作图法分析光波在两个单轴晶体分界面上的双反射和双折射宋哲;于伟行;张琳;李琳;吴晶;丁一【摘要】通过几何作图法,分析了光轴取向任意时,光波在两个单轴晶体分界面上的双反射和双折射.考虑到入射光波、反射光波、折射光波在界面上相位相等和晶体折射率面的定义,采用斯涅尔作图法,直接在图上得到了两条反射光波和两条折射光波.根据晶体的光学各向异性,进一步讨论了各光波对应的光线方向和振动方向,并通过几何分析,给出了各反射光波、折射光波、反射光线和折射光线位置的一般表达式.斯涅尔作图法简单直观,可以直接获得光波的方向,结果具有普遍性.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)010【总页数】5页(P16-20)【关键词】晶体光学;双反射;双折射;折射率面;相位【作者】宋哲;于伟行;张琳;李琳;吴晶;丁一【作者单位】辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029;中国科学院空间激光通信及检验技术重点实验室,上海201800;辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学物理与电子技术学院,辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】O435.1光学各向异性是晶体的主要物理性质之一，双折射现象是其重要表现.利用晶体的双折射效应可以设计出各种晶体光学器件，其中有许多是由多块光轴取向不同的晶体级联构成的，如渥拉斯顿棱镜、偏振分光镜、波片、光开关[1]、光互连网络[2，3]、光桥接器[4，5]、偏振干涉滤波器[6]等.在设计器件时，光波在晶体界面上的反射和折射问题是必须要考虑的.人们采用不同方法对光波在各向同性介质与单轴晶体分界面上的双折射和双反射进行了大量研究，如：光轴取垂直入射面和在入射面内两种特殊方向情况下，光波从各向同性介质入射到单轴晶体时晶体上表面的双折射和光波从单轴晶体入射到各向同性介质时晶体下表面的双反射[7-11]；光轴取向任意时，光波在单轴晶体上表面的双折射[12-17]和单轴晶体下表面的双反射[12，16，18-20].由于晶体级联时多采用各向同性介质胶合的方式，所以对光波在两个单轴晶体分界面上的双折射和双反射研究得不多[21-25].但在对器件质量要求较高的场合，晶体之间可以通过光胶工艺直接级联，此外，液晶之间[26]、各向异性薄膜之间[27]可以直接级联，因此，研究光波在两个晶体分界面上的双反射和双折射是有必要的.本研究小组对单轴晶体的双折射问题进行了系列研究，本文在前期工作基础上，利用各光波在界面上相位相等的条件和晶体的折射率面定义，通过作图来分析光轴取向任意时光波在两个单轴晶体分界面上的双折射和双反射.首先建立晶体界面与法线的直角坐标系xyz，选取两个晶体的分界面为xy面，界面的法线为z轴，z>0为晶体a，z<0为晶体b，假设xz面是入射面(即入射光波与界面法线组成的面)，则x轴为入射面与界面的交线，如图1所示.x1ax2ax3a组成晶体a的主轴坐标系，x1bx2bx3b组成晶体b的主轴坐标系.令晶体a的光轴x3a (ca)轴与z轴的夹角为φa，0<φa<π，x3a轴与z轴组成的面为晶体a的主截面Ⅰ，其与入射面的夹角为δa(即x3a轴在界面上的投影与x轴之间的夹角)，0<δa<2π，x1a垂直于主截面Ⅰ，并在界面xy内，x2a在主截面Ⅰ内.令晶体b的光轴x3b(cb)轴与z轴的夹角为φb，0<φb<π，x3b轴与z轴组成的面为晶体b的主截面Ⅱ，其与入射面的夹角为δb(即x3b轴在界面上投影与x轴之间的夹角)，0<δb<2π，x1b轴垂直于主截面Ⅱ，并在界面xy内，x2b轴在主截面Ⅱ内. 根据入射光波、反射光波、折射光波在界面上相位相等的条件和晶体折射率面定义，可以通过斯涅尔作图法来分析光波在两个单轴晶体分界面上的双反射和双折射.单轴晶体的折射率面是个双层面，一个是球面，代表寻常光(o光)的折射率面，定义为矢径r=noko，ko是晶体中o光波法线ko的单位矢量，no是o光的主折射率；另一个是旋转椭球面，代表非寻常光(e光)的折射率面，定义为矢径r=ne(θ)ke，ke是晶体中e光波法线ke的单位矢量，ne(θ)是e光沿ke方向的折射率(说明e光折射率是随传输方向而变化的)，θ是ke与光轴的夹角，两个面在光轴处相切.在图1所示的情况下，两个单轴晶体中，球面在入射面上的中心截面是圆面Σ1a和Σ1b，半径分别为noa和nob，noa和nob分别是o光在晶体a和晶体b中的主折射率；椭球面在入射面上的中心截面是椭圆面Σ2a和Σ2b，长、短半轴分别为、nea和、neb，其中长轴方向分别平行于光轴x3a和x3b在入射面内的投影和，他们与x轴的夹角分别为βa和βb角，长轴的长度是e光沿和方向传输时的折射率和，设短轴方向分别为和，其长度是e光沿和方向传输时的折射率，等于e光在晶体a和晶体b中的主折射率nea和neb，如图2所示，图中Σ1a、Σ2a和Σ1b、Σ2b只画出晶体a和晶体b中部分.根据单轴晶体折射率面方程可以得到Σ1a、Σ2a和Σ1b、Σ2b的方程：+=1==其中θca和θcb分别是与晶体a光轴x3a的夹角和与晶体b光轴x3b的夹角.根据文献[17]和[20]的方法可求得：在图1所示坐标系下，当一束o光波ko1以θ1角从晶体a入射到晶体b时，在分界面上将发生双反射和双折射.由各光波在界面上相位相等的条件可得：nobsin θ2ook=neb(θkoecb)sin θ2oek其中是o光光波反射角，nea(θkoeca)为e光反射光波方向的折射率，θkoeca是与光轴ca的夹角，为e光光波反射角，θ2ook为o光光波折射角，neb(θkoecb)为e光折射光波koe2方向的折射率，θkoecb是koe2与光轴cb的夹角，θ2oek为e光光波折射角.根据晶体折射率面定义可知，任一矢径在x轴上的投影即为沿该方向传输的光波的相位.设入射o光波ko1交折射率面Σ1a于P点，作PA垂直于x轴，交x轴于A，则OA=noasin θ1.在x轴上取OB=OA，过B点作x轴的垂线，分别交Σ1a于C，交Σ2a于D，交Σ1b于E，交Σ2b于F，则OC即是o光反射光波方向，OD是e光反射光波方向，OE是o光折射光波koo2方向，OF是e光折射光波koe2方向，如图2所示.由式(11)可得o光的光波反射角和光波折射角，分别为：e光的光波反射角和光波折射角可以利用图2通过几何关系来求得，分别为：cot =cot θ2oek=式(12)—式(15)确定了o光反射光波和折射光波koo2的方向，e光反射光波和折射光波koe2的方向，他们都在入射面内.o光的光线方向与光波方向是一致的，所以o光入射光线to1、反射光线、折射光线too2分别与入射光波ko1、反射光波、折射光波koo2的方向平行，均在入射面内，但振动方向与光轴有关，他们的振动方向是不同的，入射光的振动方向垂直于光轴ca与入射光波ko1组成的面，反射光的振动方向垂直于光轴ca与反射光波组成的面，折射光的振动方向垂直于光轴cb与折射光波koo2组成的面.e光的光线方向与光波方向之间存在离散角，并与光轴取向有关，一般不在入射面内，且不共面，振动方向也不同.e光反射光线在光轴ca与反射光波组成的面内，与反射光波的离散角为根据几何关系可得：将式(17)代入式(16)可以得到反射光线的位置：为负值，表示在远离光轴一侧；为正值，表示在与光轴之间.振动方向在该面内，并垂直于.e光折射光线toe2在光轴cb与折射光波koe2组成的面内，与折射光波koe2的离散角αoe2为同理由式(18)和式(19)得到折射光线的位置.振动方向在该面内，垂直于koe2.利用各矢量之间的几何关系还可以求出e光的光线反射角和光线折射角θ2oet：在图1坐标系下，当一束e光波ke1以θ1角从晶体a入射到晶体b时，在界面上也将发生双反射和双折射.根据各光波在界面上相位相等的条件，有：nea(θk1ca)sin θ1= noasin =nea(θkeeca)sin =nobsin θ2eok=neb(θkeecb)sin θ2eek其中nea(θk1ca)为e光入射光波方向的折射率，θk1ca是e光入射光波与光轴ca的夹角：是o光光波反射角，nea(θkeeca)为e光反射光波方向的折射率，θkeeca是与光轴ca的夹角，为e光光波反射角，θ2eok为o光光波折射角，neb(θkeecb)为e 光折射光波kee2方向的折射率，θkeecb是kee2与光轴cb的夹角，θ2e ek为e 光光波折射角.设入射e光波ke1交折射率面Σ2a于P′点，作P′A′垂直于x轴，交x轴于A′，则OA′=nea(θk1ca)sin θ1.在x轴上取OB′=OA′，过B′点作x轴的垂线，分别交Σ1a于C′，交Σ2a于D′，交Σ1b于E′，交Σ2b于F′，则OC′即是o 光反射光波方向，OD′是e光反射光波方向，OE′是o光折射光波keo2方向，OF′是e光折射光波kee2方向，如图2所示.由式(22)可得o光的光波反射角和光波折射角，分别为：e光的光波反射角和光波折射角可以利用图2通过几何关系来求得，分别为：cot =式(25)—式(28)确定了o光反射光波和折射光波keo2的方向，e光反射光波和折射光波kee2的方向，他们都在入射面内，但e光的光线也是不在入射面内，且不共面，他们的振动方向也是不同的.o光反射光线和折射光线teo2分别与反射光波和折射光波keo2的方向平行，均在入射面内，反射光的振动方向垂直于光轴ca 与反射光波组成的面，折射光的振动方向垂直于光轴cb与折射光波keo2组成的面.e光入射光线te1在光轴ca与入射光波ke1组成的面内，与入射光波ke1的离散角αe1为：振动方向在该面内，垂直于ke1，由式(24)和式(29)可得到入射光线的位置.e光反射光线在光轴ca与反射光波组成的面内，与反射光波的离散角为：cos θkeeca=sin sin φacos δa+cos cos φa振动方向在该面内，垂直于，由式(30)和式(31)可得到反射光线的位置.e光折射光线tee2在光轴cb与折射光波kee2组成的面内，与折射光波kee2的离散角αee2为：cos θkeecb=sin θ2eeksin φbcos δb-cos θ2eekcos φb振动方向在该面内，垂直于kee2，由式(32)和式(33)可得到折射光线的位置.同样，根据几何关系可以求出e光光线入射角θ1et、光线反射角和光线折射角θ2eet：本文根据晶体折射率面的定义和各光波在界面上相位相等的条件，利用斯涅尔作图法，分析了光轴取向任意时，光波在两个单轴晶体分界面上的双反射与双折射情况.通过几何作图，在图中直接获得了反射光波和折射光波的方向.再根据晶体的光学各向异性，讨论了各光波对应的光线方向和振动方向，根据光轴、光波、光线等各矢量的几何关系，确定了反射光线和折射光线的位置，并给出光波反射角、光波折射角、光线反射角、光线折射角、光波与光线之间离散角的一般表达式，该结果具有普遍性，能够为分析光波在晶体中的传播路径和利用晶体设计光学器件提供理论依据.【相关文献】[1] Mendlovic D， Leibner B， Cohen N. 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