“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用

例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

借力坐标伸缩简化椭圆问题
孟锋
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2015(0)6
【摘要】解析几何处于几何和代数的结合部,是高中数学的主干内容,也是高中数学各种思想方法的应用交汇之地.在历年高考中占到重要地位,既有考查基本概念的基础题,也有考查各种能力的具有选拔功能的压轴题.解析几何试题对逻辑思维能力、数形结合能力和运算能力都提出了较高要求.在实际教学中。

【总页数】3页(P20-22)
【作者】孟锋
【作者单位】311800 浙江省诸暨中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用坐标伸缩变换解决椭圆问题 [J], 宋波
2.用坐标伸缩变换解决椭圆问题 [J], 宋波
3.借力坐标伸缩，将椭圆问题简化到底 [J], 毛冲;
4.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
5.利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题 [J], 李宁;唐盛彪
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

伸缩变换与圆变椭圆
葛桂华
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2011(000)009
【摘要】1．例题及教学预期相比较以前所用的教材，在《普通高中课程标准实验教科书选修2—1数学》（江苏教育出版社）第27页，就圆锥曲线中椭圆部分增加了下面的例题：
【总页数】2页(P6-7)
【作者】葛桂华
【作者单位】苏州大学附属中学,215006
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.圆的性质——椭圆问题伸缩变换
2.椭圆与圆的伸缩变换
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.借助伸缩变换化圆解椭圆
5.伸缩变换之椭圆与圆
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________.分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.解 作仿射变换，令','a x x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ⎛=== ⎝⎭，不难求得椭圆离心率,12e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________.分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当0,2c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.例2变式 已知椭圆22143x y +=，(1,)A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于P Q 、两点，若使得三角形OPQ 面积为3的弦PQ 存在两条，则m 取值范围为________.例3 （2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于A B 、两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e （其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么m k是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.分析 此题按照常规解法较为繁琐，但利用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射变换后，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，对应直线的斜率变换为原来的a b倍，且根据圆的性质，可得''''A B O Q ⊥，利用此性质可较容易求得m 与k 的比值关系.解 作仿射变换，令','a x x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，由'M 为''A B 中点，可得''''A B O Q ⊥.（1）当A B 、两点分别是原坐标系中椭圆E 的右顶点及上顶点时，经仿射变换得到()()22',0,'0,,,,,22a a a a A a B a Q M c bc ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时线段''A B所在直线斜率为1-，则''O Q 斜率为1，即22=1a a b c bc ⇒=,22a a c =，计算易得2a c ==，即椭圆E 的标准方程为2215x y +=. （2）经仿射变换后，''O P 是''''O M O Q 、的等比中项''A B 所在直线斜率变换为a kb ，则根据''''A B O Q ⊥，可得''O Q 斜率为，2222''1''2a b O Q O P c a k k=+==-，因为2''''('')O Q O M O P =，即求得''O M =，又因为tan '''=ak M O y b-∠=，则222''1a k b m O M b a =+，化简计算易得222''12a k b m O M k b a=+=-，即m k 为定值2-.说明 本题原答案是利用直线AB 与椭圆联立求得M 点坐标，进而求得直线OQ 后，继续令直线OQ 与椭圆联立，求得P 点坐标，再利用三条线段成等比中项求得m 与k 的比值，运算量较大.但利用仿射变换的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解，运算量大大简化.。

利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。

“圆”来如此——从变换的角度审视椭圆的几个性质
吴时月
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2015(000)005
【摘要】文献[1]中通过较繁琐的代数运算，花了较大的篇幅证明了椭圆的一个定理。

【总页数】2页(P29-30)
【作者】吴时月
【作者单位】温州中学浙江温州325014
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.圆的性质——椭圆问题伸缩变换 [J], 葛桂华
2.伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探 [J], 李芋宏;李晓菁
3.利用仿射变换将圆的几个性质推广到椭圆上去 [J], 娄国久
4.与椭圆相关的几个圆的性质探讨 [J], 邱继勇;宗玫玫
5.利用仿射变换证明椭圆几个有趣的性质 [J], 周德建
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。

利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。

深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。

对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。

但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。

所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。

于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。

这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。

圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。

圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。

这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。

在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。

这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。

在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。

坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。

计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。

巧用伸缩变换妙解椭圆问题程涛;刘少平;邹鹏【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.【期刊名称】《河北理科教学研究》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】伸缩变化;转化;内在联系;简化;性质【作者】程涛;刘少平;邹鹏【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000【正文语种】中文纵观近年各地高考试题中椭圆与直线相关问题，往往要将椭圆和直线方程联立、消元，然后运用根与系数关系、判别式、弦长公式等来求解，运算量大，耗时多，学生稍有差错就会出错，导致前功尽弃，这就引发了笔者的思考和关注，此类问题可否寻找合理的方法，来避开繁琐计算，达到简洁求解的目的，考虑到椭圆与圆的内在联系，联想选修内容中的伸缩变换，能否将椭圆与直线的问题转化为圆与直线的问题，借助圆的几何性质来处理呢？对于椭圆=1(a>b>0)经过进行伸缩变换，椭圆可化为单位圆x′2+y′2=1，该变换具有如下性质：2.1 直线Ax+By+C=0在伸缩变换作用下变为Aax′+Bby′+C=0，斜率为原来的倍.2.2 变换后共线三个点的二条线段的比值和变换前的比值一样.2.3 两相交(相切、相离)的曲线变换后仍然为两相交(相切、相离)的曲线，两平行直线变换后仍为平行直线.2.4 封闭图形在变换前的面积S与变换后的面积S′满足S.3.1椭圆化圆，利用垂径定理求解斜率问题例1 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点且不平行坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(2015年全国高考题)证明：(1)作伸缩变换，则椭圆9x2+y2=m2变为圆(x′)2+(y′)2=1，如图1和2所示，由伸缩变换性质可知，，由垂径定理易知O′M′⊥A′B′，∴KO′M′·KA′B′=-1，即，∴KOM·KAB=-9为定值.(2)若四边形OAPB能为平行四边形，由伸缩变换性质可知，对应的四边形O′A′P′B′也为平行四边形，则M′为O′P′的中点，联想M′为AB中点，由垂径定理知：O′到A′B′距离，又直线l过,m)，那么l′则过(1，1)，设l′的斜率为k′，则其直线方程为，解得.∴直线l的斜率.∴有符合条件的直线l存在，其斜率为.评注：由伸缩变换将椭圆化成圆后，借助圆中垂径定理使问题简洁获解，避免了繁杂、冗长的运算，体现了高考“多考一点想，少考一点算”的思想.3.2 椭圆化圆，利用圆幂定理解决相关线段问题例2 如图3，已知椭圆=1(a>b>0)，过椭圆左顶点A(-a,0)的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证OP,AR成等比数列.(清华大学自主招生试题)证明：作伸缩变换,椭圆化成圆∥,∴,∴(xp,yp)=λ(-xA,yR),∴,∴.从而O′P′∥A′R′，要证成等比数列⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2⟺⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2⟺⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2(*)设|O′R′|=S，由圆幂定理可得|Q′R′|·|A′R′|=(s+1)(s-1)=s2-1.又s2+12=|A′R′|2=(|A′Q′|+|Q′R′|)·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+s 2-1∴|A′Q′|·|A′R′|=2=2|O′P′|2即(*)式成立,∴成等比数列评注：把椭圆化成圆后，利用圆幂定理，可以揭示线段之间内在联系，简化了传统算法中联立方程求点的坐标和线段长的繁难运算.3.3 椭圆化圆，借助弦长公式求解例3 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图5，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.(2015年陕西高考题)解：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0，则原点O到该直线的距离，由得，解得离心率.(2)由(1)知椭圆E的方程为，作伸缩变换后圆的方程为x′2+y′2=1，如图6所示，∵M(-2,1)为AB的中点，则为A′B′中点，在圆O′中，弦长又A′B′⊥O′M′，∴KA′B′·KO′M′=-1,KA′B′=1,∴.∴.又,∴解得：b2=3.故所求椭圆E的方程为.评注：通过椭圆化圆，借助圆的弦长公式，易求出|A′B′|表达式，再利用伸缩变化中坐标与斜率各自的变化关系，寻找两弦长之间关系，解题过程简单明了.3.4 椭圆化圆，借助直线与圆相切的性质求解例4 已知椭圆=1(其中a>b>0)的一个焦点为，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点p(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.(2014年广东高考题)解(略)(2)如图7和8，设点A、P、B在伸缩变换下对应点分别是为A′,P′,B′，则).故.直线P′A′,P′B′与圆0′相切，设过点P′的圆的切线方程为，即6kx-6y+3y0-2kx0=0，圆心距，即.由根与系数关系化简得，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.评注：本题通过伸缩变换将直线与椭圆相切转化为直线与圆相切，借助圆心到切线的距离为半径来求解，巧妙避开解析几何中的联立消元.3.5 椭圆化圆，利用圆中角的关系求解例5 已知直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段MN的长度最小值.解：(1)易求椭圆(2)作伸缩变换，则椭圆变成单位圆C′：x′2+y′2=1，直线变成直线，若l′与x′轴交于C′，令∠C′B′N′=α(α为锐角)，则∠A′B′S′=α，而A′B′为圆直径，∴∠A′S′B′=90°，则∠A′M′C′=α于是评注：椭圆化圆后，借助圆中角的关系，使问题完美解决，几乎没有计算量.3.6 椭圆化圆，利用点在圆内的性质求解例6 已知椭圆+y2=1上两个不同的点A、B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(o为坐标原点).(2015浙江高考题)解：作伸缩变换把椭圆化成单位圆x′2+y′2=1，直线化成.设l与AB交于H点，则H为AB中点，由伸缩变换性质易知H′为A′B′中点，∵l⊥AB,∴KAB·Kl=-1.则伸缩变换性质易知.∵,∴,又O′H′⊥A′B′,∴KO′H′·KA′B′=-1,∴设H′(s,t),则，又H′在l′上，.即,∴.又H在圆x′2+y′2=1内，∴s2+t2<1,即,解得或.(2)在单位圆中由三角形面积公式可得,当时，S△A′O′B′有最大值,即,此时即由(1)知符合题意,又，∴.评注：椭圆化圆后，H′为A′B′中点，由垂径定理可求得O′H′的斜率，进而确定点H′横纵坐标关系，根据点H′在圆内构建不等关系来求m的范围.同时椭圆化圆后，为求△A′O′B′面积最大值提供极大方便，从而使问题简捷获解.借助伸缩变换把隐藏在椭圆中的圆充分挖掘出来，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，而且圆与椭圆的互化，可以让我们领略知识之间并不是孤立，促使我们在研究问题时用联系的观点来学习数学，把看似孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络，提升数学思维具有重要意义.。

=4探索探索与与研研究究所以△O'M'F'∽△O'D'M',∠O'D'M'=∠O'M'F'，同理可得△O'N'F'∽△O'D'N',∠O'D'N'=∠O'N'F',故O'D'可平分∠M ′D ′N ′，即D ′M ′，D ′N 关于x 轴对称.解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.例3.已知椭圆E :x 22+y 2=1，O 为坐标原点，直线l 与E 交于A 、C 两点，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.图5解：作伸缩变换：ìíîx ′=x,y ′=2y,椭圆x 22+y 2=1变换为圆：x ′2+y ′2=2，如图5、6.由伸缩变换图形的性质可知，O'A'B'C'仍为平行四边形，但此时OA =OC ，则O'A'B'C'为菱形，所以S △ABC =2S O'A'B'C'，显然△O′A ′B ′是正三角形，则S O'A'B'C'=2S △O ′A ′B ′=2)2=3，故S △ABC =12S O'A'B'C'作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形O'A'B'C'的邻边为圆的半径，即可判定O'A'B'C'为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC 的面积.例4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，P 、Q 是椭圆C 上的两点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为-34（O 为坐标原点），点D 为射线OP 上一点，且 OP =PD ，若直线DQ 与椭圆C交于点E ，设 QC =λED (λ>0).求λ的值以及求四边形OPEQ 的面积.图7解：作伸缩变换：ìíîïïx ′=x,y ′=23y,椭圆x 242+y 232=1变换为圆：x ′2+y ′2=4，如图7、8，因为k OP ·k OQ =-34，由伸缩变换图形的性质得k O ′P ′·k O ′Q ′=-1，得O'P'⊥O'Q'，由伸缩变换图形的性质可知，P'仍为O'D'的中点，延长D'O'交圆O'于G'，连接G'O'，P'E'，如图8，D'图8由圆的割线定理可得D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，即D'E'=35D'Q'，而 QE =23 ED ，则λ=23，所以S O'P'E'Q'=S△D'O'Q'-S △D'P'E'=710S △P'O'Q ′=710×12×4×2=145，故S OPEQ O'P'E'Q'=735.作伸缩变换后，由k OP ·k OQ =-b 2a2可得OP ⊥OQ ，即可根据三角形的面积公式求得S △D'O'Q'.由圆的割线定理，可得出D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，从而求得λ的值.通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.（作者单位:江苏省扬中高级中学）探索探索与与研研究究51。