空间的一个K维子空间时被称为线性（linear）(n, k)码。

汉明码（n，k，d）就是线性分组(n, k)码的一种。其编码算法即为使用生成矩阵G：v = u·G 。

例1-1：针对汉明码Hamming (7,4,3)而言，u=(u0,u1,u2,u3)，v=(v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6)，则我们有 (v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6)=(u0,u1,u2,u3) ·G 。

课程设计任务书

学生姓名： 专业班级： 通信0906班

指导教师： 尹勇 工作单位： 信息工程学院

题 目:汉明码的性能分析

初始条件：

MATLAB软件，电脑，通信原理知识

要求完成的主要任务:

输入信号：速率为100Bd的矩形信号

信道：AWGN

要求：画出编码器输入、输出信号，信道的输出信号，译码器的输出信号的波形、频谱以及误码率与译码器输入信噪比的关系曲线

参考书目:

徐明远主编《MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用》

王兴亮主编《数字通信原理与技术》

孙屹 吴磊主编《Simulink通信仿真开发手册》

葛哲学主编《精通MATLAB》

樊昌信 曹丽娜主编《通信原理》

时间安排：

第1周，安排任务（鉴主15楼实验室）

第1-17周，仿真设计（鉴主13楼计算机实验室）

第18周，完成（答辩，提交报告，演示）

指导教师签名：

年 月 日

系主任（或责任教师）签名：

年 月 日 武汉理工大学《MATLAB应用》课程设计报告

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目 录

摘要 .................................................................................................................................................. 3

Abstract ............................................................................................................................................. 4