一个分式不等式的简证、推广及其应用

教学知识点解简单的分式不等式分式不等式是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和推理推导中具有广泛的应用。

通过这篇文章，我们将详细介绍如何解简单的分式不等式。

一、基本概念在开始讨论分式不等式之前，我们先回顾一下分式和不等式的基本概念。

1. 分式分式由分子和分母构成，形如a/b的表达式，其中a和b都是实数。

我们通常将分式记作F(x)，其中x为自变量。

2. 不等式不等式是数学中用不等号表示的关系式，表示两个数之间的大小关系。

常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。

二、分式不等式的解法解分式不等式的关键是找到使得分式取相应值的自变量范围。

接下来，我们将介绍两种常见的解法。

1. 通分法通分法是解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是将不等式中的分式形式转化为通分形式，然后根据分子和分母的正负关系来确定积的正负性。

例如，对于一个简单的分式不等式：(x+1)/3 < 2，我们可以通过将3分母乘以2得到6，然后得到新的不等式：2(x+1)/6 < 2。

接着我们可以进一步将不等式转化为(x+1)/3 < 3的形式，然后解得：-4 < x < 8。

2. 负号判定法负号判定法是另一种解决分式不等式的常见方法，它的基本思想是根据分子和分母的正负关系来确定不等式的解集。

对于一个简单的分式不等式：(x-1)/(x+2) > 0，我们可以通过分析分子和分母的正负性来确定不等式的解集。

首先，我们可以得出x ≠ -2，因为分母不能为0。

然后，我们可以使用表格法绘制x-1和x+2的正负号：x | -2 | 1 |---|-----|----|x-1| - | + |x+2| 0 | + |从表格中我们可以观察到，当x< -2或1 < x时，(x-1)/(x+2) > 0。

因此，解集为x < -2或1 < x。

三、实例分析在本节中，我们将通过一个具体的实例来演示如何解简单的分式不等式。

分式不等式的解法步骤很多同学对于分时不等式还处于不是很明白的状态，甚至有些不知道怎么做，以下是由编辑为大家整理的“分式不等式的解法步骤”，仅供参考，欢迎大家阅读。

分式不等式的解法对于第一类解法如下：(1)令分子、分母等于0，并求出解;(2)画数轴在数轴上找出解的位置;(3)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过对于第二类解法如下：(1)移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式;(2)令分子、分母等于0，并求出解;(3)画数轴在数轴上找出解的位置;(4)判断分子、分母最高次系数乘积正负;若乘积为正从右上向下依次穿过;若为负从右下向上依次穿过拓展阅读：如何学好数学一、数学运算运算是学好数学的基本功。

初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。

初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习：从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。

从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，(3+3)2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。

帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。

在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确;②要自信，争取一次做对;慢一点，想清楚再写;少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。

二、数学基础知识理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。

什么是理解?按照建构主义的观点，理解就是用自己的话去解释事物的意义，同一个数学概念，在不同学生的头脑中存在的形态是不一样的。

分式不等式的解法与应用分式不等式是指一个或多个分式的大小关系。

解分式不等式需要使用一系列的求解方法和技巧。

本文将介绍分式不等式的解法与应用，并以实际问题为例说明其在实际中的应用。

一、基本概念在解分式不等式之前，我们先了解一些基本概念：1. 严格不等式和非严格不等式：严格不等式使用"<"或">"表示，非严格不等式使用"≤"或"≥"表示。

2. 分母不为0：在分式不等式中，分母不能为0，即分母不等于0。

二、解分式不等式的一般步骤解分式不等式的一般步骤如下：1. 确定不等式的定义域：将分母不等于0的条件列出，得到不等式的定义域。

2. 求解不等式的等价形式：将不等号转化为等号，得到不等式的等价形式。

3. 求解等价形式中的方程：将等价形式中的方程求解，得到不等式的解集。

4. 判断解集的正负情况：根据不等式的定义域和解集的正负情况，确定最终的解集。

三、分式不等式的解法1. 基本不等式的解法：对于一元一次分式不等式，可以使用基本不等式的解法来求解。

将不等式化为一个基本不等式，然后根据基本不等式的解法求解。

2. 分离变量法：对于一些特殊的分式不等式，可以使用分离变量法来求解。

将分式不等式拆分为两个不等式，然后对每个不等式进行求解，并确定最终的解集。

3. 全等变换法：对于某些具有特殊结构的分式不等式，可以使用全等变换法来求解。

通过变换分式不等式的形式，使得求解过程更加简单明了。

4. 图像法：对于一些复杂的分式不等式，可以使用图像法来求解。

绘制函数对应的图像，观察曲线和坐标轴的位置关系，通过图像来推断和确定不等式的解集。

四、分式不等式的应用分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。

以一个实际问题为例，说明分式不等式的应用：问题：某工人一天加工铁件个数至少为x个，且一小时加工铁件个数不得超过y个。

求出满足这个条件的x和y的取值范围。

数学解分式不等式导入：教师可以通过提问、引入实例等形式，引起学生的兴趣，激发他们对分式不等式的思考。

主体：一、分式不等式的概念及性质（250字左右）1.1 分式不等式的定义分式不等式是含有分式的不等式，其中分子和分母都是多项式。

例如：$\frac{2}{x+1}>1$。

1.2 分式不等式的解集解分式不等式需要找出使得不等式成立的变量取值范围。

绝对值不等式的解集可以用数轴表示，也可以用区间表示。

二、解分式不等式的基本方法（500字左右）2.1 消去分母法对于一元分式不等式，可以通过乘以不等式两边的分母的乘积，然后整理化简，得到一个不等式。

例如：$\frac{2}{x+1}>1$，乘以分母$(x+1)$得到$2>(x+1)$，进一步化简得到$x<1$。

2.2 分离定点法对于含有分式的复合不等式，可以先通过分离定点法将其分为两个简单的一元分式不等式，然后用相应的方法求解。

例如：$\frac{2}{x+1}>1$与$\frac{3}{x-2}<2$联立，可以通过分离定点法将其分别转化为$x<1$和$x<2$。

综合两个不等式的解得到解集为$x<1$。

三、分式不等式的特殊情况（500字左右）3.1 分式不等式的倒数形式对于形如$\frac{1}{f(x)}>0$的分式不等式，可以通过考虑分子和分母的正负性及零点，得到不等式的解集。

例如：$\frac{1}{x-1}>0$，则当$x>1$时，不等式成立。

3.2 分式不等式的根号形式对于形如$\sqrt{f(x)}>0$的分式不等式，可以通过考虑被开方式的正负性，得到不等式的解集。

例如：$\sqrt{x-1}>0$，表示$x-1>0$，即$x>1$，所以不等式的解集为$x>1$。

四、应用实例与拓展（250字左右）4.1 实际问题中的分式不等式向学生提供一些实际问题，例如水果配送中的运费分摊问题、费用比较问题等，让他们运用所学解决实际问题。

分式不等式的解法笔记
摘要：
1.分式不等式的基本概念
2.分式不等式的解法步骤
3.分式不等式的举例解析
4.分式不等式解法中的常见错误
正文：
一、分式不等式的基本概念
分式不等式是代数学中的一种不等式形式，它的出现频率较高，对于提高我们的数学思维能力和解题技巧具有重要的意义。

分式不等式是指含有一个或多个分式的不等式，它的解集可能是实数集、有理数集或某个特定的数集。

二、分式不等式的解法步骤
解分式不等式通常需要以下三个步骤：
1.找到分式不等式的最简公分母。

2.将分式不等式转化为整式不等式。

3.求解整式不等式，并考虑最简公分母的正负性，得到分式不等式的解集。

三、分式不等式的举例解析
例如：解不等式(x+1)/(x-2) > 0。

步骤一：找到最简公分母，即x-2。

步骤二：将分式不等式转化为整式不等式，得到(x+1)/(x-2) * (x-2)/(x-
2) > 0，化简后为x+1 > 0。

步骤三：求解整式不等式，得到x > -1。

步骤四：考虑最简公分母的正负性，当x ≠2 时，分式不等式的解集为x > -1。

四、分式不等式解法中的常见错误
1.未找到最简公分母：在解分式不等式时，必须找到最简公分母，否则解出的结果可能不准确。

2.未将分式不等式转化为整式不等式：分式不等式不能直接求解，必须转化为整式不等式后才能求解。

3.求解整式不等式时出错：在求解整式不等式时，需要注意不等式的方向，以及可能的特殊情况。

总之，掌握分式不等式的解法对于学习代数学和解决实际问题具有重要意义。

不等式常用公式概念及拓展详细在高中数学中，不等式是一个非常重要且常见的概念。

它们经常用来描述数值的大小关系。

本文将详细介绍不等式的常用公式、概念以及一些拓展知识。

1.不等式的基本定义和性质不等式是一个表示两个数或两个代数式关于大小关系的陈述，包括大于、小于、大于等于和小于等于四种情况。

例如，a>b表示a大于b，a<b 表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。

不等式的性质：-若a>b，那么b<a；-若a>b，且b>c，那么a>c；-若a>b，那么a+c>b+c（这个性质可以推广到减法、乘法和除法）；-若a>0，那么a·b>a·c（若a<0，则反号）。

2.一元一次不等式一元一次不等式是一个以一个变量为未知数的一次方程。

例如，2x+1>5是一个一元一次不等式。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但需要注意在乘除法时要根据不等式的符号进行判断。

3.二元一次不等式二元一次不等式是含有两个变量的不等式，例如，2x+3y>6、要解二元一次不等式，需要将其转化为图形来表示。

可以通过绘制直线、曲线等方式来确定不等式的解集。

4.绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式。

例如，x-2，>3、解绝对值不等式时，需要考虑绝对值的两个情况，即x-2>3和x-2<-3、解出这两个方程后，将求得的解集取并集即可得到绝对值不等式的解集。

5.分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。

例如，x/(x+3)>1、解分式不等式时，需要注意分母不能为0。

可以通过绘制函数图像的方法来确定不等式的解集。

6.不等式的加减法不等式的加减法是指对不等式的两边同时加上或减去相同的数，而保持不等式成立。

例如，若a>b，则a+c>b+c。

但是需要注意，当不等式两边乘以负数时，不等号的方向会发生翻转。

分式不等式的性质教学设计导语：分式不等式是数学中的一种重要概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将从分式不等式的定义、性质以及解题方法三个方面进行详细讲解，并设计了一堂针对分式不等式性质的教学课程，帮助学生充分理解这一概念。

一、分式不等式的定义与性质1. 定义：分式不等式是一个带有分式的不等式，其中分母不为零。

分式不等式可以写成类似于“分子/分母≤或≥数”的形式。

2. 性质：分式不等式的性质与普通不等式相似，但在处理过程中需要特别注意分母的情况。

以下是几个常见的性质：- 同乘性原则：在不改变不等关系的前提下，分式不等式的两边同乘（或除）同一个正数，不等关系不变。

- 乘方性质：分式不等式中的两个分数乘方后，当分子分母均为正数时，不等关系仍然成立。

当分子分母均为负数时，不等关系需要取反。

- 分子分母同乘（零）性质：对分式不等式进行乘法分配或将分式不等式的两边同乘（除）同一个数，若左边乘（除）的数为正，则不等关系保持不变；若左边乘（除）的数为负，则不等关系需要取反。

二、分式不等式的解题方法1. 一元分式不等式：针对一元分式不等式，我们可以通过以下步骤进行求解：- 将分式不等式化简，使得分母不为0。

- 将分式不等式的两边通分，消去分母。

- 根据不等关系的性质，解得变量的取值范围。

- 检验所得的解是否满足原始分式不等式。

2. 两个或多个变量的分式不等式：对于包含两个或多个变量的分式不等式，我们可以利用图像法或代数法求解。

- 图像法：通过绘制函数图像，观察函数曲线与坐标轴的关系，找出使不等式成立的变量取值范围。

- 代数法：将分式不等式进行变形，转化成与一元分式不等式类似的形式，然后使用一元分式不等式的解题方法求解。

三、教学设计为帮助学生理解和应用分式不等式的性质，我们设计了以下教学过程：1. 导入与概念讲解（约10分钟）- 引导学生思考与回顾普通不等式的概念与解法，构建对不等式的基本认识。

- 通过例题引入分式不等式的概念，并给出一些简单的分式不等式实例。

《不等式及其性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。

例如：3 ＞ 2 ，x ＋ 1 ＜ 5 ，2x ≥ 4 ，y 3 ≤ 0 等都是不等式。

二、不等式的类型1、一元一次不等式：含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式。

形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。

2、一元二次不等式：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式。

例如：x² 3x ＋ 2 ＞ 0 。

3、简单的分式不等式：不等式的两边至少有一边是分式的不等式。

比如：＼（＼frac{x 1}｛x ＋ 2} ＞ 0\）。

4、绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式。

例如：｜ x ｜＜ 3 ，｜ 2x 1 ｜≥ 5 。

三、不等式的解与解集1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。

比如在不等式 x ＋ 2 ＞ 5 中，当 x ＝ 4 时，不等式成立，所以 4 就是这个不等式的一个解。

2、不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合。

不等式 x ＋ 2 ＞ 5 的解集是 x ＞ 3 ，表示所有大于 3 的数都是这个不等式的解。

四、不等式的性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。

简单来说，就是两个数的大小关系是相互的。

2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。

比如 5 ＞ 3 ， 3 ＞ 1 ，所以 5 ＞ 1 。

3、加法性质：（1）如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。

例如：因为 2 ＞ 1 ，所以 2 ＋ 3 ＞ 1 ＋ 3 ，即 5 ＞ 4 。

（2）如果 a ＜ b ，那么 a c ＜ b c 。

在不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。

比如：5 ＜ 7 ，所以 5 2 ＜ 7 2 ，即 3 ＜ 5 。

分式不等式的解法技巧1. 嘿，分式不等式其实不难解啦！就像你要找到打开宝藏的钥匙一样。

比如不等式 2/(x-1)＞1，这时候你就把它当成一个小挑战嘛！先移项通分，变成(2-x+1)/(x-1)＞0，然后不就可以找到答案啦！2. 哎呀呀，解分式不等式有个超好用的技巧哦！就好像你在迷宫里找到正确的路一样。

像3/(x+2)≤2，咱就把它变形一下，看清楚不等式的方向，是不是一下子就清晰啦！3. 哇塞，分式不等式的解法技巧真的很神奇呢！好比你掌握了一种魔法。

比如说遇到 4/(x-3)＞3 这样的，别慌呀，按照步骤来，不就轻松解决啦！4. 嘿，你知道吗？分式不等式有个小窍门呢！就像找到隐藏在数字里的秘密。

就像 5/(x+1)＜4，动动脑筋，仔细分析，答案就出来啦，是不是很有趣呀！5. 哈哈，分式不等式的解法技巧可有意思啦！如同解开一个有趣的谜题。

比如面对 6/(x-2)≥1，别着急，慢慢分析，就能找到答案啦！6. 哇哦，解分式不等式的时候这个方法超棒的！简直就像拥有了超能力。

像 7/(x+3)＞5，用这个技巧，一下子就能搞定啦！7. 哎呀，分式不等式这里有个关键技巧呀！就像在黑暗中点亮一盏灯。

比如 8/(x-4)＜2，好好利用这个技巧，问题迎刃而解啦！8. 嘿，分式不等式的这个解法真的绝了！就如同找到了通关的密码。

就像9/(x+5)≤3，用起来超顺手的呢！9. 哇，分式不等式的这个技巧太好用啦！好像给了你一双翅膀。

碰到10/(x-6)＞4，用这个技巧，轻松跨越难题呀！10. 哈哈，分式不等式的解法技巧多着呢！就像拥有一个百宝袋。

比如11/(x+7)＜5，熟练运用技巧，一切都不在话下啦！我的观点结论：分式不等式的解法技巧多种多样，只要我们认真去学去用，就能轻松应对各种分式不等式啦！。

百度文库- 让每个人平等地提升自我I关于不等式的证明及推广摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。

初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等数学中，可以利用的方法更加灵活技巧。

我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。

由此我们可以看到，不等式的的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。

所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。

本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍。

本篇论文一共分为三章，其中第三章和第四章为正文部分。

第三章分两小节，第一节介绍了23种初等代数中不等式的证明方法。

而第二节则介绍了6种高等代数中不等式的证明方法。

第四章介绍了一些著名不等式的证明、推广和应用。

关键词：不等式证明方法百度文库- 让每个人平等地提升自我IIAbstractIn elementary algebra and advanced algebra,The inequality proof all holds the pivotalposition. In the elementary algebra introduced many concrete but has quite had mystical powers activeness and skill the proof method,For example the structure proof method, the comparison test, puts item by item shrinks research technique and so on the law; But in higher mathematics,We may a use method more nimble skill. We may use the model west the tan oak the inequality conclusion to prove the similar inequality; Eliminates this also to be possible to use the derivative, Differential theorem of mean, Taylor formula; integra intermediate value theorem And so on the related knowledge proves the inequality;Union convex function nature,The convex function law also may prove a kind of inequality; In is deciding in situation,Also may use the discriminant law; After grasped the definite integral to change into the multiple integral the content, Regarding some kind of inequality,Also may change into the definite integral the multiple integral, Again proved asks inequality. May see from this us to, Inequality solution proof method not only, But in elementary mathematics inequality, All may use the higher mathematics the knowledge to solve, answer is ,The higher mathematics has the important guiding sense to the elementary mathematics teaching and the study, Not only must grasp in the elementary mathematics each inequality proof method,Must grasp in the higher mathematics the inequality proof method, This article induced and summarized some solution proof inequalities methods and the skill,Has highlighted the inequality basic thought and the essential method, Is advantageous for understands each part of inner links well, Grasps the inequality from the overall the thinking method; Attention to some famous inequalities proofs.This paper altogether divides into three chapters, third chapter and fourth chapter is the main chapter minutes two sections, First section introduceds in 23 kind of elementary algebras the inequality proof method. But second then introduced in 6 kind of advanced algebras the inequality proof chapter introduced some famous inequalities proofs, the promotion and the application.Key word: Inequality proof method百度文库- 让每个人平等地提升自我III 目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言（绪论） (1)第二章文献综述 ·······················································································第三章不等式的证明方法 ·······································································初等代数中不等式的证明 ·····································································3.1.1比较法····················································································3.1.2分析法 ·······························································································3.1.3反证法·······························································································3.1.4数学归纳法 ························································································3.1.5换元法 ·······························································································3.1.6放缩法 ·······························································································3.1.7调整法 ·······························································································3.1.8构造法 ·······························································································3.1.9利用已知的不等式证明 ·······································································3.1.10利用一元二次方程的判别式证明 ·······················································3.1.11用几何特性或区域讨论 ·····································································3.1.12利用坐标和解析性证明 ·····································································3.1.13利用复数证明 ···················································································3.1.14参数法 ·····························································································3.1.15利用概率证明 ···················································································3.1.16利用向量证明 ···················································································3.1.17面积法 ·····························································································3.1.18化整法 ·····························································································百度文库- 让每个人平等地提升自我IV 3.1.19步差法 ·····························································································3.1.20通项公式法 ······················································································3.1.21转化成数列法 ···················································································3.1.22增量法 ·····························································································3.1.23裂项法 ·····························································································高等代数中不等式的证明 ·······································································3.2.1由函数的上、下限证明·····································································3.2.2由柯西不等式证明 ···········································································3.2.3由Taylor公式及余项证明·································································3.2.4由积分的性质证明 ···········································································3.2.5由中值定理证明···············································································3.2.6利用求函数的最值证明·····································································第四章几个著名不等式的证明、推广及其应用···································关于绝对值不等式 ·················································································4.1.1三角形不等式 ··················································································4.1.2三角形不等式的推广 ········································································4.1.3三角形不等式的应用 ········································································平均值不等式··························································································4.2.1算术平均数与几何平均数 ·································································4.2.2几个平均数的关系 ···········································································4.2.3平均值不等式的应用 ········································································贝努利不等式··························································································排序不等式······························································································柯西不等式······························································································4.5.1柯西不等式的定理和初等证明 ··························································4.5.2柯西不等式的推广 ···········································································百度文库- 让每个人平等地提升自我V 闵可夫斯基不等式 ·················································································赫尔德不等式··························································································契比雪夫不等式 ·····················································································琴生不等式······························································································艾尔多斯—莫迪尔不等式 ·····································································结论··············································································································致谢··············································································································参考文献······································································································附件··············································································································。

教材分析：《不等式基本性质的证明及应用》是北师大版八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》部分的内容之一．教材中没有直接给出不等式基本性质的证明，而是采用合情推理的方式得到的性质，这样的编排对学生深刻理解这部分内容有一定的困难，特别是在学习了八上第七章第一节《为什么要证明》，学生更容易产生想证明的期望．《不等式基本性质的证明及应用》是不等式证明和应用的重要组成部分，它在学生的学习中起着承上启下的作用，就此内容我们作了深入细致的研究．在初二的教学中可以将它放在《不等式的基本性质》之后学习．从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算及证明的一个重要课题，也是提高学生运算、推理能力和应用数学能力的好时机．这里培养起来的各项能力不光为学习初中不等式的知识垫定了基础，同时为高中的学习起着举足轻重的作用．学情分析：知识方面：学生已经知道实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，不等式的基本性质，这些都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫．就知识掌握情况而言，仍有部分学生对性质感觉较抽象，运用起来还不太熟练．能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，合情推理能力、演绎推理能力和较强的合作交流能力．心理方面：初二的学生经过一年的培养，能够有序地进行小组合作学习．初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨．教学目标：知识与技能目标：1.要求学生在理解的基础上掌握不等式基本性质的证明；2.掌握判断两个实数大小的基本方法-------作差比较法；3.能利用不等式的基本性质证明简单的不等式．过程与方法目标：让学生经历不等式基本性质的证明过程，体验数学的严谨性．通过对基本性质的拓展应用，让学生体验数学的应用性，感受数学的魅力．情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对未来学习的信心． 教学重、难点教学重点：不等式基本性质的证明和证明简单不等式．教学难点：比较大小做差时如何判断差的符号及简单不等式的证明思路． 教学过程一、复习回顾，导入新课我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在上图中，点表示实数，点表示实数，点在点右边，那么．我们再看上图，表示减去所得的差是一个大于的数即正数．一般地：若，则是正数；逆命题也正确．类似地，若，则是负数；若，则．它们的逆命题都正确．即：；；.由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．由此出发，我们还可以证明不等式的基本性质.二、合作学习、探究新知（一）比较两实数大小的方法-------作差比较法．比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则．比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.例1：当a b >0>时，比较2a b 与2ab 的大小.教师引导学生分析：本题是比较两个代数式的大小，直接比较肯定不可能，A a B b A B b a >b a >a b 0b a >b a -b a <b a -b a =0=-b a b a >⇔0>-b a b a <⇔0<-b a b a =⇔0=-b a a b现在只能用作差法来比较，可以考虑将 22ab b a - 变形成乘积形式，就可以与0比较大小了．在此老师可提问学生如何将22ab b a - 变形成乘积形式，引导学生回忆分解因式，找到方法后教师在黑板板书例题的做题过程，便于学生模仿.跟踪练习①：比较与的值的大小.通过例题和跟踪练习师生共同总结作差法的大致步骤是：作差——变形——判断正负。

z ·26· 中学教研 ( 数学) 出有序性，这就容易造成概念的泛化［6］．在学生获得原理后的练习中，教师未能及时提供充分的变式，促进学生思考分步的意义． 教师在一开始教学时，提供的问题情境都是刚好适合分步计数原理来解决的． 这就无法暴露出学生理解中的“潜在错误”． 如果学生在练习中得不到反例的辨析与反思，缺陷的理解得到强化，那么在后续学习中暴露出错误后，纠正就变得很困难，因为要破除一个旧观念远远比接受一个新观念要困难得多［7］．参 考 文 献［1］ 蔡庆有，刘忠东． 对数学理解两种研究模式的探讨［J ］． 井冈山学院学报，2007( 8) : 23-25． ［2］ 何小亚． 数学学与教的心理学［M ］． 广州: 华南理工大学出版社，2003．［3］ 杨光伟． 对排列组合教学的一点建议［J ］． 数学通讯，2004( 15) : 12-14．［4］ 胡海霞． 影响高中生组合推理的因素［D ］． 华东师范大学，2006．［5］ 郭朋贵，陈敦莹． 数学学习中的理解障碍及其对策分析［J ］． 高等函授学报: 自然科学版，2005 ( 6) : 39-41．［6］ 曹才翰，章建跃． 数学教育心理学［M ］． 北京: 北京师范大学出版社，2006: 209． ［7］ D ． A ． 格劳斯． 数学教与学研究手册［M ］． 陈昌平，王继延，陈美廉，等译． 上海: 上海教育出版社，1999．一 个 不 等 式 问 题 的 简 证 及 其 思 考● 安振平 ( 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 陕西咸阳 712000)在《数学通报》1992 年第 10 期的数学问题栏目中，黄汉生先生提出了如下不等式:问题 1 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:x 2 y 22 ) 原刊物的证明过程比较复杂，下面笔者给出该题的简化证明．证明 注意到简单不等式 a b + bc + c a ≤a 2 + b 2 + c 2，得1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 ≤( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 ， xyzyz zxzx xy xy yz yzzx xy即1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ．xyz2z2 x2因为1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ，x2 y2 y2 z2 z2 x2 x4 y4 z4所以1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ．由柯西不等式，得3xyz 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 zxy 2 x 4 y 4 z 4槡x 2 + xy + y 2 + 槡y 2 + yz + z 2 + 槡z 2 + zx + x 2 = 槡( 12 + 12 + 12) ［( x 2 + xy + y 2) + ( y 2 + y z + z 2) + ( z 2 + z x + x 2) ］= 槡3［2( x 2 + y 2 + z 2) + ( xy + yz + zx) ］= 槡 槡 x 2 y 2y 2 z 2 ≤) z2 x2+1 x yz2 y z x 2)zxy2第12 期安振平: 一个不等式问题的简证及其思考·27·槡 槡 x 2 y 2) y2 z2 z2 x2()槡x4 y4 z4() Array x2 y2 z2得证．1 3xyz 2+ 1+1+ 1+1+1= 3xyz 1 + 1 + 1 ．对不等式( 1) 进行变形，可等价转化为:问题 2 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz+ zx + xy ≥ 1 (槡x2 + xy + y2 +槡y2 + yz + z2 +槡z2 + zx + x2) ．( 2)x y z 槡3事实上，还可以证明如下的不等式:问题3已知x，y，z∈R +，求证:槡x2 + xy + y2 + 证明利用二元均值不等式得槡y2 + yz + z2 +槡z 2 + zx + x 2 ≥ 槡3( x + y + z) ． ( 3) 槡x 2 + xy + y 2 = 1 槡3( x 2 + y 2) + 2xy + 4xy ≥槡3( x + y) ，即 同理可得2 2 22槡x 2 + xy + y 2≥槡3( x + y) ． 槡y 2 + yz + z 2≥槡3( y + z) ; 槡z 2 + zx + x 2≥槡3( z + x) ． 2 2将这 3 个不等式叠加，立得不等式( 3) ．链接不等式( 2) 和( 3) ，可得如下不等式链:问题 4 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz + zx + xy ≥ 1 (槡x2 + xy + y2 +槡y2 + yz + z2 +z 槡z 2 + z x + x 2 ≥ x + y + z ． ( 4) x y z 槡3 显然，不等式( 4) 是如下常见不等式的加细．问题 5 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz + zx x yxy≥x+y+z．(5)+在《中学数学月刊》2008 年第1 期中，田富德先生提出了这样一个分式不等式:问题6若a，b，c∈R，且a，b，c都不为0，则b2 c22 2+a2 事实上，不等式( 6) 等价于+ b2c2 + ab + bc + ca ≥3( a + b + c)．( 6)b2 c2c2 a2a2b2 2 222 1+a2+ b2c2 ≥3( a + b + c ) +3( ab + bc + ca) ．我们知道，a2+b2+c2≥a b+bc+c a，于是有比不等式(6)更强的结论:若a，b，c∈R，且a，b，c都不为0，则b2 c2a2+c2 a2+ b2a2 b2 2≥ ac2这正是问题5 中的不等式!以上我们探讨了不等式( 5) 的一种加细，得到了比较优美的不等式( 4) ．这里需要指出的是，不等式还有一些简单的应用，请看如下不等式:(1)已知x，y，z∈R +。

一个简单分式不等式的三种解法例：解不等式：对于此不等式，曾有学生作出如下解法：对于此种解法，其思路是将原不等式两边同时乘以，然后移项、变形。

其思路好像没什么问题。

但细心的同学马上会发现，这个解集里面有0，而0显然不是原不等式的解，也就是说，这个答案是有问题的。

那这种解法的问题出在哪里呢？回顾一下初中的知识，我们便知道：不等式两边同时乘（或除）以一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘（或除）以一个负数，不等号的方向要改变。

这种解法在对原不等式两边同时乘以时，没有考虑到的正负。

从题目来看，显然不可能为0。

如此一来，就可能为正也可能为负。

当为正时，原不等式的不等号方向不变；当为负时，原不等式的不等号方向要改变。

所以应该对的正负进行讨论。

其正确解法如下：解法一：（分类讨论）解法一对进行了讨论。

这种方法属于分类讨论法，是高中数学的一个重要的方法，也是高中数学考试中的重难点。

学生需要逐渐理解并掌握此方法。

另外，对于此不等式，除了解法一的方法外，还可以用其他的方法进行解答。

解法二：（等价变形）解法三：（数形结合）原不等式即，由图可得：的取值范围是 ∴原不等式的解集为：三种解法各有特色，其中解法三充分运用了函数图象的直观性，展现了数形结合的优点。

32->x⎪⎭⎫⎝⎛∞+-∴->∴->->∴->，原不等式的解集为即3232233232x x x xx x x x x x x x ()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞--<-<-<<>∴->>≠，，原不等式的解集为：综上，，解得即时，原不等式等价于当此时显然成立时，原不等式等价于当由题可知，032.3223320.0.320.0x x x x x x x x x ()()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∴-<>>+>+>+⇔->，，原不等式的解集为：或解得：即即03232003203203232x x x x xx xx ()()的图象如下：，则设x f xx f 2=()3->x f x032>-<x x 或()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，032。