专题10 分段函数的研究(解析版)

十面埋伏之“分段函数”摘要：分段函数在高中数学《必修一》中以例题的形式出现，并没有作为系统的一章节进行阐述，学生对此认识相对肤浅。

但由于其内容涉及到对函数的定义、函数的性质等多方面知识的理解和掌握，蕴含着分类讨论、数形结合等重要思想方法，使它成为了高考题中的“宠儿”， 笔者针对分段函数的题型从十个方面做了研究整理，望能抛砖引玉。

正文：“分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

”----摘自《百度百科》函数类型众多，但分段函数独树一帜，其在高中数学《必修一》中以例题的形式出现，并没有作为系统的一章节进行阐述，学生对此认识相对肤浅。

但由于其内容涉及到对函数的定义、函数的性质等多方面知识的理解和掌握，蕴含着分类讨论、数形结合等重要思想方法，使它成为了高考题中的“宠儿”。

正所谓“弱水三千，只取一瓢饮”，笔者针对分段函数的题型从十个方面做了研究整理，归纳如下：一． 分段函数求函数值求分段函数函数值时，先明确自变量属于哪一段区间，然后代入该段的表达式求值。

例1：（2005年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，求1[()]2f f 。

【解析】：从内到外，先求113()|1|2222f =--=-， 然后21314[()]()322131()2f f f =-==+-。

二． 分段函数求定义域和值域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

必要时需画出函数图象，利用数形结合的思想进行解题。

例2：（2010年天津文）设函数2()4,()()2(),()(),()g x x x g x g x x x R f x g x x x g x ++<⎧=-∈=⎨-≥⎩，则()f x 的值域是（ ）（A ）9[,0](1,)4-⋃+∞ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞ （D ）9[,0)(2,)4-⋃+∞ 【解析】：由题意得：222,12()2,12x x x x f x x x x ⎧++<->=⎨---≤≤⎩或， 函数图象如右图，观察图象求出其值域。

专题10 基本初等函数（知识梳理）一、指数与指数函数(一)指数式的化简与求值1、化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序。

提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算。

2、结果要求：①题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂。

例1-1．已知41<a ，则化简42)14(-a 的结果是( )。

A 、a 41-- B 、14--a C 、14-a D 、a 41- 【答案】D【解析】a a a 41)41()14(4242-=-=-，故选D 。

变式1-1．化简3a a ⋅-的结果是( )。

A 、65a - B 、65a -- C 、65a - D 、52a -【答案】B【解析】∵0≤a ，则656565312131213)()()()()(a a a a a a a a a --=--=--=-⋅--=⋅-=⋅-，故选B 。

变式1-2．已知31=+-x x ，求下列各式的值：(1)2121-+xx ；(2)22-+x x ；(3)2323-+xx 。

【解析】(1)∵52)(2)()(1221212122122121=++=+⋅+=+----x x xxx x xx ，∴52121±=+-x x ，又由31=+-x x 得0>x ，∴52121=+-xx ；(2)72)(2122=-+=+--x x x x ； (3)]1))[((])())[(()()(12121221212122121213213212323-++=+⋅-+=+=+-------x x xx xxx x xx xx xx52)13(5=-=。

(二)指数函数的图像和性质1、定义：一般地，函数x a x f =)((0>a 且1≠a )叫做指数函数，其中x 是自变量。

分段函数专题研究一． 分段函数求值例1．若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________.【解析】由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 变式1.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=⎰210,1),4()(x dt t e x x f x f x ，则(2016)f = （ ） A ．0 B ．ln 2 C ．21e +D ．1ln 2+【解析】22111ln |ln 2dt t t ==⎰，所以(4),0()ln 2,0xf x x f x e x ->⎧=⎨+≤⎩. 所以(2016)(2012)(2008)(0)1ln 2f f f f =====+.故选D.变式2.设231log (1),2(),2x x x f x e x -⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f 的值为________【解析】231log (1),2(),2x x x f x e x -⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则f （2）=log 33=1，((2))f f =f （1）=e 1﹣1=1．故答案为：1．变式3. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．【解析】 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 二． 分段函数求值域例2．设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R.当k ＝1时，F (x )的值域为__________．【解析】当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与幂函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以k ＝1时，F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．变式4．设函数， 求的值域．【解析】令解得或．∴∴当时，；当时，；∴的值域为．三．分段函数求最值例3．已知函数2()1f x x a x =+-，a 为常数．当2a =时，求函数()f x 在[0,2]上的最小值和最大值；【解析】当2a =时，22222,1,()2122,1,x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩ 22(1)3,1,(1)1,1,x x x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 所以当[1,2]x ∈时，max min [()]6,[()]1f x f x ==当[0,1]x ∈时，max min [()]2,[()]1f x f x ==所以()f x 在[0,2]上的最大值为6，最小值为1。

微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。

处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。

认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。

K3x+b3 a2≤x≤a3应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。

所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时，y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+= 即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2(2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)x x y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥ (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不相同范围的值时所使用的 解析式不相同，所以在解决分段函数的问题时要时辰盯着自变量的范围可否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，若是单调性相同，则需判断函数是连续 的还是断开的， 若是函数连续， 则单调区间可以合在一起，若是函数不连续，则要依照函数 在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定可否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：若是可以将每段的图像作出，则优先采用图像法，经过观察图 像判断分段函数奇偶性。

若是不便作出，则只能经过代数方法比较 f x , f x 的关系，要注意 x, x 的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数解析要注意的几个问题（ 1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将界线值代入每一段函数（其中一段是函数值，别的一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否2x 1,x3 3代入两段解析式，计算结果相同，那则是断开的。

比方： f x4, x，将 xx 2 32 x 1,x3 么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于解析。

再比方 f x1,x中，x 2 3两段解析式结果不相同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以经过绝对值内部的符号谈论，将其转变成分段函数。

x 1 3,x 1 比方： fx x 1 3，可转变成： f x1 x 3,x 15、遇到分段函数要时辰盯住变量的范围，并依照变量的范围选择合适的解析式代入，若变 量的范围其实不完幸亏某一段中，要注意进行分类谈论6、若是分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

二、典型例题例 1：已知函数 f ( x)2x1 x 1f 04a ，则实数 a _____x 2 ax x，若 f1思路：从里向外一层层求值，f 0 20 1 2f f 0f 24 2a所以 4 2a 4a a2答案： a2例 2：设函数 fxcos x, x 0 ，则 f10 的值为 _________f x 11,x3思路：由f x 解析式可知，只有 x 0 ，才能获取详尽的数值，x 0 时只能依靠f xf x 11向 x 0 正数进行靠拢。

2022年高考数学函数的微专题复习专题07分段函数的研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。

含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-变式1、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f =______．变式2、（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，则()()12f g -+=（）A ．11-B ．7-C ．7D ．11变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x kf x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（）A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。

另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．变式1、（2021·浙江高三期末）已知(),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩，则()2f =______；若()2f α=，则α=______．变式2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞ 上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()2128f x x +=根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6变式3、（2021·山东高三其他模拟）已知1a <<，212,22()ln(1),21x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则方程24()2(1)()0f x a f x a -++=的解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

2024年中考新题型专项点拨专题01 分段函数专题解读1.明过程。

明确题目中所说的“该过程”具体是指从什么时候开始（起点），到什么时候结束（终点）。

所画的过程既不能多也不能少，要完全对应题目要求，一定要认真读题、审题。

2.会分段。

此类题画出来的结果是分段函数，而画对线的关键在于确定“关键点”[起点、终点、转折点（跳跃点）的值（或范围）]和各段线的变化特点。

一般可按照“起点→线段1→转折点1→线段2→转折点2→线段3→终点”的顺序逐一分析和绘图图像，大致的图像样子就确定了。

3.如何绘制每一段线段？①认真审题，思考清楚本题考查什么核心知识点。

应该用哪章的哪个知识点或哪些章的哪些知识点去解答本题。

如力学中有考查力、静摩擦力变化的、影响滑动摩擦力因素的、影响压强（液体压强）大小因素的、影响浮力及浮沉条件的、影响做功大小的、影响功率大小的、影响动能（重力势能、弹性势能）大小的、机械能及其转化的等等。

总之，解答本题一定是用我们学过的知识去解决的，而不是漫无目的的、不着边际地去想去画。

②题目是让画出物理量a（因变量，即纵坐标）与物理量b（自变量，即横坐标）的（大致）变化关系图。

解题思路就是若能够准确列出二者的函数关系式那就列出准确关系式（一般就是初中学过的一次函数、二次函数、正比例函数居多），即借助受力分析或所学的一些物理公式列出关于因变量的关系式进行动态分析（此关系式可能直接是自变量的表达式，但也只可能和自变量之间存在间隔关系）。

③线段应该是倾斜直线还是曲线？此问题情况多变，牵涉的知识较多，只能根据具体问题具体分析，但题目无法明确界定是直线还是曲线的，或者要运用高中知识才能明确判断的，因此掌握一定的高中对解决此类题型是必要的。

4.检查起点、转折点、终点的值（或范围）要合理。

检查起点是否为0？转折点是前后两段线的临界点，在转折点上重点看前后两段线的变化特点是否符合要求，若终点有特定的值或界限，也要准确判断。

例1．如图甲所示，一重为G的小球正在水中加速上浮，最终小球漂浮在水面上，请你在图乙中画出小球所受的浮力与小球运动时间的大致关系图像。

分段函数极值问题的研究分段函数极值问题是数学中一个重要及复杂的问题，它涉及到了函数极值的求解、过程中状态变化的追踪以及一系列其它问题，为此，研究者在过去的时期研究过这个问题，以求进步理论模型的构建及算法的实现。

首先，对于分段函数极值问题，我们要求解的是函数在某一段区间内的极值，也就是求解函数的最大值和最小值，因此，这个问题的核心是求解极值，极值一般是泰勒展开或者拉格朗日分解等来求解。

这样，求解极值就成为分段函数极值问题最重要的步骤，而求解极值的关键在于极限的判断，也就是确定实际上函数是否存在极值，以及函数的极值是何种类型的极值。

其次，在极限的判断方面，理论上可以利用全微分学，把函数求微分，再把微分等于零作为极值判断的准则，如果函数不能利用全微分学求微分，则可以去求函数的偏微分，偏微分如果等于零，也可以作为极值判断的标准，而如果偏微分不为零，这时候可以考虑利用数值求解，根据函数在某一离散点的取值，判断函数是否存在极值，而当函数符合某种凸函数的情况，可以较为容易的利用凸函数的性质来判断函数的极值，而如果函数不存在极值，也可以得出该结论，从而得出极值问题的最终答案。

最后，在算法实现的过程中，可以根据前述的极值的判断方法，构建出求解分段函数极值问题的算法，可以考虑采用定点法，二分法，牛顿迭代等求解方法，其中，定点法可以采用排列求解，即分析一系列可能存在的极值，根据极值的性质来求解；二分法可以采用“先查”原则，在范围内先查一个点，根据该点的函数值大小，将范围分为两个部分，然后分别继续进行查找；牛顿迭代法就可以采用牛顿迭代的求解方法，根据函数的导数的变化，不断迭代函数，以求解函数的极值。

总之，分段函数极值问题是一个涉及到极值求解、状态变化追踪及算法实现复杂问题，我们要求解的是函数在某一段区间内的极值，这要求我们要去判断函数的极限情况，而判断函数极限的方法主要有全微分求解、偏微分求解以及数值求解等，而在极限的判断之后，我们还需要结合定点法、二分法、牛顿迭代法等构建出求解分段函数极值的算法。

分段函数常见题型例析发布时间：2021-04-07T11:03:29.120Z 来源：《课程-教材-教法》2021年3月作者：韩学伟[导读] 所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。

云南省保山市昌宁县柯街中学韩学伟 678103所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集．其值域等于各段函数的值域的并集．分段函数图像依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图像.分段函数是近几年高考的热点内容，涉及求分段函数的函数值、最值、奇偶性、单调性等问题，解答这些问题中渗透了分类讨论、数形结合等多种数学思想方法。

现就分段函数的常见题型例析如下：1、作分段函数的图像2、求分段函数的定义域、值域评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步 “由内到外”逐一求值.4、求分段函数的解析式、评注：求分段函数的解析式时，分别求出定义域内各段对应的解析式，再组合在一起，要注意各区间的点要“不重不漏”求哪个区间的解析式，就把设在哪个区间上.5、求分段函数的最值评注：求分段函数的最值时，先分别求出每个区间上的最值，然后通过比较取其中最大(最小)；也可数形结合法作出函数的图像，观察即得.6、判断分段函数的奇偶性评注：判断分段函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，若定义域是关于原点对称再分段判断，也可画出分段函数的图像，转化为图像的对称性进行判断.7、判断分段函数的单调性评注：判断分段函数的单调性时，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分段说明单调性．8、分段函数与不等式评注：方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础的知识点，其中含参问题更是高考热点.10、分段函数的应用问题评注：实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点.以上各类题型的分析中,不难得到分段函数在考查中的一种解题的重要途径是：若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化, 效果明显.。

分段函数问题分类解析目录：一、作分段函数的图象 二、求自变量（或定义域）问题三、求函数值（或值域）问题 四、求分段函数的函数最值 五、求分段函数的解析式 六．解分段函数不等式 七．求分段函数的方程的解 八．判断分段函数的奇偶性 九．求分段函数的反函数 十、分段函数的连续性和单调性定义：自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数叫分段函数．分段函数表示的是一个函数,而不是几个函数.例如：数列{}n a 中，01>a ,且满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤=----21,121,21111n n n n n a a a a a ，且,15=a 则1a 的值为 。

通过逆推可得⎪⎭⎫ ⎝⎛8783161或或分段函数问题的题型大致有： 一、作分段函数的图象。

例1．①作出下列函数的图象(1)()21y x x =-+)；(2)lg 10xy =分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：（1）用零点分类法去绝对值符号可得()()2219,22419,224x x y x x ⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+< ⎪⎪⎝⎭⎩这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见下图)(2) ()(),11,01x x y x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图（含绝对值的函数去绝对值后就是分段函数），但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．②（2010湖南理数）用{}b a ,min 表示a ，b 两数中的最小值。

若函数的图像关于直线x=12-对称，则t 的值为（ D ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1③已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-)10(,11)1(,11x xx x，是否存在实数a,b,(a<b)使得函数的定义域和值域都是[a,b]，若存在，求出a,b 的值；若不存在，说明理由。

谈谈中考中的分段函数某某沂源县徐家庄中学左效平256116分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。

这些分段函数都是直线型。

通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。

下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

1、二段型分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。

例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x ， 因为图象经过点（3，41），所以，41= k 1×3，所以k 1=121，所以y=121x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数） 因为图象经过点（3，41），（5，21），所以， 由待定系数法得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯=+⨯21541322b k b k ，解得：81,812-==b k ． ∴一次函数的表达式为8181-=x y ，所以，当1y =时，11188x -=，解得9x =∴完成此房屋装修共需9天。

方法2解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是112，乙工作的效率：11181224-= 甲、乙合作的天数：311641224⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭（天）∵甲先工作了3天，∴完成此房屋装修共需9天（2）由正比例函数的解析式：y=121x ，可知：甲的工作效率是112 ，所以，甲9天完成的工作量是：139124⨯=， ∴甲得到的工资是：3800060004⨯=（元）评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。

例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A ．20分钟 Ｂ．22分钟Ｃ．24分钟 D ．26分钟解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系， 设正比例函数的解析式为：y=k 1x ，因为图象经过点（10，41），所以，41= k 1×10，所以k 1=401，所以y=401x ，0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是401，所以，步行前往考场需要的时间是：1÷401=40（分钟），乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系， 所以，设一次函数的解析式是y=k 2x+b ，（0k k b ≠，，是常数）， 因为图象经过点（10，41），（12，21），所以， 由待定系数法得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯=+⨯2112411022b k b k ，解得：解得：1,812-==b k ， ∴一次函数的表达式为：181-=x y ，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=43÷81，解得：x=6分钟，所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟， 所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟）， 故选C 。

编辑部老师可删改分段函数问题分类解析面面观湖南祁东育贤中学 周友良 421600湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉中学数学里出现的函数，大多数都是由一个解析式表达的．但有的函数，有时要用几个解析式联合表达：在定义域的不同区间上有不同的表达式．此即分段表达的函数，简称分段函数．定义 凡是把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.如是一个分段函数.分段函数表示的是一个函数,而不是几个函数.分段函数一般不是初等函数.一．作分段函数的图象。

例1．作出下列函数的图象(1()21y x x =-+)；(2)lg 10x y =分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当2x ≥时，即20x -≥时，()()221921224y x x x x x ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭ 当2x <时，即20x -<时， ()()221921224y x x x x x ⎛⎫=--+=-++=--+ ⎪⎝⎭ 即()()2219,22419,224x x y x x ⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+< ⎪⎪⎝⎭⎩ 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当1x ≥时，lg 0x ≥，lg 10x y ==lg 10x x =； 当01x <<时，lg 0x <，lg 10xy ==lg 110x x -= 所以()(),11,01x x y x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．例２．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈) 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ 实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．例3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为：f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43(4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x (2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x g (x )的简图如下：.例4．函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==试作出这两个函数的图象。

专题10 分段函数（参数或参数取值范围）主要考查：分段函数求参数（或参数取值范围）问题一、单选题1．已知实数0a >，1a ≠，函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．25a ≤≤ B ．5a < C ．35a <<D ．12a <≤【解析】∵函数()f x 在R 上单调递增，∴当1x <时，有1a >；当1≥x 时，()32242420a x axf x x x x x-+'=-+=≥恒成立， 令()324g x x ax =+-，[)1,x ∈+∞，则()26g x x a '=+，∵0a >，∴()0g x '>，即()g x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()1242g x g a a ≥=+-=-， 要使当1≥x 时()0f x '≥恒成立，则20a -≥，解得2a ≥.∵函数()f x 在R 上单调递增，∴还需要满足141ln11a a ≤++，即5a ≤， 综上，a 的取值范围是25a ≤≤.故选：A.2．设函数()224,4log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若函数()y f x =在区间(],1m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,3B ．()2,3C ．(]2,3D ．[)2,3【解析】函数()224,4log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图像如图所示，函数()f x 在(],2-∞以及()4,+∞上递增，在[)2,4上递减，故若函数()y f x =在区间(],1m m +上单调递减，需满足2m ≤且14m +≤，即23m ≤≤，故选：A ．3．已知函数()221,1()1,1xa x x f x a x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩（0a >且1a ≠），对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时总有()()12210f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．(C．D．(【解析】因为对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时总有()()12210f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上单调递增，故有()22201211a a a a ⎧->⎪⎪>⎨⎪--≤-⎪⎩解得1a <<，故选：A4．已知()()[)2,0,1log ,1,2a ax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,2【解析】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =； 当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2.故选：D.5．在R 上函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()2,103,01x a x f x x x +-≤<⎧=⎨-≤<⎩，其中a R ∈，若()()5 4.5f f -=，则a =（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5【解析】因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2， 又因为()()512f f a -=-=-，()()4.50.5 2.5f f ==，()()5 4.5f f -=，所以2 2.5a -=，即 4.5a =，故选：C.6．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【解析】(0)2f =，2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =，故选：A7．设函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．[)1-+∞， 【解析】由于函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1-，当12x ≥时，()211log 122f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭， 当12x ≤时，()112f x a >-+≥-，解得12a ≥-，故选: A ． 8．已知函数()()22log 3,31,1x x f x x ax x ⎧+-<≤=⎨->⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞【解析】当31-<≤x 时，034x <+≤，则()()(]2log 3,2f x x =+∈-∞， 所以，函数()2f x x ax =-在区间()1,+∞上的值域包含()2,+∞，所以，存在()1,x ∈+∞，使得22x ax -≤，即2a x x≥-， 而函数()g x x x2=-在区间()1,+∞上为增函数，()()11g x g ∴>=-，1a ∴≥-.故选：D.二、多选题9．已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，若9()4f x =，则x 的可能值是（ ）A ．14B ．32C ．32-D ．98【解析】由22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤时，9()2=4f x x =+，解得14x =； 当12x <<时，29()=4f x x =，解得32x =；当2x ≥时，9()2=4f x x =，解得98x =（舍）.故选：AB.10．已知函数2221,0(),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，满足(())1f f a =-的a 的值有（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2-【解析】设()t f a =，则()1f t =-，若0t >，则21t -=-，解得1t =或1t =-（舍去），所以()1f a =，当0a >时，21a -=方程无解； 当0a ≤时，2211a a ++=，解得0a =或2a =-，满足条件；若0t ≤时，2211t t ++=-，即2220t t ++=，224240∆=-⨯=-<，方程无解， 故选：AD 11．函数()()2182,1,1xa x a x f x a x ⎧-+-<=⎨≥⎩，满足对任意12,x x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立的充分不必要条件是（ ） A ．114a ≤≤ B ．1132a ≤< C ．1338a ≤< D ．1132a << 【解析】()()12120f x f x x x -<-成立，即当12x x <时，()()12f x f x >成立；当12x x >时，()()12f x f x <成立，即函数在R 是减函数；当()f x 在定义域上是单调递减函数时，210012182a a a a a-<⎧⎪<<⎨⎪-+-≥⎩，解得1132a ≤<，当114a ≤≤时，1132a ≤<不成立，A 不正确； 对于B ，1132a ≤<是()()12120f x f x x x -<-成立的充要条件，B 不正确; 当1338a ≤<或1132a <<时，1132a ≤<成立，反之不成立，故CD 正确； 故选：CD.12．已知函数()()()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的函数，且满足对于任意的12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则a 的可能取值是（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．3-【解析】由条件对任意的12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则函数单调递增，若函数()()()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的单调递增函数，需满足12015aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得：32a --≤≤.故选：CD三、填空题13．已知函数()()()()()24312121xa x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【解析】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.14．若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______． 【解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =，当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=， 令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，若01x <<，()21x g x x -+=，()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1≥x ，()21x g x x -=，()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．已知函数1(2)21,2()2,2x a x a x f x a x --++⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若() f x 有最小值，则实数a 的取值范围为_______________________.【解析】f （2）2(2)2143a a a =-++=-， 当2x =时，2122a a -=，若2a >，则当2x 时为增函数，此时无最小值，不合题意；若2a =，当2x 时，()5f x =，当2x >时，12224x x -⨯=>，此时无最小值，不合题意； 若12a <<，当2x 时，()f x 为减函数，此时()f x f （2）43a =-，当2x >时，()f x 为增函数，且此时()2f x a >，要使()f x 有最小值， 则432a a -，即23a ，32a，则312a <； 若01a <<，当2x 时()f x 为减函数，此时()f x f （2）43a =-， 当2x >时，()f x 为减函数，且()0f x >，要使()f x 有最小值，则430a -，即34a，则304a <． 综上所述，312a <或304a <，∴实数a 的取值范围是(0，3](14⋃，3]2．16．已知函数2,2,28()1, 2.2x axx x f x x -⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩若对任意的[)12x ∈+∞，，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是______________．【解析】【法1】当[)2,x ∈+∞时，2()28xf x x =+．因为1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤ ⎥⎝⎦，．由题意及函数1()22x af x x -⎛⎫=<⎪⎝⎭，的图像与性质可得 221128a a -≥⎧⎪⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩或 221128aa -<⎧⎪⎨⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎩，如上图所示．解得 25a ≤< 或 12a -≤<，所以所求实数a 的取值范围是 [)1,5-．【法2】当[)2,x ∈+∞时，2()28x f x x =+，即1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤⎥⎝⎦，；当(),2x ∈-∞时，（1）若2a ≥，则||11()22x a a xf x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（(),2x ∈-∞），它是增函数，此时()y f x =的取值范围是210,2a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意可得 21128a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得 5a <，又2a ≥，所以 25a ≤<； （2）若2a <，则1,,2()1,22a xx ax a f x a x --⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩．函数()y f x =在(],a -∞上是增函数，此时()y f x =的取值范围是(]0,1；而函数()y f x =在[),2a 上是减函数，此时()y f x =的取值范围是21,12a -⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦．由题意可得 21128a-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得1a ≥-，又 2a <，所以 12a -≤<． 综上，所求实数a 的取值范围是[)1,5- ． 四、解答题17． 设函数33,().()2,x x x af x a R x x a⎧-=∈⎨->⎩ （1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'，当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数， 当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数， 故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x af x x a⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②， 由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解， 所以(,1)a ∈-∞-.18．已知函数4,,(),4,x a x a x f x a R a x x ax ⎧-->⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩. （1）当0a =时，求()y f x =的单调区间（只需写出单调区间，不需要证明）；（2）若关于x 的方程|()|4(0)f x a a -=>恰有四个不同的实数解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当0a =时，4,0()4,0x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，其图象如图所示：所以()y f x =的单调增区间是()0,∞+，()2,0-；减区间是(),2-∞-；（2）由题意得：42,,(),4,x a x a x f x a a R x x a x ⎧-->⎪⎪-=∈⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，当44x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭时，2x =±，当2a ≤时，44x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭只有一个解，则()424g x x a x=--=±需要有3个解， 而()42g x x a x=--递增，至多有2个解，故不成立； 当2a >时，44x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个解，则424x a x--=±需要有2个大于a 的解，因为()42g x x a x=--在(),a +∞递增， 所以()()4g x g a a a >=--，而2a >，()44g a a a=--<-，所以()4,g x a a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭，所以424x a x --=±有2个解，所以实数a 的取值范围是()2,+∞19．已知函数()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩且()()013f f +-=.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()()()2121bfb x b f x +-+≥恒成立，求正数b 的取值范围.【解析】（1）()21,0,0x ax x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩，()()01113f f a ∴+-=++=，所以1a =；（2）()()()()2222bbx bx f xee f bx --===，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递减， 因为2001e -+=，所以，函数()f x 在R 上连续，所以，函数()f x 在R 上为减函数，()()()()()22121bfb x b f x f bx +-+≥=等价于()2121b x b bx +-+≤，即当0b >时，()21210bx b x b -++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立，可得()221b x x x -+≥+.22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，212x b x x +≥-+. 当1x =-时，2102x b x x +>=-+成立； 当11x -<≤时，令(]10,2t x =+∈，可得1x t =-，则()()22211142341123x t t x x t t t t t t +===≤=-+-+---++-， 当且仅当2t =时，即当1x =时，等号成立. 综上所述，函数212x y x x +-=+在区间[]1,1-上的最大值为1，1b ∴≥. 因此，实数b 的取值范围是[)1,+∞.20．已知函数()()lg ,02,0x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩.（1）若()1f a =，求a 的值；（2）若关于x 的方程()()2210f mf x x m +++=恰有5个实数根，求m 的取值范围.【解析】（1）若0a <，则()()lg 1=-=f a a ，解得10a =-；若0a ≥，则()21af a e =-=，解得0a =或ln3. 故a 的值为0或10-或ln3.（2）由题可知()()lg ,02,0ln 22,ln 2x x x x f x e x e x ⎧-<⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩， 作出()f x 的大致图象如下：令()t f x =，由图像可得，当01t <≤时，方程()t f x =有三个不同实根；当1t >或0t =时，方程()t f x =有两个不同实根；当0t <时，方程()t f x =有一个实根；因此关于x 的方程()()2210f mf x x m +++=恰有5个实数根等价于关于t 的方程2210+++=t mt m 有2个不相等的实数根1t ，2t ，不妨设12t t >，则12101t t >⎧⎨<≤⎩或21001t t =⎧⎨<≤⎩，令()221=+++h t t mt m ，若11t >，201t <<，则()()00100h h ⎧>⎪<⎨⎪∆>⎩，即2210320840m m m m +>⎧⎪+<⎨⎪-->⎩，不等式无解；若11t >，21t =，则()()00100h h ⎧>⎪=⎨⎪∆>⎩，即2210320840m m m m +>⎧⎪+=⎨⎪-->⎩，不等式无解；若20t =，101t <≤，则()()00100h h ⎧=⎪≥⎨⎪∆>⎩，即2210320840m m m m +=⎧⎪+≥⎨⎪-->⎩，解得12m =-.故m 的取值范围是12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.21．已知函数2ln()1,1,()1, 1.x x f x x ax x -+<-⎧=⎨-+--⎩（1）判断()f x 在(,1)-∞-上的单调性（不需要证明）；（2）若()f x 在(,)-∞+∞上为单调函数，求a 的取值范围.【解析】（1）y x =-在R 上为减函数，ln y x =在(0,)+∞为增函数，ln()y x ∴=-在(,0)-∞上为减函数，()f x ∴在(,1)-∞-上为减函数；（2）由（1）知，()f x 在(,1)-∞-上为减函数，则()f x 在[1,)-+∞上也为减函数， 所以12a -，且2(1)1ln11a ----+，解得32a --.22．已知函数()2,0,10,x a b x f x x x ⎧+≥=⎨--<⎩，，其中0a >，1a ≠.（1）若()f x 在(),-∞+∞上是单调函数，求实数a ，b 的取值范围；（2）当a =2时，函数()f x 在(),-∞+∞上只有一个零点求实数b 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 在,0上递增，∴()f x 在[0，+∞）上也是递增的，∴1a >，且()011f b =+≥-，解得2b ≥-. （2）∵0x <时，()1f x <-，∴()f x 在（-∞，0）上无零点， ，当0x ≥时，()2x f x b =+只有一个零点.∵()f x 在[0，+∞）上递增，且()1)f x b ∈++∞[，，∴()010f b =+≤， ∴实数b 的取值范围是1]b ∈-∞-(,.。

必修1 分段函数-----专题与解析一．选择题（共16小题）1．（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题：计算题。

分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．解答：解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。

专题：作图题；数形结合。

分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．3．若，则f（log23）=（）A．﹣23 B．11 C．19 D．24考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。

分析： f（x）为分段函数，要求f（log23）的值，先判断log23的范围，代入x＜4时的解析式，得到f （log23+1），继续进行直到自变量大于4，代入x≥4时的解析式求解．解答：解：∵1＜log23＜2，4＜log23+3＜5∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=故选D点评：本题考查分段函数求值、指数的运算法则、对数恒等式等难度一般．4．已知函数若，则实数a=（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。