常见分段函数问题求解策略
- 格式:doc
- 大小:591.00 KB
- 文档页数:7
常见分段函数问题求解策略
【方法综述】
分段函数:(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一类特殊的函数,有着广泛的应用,课本中并没有进行大篇幅的介绍,但是它是高考的必考内容,下面就常见分段函数问题解决方法举例说明.
【题型展示】
1.求分段函数的函数值
例1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)
0(1)(2x x x x x f ,则[(1)]f f =
解:因为()21-=f ,所以[(1)]f f ()()51222
=+-=-=f .
解题策略 求分段函数的函数值时,关键是判断所给出的自变量所处的区间,再代入相应的解析式;另一方面,如果题目中含有多个分层的形式,则需要由里到外层层处理.
2.求解分段函数的解析式
例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示.则:(1)月通话为50分钟时,应交话费多少元;(2)求y 与x 之间的函数关系式.
解: (1)由题意可知当0<x ≤100时,设函数的解:析式y =kx ,又因过点(100,40),得解析式为y =2
5
x ,当月通话为50分钟时,0<50<100,
所以应交话费y =2
5
×50=20(元).
(2)当x >100时,设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ,由图知x =100时,y =40;x =200时,y =60.
则有⎩⎪⎨
⎪⎧
40=100k +b ,60=200k +b ,
解:得⎩⎪⎨⎪⎧
k =15
,
b =20,
所以解:析式为y =1
5
x +20,
故所求函数关系式为y =⎩⎪⎨⎪⎧
25x ,0<x ≤100,
1
5x +20,x >100.
解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中,解决此类问题
的关键是正确地理解:题目(或图象)给出的信息,确定合适的数学模型及准确的自变量的分
界点.
3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象
例3.已知函数()|21|f x x =+.
(Ⅰ)用分段函数的形式表示该函数; (Ⅱ)在下边所给的坐标系中画出该函数的图象;并根据图象直接写出该函数的定义域、值域(不要求证明
).
x
y
O
【答案】(Ⅰ)121,2()121,2
x x f x x x ⎧
+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-
⎪⎩ ;
(Ⅱ)图象见解:析,定义域:R ,值域:
[0,)+∞.
【解析】(Ⅰ)121,2()121,2
x x f x x x ⎧+≥-⎪⎪=⎨
⎪--<-⎪⎩
(Ⅱ)图象如下图:
观察得到定义域为R ,值域为[0,)+∞.
解题策略
(1)分段函数有几段,其图象就由几条曲线组成,作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象,作图时一要注意每段自变量的取值范围,二要注意判断函数图象每段端点的虚实.
(2)分段函数的定义域是各段函数解:析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是各段函数值集合的并集.
【针对训练】
1.已知函数
则
的值为( )
A .
B .
C .
D . 1
【答案】A 【解析】 由题得f(-1)=.
故答案为:A
2. 已知符号函数sgn
= ,是R 上的增函数,
,则( )
A . sgn sgn
B . sgn - sgn
C . sgn sgn
D . sgn
- sgn
【答案】B 【解析】 当时,,由单调性:,此时,
当时,,此时:, 当时,
,由单调性:
,此时
,
所以.
故选B.
3.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨
⎧<+≥-=100
)],5([100
,3)(n n f f n n n f ,则=)1(f ( )
A .97
B .98
C .99
D .100
【答案】B
【解析】∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f
,
98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f ,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推,得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f ,∴选B.
4.已知函数()()1,0
{11,02
ln x x f x x x +>=+≤,若m n <,且()()f m f n =,则n m -的取值
范围是( )
A . [)32ln2,2-
B . []32ln2,2-
C . []1,2e -
D . [
)1,2e - 【答案】A 【解析】
作出函数f (x )的图象如图, 若m 则当ln (x +1)=1时,得x +1=e ,即x =e −1,则满足0 则ln (n +1)= 1 2 m +1,即m =2ln (n +1)−2,则n −m =n +2−2ln (n +1), 设h (n )=n +2−2ln (n +1),0 '1111 n n h n n n n +--=-== +++ , 当h ′(x )>0得1 当h ′(x )<0得0 即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln 2, 当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2, 当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2,则3−2ln 2⩽h (n )<2, 即n −m 的取值范围是[3−2ln 2,2),本题选择A 选项. 5.已知函数 的图象如下图所示,则 的解:析式是 ________________.