人B版数学必修1讲义：第3章 3.2.3 指数函数与对数函数的关系

3.1.2.指数函数教学设计一、教材的地位和作用本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。

因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

三、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。

作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

四、学情分析：学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。

必修一第三章基本初等函数（Ⅰ）§3.2.3指数函数与对数函数的关系教学设计一、教学分析1、教材分析我们拿到必修一教材，封面图形即本节所学，可见本节知识的重要性。

本节课是高中数学（必修1）人教B版第三章基本初等函数第二节，是高一学生在上一章学习函数及其性质的基础上，研究具体指数函数、对数函数之后进行教学。

这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础。

2、学情分析学生已有知识基础•学生会根据所给解析式利用描点法；知道研究函数的性质一般有：定义域，值域，奇偶性，单调性及图形本身的特点；掌握了指数函数与对数函数的函数形式及相关性质；会进行指数式与对数式的互化；理解并掌握了映射及一一映射的概念及二者的区别。

学生学习可能遇到的困难•反函数的定义；在学习中对互为反函数的两个函数的定义域与值域的关系为什么互换；为什么一一映射函数有反函数。

3、教学目标知识目标：（1）知道同底的指数函数与对数函数互为反函数。

（2）能以它们为例对反函数进行解释和直观理解。

能力目标：（1）从观察图象到引出概念。

（2）培养学生观察、分析、探究问题的能力。

（3）数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。

情感态度价值观目标：（1）引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系。

（2）欣赏数形和谐的对称美。

4、重难点分析教学重点：指数函数与对数函数的图象特征。

教学难点：1.反函数的概念。

2.定义域和值域的关系。

关键点：互为反函数的两个函数的图象特征。

二、教学策略1、教法学法教法：启发式教学法、任务驱动法教学、讲授法、配合多媒体辅助教学。

学法：小组合作学习法、观察法、探究法。

2、教学过程三、教学反思。

3.2.3指数函数与对数函数的关系
教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学过程：
1、 复习指数函数、对数函数的概念
2、 反函数的概念：一般地，函数)(x f y =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义
域为A ，值域为C ，由)(x f y =可得)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示x 是自变量
y 的函数。

这样的函数)(y x ϕ=C y ∈叫函数)(x f y =的反函数，记作：
)(1y f x -=。

习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此)(x f y =的反函数)(1y f
x -=通常改写成：)(1x f y -=
注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数；
② 与互为反函数。

③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
3、 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；
若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x f
y -=是增（减）函数。

4、 求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y f
x -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x f y -=的定义域。

例1、求下列函数的反函数：
①
②
③
④
解：略
课堂练习：教材第114页练习A、B
小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数课后作业：略。

教学建议1.教学过程中要注意让学生掌握指数函数与对数函数的关系和它们之间的相互转化,掌握函数及其反函数的图象关于直线y=x 对称.在解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数形结合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则,注意分类讨论.2.对于反函数概念的理解要注意以下几点:(1)反函数的定义域与值域恰好是原来函数的值域与定义域,由此我们在求一个函数的值域(或定义域)时,可改求它的反函数的定义域(或值域).(2)对于任意一个函数y=f(x)不一定总有反函数,只有当确定这个函数的映射是一一映射时,这个函数才存在反函数.y=f(x)只有存在反函数时,才可由y 0=f(x 0)得出x 0=f -1(y 0)〔或由b=f -1(a)得出a=f(b)〕.偶函数一般不存在反函数.(3)若y=f(x)的反函数为y=f -1(x),则 y=f(x)与y=f -1(x)在各自的定义域内具有相同的单调性.备用习题1.已知log 21b<log 21a<log 21c,则( )A.2b >2a >2cB.2a >2b >2cC.2c >2b >2aD.2c >2a >2b解析：∵0<21<1,log 21b<log 21a<log 21c, ∴b>a>c.又2>1,∴2b >2a >2c .故选A.答案：A2.若函数f(x)的反函数为f -1(x)=2x+1,则f(1)的值为( )A.4B.-4C.1D.-1解析：令f(1)=t,则f -1(t)=1,即2t+1=1.∴t+1=0.∴t=-1,即f(1)=-1.故选D.答案：D3.已知函数f(x)=log a (x-k)的图象过点(4,0),而且其反函数f -1(x)的图象过点(1,7),则f(x)是…( )A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数解析：∵函数f(x)=log a (x-k)的图象过点(4,0),∴log a (4-k)=0.∴k=3.∴f(x)=log a (x-3).又反函数f -1(x)的图象过点(1,7),∴f(x)过点(7,1).∴log a 4=1.∴a=4.∴f(x)为增函数.故选A.答案：A4.设f(x)=⎩⎨⎧>≤-,1,log ,1,281x x x x 则满足f(x)＝41的x 的值为________. 解析：由f(x)=41得⎪⎩⎪⎨⎧=>⎪⎩⎪⎨⎧=≤-,41log ,1412,181x x x x 或 ∴x=3.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章 3.2 3.2.3一、选择题1．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2 C ．y ＝2－x ，x ∈R D ．y ＝x －2，x ∈R[答案] D[解析] 由y ＝x ＋2得，x ＝y －2，∴y ＝x －2.∵x ∈R ，∴y ＝x ＋2∈R ， ∴函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为y ＝x －2，x ∈R . 2．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100·ln xC ．y ＝lg xD ．y ＝100·2x[答案] A[解析] ∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又∵e>2，∴y ＝1100e x 的图象的增长速度比y ＝100·2x 的图象的增长速度还要快，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (12)]＝( )A ．－1B ．log 2 3 C. 3 D ．13[答案] D[解析] f [f (12)]＝f [log 212]＝f (－1)＝3－1＝13.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[答案] C[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e.5．函数y ＝f (x )的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3) D ．(3,1)[答案] D[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D. 6．函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为( ) A ．y ＝(x －1)2＋1(x ≥1) B ．y ＝(x －1)2－1(x ≥0) C ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤1) D ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)[答案] D[解析] ∵y ＝1－x －1，∴x －1＝1－y ， ∴x －1＝(1－y )2，∴y ＝(1－x )2＋1＝(x －1)2＋1. 又∵x ≥2，∴x －1≥1，∴x －1≥1， ∴－x －1≤－1，∴1－x －1≤0.∴函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)． 二、填空题7．函数y ＝π－x 的反函数为________．[答案] y ＝－log πx (x >0)[解析] 由y ＝π－x ，得－x ＝log πy ，∴y ＝－log πx .∵π－x >0，∴函数y ＝π－x 的反函数为y ＝－log πx (x >0)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≤1)log 81x (x >1)，则满足f (x )＝14的x 值为__________．[答案] 3[解析] 由f (x )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x >1log 81x ＝14，∴x ＝3. 三、解答题9．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f －1(45)的值． [解析] 令y ＝1－3x 1＋3x，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y1＋y ，∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴y ＝log 31－x1＋x ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x.∴f －1(45)＝log 31－451＋45＝log 319＝－2.故f －1(45)的值为－2.一、选择题1．若f (10x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105 D ．510[答案] B[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ，∴f (5)＝lg5. 解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.2．若函数y ＝ax1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数 [答案] B[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，a 2)与(a2，1)皆在原函数图象上，故可得a ＝－1.3．函数y ＝10x2－1(0<x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[答案] D [解析] 由y ＝10 x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10 x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．4．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[答案] A[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数． 二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 7[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.6．已知函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0f －1(x )，x >0，则g [g (－1)]＝________.[答案] 1[解析] 由题意，得g (－1)＝－1＋2＝1， g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t－1)＝1，∴t ＝1，∴g [g (－1)]＝1.三、解答题7．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1；(2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x <0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0.[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1.∵x ≠－12，∴y ≠0.由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y .∴f －1(x )＝1－x 2x (x ≠0)．(2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2. ∵－1≤x <0，∴0<y ≤1.由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2. ∴f －1(x )＝－2x －x 2(0<x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0， 由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ； 当－1≤x <0时，0<y ≤1， 由y ＝x 2，得x ＝－y .∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x ，－1≤x ≤0－x .0<x ≤1.8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )．(3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－ax 2－2＋ax 1＝ax 1－ax 2，∵a >1，x 1<x 2，∴ax 1<ax 2即ax 1－ax 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．9．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．[分析] 解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决．[解析] 将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3.如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上， ∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)， a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)． 故a ＋b ＝3.。

3、2、2 对数函数~3、2、3 指数函数与对数函数的关系1.对数函数的概念（1）定义:一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0,a ≠1，x ＞0)叫做对数函数，其中x 是自变量．．．，函数的定义域是（0,＋∞)。

(2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面:①定义域：因为对数函数y ＝log a x 是由指数函数y ＝a x变化而来的,对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x的值域,即x ∈（0，＋∞）.②底数：对数函数y ＝log a x 的底数a ＞0,且a ≠1、③形式上的严格性:在对数函数的定义表达式y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1,x ＞0)中,log a x 前面的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则不是对数函数.【例1】下列函数是对数函数的序号是________.（1)y ＝4x；(2）y ＝log x 2；（3）y ＝－log 3x ；（4）y ＝log 0、4错误!;（5)y ＝log （2a －1）x 1,12a a x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，是自变量;（6)y ＝log 2(x ＋1)。

解析:根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x （a ＞0,a ≠1，x ＞0）形式的函数才是对数函数,其中x 是自变量，a 是常数。

易知,(1)式是指数函数；（2）式中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;(3）式中313=log =log y x x -是对数函数；（4）式中20.40.4log log y x x ==是对数函数;（5）中对数的底数2a －1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义;（6)中函数在对数的真数处不只是自变量x ，而是关于x 的表达式x ＋1，故不是对数函数.由此可知只有（3)(4）(5)是对数函数.答案：（3）（4）(5）点技巧 利用概念准确判断对数函数判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征,三者缺一不可。

第三章 3.2 3.2.3一、选择题1．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2 C ．y ＝2－x ，x ∈R D ．y ＝x －2，x ∈R[答案] D[解析] 由y ＝x ＋2得，x ＝y －2，∴y ＝x －2.∵x ∈R ，∴y ＝x ＋2∈R ， ∴函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为y ＝x －2，x ∈R . 2．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100·ln xC ．y ＝lg xD ．y ＝100·2x[答案] A[解析] ∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又∵e>2，∴y ＝1100e x 的图象的增长速度比y ＝100·2x 的图象的增长速度还要快，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (12)]＝( )A ．－1B ．log 2 3 C. 3D ．13[答案] D[解析] f [f (12)]＝f [log 212]＝f (－1)＝3－1＝13.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[答案] C[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e.5．函数y ＝f (x )的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3) D ．(3,1)[答案] D[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D. 6．函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为( ) A ．y ＝(x －1)2＋1(x ≥1) B ．y ＝(x －1)2－1(x ≥0) C ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤1) D ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)[答案] D[解析] ∵y ＝1－x －1，∴x －1＝1－y ， ∴x －1＝(1－y )2，∴y ＝(1－x )2＋1＝(x －1)2＋1. 又∵x ≥2，∴x －1≥1，∴x －1≥1， ∴－x －1≤－1，∴1－x －1≤0.∴函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)． 二、填空题7．函数y ＝π－x 的反函数为________．[答案] y ＝－log πx (x >0)[解析] 由y ＝π－x ，得－x ＝log πy ，∴y ＝－log πx .∵π－x >0，∴函数y ＝π－x 的反函数为y ＝－log πx (x >0)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≤1)log 81x (x >1)，则满足f (x )＝14的x 值为__________．[答案] 3[解析] 由f (x )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x >1log 81x ＝14，∴x ＝3. 三、解答题9．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f －1(45)的值． [解析] 令y ＝1－3x 1＋3x，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y1＋y ，∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴y ＝log 31－x1＋x ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x.∴f －1(45)＝log 31－451＋45＝log 319＝－2.故f －1(45)的值为－2.一、选择题1．若f (10x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105 D ．510[答案] B[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ，∴f (5)＝lg5. 解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.2．若函数y ＝ax1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[答案] B[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，a 2)与(a2，1)皆在原函数图象上，故可得a ＝－1.3．函数y ＝10x2－1(0<x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[答案] D [解析] 由y ＝10 x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10 x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．4．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[答案] A[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数． 二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 7[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.6．已知函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0f －1(x )，x >0，则g [g (－1)]＝________.[答案] 1[解析] 由题意，得g (－1)＝－1＋2＝1， g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t－1)＝1，∴t ＝1，∴g [g (－1)]＝1.三、解答题7．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1；(2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x <0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0.[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1.∵x ≠－12，∴y ≠0.由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y .∴f －1(x )＝1－x 2x (x ≠0)．(2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2. ∵－1≤x <0，∴0<y ≤1.由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2. ∴f －1(x )＝－2x －x 2(0<x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0， 由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ； 当－1≤x <0时，0<y ≤1，由y ＝x 2，得x ＝－y .∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x ，－1≤x ≤0－x .0<x ≤1.8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )．(3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－ax 2－2＋ax 1＝ax 1－ax 2，∵a >1，x 1<x 2，∴ax 1<ax 2即ax 1－ax 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．9．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．[分析] 解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决．[解析] 将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3.如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上， ∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)， a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)． 故a ＋b ＝3.。

高中数学学习材料唐玲出品3.2.3 指数函数与对数函数的关系【目标要求】1. 掌握反函数的概念, 会求一些简单函数的反函数.2. 掌握指数函数与对数函数的关系【巩固教材——稳扎马步】1.函数y=(0.2)-x+1的反函数是( )A.y=log 5x+1B.y=klog x 5+1C.y=log 5(x-1)D.y=log 5x-12.设f(x)=3412++x x （x ≠-43），则f -1(2)值是 （ ）A 、65-B 、52-C 、52D 、115 3.函数y=x 2+2x （x<-1）的反函数是 （ ） A 、y=11-+x （x<-1）B 、y=11-+x （x>-1）C 、y=-11-+x （x<-1）D 、y=-11-+x （x>-1）4.指数方程022542=+⋅-⋅xx的解集是 （ ）A ．{1}B ．}121{，C ．}211{，- D ．{-1，1}【重难突破——重拳出击】 5.方程4123log =x 的解是 ( ) A ．91B ．33C ．3D ．96.函数f(x)=2log21x 的值域是［-1，1］，则函数f -1(x)的值域是( )A.［22，2］ B.［-1，1］ C.［21，2］ D.(-∞，22 )∪(2，+∞)7.若函数y=3+a x-1(a ＞0，且a ≠1)的反函数的图像恒过定点P ，则P 点的坐标为 ( )A.(3，1)B.(3+a,2)C.(4,2)D.(4,1) 8. 设函数f （x ）=1－21x -（－1≤x ≤0），则函数y =f －1（x ）的图象是 （ ）图3-59.已知21lo g a ＜1,那么a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜21 B.a ＞21 C. 21＜a ＜1 D.0＜a ＜21或a ＞1 10. 函数y ＝ｌg ｜x ｜（ ）A.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增B.是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增D.是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减11. 函数y =2－x＋1（x ＞0）的反函数是 （ ）A.y =log 211-x ，x ∈（1，2） B.y ＝－1og 211-x ，x ∈（1，2） C.y =log 211-x ，x ∈（1，2] D.y ＝－1og 211-x ，x ∈（1，2] 12. 当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y ＝log a x 的图象是（ ）图3-6【巩固提高——登峰揽月】13. 函数f （x ）=x 2+1（x ≤0）的反函数f －1（x ）=_____.14. 函数y ＝lg210-x 的定义域是 .【课外拓展——超越自我】 15.已知f(x)=11010+x x ，求f -1(x)的表达式及其定义域、值域。