第二节双因素试验的方差分析

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Bj 对试验指
在许多情况下，水平组合 Ai ,

Bj 的这种效应并不等
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互 效应． 在多因素试验中， 通常把因素 A 与因素 B 对试验 指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素 记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交互作用．
rs 1
SE
SE r 1s 1
总和
ST
26
SB SA SA SB s 1 r 1 其中 FA ， FB ． SE SE SE SE r 1s 1 r 1s 1
为计算方便，常采用下列公式计算各偏差平方和．
2 T 2 ST X ij rs i 1 j 1 r s
1 r 2 T2 S A Ti s i 1 rs 1 s 2 T2 SB Tj r j 1 rs SE ST S A SB
27
其中
Ti X ij ，
j 1
s
T j X ij ，
i 1
r
T X ij
i 1 j 1
r
表示， 我们把试验结果 X ijk k 1, 看作是取自正态总体 X ij ~ N
,
ij
中的容
2
5
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
因素
B 各水平

B1
B2
因素
A 各水平
Bs

A1
X111, X112 , , X11t
X121 , X122 , , X12t
X1s1 , X1s 2 , , X1st
6
由于 X ijk k 1,
2, , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
Xijk ~ N ij , 2
可将上式改写成如下形式：

i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
ì ï X ijk = mij + eijk ï ï í ï eijk ~ N 0, s 2 ï ï î


下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
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一、无交互作用的双 因素试验方差分析
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如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ，
于是
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
ij i j
即每种水平组合 Ai ,

Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
2 SB r 1 FB ~ F s 1, SE r 1s 1
~ 2 s 1 ，而且 S B 与 S E 相互独立，从而
r 1s 1 ；
24
为此，选取 FA ， FB 分别作为检验假设 H 0 A ， H0 B 的统计 量．按照假设检验的程序，对显著性水平 ，确定临界值
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,

Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij
i 1,
2, ,
r;
j 1,
2, ,
11
可以证明，

i 1
s
r
r
i
i 1
i
r r r 0 ，

j 1 r j j 1 s r i 1 j 1 ij
s
j
s s s 0 ，
s

i 1 j 1
ij
s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
r s i 1 j 1
2
S A s X i X
r i 1 s
2
S B r X j X
j 1
2
21
由于 X i 是水平 Ai 下的所有观察值的平均，所以 反映了
X
r i 1
i
X
2
X1 , X 2 , , X r
之间的差异程度．这种差异是由于因素 A 的不同水平所引起的， 因此 S A 称为因素 A 的效应平方和，简称为因素 A 的平方和． 同样 的道理， S B 称为因素 B 的效应平方和，简称为因素 B 的平方和．

A2

X 211, X 212 , , X 21t

X 221 , X 222 , , X 22t
X 2s1, X 2s 2 , , X 2st



Ar
X r11, X r12 , , X r1t
X r 21, X r 22 , , X r 2t
X rs1 , X rs 2 , , X rst
s
相互独立，且服从正态分布 N
,
ij
2 ，
Bj 下进行 t 次
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 此外， 在假定每个水平组合 Ai , X ij ．
独立重复试验，
4
试验结果用
X ijk
k 1,
2, , t 2, , t
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对于 ij 的上述表示式： ij ij i j ， 我们可以改写为
ij ij i j
ij i j
其中 ij 反映了水平组合 Ai , 标的总效应．
r s r s i 1 j 1 s i 1 j 1
2 X i X X j X ．
r i 1 j 1
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可以证明，上述平方和分解中交叉项均为 0．所以 ST SE S A SB ， 其中
SE X ij X i X j
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又由于
S E ST S A S B
这表明 S E 是从总离差平方和 ST 中扣 除因素 A ，B 的效应平方和 S A 和 S B 之后的残量，这一残量反映了随机误 差因素的影响，因此 S E 称为误差平 方和．
23
与单因素试验的方差分析的讨论相类似，可以证明以下结论： ①
2
SE
i 1 j 1
r
s
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上式可以改写为
ij i j ij ，
于是我们得到双因素试验的方差分析模型：
X ijk i j ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t 2 ijk ~ N 0, ， 且相互独立. s r s r i 0， j 0， ij 0. j 1 i 1 j 1 i 1
s
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例 1 试验某种钢不同的含铜量在各种温度下的冲击值 kgm cm2 ， 其实测数据如下表， 试在 0.01 下 检验差异性是否显著？ 表 某种钢的铜含量与不同温度下的冲击值表


B 铜含量
A 试验温度
0 .2 %
第二节 双因素试验的方差 分析
1
在上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然 而在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分 析．例如，在制定农业增产的生产规划时，对种子 品种与肥料类型做出最优选择是首先要解决的问 题．实践中常发生这样的情况：采用最优的种子与 肥料类型，可能由于搭配得当而获得较高的亩产 量．因而不仅需要分别研究不同品种的种子和不同 类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品种的种子 与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响，这便是 双因素试验的方差分析要研究的问题．更一般地， 对多因素试验的问题还需考虑多因素试验的方差分 析．以下我们仅介绍双因素试验的方差分析方法．
~ 2 r 1s 1；
② 当 H 0 A 为真时，
2 SA r 1 FA ~ F r 1, SE r 1s 1
SB
SA
~ 2 r 1，而且 S A 与 S E 相互独立，从而
r 1s 1 ；
③ 当 H0 B 为真时，
上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型．
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由上式可知， 为判断 A 对试验指标的影响是否显 著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ．
类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著， 即等价于检验假设
H0 B : 1 2 s 0 ．
方差来源 平方和 自由度
无交互作用的双因素试验方差分析表
均方
F
值
临界值
显著性
因素 A
SA
r 1
S SA A r 1 S SB B s 1
FA
F r 1,
r 1 s 1 r 1 s 1
因素 B
SB
s 1
FB
F s 1,
误差
SE
r 1s 1
1 r j ij r i 1
8
i i ，
i 1, j 1,
2, , r 2, , s
j j ，
ij ij i j ，
其中 称为总平均，i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai 的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
(
)
(i = 1,
2, L , r ; j = 1, 2, L , s ; k = 1, 2, L , t