2018-2019-2衡水中学初二轴对称全章测试

2018年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°2．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上3．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A B C D4．（4分）小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（）A B C D5．（4分）如图，点A的坐标（﹣1，2），则点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）6．（4分）平面直角坐标系中，点P （﹣2，1 ）关于直线x=1的对称点P'的坐标是（）A．（2，1） B．（4，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣3）7．（4分）如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（4分）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°9．（4分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（）A．3 B．6 C．8 D．9二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于．12．（5分）已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=°．13．（5分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．14．（5分）如图，把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是．三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．16．（8分）证明定理．与一条线段两个端点距高相等的点，在这条线及的垂直平分线上．已知：如图，A为线段BC外任意一点，且AB=AC．求证：点A在BC的垂直平分线上．17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，请你按要求在该坐标系中在图中作出：（1）把△ABC向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1；（2）再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，3），B （2，﹣1）．（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．（2）怎样表示线段CD上任意一点P的坐标？19．（10分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF．（每个3×3正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）20．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x 轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．（1）当t=2时，求AO的长．（2）当t=3时，求AQ的长．（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．21．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE．求证：AE=BE．22．（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC 于点E．求证：AE=DE．23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．2018年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C 选项正确；直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；故选：D．【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．3．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．【分析】直接利用镜面对称的特点分析得出答案．【解答】解：根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象．故选：A．【点评】此题考查了镜面反射对称的特点，注意与实际生活结合．5．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．【解答】解：点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6．【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．【解答】解：∵点P（﹣2，1），∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣2）=3，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3，∴点P′的横坐标为3+1=4，∴对称点P′的坐标为（4，1）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离，从而得到横坐标是解题的关键．7．【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如下图所示：符合题意的有3个三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．9．【分析】根据题意，画出相应的图形，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：如右图1所示，当点P在线段MN的垂直平分线上时，PM=PN，此时点P，M，N构成等腰三角形；如右图2所示，当MN=MP时，此时点P，M，N构成等腰三角形；∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，∴点N到OB的距离是4×sin45°=22＞2，∴不存在NM=NP的情况，故选B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．【分析】根据等边三角形，平行线的性质，和平行四边形的判定，并根据等腰梯形性质求解．【解答】解：延长OD交AC于点G，∵OE∥CG，OG∥CE，∴四边形OGCE是平行四边形，有OE=CG，∠OGF=∠C=60°，∵OF∥AB，∴∠OFG=∠A=60°，∴OF=OG，∴△OGF是等边三角形，∴OF=FG，∵OD∥BC，∴∠ADO=∠B=60°∴梯形OFAD是等腰梯形，有OD=AF，即OD+OE+OF=AF+FG+CG=AC=9．故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是利用了：1、等腰三角形的性质和判定：三边相等，三角均为60度，有两角相等且为60度的三角形是等边三角形；2、平行四边形的判定的性质；3、等腰梯形的判定和性质．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】利用∠2+∠3=90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1=∠2即可得出答案．【解答】解：∵由题意可得：∠2+∠3=90°，∠3=30°，∴∠2=60°，∵∠1=∠2，∴∠1=60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出∠2的度数是解题关键．【分析】当∠ABC 为锐角时，过点A 作AD=AB ，交BC 于点D ，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB=∠ABH=70°、BH=DH ，结合AB +BH=CH 、CH=CD +DH 可得出CD=AB=AD ，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C 的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC 的度数；当∠ABC 为钝角时，由AB +BH=CH 可得出AB=BC ，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC 的度数．综上即可得出结论．【解答】解：当∠ABC 为锐角时，过点A 作AD=AB ，交BC 于点D ，如图1所示． ∵AB=AD ，∴∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH ．∵AB +BH=CH ，CH=CD +DH ，∴CD=AB=AD ，∴∠C=21∠ADB=35°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABH ﹣∠C=75°．当∠ABC 为钝角时，如图2所示．∵AB +BH=CH ，∴AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=21∠ABH=35°． 故答案为：75°或35°．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC 为锐角及∠ABC 为钝角两种情况考虑是解题的关键．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC ．又点D 是边BC 的中点，∴∠BAD=21∠BAC=30°． 故答案是：30°．【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．14．【分析】连接CD 、AE 、BF ，利用同底等高的三角形面积相等，可得S △ABC =S △BDC =S △CDE =43，同理：S △ABC =S △ACE =S △AEF =a 、S △ABC =S △ABF =S △BDF =43，再利用S △DEF 等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2017次操作后，所得正三角形的面积【解答】解如图，连接AE ，BF ，CD∵等边三角形ABC 的边长为1∴S △ABC=43 ∵AB=BD ，又∵BC=CE ，∴S △BCD =S △CDE ，∴S △ABC =S △BDC =S △CDE =43， 同理：S △ABC =S △ACE =S △AEF =43， S △ABC =S △ABF =S △BDF =43， ∴第一次操作后，S △DEF =7×43， ∴同理，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是72017×43， 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】连接BD ，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD ，∵E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠A ，∵∠A=66°，∴∠DBA=66°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC ﹣∠ABD=24°∵AD=BC ，∴BD=BC ，∴∠C=2180DBC ∠- =24°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．【分析】作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的三线合一证明．【解答】证明：作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线，∴点A 在BC 的垂直平分线上．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．17．【分析】首先利用平移的性质得到△A 1B 1C 1，进而利用关于x 轴对称点的性质得到△A 2B 2C 2，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求：（2）如图所示：△A2B2C2即为所求：【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．18．【分析】（1）据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点C、D的位置，然后连接CD即可；（2）线段CD上所有点的横坐标都是﹣2；【解答】解：（1）如图线段CD；（2）P（﹣2，y）（﹣1≤y≤3）．【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．19．【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．【解答】解：如图，△DEF即为所求．（答案不唯一）【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．20．【分析】（1）作辅助线，构建点D ，根据正比例函数y=2x ，可得D 的坐标（2，4），证明△OPD ∽△QAP ，得AQ 与AP 的关系，设AO=a ，最后利用勾股定理列方程可得结论；（2）（3）同理可得AQ 和AP 的长．【解答】解：过P 作PD ⊥x 轴，交直线y=tx 于D ，连接OQ ，（1）当t=2时，y=PD=2x=4，∵∠BDP +∠DPB=∠DPB +∠APQ=90°，∴∠BDP=∠APQ ，∴△OPD ∽△QAP ， ∴2142===AP QA PD OP ， ∴AP=2AQ ，设AQ=a ，Rt △AQO 中，OQ=OP=2，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2， ∴()2222212⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a ， 5a 2+4a ﹣12=0，a 1=﹣2（舍），a 2=56，∴AO=56；（4分） ②当t=3时，OP=3，PD=9，设AQ=a ，Rt △AQO 中，OQ=OP=3，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2，()2223313⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a ， 5a 2+3a ﹣36=0，（a +3）（5a ﹣12）=0，a 1=﹣3（舍），a 2=512， ∴AQ=31AP=31（512+3）=59；（4分） （3）同理OP=t ，PD=t 2，∴△OPD ∽△QAP ， ∴tt t AP AQ PD OP 12===， ∴AP=tAQ ，Rt △AQO 中，OQ=OP=t ，由勾股定理得：OQ 2=AQ 2+AO 2，∴()222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=t AP t AP t ， AP=1223+t t ．（2分）【点评】本题考查点成轴对称问题，考查了正比例函数图象上点的关系、三角形相似的性质和判定、轴对称的性质等知识，解题的关键是求得点D的坐标，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】由∠C=90°结合三角形内角和定理可得出∠CAB+∠B=90°，由∠CAB=∠BDE可得出∠BDE+∠B=90°，进而可得出∠DEB=90°，由∠DAB=∠B可得出DA=DB，再利用等腰三角形的三线合一可证出AE=BE．【解答】证明：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠CAB=∠BDE，∴∠BDE+∠B=90°，∴∠DEB=90°．∵∠DAB=∠B，∴DA=DB，∴AE=BE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，牢记等腰三角形的三线合一解题的关键．22．【分析】先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD=∠ADE，利用等量代换得到∠EAD=∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE=DE．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠BAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记“等角对等边”．23．【分析】（1）只要证明△DEB 是等边三角形，再根据SAS 即可证明；（2）如图，作点E 关于直线AC 对称点E'，连接BE'交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点．【解答】（1）证明：在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，E 为AB 边的中点，∴BC=EA ，∠ABC=60°．∵△DEB 为等边三角形，∴DB=DE ，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE ≌△CDB ．（2）解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E'，连接BE'交AC 于点H ．则点H 即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE ，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形， ∴AB EA E E 21=='， ∴∠AE'B=90°，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，3=BC ， ∴32=AB ，3=='AE E A ， ∴()()33322222=-='-='E A AB E B ，∴BH +EH 的最小值为3．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

2018-2019 -2衡水中学初二轴对称全章测试班级姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）.2．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）.A．16 B．18 C．20 D．16或203．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）.A．35°B．40°C．45°D．50°4．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD 的周长为（）.A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm5．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A、2个B、3个C、4个D、5个6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°7．如上右图，AB=BC=CD，且∠A=15°，则∠ECD=（）.A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）.A．110° B．120° C．130° D．140°9．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC=25°，则∠DFD1的度数为（）A．25° B．50° C．75° D．不能确定10．如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称C．点C，D关于直线l对称D．CD平分∠ACB二、填空题（每小题3分，共30分）11．小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是．12．已知直线l经过点（0，2），且与x轴平行，那么点（6，5）关于直线l的对称点为．13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷习题一（含答案）、、是三个格点(网格线的交点叫做格点) ．如图，在方格纸中，A B P()1过点P画AB的垂线，垂足为点C，画出三角形PBC绕点P旋转后180︒的图形；()2平移线段AB，使点B与点P重合，请画出平移后的线段PD．【答案】(1)画图见解析；(2) 画图见解析；【解析】【分析】（1）根据旋转的特征，三角形绕点旋转后后，点P不变，其他各部分均绕点P按照相同的方向旋转相同度数即可得到新图形；（2）根据平移的性质，点B 到点P移动方向为向右平移一个单位后，向上平移三个单位，将点A向右平移一个单位后，再向上平移三个单位得到点D，连接PD即可；【详解】解：（1）（2）如图：【点睛】本题主要考查了作旋转一定角度后的图形，作平移后的图形，掌握作旋转一定角度后的图形，作平移后的图形是解题的关键.92．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，△C=45°，sinB=1，AD=1．3（1）求BC的长；（2）求tan△DAE的值．【答案】（1）1；（212【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt∠ADC，得出DC=1；解Rt∠ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=BC=BD+DC即可求解．（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt ∠ADE 中根据正切函数的定义即可求解．【详解】解：（1）在∠ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在∠ADC 中，∠∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在∠ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1， ∴AD 1AB 31sinB 3===．∴BD ===∠BC BD DC 1=+=．（2）∠AE 是BC 边上的中线，∠CE=1212． ∠DE=CE ﹣12．∠DE 1tan DAE AD 2∠==． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt △ADC 与Rt △ADB ，得出DC=1，AB=3是解题的关键．93．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点，点，将绕着点旋转后得到.(I)在图中画出; (II)点A ，点B 的对应点A ’和B ’的坐标分别是A ’ 和B ’ ; (III)请直接写出AB 和A ’B ’的数量关系和位置关系。

一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大 7．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ） A ．(3，－2) B ．(－3，－2) C ．(－3，2) D ．(－2，3) 9．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,DE 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒ 10．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 11．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法比较1S 、2S 的大小关系 12．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒13．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 15．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或80°D ．50°或80° 二、填空题16．如图，已知∠AOB =30°，点P 在射线OA 上，OP =16，点E 、点F 在射线OB 上，PE=PF ，EF =6．若点D 是射线OB 上一动点，当∠PDE =45°时，DF 的长为___________．17．如图，△ABC ≌△ADE ，点D 落在BC 上，且∠BAD ＝70°，则∠EDC ＝_____°．18．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．19．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．20．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．21．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．22．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．23．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．24．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．25．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．26．右图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．三、解答题27．如图1，点C在线段AB上，∠A=∠B，AD =BC，AC=BE．（1）判断△CDE的形状并说明理由；（2）若∠A=58°，求∠DCE的度数；（3）根据解决问题（1）（2）的经验，请你继续解答下列问题：如图2，在如图所示的正方形网格中，点P是BC边上的一个格点（小正方形的顶点），请你在AB边上作一点M，在CD边上作一点N，使△MPN是等腰直角三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）28．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：ABC求作：ABC的边BC上的高AD作法：（1）分别以点B和C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BE，CE．BA ______∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理依据）同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上BC ∴垂直平分AE （ ）（填推理依据）AD ∴是ABC 的高．29．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．30．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．求证：AF MF PF +=．（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．。

轴对称 全章测试一、选择题（每小题2分，共20分） 1、下列说法正确的是（ ）．A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C ．所有直角三角形都不是轴对称图形D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）．A ．（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ．A ．等腰三角形B ．正方形C ．圆D ．线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm5、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）．A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对6、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（ ）厘米．A ．16B ．18 C．26 D ．287、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）．A ．75°或15°B ．75°C ．15°D ．75°和30°9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）．A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分ACB图2图1 lO DC B ABAC ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行10、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是( ) ．A ．横坐标B ．纵坐标C ．横坐标及纵坐标D ．横坐标或纵坐标 二、填空题（每小题2分，共20分）11、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________． 12、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ． 13、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度．14、等腰三角形的两边的边长分别为20cm 和9cm ，则第三边的长是__________cm ． 15、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ．16、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ． 18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 = ．19．已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．20．坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x •轴的距离是_________cm ．三、解答题（每小题6分，共60分） 21、已知：如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ；（2）写出 △A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 各顶点坐标； （3）求△ABC 的面积．22、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．AD EFBC DEC BAOABCDE 23、如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数．24、已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．的25、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ，求BC 长．26、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．27、已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF ．28、如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC ． 29、如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理． 30．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ，求证：AH=2BD ． 答案： 一、 选择题：二、填空题：11．MN ，AB 12．6 13．120 14．20 15．080，050或065，065 16．15 17．6 18．030 19．上，5 20．3 三、解答题 略。

人教版八年级上册《轴对称》单元测试卷考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图形中不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．(2018·天津初二期中)如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等,那么这个三角形一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形3．(2018·河北初二期中)点P(2,﹣3)关于x 轴的对称点是P 1,P 1关于y 轴的对称点坐标是P 2,则P 2的坐标为( ) A ．(2,﹣3) B ．(﹣2,3) C ．(﹣2,﹣3) D ．(﹣3,﹣2)4．(2018·河北初二期中)如图,在△A B C 中,D E 是A C 的垂直平分线,A C ＝8C m,且△A B D 的周长为14C m,则△A B C 的周长为( )A ．15C mB ．18C m C ．22C mD ．25C m5．(2019·江苏初二期中)下列说法中正确的是( )A ．两个全等三角形,一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形,一定全等C ．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D ．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形6．(2019·江苏初二期中)在如图所示的网格纸中,有A 、B 两个格点,试取格点C ,使得△A B C 是等腰三角形,则这样的格点C 的个数是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．(2018·天津初二期中)如图,ABC ∆的面积为6,3AC =,现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折,使点C 落在射线AD 上的'C 处,P 为射线AD 上的任一点,则线段BP 的长不可能是( )A ．3.8B ．4C ．5.5D ．1008．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,在△A B C 中,A B =A C ,B D =C D ,下列结论不一定正确的是 ( )A ．∠B =∠C B ．AD ⊥B C C ．A D 平分∠B A C D ．A B =2B D9．(2019·山东初二期中)如图,在ABC ∆中,13AB AC ==,该三角形的面积为65,点O 是边BC 上任意一点,则点O 分别到边AB ,AC 的距离之和等于( )A ．5B ．6.5C ．9D ．1010．(2019·山东初二期中)如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,20C ∠=︒,分别以点A 、C 为圆心,大于12AC 长为半径画弧,两弧相交于点M 、N ,连接MN ,与AC 、BC 分别交于点D 、E ,连接AE .则BAE ∠=( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2018·天津初二期中)若等腰三角形有两条边的长为7C m ,15C m ,则第三边的长为____C m ． 12．(2019·北京市三帆中学初二期中)已知：如图,在ABC △中,40B ∠=︒,点D 是BC 边上一点,且AC AD BD ==.则DAC ∠的度数为_____.13．如图,在ABC ∆中,，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,且它们相交于点O,//OE AB ,//OF AC ,10BC =,则OEF ∆的周长为_____．14．已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的顶角度数为_____．15．(2019·江苏初二期中)如图,直线l 是四边形A B C D 的对称轴,A D ∥B C ,∠D ＝128°,则∠B 的大小为______°．16．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,30C ∠=,DA BA ⊥于点A ,若4CD cm =,则B D =__________.三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)已知等腰ABC ∆中,4AB =,周长是10,求BC 的长． 18．(2019·江西宜春九中初二期中)如图,已知：A B =A D ,B C =C D ,∠A B C =∠A D C ,A C 是否是线段B D 的垂直平分线?请说明理由.19．(2019·江苏初二期中)如右图,已知点P 是线段MN 外一点,请利用直尺和圆规画一点Q ,使得点Q 到M 、N 两点的距离相等,且点Q 与点M 、P 在同一条直线上．(保留作图痕迹)四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·江苏南京一中初二期中)在△A B C 中,A B ＝A C ,∠B A C ＝120°,A D ⊥B C ,且A D ＝A B ,∠ED F ＝60°,且∠ED F 两边分别交边A B ,A C 于点E ,F ,求证：B E ＝A F ．21．(2019·江苏南京一中初二期中)如图所示,A D 为△A B C 的角平分线,D E ⊥A B 于点E ,D F ⊥A C 于点F ,连接EF 交A D 于点O ．求证：A D 垂直平分EF ．22．(2019·江苏初二期中)如图,△A B C 中,A D ⊥B C ,EF 垂直平分A C ,交A C 于点F,交B C 于点E,且B D=D E ．(1)若∠B A E=40°,求∠C 的度数；(2)若△A B C 周长为14C m,A C =6C m,求D C 长．五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·江苏南京一中初二期中)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中,点A ,B ,C 在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△A B C 关于直线l 成轴对称的△A ′B ′C ′(2)三角形A B C 的面积为 ；(3)在直线l 上找一点P ,使P A +PB 的长最短．24．(2019·山东初二期中)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADF CEF ∆≅∆；(2)试证明DFE ∆是等腰直角三角形；(3)若5AD =,7BE =,求AC 的长．25．(2019·江苏初二期中)如图所示,点O是等边三角形A B C 内一点,∠A OB ＝100°,∠B OC ＝α,D 是△AB C 外一点,且△A D C ≌△B OC ,连接OD ．(1)求证：△C OD 是等边三角形；(2)当α＝150°时,判断△A OD 的形状,并说明理由.(3)探究：当α=_____度时,△A OD 是等腰三角形.参考答案一、单选题(每小题3分,共30分)1．(2019·江苏南京一中初二期中)下列图形中不是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析]根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．[详解]A ．不是轴对称图形,故本选项符合题意；B ．是轴对称图形,故本选项不符合题意；C ．是轴对称图形,故本选项不符合题意；D ．是轴对称图形,故本选项不符合题意．故选A ．[点睛]本题考查了轴对称图形的概念,掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．2．(2018·天津初二期中)如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等,那么这个三角形一定是() A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形[答案]B[解析]本题根据已知条件可以通过证明三角形全等得出三角形的形状,注意：有效利用“等角对等边”．[详解]如图,∵D E⊥A B ,D F⊥A C ,∴∠B ED ＝∠D FC ＝90°,∵在△B D E和△C D F,B D ＝CD ,D E＝D F,∴△D B E≌△D FC (HL),∴∠B ＝∠C ,∴A B ＝A C ,∴这个三角形一定是等腰三角形．故选B ．[点睛]本题考查等腰三角形的判定；解题中两次运用了全等三角形的判定与性质及等量加等量和相等是比较关健的．3．(2018·河北初二期中)点P(2,﹣3)关于x轴的对称点是P1,P1关于y轴的对称点坐标是P2,则P2的坐标为( )A ．(2,﹣3)B ．(﹣2,3)C ．(﹣2,﹣3)D ．(﹣3,﹣2)[答案]B[解析]根据平面直角坐标系中对称点的规律解答即可.[详解]解：点P(2,﹣3)关于x轴的对称点是P1(2,3),P1关于y轴的对称点坐标P2的坐标为(﹣2,3).故选：B .[点睛]本题考查了坐标系中对称点的相关知识,难度不大,属于基本题型,熟知对称点的规律是解题的关键. 4．(2018·河北初二期中)如图,在△A B C 中,D E是A C 的垂直平分线,A C ＝8C m,且△A B D 的周长为14C m,则△A B C 的周长为( )A ．15C mB ．18C m C ．22C mD ．25C m[答案]C[解析]先根据线段垂直平分线的性质得到D A ＝D C ,再根据三角形的周长公式计算即可.[详解]解：∵D E是A C 的垂直平分线,∴D A ＝D C ,∵△A B D 的周长为14C m,∴A B +B D +A D ＝14C m,∴A B +B D +C D ＝14C m,即A B +B C ＝14C m,∴△A B C 的周长＝A B +B C +A C ＝22C m,故选：C .[点睛]本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形周长的计算,属于常考题型,熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键.5．(2019·江苏初二期中)下列说法中正确的是( )A ．两个全等三角形,一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形,一定全等C ．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D ．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形[答案]B[解析]根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．[详解]解：A 、两个全等三角形,一定是轴对称的错误,三角形全等位置上不一定关于某一直线对称,故本选项错误；B 、两个轴对称的三角形,一定全等,正确,故本选项正确；C 、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形,错误,故本选项错误；D 、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形,错误,故本选项错误．故选：B ．[点睛]本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合．6．(2019·江苏初二期中)在如图所示的网格纸中,有A 、B 两个格点,试取格点C ,使得△A B C 是等腰三角形,则这样的格点C 的个数是()A ．4B ．6C ．8D ．10[答案]C[解析]分A B 是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与A 、B 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形,A B 是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,A B 垂直平分线上的格点都可以作为点C ,然后相加即可得解．[详解]解：如图,分情况讨论：①A B 为等腰△A B C 的底边时,符合条件的C 点有4个；②A B 为等腰△A B C 其中的一条腰时,符合条件的C 点有4个．故选：C ．[点睛]本题考查等腰三角形的判定,解题的关键是掌握等腰三角形的判定,分情况讨论解决.7．(2018·天津初二期中)如图,ABC ∆的面积为6,3AC =,现将ABC ∆沿AB 所在直线翻折,使点C 落在射线AD 上的'C 处,P 为射线AD 上的任一点,则线段BP 的长不可能是( )A ．3.8B ．4C ．5.5D ．100[答案]A [解析]过B 作B N ⊥A C 于N ,B M ⊥A D 于M ,根据折叠得出∠C 'A B =∠C A B ,根据角平分线性质得出B N =B M ,根据三角形的面积求出B N ,即可得出点B 到A D 的最短距离是4,得出选项即可．[详解]如图：过B 作B N ⊥A C 于N ,B M ⊥A D 于M ．∵将△A B C 沿A B 所在直线翻折,使点C 落在直线A D 上的C '处,∴∠C 'A B =∠C A B ,∴B N =B M ． ∵△A B C 的面积等于6,边A C =3,∴12×A C ×B N =6,∴B N =4,∴B M =4,即点B 到A D 的最短距离是4,∴B P 的长不小于4,即只有选项A 的3.8不正确．故选A ．[点睛]本题考查了折叠的性质,三角形的面积,角平分线性质的应用,解答此题的关键是求出B 到A D 的最短距离,注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．8．(2019·江苏省盐城市初级中学初二期中)如图,在△A B C 中,A B =A C ,B D =C D ,下列结论不一定正确的是 ( )A ．∠B =∠CB ．A D ⊥BC C ．AD 平分∠B A C D ．A B =2B D[答案]D [解析]在△A B C 中,A B =A C ,则△A B C 为等腰三角形,B D =C D ,则A D 为中线,根据等腰三角形的三线合一判断即可.[详解]∵在△A B C 中,A B =A C ,∴△A B C 为等腰三角形,∴∠B =∠C ,∵B D =C D ,∴A D ⊥B C ,A D 平分∠B A C ,不能得到A B =B C ,则无法证明A B =2B D ,故选D .[点睛]本题是对等腰三角形三线合一的考查,熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解决本题的关键. 9．(2019·山东初二期中)如图,在ABC ∆中,13AB AC ==,该三角形的面积为65,点O 是边BC 上任意一点,则点O 分别到边AB ,AC 的距离之和等于( )A ．5B ．6.5C ．9D ．10[答案]D [解析]根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．[详解]连接A O ．∵在△A B C 中,A B =A C =13,该三角形的面积为65,∴三角形A B C 的面积=△A B O 的面积+△A C O 的面积=12A B •ON +12A C •OM =12A B •(ON +OM ) ∴12×13×(ON +OM )=65 解得：OM +ON =10．故选D ．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质,关键是根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答．10．(2019·山东初二期中)如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,20C ∠=︒,分别以点A 、C 为圆心,大于12AC 长为半径画弧,两弧相交于点M 、N ,连接MN ,与AC 、BC 分别交于点D 、E ,连接AE .则BAE ∠=( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒[答案]C [解析]根据直角三角形两锐角互余可得∠B A C 的度数,根据题意可知MN 是线段A C 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得出A E =C E ,由等边对等角得出∠C A E =∠C =20°,即可得出结论． [详解]∵在Rt △A B C 中,∠B =90°,∠C =20°,∴∠B A C =70°．∵D E 垂直平分A C ,∴A E =C E ,∴∠C A E =∠C =20°,∴∠B A E =50°．故选C ．[点睛]本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．二、填空题(每小题4分,共24分)11．(2018·天津初二期中)若等腰三角形有两条边的长为7C m ,15C m ,则第三边的长为____C m ．[答案]37．[解析]由于等腰三角形的两边长分别是7C m,15C m,没有直接告诉哪一条是腰,哪一条是底边,所以有两种情况,分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．[详解]①当腰为15C m 时,三角形的周长为：15+15+7＝37C m ；②当腰为7C m 时,7+7＝14＜15,三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是37C m ．故答案为：37．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系,利用分类讨论思想求解是解答本题的关键． 12．(2019·北京市三帆中学初二期中)已知：如图,在ABC △中,40B ∠=︒,点D 是BC 边上一点,且AC AD BD ==.则DAC ∠的度数为_____.[答案]20°[解析]根据等腰三角形的性质得到∠A D C =48°,再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求∠B 的度数．[详解]解：∵A D =B D , ∠B =40°, ∴∠B A D =∠B =40°, ∴∠A D C =∠B +∠B A D =80°,∵A C =A D ,∴∠A D C =∠C =80°,∴∠D A C =180°-∠A D C -∠C = 20°,故答案为：20°．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.13．如图,在ABC ∆中,，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,且它们相交于点O,//OE AB ,//OF AC ,10BC =,则OEF ∆的周长为_____．[答案]10.[解析]先根据角平分线的性质求出∠1=∠2,∠4=∠5,再根据平行线的性质求出∠1=∠3,∠4=∠6,通过等量代换可得,∠2=∠3,∠5=∠6,根据等腰三角形的判定定理及性质可得B E=OE,OF=FC ,即可解答．[详解]解：如图∵，BO CO 分别是ABC ACB ∠∠，的平分线,∴∠1=∠2,∠4=∠5,∵OE ∥A B ,OF ∥A C ,∴∠1=∠3,∠4=∠6,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴B E =OE ,OF =FC ,∴B C =B E +EF +FC =OE +EF +OF ,∵B C =10,∴OF +OE +EF =10∴△OEF 的周长=OF +OE +EF =10.[点睛]本题考查平行线的性质, 角平分线的定义, 等腰三角形的判定与性质.能结合角平分线的性质和平行线的性质判断△OEB 和△OFC 为等腰三角形是解决此题的关键.14．已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的顶角度数为_____．[答案]70°或40°.[解析]已知等腰三角形的一个内角为70°,根据等腰三角形的性质可分情况解答：当70°是顶角或者70°是底角两种情况．[详解]此题要分情况考虑：①70°是它的顶角；②70°是它的底角,则顶角是180°−70°×2=40°.故答案为：70°或40°. [点睛]本题考查等腰三角形的性质, 三角形内角和定理.掌握分类讨论思想是解决此题的关键.15．(2019·江苏初二期中)如图,直线l 是四边形A B C D 的对称轴,A D ∥B C ,∠D ＝128°,则∠B 的大小为______°．[答案]52[解析]先求出C ∠的度数,然后利用对称性求出B[详解]解：∵A D ∥B C ,∴180D C ∠+∠=︒,∴180********C D ∠=︒-∠=-=又∵直线l 是四边形A B C D 的对称轴,∴52C B ∠=∠=故答案为：52.[点睛]主要考查了轴对称的性质及平行线的性质,正确理解相关性质是解答本题的关键．16．(2019·厦门市梧侣学校初二期中)如图,在ABC ∆中,AB AC =,30C ∠=,DA BA ⊥于点A ,若4CD cm =,则B D =__________.[答案]8C m[解析]根据A B =A C ,∠C =30°可得∠B =∠C =30°,∠B A C =120°,所以得出∠D A C =30°,所以A D =C D =4C m,然后在直角三角形A B D 中,30°角对应的直角边等于斜边的一半,所以B D =2A D ,进一步计算即可得出答案.[详解]∵A B =A C ,∠C =30°,∴∠B =∠C =30°,∠B A C =120°,∵DA BA ⊥,∴∠D A C =30°,又∵30C ∠=,∴A D =C D =4C m,在直角三角形A B D 中,∵∠B =30°,∴B D =2A D =8C m.[点睛]本题主要考查了直角三角形以及等腰三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题一(每小题6分,共18分)17．(2019·呼和浩特市实验中学初二期中)已知等腰ABC ∆中,4AB =,周长是10,求BC 的长．[答案]2或3或4[解析]根据等腰三角形的腰的情况分类即可.[详解]解：①若A B =A C =4∵ABC ∆周长是10∴B C =10－A B －A C =2,满足三角形的三边关系；②若A C =B C则A C =B C =12(10－A B )=3,满足三角形的三边关系； ③若B C =A B∴此时B C =A B =4∴A C =10－A B －B C =2,满足三角形的三边关系；综上所述：B C 的长是2或3或4[点睛]此题考查的是已知等腰三角形周长求边长,解决此题的关键是根据等腰三角形的腰的情况分类讨论及根据构成三角形的条件判断是否舍取.18．(2019·江西宜春九中初二期中)如图,已知：A B =A D ,B C =C D ,∠A B C =∠A D C ,A C 是否是线段B D 的垂直平分线?请说明理由.[答案]A C 是线段B D 的垂直平分线.具体见解析.[解析]由A B =A D ,B C =C D ,根据线段垂直平分线的判定,可得：点A 在B D 的垂直平分线上,点C 在B D 的垂直平分线上,又由两点确定一条直线,即可证得结论．[详解]A C 是线段B D 的垂直平分线.理由：∵A B =A D ,B C =C D ,∴点A 在B D 的垂直平分线上,点C 在B D 的垂直平分线上,∴A C 是线段B D 的垂直平分线.[点睛]本题考查线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.19．(2019·江苏初二期中)如右图,已知点P是线段MN外一点,请利用直尺和圆规画一点Q,使得点Q到M、N两点的距离相等,且点Q与点M、P在同一条直线上．(保留作图痕迹)[答案]作图见解析[解析]先作出MN的垂直平分线,然后连接P,M两点,并延长交MN的垂直平分线于一点,则交点为所求.[详解]解：先作MN垂直平分l,连接P,M两点,延长PM交l于点Q ,则Q点为所求.[点睛]此题主要考查线段的垂直平分线的作法,熟知线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等是解题关键．四、解答题二(每小题7分,共21分)20．(2019·江苏南京一中初二期中)在△A B C 中,A B ＝A C ,∠B A C ＝120°,A D ⊥B C ,且A D ＝A B ,∠ED F＝60°,且∠ED F两边分别交边A B ,A C 于点E,F,求证：B E＝A F．[答案]见解析[解析]由等腰三角形三线合一的性质可得∠B A D =∠C A D =60°,由∠B A D =60°,A B =A D 证明△A B D 是等边三角形,得到B D =A D ,再由角的关系得∠A B D =∠D A C ,∠ED B =∠A D F,最后由角边角证明△B D E≌△A D F,由全等三角形的性质即可得出结论．[详解]连接B D ,如图所示：∵A B =A C ,A D ⊥B C ,∴∠B A D =∠C A D =12∠B A C ．∵∠B A C =120°,∴∠B A D =∠C A D =60°．∵∠B A D =60°,A B =A D ,∴△A B D 是等边三角形,∴B D =A D ,∠A B D =∠A D B =60°．∵∠D A C =60°,∴∠A B D =∠D A C ．∵∠ED B +∠ED A =∠ED A +∠A D F=60°,∴∠ED B =∠FD A ．在△B D E与△A D F中,∵EBD DAFAD BDEDB FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△B D E≌△A D F(A SA ),∴B E=A F．[点睛]本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角的判定与性质和角的和差以及等腰三角形的性质,重点掌握全等三角形的判定与性质,难点是作辅助线构建全等三角形．21．(2019·江苏南京一中初二期中)如图所示,A D 为△A B C 的角平分线,D E⊥A B 于点E,D F⊥A C 于点F,连接EF交A D 于点O．求证：A D 垂直平分EF．[答案]见解析[解析]由A D 为△A B C 的角平分线,得到D E=D F,推出∠A EF=∠A FE,得到A E=A F,根据等腰三角形三线合一的性质即可推出结论．[详解]∵A D 为△A B C 的角平分线,D E⊥A B ,D F⊥A C ,∴D E=D F,∠A ED =∠A FD =90°,∴∠D EF=∠D FE,∴∠A EF=∠A FE,∴A E=A F．∵A D 为△A B C 的角平分线,∴A D 垂直平分EF．[点睛]本题考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,解答此题的关键是证A E=A F．22．(2019·江苏初二期中)如图,△A B C 中,A D ⊥B C ,EF垂直平分A C ,交A C 于点F,交B C 于点E,且BD =D E．(1)若∠B A E=40°,求∠C 的度数；(2)若△A B C 周长为14C m,A C =6C m,求D C 长．[答案](1)35°(2)4C m[解析](1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出A B ＝A E＝C E,求出∠A EB 和∠C ＝∠EA C ,即可得出答案；(2)根据已知能推出2D E＋2EC ＝8C m,即可得出答案．[详解](1)∵A D 垂直平分B E,EF垂直平分A C ,∴A B ＝A E＝EC ,∴∠C ＝∠C A E,∵∠B A E＝40°,∴∠A ED ＝70°,∴∠C ＝12∠A ED ＝35°；(2)∵△A B C 周长14C m,A C ＝6C m,∴A B ＋B E＋EC ＝8C m,即2D E＋2EC ＝8C m,∴D E＋EC ＝D C ＝4C m．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形外角性质的应用,主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．五、解答题三(每小题9分,共27分)23．(2019·江苏南京一中初二期中)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中,点A ,B ,C 在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△A B C 关于直线l成轴对称的△A ′B ′C ′(2)三角形A B C 的面积为；(3)在直线l上找一点P,使PA +PB 的长最短．[答案](1)见解析；(2)12.5；(3)见解析[解析](1)根据网格结构找出点A 、B 、C 关于直线l成轴对称的点A '、B '、C '的位置,然后顺次连接即可；(2)利用△A B C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解；(3)连接B 与点A 关于直线l的对称点A ',根据轴对称确定最短路线,A 'B 与直线l的交点即为所求的点P的位置．[详解](1)△A 'B 'C '如图所示；(2)S △A B C =6×5﹣12×6×1﹣12×5×5﹣12×4×1=30﹣3﹣12.5﹣2=30﹣17.5=12.5． 故答案为：12.5；(3)如图,点P 即为所求的使P A +PB 的长最短的点．[点睛]本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解答本题的关键． 24．(2019·山东初二期中)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADF CEF ∆≅∆；(2)试证明DFE ∆是等腰直角三角形；(3)若5AD =,7BE =,求AC 的长．[答案](1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.[解析](1)根据等腰直角三角形的性质等到A F =C F ,∠A =∠FC E ,根据SA S 即可得出结论；(2)由(1)可得：D F =EF ,∠A FD =∠C FE ,进而得出∠D FE =90°,即可得出结论；(3)由(1)可得：A D =C E ,则有A C =B C =C E +B E =A D +B E ,即可得出结论．[详解](1)在等腰直角ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,∴45A B ∠=∠=︒．又∵F 是AB 中点,∴45ACF FCB ∠=∠=︒,即45A FCE ACF ∠=∠=∠=︒,且AF CF =．在ADF ∆与CEF ∆中,∵AD CE A FCE AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ADF CEF SAS ∆≅∆；(2)由(1)可知ADF CEF ∆≅∆,∴DF FE =,∴DFE ∆是等腰三角形．又∵AFD CFE ∠=∠,∴AFD DFC CFE DFC ∠+∠=∠+∠,∴AFC DFE ∠=∠．∵90AFC ∠=︒,∴90DFE ∠=︒,∴DFE ∆是等腰直角三角形．(3)由(1)可知ADF CEF ∆≅∆,∴A D =C E ．∵A C =B C ,∴A C =B C =C E +B E =A D +B E =5+7=12．[点睛]本题考查了学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握,稍微有点难度,属于中档题．25．(2019·江苏初二期中)如图所示,点O 是等边三角形A B C 内一点,∠A OB ＝100°,∠B OC ＝α,D 是△A B C 外一点,且△A D C ≌△B OC ,连接OD ．(1)求证：△C OD 是等边三角形；(2)当α＝150°时,判断△A OD 的形状,并说明理由.(3)探究：当α=_____度时,△A OD 是等腰三角形.[答案](1)见解析 (2)直角三角形,见解析 (3)100或130或160[解析](1)根据全等三角形的性质得到∠OC B ＝∠D C A ,C O ＝C D ,证明∠D C A ＋∠A C O ＝60°,根据等边三角形的判定定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到∠A D C ＝∠B OC ＝150°,结合图形计算即可；(3)分A D ＝A O 、D A ＝D O 、OD ＝A O 三种情况,根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理计算．[详解](1)证明：∵△A D C ≌△B OC ,∴∠OC B ＝∠D C A ,C O＝C D ,∵△A B C 是等边三角形,∴∠A C B ＝60°,即∠OC B ＋∠A C O＝60°,∴∠D C A ＋∠A C O＝60°,又C O＝C D ,∴△C OD 是等边三角形；(2)解：∵△A D C ≌△B OC ,∴∠A D C ＝∠B OC ＝150°,∵△C OD 是等边三角形,∴∠OD C ＝60°,∴∠A D O＝∠A D C −∠OD C ＝90°,∠A OD ＝360°−100°−150°−60°＝50°,∴∠OA D ＝40°,△A OD 是直角三角形；(3)解：当A D ＝A O时,设∠A OD ＝∠A D O＝x, 则∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝x＋60°,∴∠B OC ＝x＋60°,则100°＋x＋60°＋x＋60°＝360°,解得,x＝70°,则α＝60°＋70°＝130°,当D A ＝D O时,设∠A OD ＝∠D A O＝x,则∠A D O＝180°−2x,∴∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝180°−2x＋60°, ∴∠B OC ＝240°−2x,则100°＋240°−2x＋x＋60°＝360°,解得,x＝40°,则α＝240°−2x＝160°,当OD ＝A O时,设∠OA D ＝∠A D O＝x,则∠A D C ＝∠A D O＋∠OD C ＝x＋60°,∴∠B OC ＝x＋60°,则100°＋x＋60°＋180°−2x＋60°＝360°,解得,x＝40°,则α＝60°＋40°＝100°,综上所述,当α为100°或130°或160°时,△A OD 是等腰三角形．[点睛]本题考查的是等边三角形的性质,全等三角形的性质,等腰三角形的判定,掌握全等三角形的性质定理,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页人教版八年级数学轴对称章检测卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点A (a ，2)与点B (3，b )关于x 轴对称，则a +2b ＝（ ） A ．-4B ．-1C ．-2D ．42．下列图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，点A （3，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（1，﹣3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，1）4．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC 、AC 于点D 和E ，70B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠为（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒5．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，BD 平分△ABC ，BC 的垂直平分线交BD 于点E ，连接CE ，若△A =60°，△ACE =24°，则△ABE 的度数为（ ）A ．24°B ．30°C ．32°D ．48°7．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页8．如图，△ABC 与A B C '''关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AC AC =''B ．BO B O ='C ．AA MN '⊥D ．AB B C ''∥9．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个；10．如图，△ABC 中△A ＝40°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，点C 恰好落在BE 上的点G 处，此时△BDC ＝82°，则原三角形的△B 的度数为（ ）A ．57°B ．60°C ．63°D ．70°二、填空题11．把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图△，再沿HF 折叠成图△，若△DEF ＝β（0°＜β＜90°），用β表示△C ''FE ，则△C ''FE ＝_______．12．如图，将ABC 沿AB 边对折，使点C 落在点D 处，延长CA 到E ，使AE AD =，连接CD 交AB 于F ，连接ED ，则下列结论中：△若ABC 的周长为12，5DE =，则四边形ABDE 的周长为17；△AB DE ∥；△90CDE ∠=︒；△2ADE ADF S S =△△，正确的有_____________．13．如图，在△ABC 中，△B 、△C 的平分线交于点F ，过点F 作DE △BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，下列结论：△△BDF ，△ADE 都是等腰三角形；△DE ＝BD ＋CE ；△△ADE 的周长等于AB ＋AC ；△BF＝CF ；△若△A ＝80°，则△BFC ＝130°，其中正确的有_________14．如图，在平行四边形ABCD 中，60C ∠=︒，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．设AE 与BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为16，则四边形ABEF 的面积是_________．第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页15．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO △△ADO ，下列结论：△AC △BD ；△CB =CD ；△△ABC △△ADC ；△DA =DC ．其中不正确结论的序号是____．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，DE 的垂直平分线AB 分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若6cm BE =，则AC 等于___________cm ．17．等腰三角形的顶角是100︒，那么它的一个底角的度数是________．18．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝9，AC ＝5，直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线，P 是直线上的一动点，则△APC 的周长的最小值为________．三、解答题19．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝120°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，若AC ＝12(1)求证：BD △BC ． (2)求DB 的长．20．如图，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，AE //BC ，BF AE =．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)若4AF =，求CE 的长．21．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E 、D 、F ，使得AE ＝BD ＝CF ，过点E 作EP △DF ，垂足为点P（1）求证：△BDE △△CFD ； （2）求△DEP 的度数；第7页 共8页 ◎ 第8页 共8页（3）当点E 、D 、F 分别在三边BA 、CB 及AC 的延长线上时，过点E 作EP △DF ，垂足为点P ，若AE ＝BD ＝CF ＝2，若△BDE 的周长为19，求DP 的长． 22．如图，AB 是线段，AD 和BC 是射线，AD//BC ．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线EF ，垂足为O ，且分别与射线BC 、AD 相交于点E 、F （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）条件下，连接AE ，求证：AE=AF ．23．已知：如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，点D 为动点，AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ．(1)如图1，连接BD ，CE ，求证BD CE =；(2)如图2，BAD DBC ∠=∠，连接DE ，求证：点B ，D ，E 三点在同一条直线上； (3)如图3，点D 在△ABC 的高BF 上，连接EF ，求EF 的最小值． 24．已知：Rt ABC ，90B ．求作：点P ，使点P 在ABC 内部，且,45PB PC PBC =∠=︒．25．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点都在格点上，△ABC 关于y 轴对称图形为△A 1B 1C 1（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（1）写出A 1，B 1，C 1的坐标，并画出△A 1B 1C 1的图形； （2）求△A 1B 1C 1的面积；（3）点P 是y 轴上一动点，画出P A ＋PC 最短时，点P 的位置．（保留作图痕迹，不写画法）26．如图，在平面直角坐标系中，A （3，4），B （1，2），C （5，1）.(1)作出△ABC 关于y 轴的对称图形△1A 1B 1C ； (2)写出△1A 1B 1C 的三个顶点的坐标；(3)连接1AA ，1BB ，并求出四边形11ABB A 的面积.参考答案：1．B【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．【详解】解：△点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b=−2，△a+2b=3+2×(−2)=-1．故选B．【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．2．D【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可．【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意；B、不是轴对称图形，此项不符题意；C、不是轴对称图形，此项不符题意；；D、是轴对称图形，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．3．D【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点P（3，−1）关于x轴对称的点的坐标是（3，1）故选：D．【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到△DAC=△C，根据三角形内角和定理求出△BAC的度数，计算出结果．【详解】解：△DE是AC的垂直平分线，△DA=DC，△△DAC=△C=25°，△△B=70°，△C=25°，△△BAC=85°，△△BAD=△BAC-△DAC=60°，故选：B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．A【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：故选：A．【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．6．C【分析】先根据BC的垂直平分线交BD于点E证明△BFE△△CFE（SAS），根据全等三角形∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得到的性质和角平分线的性质得到ABE EBF ECF答案．【详解】解：如图：△BC的垂直平分线交BD于点E，△BF=CF，△BFE=△CFE=90°，在△BFE和△CFE中，EF EF EFB EFC BF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BFE △△CFE （SAS ），△EBF ECF ∠=∠（全等三角形对应角相等）， 又△BD 平分△ABC ， △ABE EBF ECF ∠=∠=∠，又△180ABE EBF ECF ACE A ∠+∠+∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）， △180602496ABE EBF ECF ∠+∠+∠=︒-︒-︒=︒， △196323ABE ∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明ABE EBF ECF ∠=∠=∠． 7．C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各选项判断即可．【详解】根据轴对称图形的定义可知A 、B 、D 均不是轴对称图形， 只有C 是轴对称图形． 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，解答本题的关键是找出对称轴从而判段是否是轴对称图形． 8．D【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得．【详解】解：A ．AC AC=''，则此项正确，不符合题意； B ．BO B O ='，则此项正确，不符合题意； C ．AA MN '⊥，则此项正确，不符合题意； D ．AB B C ''∥不一定正确，则此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．9．C【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：第1个不是轴对称图形； 第2个是轴对称图形； 第3个是轴对称图形； 第4个是轴对称图形； 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 10．C【分析】根据折叠的性质可知：△BDG ＝△BDC ＝82°，△ABE ＝△A 'BE ＝△A 'BG=△A 'BC ，根据三角形外角性质可得：△DBA ＝△BDC ﹣△A ＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出△ABE ＝△A 'BE ＝21°，△ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的△B =63°．【详解】解：由折叠性质可得，△BDG ＝△BDC ＝82°，△ABE ＝△A 'BE ＝△A 'BG=△A 'BC ， △△BDC 是△BDA 的外角，△△DBA ＝△BDC ﹣△A ＝82°﹣40°＝42°， △△ABE ＝△A 'BE ＝21°，△△ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的△B =63°， 故选：C ．【点睛】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现△BDG ＝△BDC ＝82°，△ABE ＝△A 'BE ＝△A 'BG=△A 'BC 是解答此题的关键． 11．1803β︒-【分析】先利用平行线的性质得到EFH DEF β∠=∠=，180EFC β∠=︒-，再根据折叠的性质得到180EFC β∠'=︒-，所以1802HFC β∠'=︒-，接着再利用折叠的性质得到1802C FH C FH β∠''=∠'=︒-，然后计算C FH EFH ''∠-∠即可．【详解】四边形ABCD 为长方形，//AD BC ∴，EFH DEF β∴∠=∠=，180EFC β∠=︒-，方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图△， 180EFC EFC β∴∠'=∠=︒-，1801802HFC EFC EFH βββ∴∠'=∠'-∠=︒--=︒-，长方形ABCD 沿HF 折叠成图△， 1802C FH C FH β∴∠''=∠'=︒-，18021803C FE C FH EFH βββ∴∠=∠-∠=︒--=''︒-''．故答案为：1803β︒-．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 12．△△△△【分析】△由题知AE ＝AC ，BD ＝BC ，可得结论正确；△由三角形外角知△CAB +△DAB ＝△ADE +△AED ，又知△CAB ＝△DAB ，△ADE ＝△AED ，即可得△CAB ＝△DAB ＝△ADE ＝△AED ，即可得证结论； △由对称知CD △AB ，由AB △DE 可得结论；△由△知S △ADE ＝12DF •DE ，S △ADF ＝12DF •AF ，证AF 是中位线可得AF ＝12DE ，即可得证结论．【详解】解：△由图形翻折可知，AD ＝AC ，BD ＝BC ， △AE ＝AD ， △AE ＝AC ，△C 四边形ABDE ＝C △ABC +DE ， △C △ABC ＝12，DE ＝5， △C 四边形ABDE ＝17， △△正确；△由图形翻折知，△CAB ＝△DAB ， △AE ＝AD ， △△ADE ＝△AED ，又△△CAB +△DAB ＝△ADE +△AED ， △△CAB ＝△DAB ＝△ADE ＝△AED ， △AB //DE ， △△正确；△由△知，AB //DE ，由图形翻折知，CD△AB，△△CF A＝△CDE＝90°，△△正确；△由△知，△CF A＝△CDE＝90°，△S△ADE＝12DF•DE，S△ADF＝12DF•AF，△A是EC的中点，AB//DE，△AF是△CDE的中位线，△AF＝12DE，△S△ADE＝2S△ADF，△△正确，故答案为：△△△△．【点睛】本题主要考查图形的翻折，三角形的面积，平行线的判定和性质等知识点，证明AB DE是解题的关键．13．△△△【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】解：△△B、△C的角平分线交于点F，△△DBF＝△CBF，△ECF＝△BCF，设△DBF＝△CBF＝α，△ECF＝△BCF＝β，△DE BC∥，△△DFB＝△CBF＝α，△EFC＝△BCF＝β，△△DBF＝△DFB，△EFC＝△ECF，△DB＝DF，EF＝EC，△△BDF与△CEF为等腰三角形，△DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故△正确；△△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，故△正确；只有当△ABC是等腰三角形时，即△ABC=△ACB，则△FBC=△FCB，△ADE=△AED，则BF ＝CF，AD=AE，根据现有条件无法证明BF=CF，并且无法证明△ADE=△A或△AED=△A，即无法证明△ADE为等腰三角形，故△、△错误；△△A ＝80°，△△FBC ＋△FCB ＝218080︒-︒＝50°， △△BFC ＝180°－50°＝130°，故△正确．故答案为△△△．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．14．【分析】根据题意可知AE 是BF 的垂直平分线，可得AB=AF ，BE=EF ，再根据“AAS ”证明△AOF △△EOB ，可得AF=BE ，进而根据“四边相等的四边形是菱形”得出四边形ABEF 是菱形，可知AF=AB=4，再说明△ABF 是等边三角形，可求出BF=4，然后根据勾股定理求出AO ，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案即可．【详解】根据题意可知AE 是BF 的垂直平分线，△AB=AF ，BE=EF ．△△F AO=△BEO ，△AOF=△BOE ，BO=FO ，△△AOF △△EOB ，△AF=BE ，△AB=BE=EF=AF ，△四边形ABEF 是菱形，△AF=AB=4．△四边形ABCD 是平行四边形，且△C =60°，△△BAF =60°，△△ABF 是等边三角形，△BF=4，△OF=2．在Rt △AOF 中，AO ===，△AE =△11==422ABEF S AE BF ⨯⋅⨯⨯四边形故答案为：【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握菱形面积的计算方法是解题的关键．15．△【分析】根据全等三角形的性质可得AOB AOD ∠=∠，根据平角的定义可得1180902AOB AOD ∠=∠=⨯︒=︒，即可判断△，根据全等三角形的性质得出AB AD =，BO DO =，结合△可得AC 是BD 的垂直平分线，即可判断△，根据SSS 即可证明△，不能得出结论△．【详解】解：△△ABO △△ADO ，△AOB AOD ∠=∠，AB AD =，BO DO =△四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， △1180902AOB AOD ∠=∠=⨯︒=︒， △△AC △BD 正确；△AB AD =，BO DO =△AC 是BD 的垂直平分线，△△CB =CD 正确；△,,AB AD BC DC AC AC ===，△△△ABC △△ADC 正确；由已知条件不能判断△DA =DC ．故答案为：△．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．16．3【分析】根据垂直平分线的性质，可知6AE BE ，再由三角形外角的性质得出30AEC ABE BAE ∠=∠+∠=︒，最后由含30°的直角三角形的性质得出AC 的值即可．【详解】解：△DE 垂直平分AB ，6BE =△6AE BE ，又15B ∠=︒△15ABE BAE ∠=∠=︒，△30AEC ABE BAE ∠=∠+∠=︒，又△90ACB ∠=︒△在Rt AEC 中，132AC AE == 故答案为：3．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的外角的性质、含30°的直角三角形的性质，解题的关键在于对知识的灵活运用．17．40︒##40度【分析】根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：根据题意得，底角的度数为：1(180100)402⨯︒-︒=︒， 故答案为：40︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质． 18．13【分析】首先连接PC ，由中垂线的性质可得PB =PC ，由于△APC 的周长为AC +P A +PC ，AC 长度固定，则只要P A +PB 最小即可，此时可推出P 、A 、B 三点共线，即P A +PB =AB ，由此计算即可．【详解】解：如图，连接PC ，则由中垂线的性质可得PB =PC ，△△APC 的周长=AC +P A +PC ，△△APC 的周长=AC +P A +PB ，△AC =5，△要使得△APC 的周长最小，使得P A +PB 最小即可，显然，根据两点之间线段最短，可知当P 、A 、B 三点共线时，P A +PB 最小此时，P 点即在AB 边上，P A +PB =AB ，△P A +PB 最小值为8，△△APC 的周长最小为：8+5=13，故答案为：13．【点睛】本题考查最短路径问题，以及中垂线的性质，理解并掌握中垂线的性质，以及最短路径问题的基本处理方式是解题关键．19．(1)见解析(2)4【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出△A=△C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出△DBA=30°，据此即可证得；(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BD=12CD，求出AD=12CD，据此求出答案即可．【详解】（1）证明：△AB＝BC，△ABC＝120°，△1180302A C ABC∠=∠=︒-∠︒（）＝，△AB的垂直平分线是DE，△AD＝BD，△△DBA＝△A＝30°，△△DBC＝△ABC﹣△DBA＝120°﹣30°＝90°，△BD△BC；（2）解：△△DBC＝90°，△C＝30°，△12BD CD=，△AD＝BD，△1123AD CD AC==，△AC=12，△AD＝4，△BD＝AD＝4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE B ∠=∠，EAC ACB ∠=∠，再根据角平分线的定义可得DAE EAC ∠=∠，从而可得B ACB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据三角形全等的判定证出ABF CAE ≅，再根据全等三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：△AE //BC ，DAE B ∴∠=∠，EAC ACB ∠=∠， E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，DAE EAC ∴∠=∠，B ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：,DAE B DAE EAC ∠=∠∠=∠，B EAC ∴∠=∠，在ABF △和CAE 中，AB CA B EAC BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CAE ∴≅，AF CE ∴=，4AF =，4CE ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．21．（1）见解析；（2）30°；（3）4.5【分析】（1）直接根据SAS 证明△BDE △△CFD 即可；（2）由（1）得△BDE △△CFD ，则△BED =△CDF ，即可推出△ EDP =△B =60°，再由EP △DF ，即可得到△ DEP =30° ；（2）根据△ABC 边长为6, AE =BD =2，得到BE =AB +AE =8，由△BDE 的周长为19，求出DE =19-BD -BE =9，然后证明△BDE △△CFD 得到△DEB =△FDC ，推出△EDP =60°，即可利用含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】解：（1）△△ABC是等边三角形，△△B=△C=60°，AB=BC，△AE=BD=CF，△AB-AE=BC-BD，即BE=CD，△△BDE△△CFD（SAS）；（2）由（1）得△BDE△△CFD，△△BED=△CDF，又△△EDC=△B+△BED，△△ EDP+△CDF=△B+△BED，△△ EDP=△B=60°，△EP△DF，△△EPD=90°，△△ DEP=30° ；（2）△△ABC边长为6,AE=BD =2，△BE=AB+AE=8，又△△BDE的周长为19，△ DE=19-BD-BE=9，△△ABC是等边三角形，△△ABC=△ACB=60°，BA=CB，△△EBD=180°-△ABC=180°-△ACB=△DCF=120°，又△BD=AE，△BA+AE=CB+BD，即BE=CD，△△BDE△△CFD（SAS），△△DEB=△FDC，△△EBC=△EDB+△DEB=60°，△△EDB+△FDC=60°，即△EDP=60°，又△EP△DF，△△EPD=90°，△△ DEP=30°，△DE=2DP，△DP= 4.5．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．22．（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）按照垂直平分线的作法画出AB的垂直平分线即可；（2）通过平行线的性质及垂直平分线的性质得出BAF EAB∠=∠，然后通过ASA证明≅，再由全等三角形的性质即可得出结论．AOE AOF【详解】（1）如图（2）如图，连接AE//AD BCEBA BAF∴∠=∠△EF是AB的垂直平分线,90 EB EA AOE AOF∴=∠=∠=︒EBA EAB∴∠=∠BAF EAB∴∠=∠在AOE△和AOF中，EAO FAO AO AOAOE AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩()AOE AOF ASA∴≅AE AF∴=【点睛】本题主要考查尺规作图及全等三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的作法和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析(3)3 2【分析】（1）证明△BAD△△CAE，从而得出结论；（2）△BAD=△CAE=△CBE，所以△ABC=△ABD+△CBE=△ABD+△BAD=60°，从而得出△ADB=120°，进一步得出结论；（3）可证得△ACE=△ABF=30°，从而得出点E的运动轨迹，进而求得EF的最小值．【详解】（1）△△ABC是等边三角形，△AB=AC，△BAC=60°，△AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，△△DAE =60°，AD =AE ，△△BAC =△DAE ，△△BAC -△DAC =△DAE -△DAC ，即：△BAD =CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， △△BAD △△CAE （SAS ），△BD =CE ；（2）由（1）知：△CAE =△BAD ，△△CAE =△CBE ，△△BAD =△CBE ，△△ABC 是等边三角形，△△ABC =60°，△△ABD +△CBE =60°，△△ABD +△BAD =60°，△△ADB =180°-（△ABD +△BAD ）=120°，△AD =AE ，△DAE =60°，△△ADE 是等边三角形，△△ADE =60°，△△ADB +△ADE =180°，△B 、D 、E 在同一条直线上；（3）如图，连接CE ，由（1）得：△BAD △△CAE ，△△ACE=△ABD，△△ABC是等边三角形，△AB=BC，△ACB=△ABC=60°，△BF△AC，△△ABF=12△ABC＝30°，CF=AF=12AC=3，△△ACE=30°，△△BCE=△ACB+△ACE=90°，△点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，△当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），△△CE′F=90°，△ACE=30°，△FE′=12CF＝32，△EF的最小值为：32．【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．24．见解析【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．【详解】解：如图，点P即为所求：【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．25．（1）A1(4，1) ；B1(2，-1)；C1(1，3)；见解析；（2）5；（3）见解析【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标相同，横坐标互为相反数，先找到A 、B 、C 关于y 轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）根据111A B C △的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三角形面积求解即可； （3）连接1A C 与y 轴交于点P 即为所求．【详解】解：（1）如图所示，111A B C △即为所求；由图可知，1A 的坐标为（4，1），1B 的坐标为（2，-1），1C 的坐标为（1，3）；（2）由图可知111111341422325222A B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△； （3）如图所示，连接1A C 与y 轴交于点P 即为所求；【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化，轴对称最短路径等等，解题的关键在于能够熟练掌握关于y 轴对称的点的坐标特征．26．(1)作图见详解(2)1(3,4)A -，1(1,2)B -，1(5,1)C -(3)作图见详解，四边形11ABB A 的面积为8【分析】（1）先依次作A ，B ，C 关于y 轴的对称点，再顺次连接即可．（2）由图写出1A ，1B ，1C 坐标即可．（3）由图可知四边形11ABB A 为梯形，用梯形面积公式即可求得面积．【详解】（1）（2）解：由（1）中图可知1(3,4)A -，1(1,2)B -，1(5,1)C -（3）解：如图四边形11ABB A 的面积=1(26)282+⨯= 【点睛】本题考查了轴对称的作图，以及平面直角坐标系相关知识点．掌握轴对称的作图步骤是解题关键．。

第13章轴对称一、选择题（共9小题）1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（）A．（﹣4，6）B．（4，6） C．（﹣2，1）D．（6，2）3．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）5．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）6．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）8．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）9．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3二、填空题（共16小题）10．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为______．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（______，______）．12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是______．13．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=______．14．若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）2014=______．15．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为______．16．点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是______．17．点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是______．18．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标为______．19．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为______．20．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是______．21．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为______．22．点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为______．23．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=______．24．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为______．25．已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是______．三、解答题26．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（2）将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2=C 2B 2．28．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标A （﹣4，1），B （﹣2，1），C （﹣2，3）（1）作△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 向下平移4个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2；（3）求四边形AA 2B 2C 的面积．29．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，1），B （﹣1，0），C （﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形．30．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l ．第13章轴对称参考答案一、选择题（共9小题）1．D；2．B；3．A；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．B；二、填空题（共16小题）10．（-2，0）；11．-2；3；12．（3，2）；13．-6；14．1；15．25；16．（3，0）；17．（2，1）；18．（-2，-3）；19．（-2，-3）；20．（-3，2）；21．（-1，-2）；22．（-3，-2）；23．0；24．（2，-3）；25．（1，2）；三、解答题（共5小题）26．27．28．29．30．。

河北省衡水市2018-2019学度度初二上年中数学试题及解析八年级数学试题一 选择题：每小题3分，共10小题，共30分。

1.下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cmD.13cm,12cm,20cm2.如图，∠1等于（ ）A.40°B.50°C.60°D.70°3.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ）A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点4.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉子的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）5.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列哪一个条件后，仍然无法证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A.∠A=∠DB.BC=EFC.AC=DFD.∠ACB=∠F第5题图 第6题图6.如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC =4平方厘米，则S △ABC 的值为（ ）A.2平方厘米B.1平方厘米C.21平方厘米 D.41平方厘米7.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数为（ ）A.9B.6C.7D.88.如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°第8题图 第9题图 第10题图9.如图，在△ABC 中，AB=AC,BD 平方∠ABC 交AC 于点D,AE//BD 交CB 的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．60°D ．70°10.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC,BD 是△ABC 的角平分线。

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm C解析：C【分析】 利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒A解析：A【分析】 根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．【详解】解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠BAC=60︒，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠BAD=30B ∠=︒，∴AD=BD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AE=BE ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴S △ACD =S △AED ，∵AE=BE ，DE ⊥AB ，∴S △AED =S △BED ，∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；故选：C ．．【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6C解析：C【分析】利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．【详解】解：∵AB AC =， ∴ABC 是等腰三角形，∵108BAC ∠=︒， ∴180108362B C ︒-︒∠=∠==︒，∵72ADB ∠=︒，∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，∴ADB BAD ∠=∠，∴AB BD =，∴ABD △是等腰三角形，∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴DAC C ∠=∠，∴AD CD =，∴ACD △是等腰三角形，∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=∠=︒， ∴18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴AED DAE ∠=∠， ∴DE DA =， ∴ADE 是等腰三角形， ∵BDE B ∠=∠， ∴BE DE =， ∴BED 是等腰三角形，一共有5个等腰三角形．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 6．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．【详解】解：∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，∴AE=BE ，在△ADE 和△BCE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；△ADE ≌△BCE ，,ADE BCE ∴∠=∠∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，∴∠BDE=∠AFE ，在△AEF 和△BED 中，FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴AF BD =； 故③正确；∵△ADE ≌△BCE ，∴,DE CE =△AEF ≌△BED ，,,AEF BED EF DE SS ∴== ,EF CE ∴=∴,AEF ACE SS = ∴ ,BDE ACES S =故④正确； 综上：正确的有①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．103B 解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x 的值为4．故答案为：B【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 8．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°A解析：A【分析】 由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】 延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．在直角坐标系中，已知A （2，－2），在y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】如果OA 为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A 为圆心AO 为半径的圆弧与y 轴有一个交点；②如果OA 为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA 的垂直平分线，与y 轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA 为等腰三角形的腰时，以O 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有两个交点，以A 为圆心OA 为半径的圆弧与y 轴有一个交点；②当OA 为等腰三角形的底时，作线段OA 的垂直平分线，与y 轴有一个交点， ∴符合条件的点一共4个，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．二、填空题11．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO=OB=OC，∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠A+∠C=∠ABC，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．若点A（1＋m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m＋n）2020的值是_____．1【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A（1+m1-n）与点B（-32）关于y轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m＋n）202【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．【详解】解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，∴1+m=3，1-n=2，∴m=2，n=-1，∴（m＋n）2020=（2-1）2020=1；故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．16．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．解得x＝4，y＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____．40°或100°或140°【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形可知DP＝DE所以可以分两种情况考虑:①点P在AB上；②点P在AC上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形解析：40°或100°或140°根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，∴∠EDB ＝20°，∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，∴DP ＝ DE ，①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠EDP 2＝140°，同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，故答案为：40°或100°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．18．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．3cm【分析】过点P作PF⊥OB于F根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC根据两直线平行内错角相等可得∠AOC＝∠OPD两直线平行同位角相等可得∠解析：3cm【分析】过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC＝∠OPD，两直线平行，同位角相等可得∠PDF＝∠AOB，再求出∠BOC＝∠OPD，根据等角对等边可得PD＝OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF＝12PD，进而即可求解．【详解】如图，过点P作PF⊥OB于F，∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PE＝PF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵PD∥OA，∴∠AOC＝∠OPD，∠PDF＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠OPD，∴PD＝OD＝6cm，∴PF＝12PD＝12×6＝3cm，∴PE＝PF＝3cm．故答案为：3cm．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．19．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时当点D 在线段CM 的延长线上时分别画出图形利用全解析：30 90︒ 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时，当点D 在线段CM 的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM 平分ACB ∠，∴∠ACM=12∠ACB=30， 故答案为：30；（2）∵△ABC 是等边三角形，CM 平分ACB ∠，∴CM ⊥AB ，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE ，∴△CDE 是等边三角形，∴DE=CE=CD ，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF 平分∠DCE ，∵CD=CE ，∴CB 垂直平分DE ，①当点D 在线段CM 上时，当△BDM ≌△BEF 时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM ≌△EBF 时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D 在线段CM 的延长线上时，当△BDM ≌△BEF 时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM ≌△EBF 时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4， ∴2223CF CE EF =-=，故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．20．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE解析：56°【分析】根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，∵BE=CF ，BD=CE ，∴在DBE ∆和CEF ∆中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；DBE CEF ∆≅∆，∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，1(18044)682B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°∴∠CEF +∠DEB=112°180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，18068562EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）求证：BD =AE ；（2）若BC =6，AC =4．求CE 的长度．解析：（1）见解析；（2）CE =1【分析】（1）连接PA 、PB ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB ，证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ；（2）结合图形计算得到答案．【详解】（1）连接PA 、PB ，∵CP 是∠BCE 的平分线，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴PD =PE ，在Rt △CDP 和Rt △CEP 中，PD PE PC PC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）∴CD =CE ，∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，∴PA =PB ，在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，PE PD PA PB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），∴AE =BD ；（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12CE CD ==⨯-=． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．(1)求证：△ACD 为等腰三角形．(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．解析：（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AB=AD ，∵AB =AC ，∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，∴∠ADB=∠ABD=1802BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，∵AB =AC ，∴∠ACB=∠ABC=40°,∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=40°,∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠==︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．23．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．【详解】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC ＝DB ．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴∠DCB ＝∠DBC ．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°−∠DCB ，∠A ＝90°−∠DBC ．∴∠ACD ＝∠A ．∴DC ＝DA ．（等角对等边）∴△DCB 和△DCA 都是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．24．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =． （1）求证：ABC 是等边三角形；（2）若2CG =，求BC 的长．解析：（1）见解析 （2）4【分析】（1）只要证明Rt △ADE ≌Rt △CDF ，推出∠A=∠C ，推出BA=BC ，又AB=AC ，即可推出AB=BC=AC ；（2）证明BD 是等边三角形的∠ABC 的平分线，得∠DBC =30゜，再利用直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F ，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D 为AC 的中点，∴AD=DC ，在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，AD DC DE DF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ，∴∠A=∠C ，∴BA=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形．（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且DE DF =，∴BD 平分ABC ∠，∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴BD AC ⊥，30CBD ∠=︒， ∴2BC CD =，∵CD CG =，2CG =∴24BC CG ==．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．解析：（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠，(ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．27．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．解析：（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】。

《轴对称》测试卷考生注意：本试卷共3大题，总分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）A 、B 、C 、D 、2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）A 、21：10B 、10：21C 、10：51D 、12：013．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）A 、8 mB 、4 mC 、2 mD 、6 m4．如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A ：90°B ： 75°C ：70°D ： 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）A 、直角三角形B 、长方形C 、等边三角形D 、等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A ． 9B ． 12C ． 9或12D ． 57．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）︰第2题图第3题图第4题图FE DCBAA 、4B 、5C 、6D 、78.如图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( )A.20°B. 40°C. 50°D. 60°9．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ） （A ）AD DH AH ≠= （B ）AD DH AH == （C ）DH AD AH ≠= （D ）AD DH AH ≠≠10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A （x ， －4）与点B （3，y ）关于x 轴对称，那么x ＋y 的值为____________. 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ． 14.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 ___ cm 2.BMN P 1A P 2OP第7题图 第8题图 第9题图MANCQPBNM D CH EBABAC DFEABD C第14题图第15题图第16题图第17题图BCE DABFE DCA15．如图,在△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 16．如图，在等边ABC △中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且AD CE =，则BCD CBE ∠+∠=度．17．如图：在△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为 ；18．在直角坐标系内，已知A 、B 两点的坐标分别为A （－1，1）、B （3，3），若M 为x 轴上一点，且MA ＋MB 最小，则M 的坐标是___________.三、解答题（本大题共7题，共46分）19．（6分）画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，正多边形的边数 3 4 5 6 7 …… 对称轴的条数……根据上表，猜想正n 边形有_________条对称轴。

勤学早八上数学第13章《轴对称》单元检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是（）2.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为（）A.80°B. 50°C. 60°D. 70°3.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论错误的是（）A.∠B＝∠CB. ∠B＝60°C. AD平分∠BACD. BD＝DC4.在平面直角坐标系中，点（－2，4）关于x轴对称的点的坐标是（）A.（－2，4）B.（2，－4）C.（2，4）D.（－2，－4）5. 在平面直角坐标系中，点（2，－5）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（2，－5）B.（－2，－5）C.（2，5）D.（－2，5）6. 已知等腰三角形两边的长分别是5和10，则此三角形的周长是（）A. 20B. 25C. 18或14D. 20或257. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于E，若DE ＝3，则BC的长为（）A. 6B. 7C. 8D. 9第3题图第7题图第9题图第10题图8. 已知BD是△ABC的高，AB＝AC，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（）A. 70°B. 25°C. 25°或70°D. 70°或20°9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，直线l垂直平分AC，点P是直线l上任意一点，则△PBC周长的最小值为（）A. 10B. 12.5C. 15D. 2010. 如图，∠BAC＝10°，作AP＝PP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P n P n＋1（n为正整数），其中点在射线AC上，点P，P2，P4…在射线AB上，则n的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（每小题3分，共18分）11.等腰三角形的一个内角是110°，则其底角是 .12.在△ABC中，AB＝AC，则△ABC的对称轴是 .13.如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥BC于点E，若BE＝3，则CE的长为 .14.如图，AB∥CD，∠A＝46°，且OC＝OE，则∠C的度数为 .15.已知点A关于x轴的对称点为B（m，4），关于y轴的对称点为（－3，n），那么m＋n的坐标为 .16.如图，A（0，－4），B（－2，0），AB⊥BC，AB＝BC，AC交x轴于点D，则D点的坐标为 .第13题图第14题图第16题图三、解答题（共8题，共72分）17.（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠BCD＝25°，求∠A的度数.18.（本题8分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.19.（本题8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AF于点F，∠1＝∠2，求证：BE＝CF.20.（本题8分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数；（2）若CD＝2，求DF的长.21.（本题8分）已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）画出△ABC 关于y 轴对称的△AB 1C 1；并写出B 1的坐标；（2）将△ABC 向右平移8个单位，画出平移后的△A 1B 2C 2，并写出B 2的坐标； （3）在（1）（2）的基础上，写出△AB 1C 1与△A 1B 2C 2有怎样的位置关系？22.（本题10分）如图，已知等边△ABC ，点M 在AB 的延长线上，N 在BC 的延长线上，且AM ＝BN ，直线CM 交直线AN 于P . （1）求∠CPN 的度数； （2）作MG ⊥BC 于G ，若n BGGN，求M 在运动过程中，使△CPN 为等腰三角形时n 的值.23.（本题10分）如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A . （1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，求∠DEC 度数； （2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值.24.（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），B （a ，0），点D （d ，0）且d b a ，，满足 ()08312=-+-++d b a ，DE ⊥x 且∠BED ＝叫ABD ，BE 交y 轴于点C 延长AE 交x 轴于点F . （1）求证：∠BAE ＝∠BEA ； （2）求点F 的坐标；（3）已知Q （m ，－1）（m ＞0），点M 在y 轴正半轴上，∠MEQ ＝∠OAF ，设AM －MQ ＝n ，求mn的值.1-5ADBDB 6-10BDDCA二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 35°，35° . 12. BC 的垂直平分线 . 13. 9 . 14. 23° . 15. －1 . 16. （34，0） . 提示：过C 作CE ⊥x 轴于E ，连结OC ，则△AOC ≌△BEC ，∴C （2，2），∴S △AOC =4，设D （m ，0），则21m ×（2＋4）=4，∴m =34，∴D （34，0）. 三、解答题（共8题，共72分）17.解：50°. 18证：略. 19.证：略.20.解：（1）∠F =30°； （2）DF =4.21.解：（1）B 1（3，2）； （2）B 2（5，2）；（3）由图可知△AB 1C 1与△A 1B 2C 2关于直线4 x 对称.22.解：（1）证△ACM ≌△BAN ，∴∠N =∠AMC ， ∴∠APC =∠N ＋∠PCN =∠AMC ＋∠BCM =60°， ∴∠CPN =120°.（2）∵∠CPN =120°，△CPN 为等腰三角形， ∴∠N =∠PCN =∠BMC =∠BCM =30° ∵MG ⊥BC ，∠MBG =60°， ∴BM =BC =2BG =CN ， ∴GN =5BG ，∴n =5.23.解：（1）∠DEC =67.5°；（2）∵AC =BC ，∠CDE =∠A ，∴∠A =∠B =∠CDE ，∴∠ACD =∠BDE ，又∵BC =BD ， ∴BD =AC ，易证△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD =DE ； （3）∵CD =BD ，∴∠B =∠DCB ，又∠CDE =∠B ， ∴∠DCB =∠CDE ，∴CE =DE ，在DE 上取点F ，使得FD =BE 易证△CDF ≌△DBE （SAS ）， ∴CF =DE =CE ，又∵CH ⊥EF ，∴FH =HE ， ∴DE －BE =DE －DF =EF =2HE =2.24.解：（1）∵由题得a =－1，b =3，d =2，∴A （0，3），B （－1，0），D （2，0）∴OB =1，OD =2，OA =3，∴AO =BD ，易证△ABO ≌△BED （AAS ），∴BA =BE ，∴∠BAE =∠BEA .（2）易求DE =BO =1，∴E （2，1），连OE ，设DF =x ，S △AOE ＋S △EOF =S △AOF ， 3×2×21＋（2＋x ）×1×21=3（2＋x ）×21，∴x =1，∴F （3，0） （3）易求∠MEQ =45°，过Q 作QP ∥x 轴交y 轴于P ，过E 作EG ⊥OA ，EH ⊥PQ ，垂足分别为G 、H ，在GA 上截取GI =QH ，∵Q （m ，－1），E （2，1）. ∴EG =EH =PH =PG =2，易证△EQH ≌△EIG ，△IEM ≌△QEM ，∴MI =MQ ，易证MQ =MG ＋QH . 连结EP ，易证△AEI ≌△PEQ ，故AI =PQ ， ∴1==-=-=PQAIPQ MI AM PQ MQ AM m n .。

初二数学坐标轴对称练习题在数学学科中，坐标轴对称是一个重要的概念。

它不仅用于描述图形在平面中的位置，还可以帮助我们解决各种问题。

本文将为大家介绍一些初二数学中的坐标轴对称练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

练习题一：已知点A(-3,2)关于x轴对称，求其对称点坐标。

解析：对称轴是x轴，即y=0。

根据对称性质，点A关于x轴的对称点B的纵坐标与A的纵坐标相反，横坐标不变。

所以点B的坐标为(-3,-2)。

练习题二：已知点A(-2,5)关于y轴对称，求其对称点坐标。

解析：对称轴是y轴，即x=0。

根据对称性质，点A关于y轴的对称点B的横坐标与A的横坐标相反，纵坐标不变。

所以点B的坐标为(2,5)。

练习题三：点A(4,6)关于原点对称，求其对称点坐标。

解析：对称轴是原点(0,0)。

根据对称性质，点A关于原点的对称点B的横坐标和纵坐标均与A的相反。

所以点B的坐标为(-4,-6)。

练习题四：图形G在x轴对称，已知点A(3,4)在图形G上，求点A'对称到的位置。

解析：根据已知条件，点A在图形G上，所以点A'的位置也在图形G上，并且与点A关于x轴对称。

所以点A'的坐标也为(3,4)。

练习题五：图形H在y轴对称，已知点B(-5,2)在图形H上，求点B'对称到的位置。

解析：根据已知条件，点B在图形H上，所以点B'的位置也在图形H上，并且与点B关于y轴对称。

所以点B'的坐标为(5,2)。

通过以上的练习题，我们可以看到坐标轴对称的应用非常广泛。

它不仅可以在平面几何中帮助我们求解点的对称位置，还可以在数学问题中起到重要的作用。

因此，在数学学习中，我们要充分理解和掌握坐标轴对称的概念，灵活运用它来解决各种问题。

初二数学坐标轴对称练习题就暂且写到这里，希望能对大家的学习有所帮助。

通过反复练习和思考，相信大家一定能够熟练掌握坐标轴对称的概念和应用，提升自己的数学水平。

祝大家学业进步！。