8-4 多元复合函数的求导法则

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多元复合函数的求导法则

z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x

§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y

多元复合函数求导的链式法则

全导数
多变量函数的导数定义为所有偏导数的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导法则和单变量、多变量函数的导数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中，对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应力分布。

多元复合函数的求导法则

分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，且有相应的导数或偏导数。 1、全导数情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y

多元函数的求导法则-精选

z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]

高等数学8-4 多元复合函数的求导法则

注意到x , z 是独立自变量
故
f f f f f du ( )dx ( )dz x y x y t x y t z z
由全微分定义
u f f f x x y x y t x u f f z y t z z
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v 当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
解一变量间的关系如下图所示 x x
x
u
y
t
x
z u f f y f z x x y x z x
y x x t x u f f f x x y x y t x
合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点
( x , y )的两个偏导数存在，且
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
z z dz dx dy x y
z u z v z u z v dx dy u y v y u x v x z u u z v dx dy dx v dy u x y v x y
z z 求和 . x y
解

大学数学_8_4 复合函数的求导法则

z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均在点 t 处可导， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数，写出复合函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(

多元复合函数关系图与求导法则

z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情形
• 多个自变量的情形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z

§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

复合函数求导法则有哪些呢

复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

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t
解:
d z z du d t u d t
2 2
z t
z
u v t
v cos t
e
t
t
cos t sin t e cos 2t e t
t
t
z z 练习1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2 2 2 2 2 2 2 2u 2u 2u x y z 3r ( x y z ) 2 2 f (r ) f (r ) F (r ) 2 2 3 x y z r r
三、一阶微分形式不变性
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
又例如:
z dz u y du y
z f (u, v , w ) , u ( x, y ) , v ( x, y ), w ( x, y )
z z u z v z w , 则有公式(3) x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
再例如, z f (u, v, w) , u ( x ) , v ( x ), w ( x )
d z z du z d v z dw , d x u dx v d x w dx
,
.
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
3.四点注意
练习 z f (u, x, y) , u xe y z f1 f2 x
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: d z d (sin u cos v ) cosv d sinu sin u dcos v
y cos u cos v d u sin u sin v d v cosu cosvdxy sinu sinvdx
z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
x
z
u v
y x y
公式(1) 还推广可到中间变量，外函数都是一般多元函数
(包括一元函数)的情形.例如: z f (u) , u ( x, y ) ,
z dz u , 则有公式(2) x du x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
二、多元复合函数的高阶导数
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号.
xy z 2
u u , z x sin y,求 , x y
2
u
x y z
x
2
y
xe
xy z 2
2ze
2
xy z 2
x cos y
xy z 2
( x 2zx cos y ) e
dz . 例3. 设 z u v e , u sin t , v cos t , 求全导数 dt
cos( xy ) cos x y ( ydx xdy ) y y 1 y sin(xy) sinx ( yx dx x ln xdy) [ y cos(xy) cos x y -yx y1sin(xy)sin x y ]dx [ x cos(xy) cos x y -x y lnxsin(xy)sin x y ]dy
2 x 2 2 r u 2 2 2 x x r x r ff( 2 f ( r ) 利用对称性 , 有 r ) ( r ) ( r ) 2 2 2 3 x r r r r 2 2 2 2u y2 r 2 y2 2 u z r z f (r ) 2 f (r ) 3 , f ( r ) 2 f ( r ) 3 2 2 y r r z r r
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则微分法则本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的高阶导数三、一阶微分形式不变性
一、多元复合函数求导的链式法则
z f ( u, v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
定理如果函数u = (x, y) ,v = (x, y)在(x, y)点的两个
偏导数都存在，函数Z = f (u, v)在对应点 (u, v)可微，则复合函数Z =f (u, v) =f ( (x, y), (x, y))在点(x, y) 的两个偏导数存在，且有链式法则公式(1):
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x
y
y cos(xy) cos x yx
y
y 1
sin(xy) sinx

y
z z u z v y u y v y
y sin u sin v x x ln x cos u cos v
u x yx
v y
x cos(xy) cos x y x y ln x sin(xy) sinx y
2 z x y
f 11 f 23 f 21
f 13
P59 题7(2)类型
u f1 x u f1 y u f2 z
1 f1 y
f2
x 1 2 f1 f 2 z y
y 2 f 2 z
例4. 设 w f ( x y z, x y z ) , f 具有二阶连续偏导数,
w w 求 , . x xz
2
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
u
v
w f1 1 f 2 y z x
z
u v w
t t t
f1 f 2 f 3
z z , . 例1. 设 z sin u cos v , u x y , v x , 求 x y z z u z v 解: x u x v x y 1 cos u cos v y sin u sin v yx z
2
w f ( u, v )
x y zx y z
w 1 f12 x y y f 2 y z [ f 21 f11 x y ] 1 f 22 xz
2 f f 2 z f , y f12 , 为简便起见 y( x ,引入记号 xf1 f11 z ) f12 y f 2 u22 u v
作业
改错:
P59 1; 2; 3; 5； 7(1);
9
P59 题3
z arctan( x y) , y e
x
z y y 1 y 所以 y cos(xy) cos x -yx sin(xy)sin x x y z z
例1 . z sin u cos v , u x y, v x , 求 z
y y
y
y x y x cos(xy) cos x -x lnxsin(xy)sin x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
例2.
u f ( x, y, z ) e
xy z 2
u f f z 解: x x z x xy z 2 xy z 2 2 x sin y ye 2z e
( y 4 xz sin y ) e u f f z y y z y
f1 ( x y z, x y z ) y z f 2 ( x y z, x y z )
例5. 设u f ( r ) , r x 2 y 2 z 2 , f具有二阶连续偏导数,
2u 2u 2u 2 f ( r ) 2 F ( r ), 其中 F ( r ) f ( r ) 证明: 2 2 x y z r 证：

8-4 多元复合函数的求导法则

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