第二章 矩阵及其运算∙ 要点和公式 ∙ - PART I -1. 矩阵的基本运算 矩阵的加法设n m ij a ⨯=)(A ，n m ij b ⨯=)(B ，则n m ij ij b a ⨯±=±)(B A . 性质： ① A B B A +=+② )()(C B A C B A ++=++③ A O A =+④ O A A =-+)(矩阵的数量乘法设k 为数，n m ij a ⨯=)(A ，则n m ij ka k k ⨯==)(A A . 性质： ① A A =1② )()(A A l k kl = ③ A A A l k l k +=+)( ④ B A B A k k k +=+)(其它性质：① 0A =O ；② k O =O ；③若k A =O ，则有k =0或A =O 矩阵的乘法设n m ij a ⨯=)(A ,s n ij b ⨯=)(B , 则s m ij c ⨯=)(AB , 其中∑==nk kj ik ij b a c 1.性质：① )()(BC A C AB =② )()()(B A B A AB k k k ==③ AC AB C B A +=+)(④BC AC C B A +=+)(☑ 一般而言，矩阵的乘法不满足交换律和消去律，即 ①AB ≠BA ； ②AB =AC → B =C ； ③AB =O → A =O 或B =O (“≠”表示“不一定等于”；“→”表示“不一定能推出”) 定义：若AB =BA ，则称A 和B 可交换.(根据矩阵乘法，若A ,B 可交换，则A ,B 是同阶方阵)2 线性方程组及其矩阵表达式含m 个方程、n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 矩阵表达式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b 21，简记为Ax =b3 线性变换及其矩阵表达式从变量x 1, x 2, …, x n 到变量y 1, y 2, …, y m 的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmn m m m nn nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 矩阵表达式：=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m y y y 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21，简记为y =Ax4 方阵、和方阵有关的运算 重要的方阵⑴ n 阶上三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 22211211 (即，当i >j 时，a ij =0)n 阶下三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111 (即，当i <j 时，a ij =0) ⑵ n 阶对角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n diag λλλλλλ2121),,,(Λ ⑶ n 阶数量矩阵 nn n k k k k ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= E (k ≠0)⑷ n 阶单位矩阵 nn n ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 E⑸ 奇异矩阵、非奇异矩阵 (不可逆矩阵、可逆矩阵) ⑹ 对称矩阵、反对称矩阵 ⑺ 伴随矩阵 方阵A 的k 次幂个k k A AA A =. 性质：① m k m k +=A A A ；② km m k A A =)( ☑ 一般而言，k k k B B A A ≠)( (除非A ,B 是可交换的) 方阵A 的k 次多项式设0111)(a x a x a x a x f k k k k +++=-- ，A 为n 阶方阵， 则E A A A A 0111)(a a a a f k k k k +++=-- (E 为n 阶单位矩阵) ☑ ① f (A )g (A ) = g (A )f (A )② 一般而言，f (A )g (B ) ≠ g (B )f (A ). (除非A ,B 是可交换的) ☑⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλ21Λ的多项式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()(21n f f f f λλλΛ方阵的行列式定理：若A , B 都是n 阶方阵，则B A AB ⋅= ☑ ①A A n k k =；② 一般而言，B A B A +≠+ ③ 一般而言，B A = → A =B☑ 定义：设A 为n 阶方阵，若0=A ，则称A 为奇异矩阵；若0≠A ，则称A 为非奇异矩阵.5 转置矩阵设n m ij a ⨯=)(A ，则A 的转置矩阵m n T ji T a ⨯=)(A ，其中Tji ij a a =转置矩阵的性质：① A A =T T )( ② T T T B A B A +=+)(③ T T k k A A =)( ④ T T T A B AB =)(⑤ 若A 为方阵，则A A =T6 对称矩阵、反对称矩阵定义：若A =A T(即a ij = a ji )，则称A 是对称矩阵；若A =－A T (即a ij = -a ji )，则称A 是反对称矩阵；(由定义知，对称矩阵和反对称矩阵必然是方阵)7 代数余子式矩阵、伴随矩阵定义：设A =(a ij )为n 阶方阵(n ≥2)，将A 中的所有元素a ij 替换为相应的代数余子式A ij 所得的矩阵，称为A 的代数余子式矩阵，记作cof A.定义：设A 为n 阶方阵(n ≥2)，则伴随矩阵T cof )(*A A = 伴随矩阵的性质：E A A A AA ==** (该性质表明，方阵A 与．伴随矩阵．．．．A *总是可交换的．．．．．．)8 可逆矩阵定义：若AB =BA=E ，则A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵.(由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵)定理：若A 可逆，则1-A 是唯一的.定理：A 可逆的充分必要条件是0≠A (即A 是非奇异矩阵). 定理：若A 可逆，则*11A AA =-. 定理：若A , B 均为n 阶方阵且AB =E ，则必有BA =E (即A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵) 可逆矩阵的性质：设A , B 均为n 阶可逆阵，数k ≠0，则A -1, A T, kA , AB , 皆可逆，且① A A =--11)( ② 11)()(--=T T A A③ 111)(---=A A k k ④ 111)(---=A B AB ⑤ 11--=A A求逆矩阵的重要公式 ⑴ 二阶可逆矩阵： 若ad -bc ≠0，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a c b d bc ad d c b a 11(2-1) (“两调一除”：调换主对角元位置，调换副对角元符号，再除以矩阵的行列式的值ad -bc ) ⑵ 可逆的对角阵、副对角阵： 若a 1 a 2 …a n ≠ 0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11211121n n a a a a a a(2-2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121a a a a a a nn(2-3)9 伴随矩阵的其它性质 (补充内容)① 1*-=n AA② 若A 可逆，则A * 也可逆，且*11*)()(--=A A③**)()(T T A A = ④*1*)(A A -=n k k⑤⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2()2()(2**n n n A A A A⑥ ***)(A B AB =注 以上性质的证明参见Part III-附录.10 分块矩阵分块矩阵的运算性质和一般矩阵相似，但需注意以下几点： ① 分块矩阵的加法：在A ,B 是同型矩阵的前提下，要求A 和B分块方式相同；② 分块矩阵的乘法：在AB 可乘的前提下，要求A 的列的分块方式和B 的行的分块方式相同；③ 分块矩阵转置：先将行块、列块转置(“大转”)，再将每个子块转置(“小转”). 分块法求逆矩阵的公式⑴ 可逆的分块对角阵、分块副对角阵：若A 1, A 2, …, A m 都是可逆阵，即021≠⋅⋅m A A A ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121m m A A A A A A(2-4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121A A A A A Am m(2-5)⑵ 可逆的2⨯2分块矩阵：若A , B 都是可逆阵，即0≠⋅B A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B O CB A A B OC A (2-6)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A (2-7)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111CB A A B O O B A C (2-8)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----O A B CA B C B A O 11111(2-9)- PART II 一些特殊矩阵的乘积 -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m a a a21()n b b b , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m m m n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111[矩阵乘积中任意两行(列)元素成比例]()n a a a , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21n n b a b a b a +++= 2211 若A ,B 均为上(下)三角矩阵，则AB 也是上(下)三角矩阵.(并且，AB 的主对角元 = A 和B 的主对角元乘积])⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m m m m n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ212222221211121111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各行]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m m n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 221122222111122111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各列]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b a b a2211 (上式表明，两个同阶的对角阵总是可交换的)n m n m m kA A kE ⨯⨯=)(； n m n n m kA kE A ⨯⨯=)( n n n n n kA kE A A kE ==)()((上式表明，数量矩阵与任．．一．同阶方阵总是可交换的．．．．．．．．．．) n m n m m A A E ⨯⨯=； n m n n m A E A ⨯⨯=()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21∑∑===n i j i nj ij x x a 11(x 1,x 2,…x n 的二次齐次多项式)如果上式中方阵 (a ij )n ⨯n 是一个对称矩阵，则结果也可写作：∑∑∑=>=+n i j i nij ij i n i ii x x a x a 1212设A =(a ij )m ⨯n ，则AA T=C =(c ij )m ⨯m 是一个m 阶方阵，其中 主对角元c ii 是A 的第i 行元素的平方和，非主对角元c ij (i ≠j )是A 的第i 行和第j 行对应元素的乘积之和，即∑∑====nk jkik nk Tkj ik ij a a a a c 11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==∑∑==n k jk ik n k ik j i a a j i a 112)( )( 111 2122221112111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n n n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a [乘积为列向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各行元素之和]() , , , 1 , ,1 ,1112112122221112111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===⨯m i in m i i mi i mn m m n n m a a a a a a a a a a a a[乘积为行向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各列元素之和]111112112222121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯n n mn m m mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 上下翻转]111 122122211121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯m m mn nnn n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 左右翻转]000010102122221212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向上递推一次]00001010 1,11,2211,111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m n n n n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向右递推一次)00001010,12,11,111211212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向下递推一次]00001010 2222112212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mnm n nn n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a [相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向左递推一次]- PART III 附录：伴随矩阵性质的证明 -[证] (i) 若A 不可逆 (即0=A )，要证的结论变为0*=A .(i-1) 若0=A 且A =O ，则O A =*→0 *=A(i -2) 若0=A 但A ≠O ，仍有0*=A ，用反证法证明如下： 假设0 *≠A ，即A *可逆.由于0=A ，故O ==E A AA *上式两端右乘(A *)-1，得O A O A ==-1*)(结论与条件 A ≠O 矛盾，故假设不成立，因此0*=A(ii) 若A 可逆 (即0≠A )， 对E A AA =*两端取行列式，得*nA A A =⋅由于0≠A ，故1* -=n AA ⏹[证] 由于A 可逆(即0≠A )，对E A AA =两端同除A ，得1*E A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 上式表明：A *可逆，且1*)(-A A A1=又，用A -1替换 *E A AA =中的A ，有)(1*11E A A A ---=上式两端左乘A ，得 A AA A A 1)( 1*1==-- ⏹ 性质③ **)()(T TA A =[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111*A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n TA A A A A A A A A 212222111211*)(A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n T a a a a a aa a a A212221212111 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n T A A A A A AA A A A 212222111211*)(∴ **)()(T T A A = ⏹性质④ *1*)(A A -=n k k[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则行列式A k 中(i , j )元的代数余子式为nnnj n in ij i nj j i ka ka ka ka ka ka ka ka ka111111)1(+-ij n A k 1-=*1121112122112111211111* )( A A ----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n nn n n n n n n n n n n n n n k A k A k Ak A k A k A k A k A k A k k ⏹为证明性质⑥和⑦，下面先给出两个引理(但不证明)： 引理1 对任意方阵A ，必存在实数λ0，当λ >λ0时，0212222111211≠---=-λλλλnn n n nn a a a a a a a a a E A引理2 设n 阶矩阵 A=(a ij (λ)) , B=(b ij (λ)) ，其中a ij (λ) , b ij (λ)是λ 的多项式 (i ,j =1,2,…,n ).如果存在实数λ0，使得当λ >λ0时A =B ，则对于任意实数λ都有A =B .[证] 用A *替换 *E A AA =中的A ，并利用性质①，有)(****E A A A =E A1-=n .两端左乘A ，得A AA AA 1***)(-=n A AA A 1**)( -=→n以A -λE (λ为任意实数) 代替上式中的A ，得)())((1**E A EA E A E A λλλλ--=---n根据引理1，存在实数λ0，当λ >λ0时，0≠-E A λ. 故，当λ >λ0时，有⎪⎩⎪⎨⎧=->--=--)2()2( )())((2**n n n ，，E A E A E A E A λλλλ根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2( )2( )(2**n n n ，，A A A A ⏹性质⑥ ***)(A B AB =[证] 用AB 替换 *E A AA =中的A ，有)(*E AB AB AB =两端左乘A *B *，得)(*****A B B A AB AB A B =对上式左端，有******)()())((AB B A A B AB AB A B =**)()(AB B E A B =**))((AB B B A = *))((AB E B A =*)(AB B A =因此，***)(A B B A AB B A =以A -λE , B -λE (λ为任意实数)分别代替上式中的A ,B ，得()*))((E B E A E B E A λλλλ----**)()(E A E B E B E A λλλλ----=根据引理1，存在实数λ1, λ2，当λ >λ1时，0≠-E A λ，当λ >λ2时，0≠-E B λ. 若取λ0=max(λ1, λ2)，则当λ >λ0时，有0≠-E A λ且0≠-E B λ，于是()***)()())((E A E B E B E A λλλλ--=--根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得***)(A B AB =∙ 典型题型 ∙1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加、减、数乘、乘法、转置等，熟记“要点和公式Part II ”中特殊矩阵的乘积，有助于正确、简捷的解题. 矩阵的运算与数的运算有很多区别，例如，矩阵的乘法一般不满足交换律和消去律，因此一些关于数的恒等式或命题对矩阵不一定成立. 在学习过程中应留意这些区别.[练习1] 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x 21B ，则A 和B 可交换的充分必要条件是__________. [答案] x -y = -1.[练习2] 设A 是n 阶下三角矩阵，B 是一个主对角元都为零的n 阶下三角矩阵，证明AB 是主对角元都为零的下三角矩阵. [提示] 记AB =C =(c ij )，需证明：当i ≤j 时，000111=+=+==∑∑∑+===nj k kj ik jk kj ik nk kj ik ij b a b a b a c[练习3] 设A 是n 阶对称矩阵(即A =A T)，B 是n 阶反对称矩阵(即B = -B T)，且A 2=B 2，证明：A =B =O .[提示] 由题设条件可得，AA T+BB T=O ，从而AA T+BB T的主对角元0)(122=+∑=nk ik ikb a (i = 1,2,…,n )[练习4] 若矩阵A 的各行(或列)元素之和相等，则称A 为行(或列)等和矩阵. 证明：(1) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是行等和矩阵的充分必要条件是AI n ⨯1= k I m ⨯1，其中11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n I ,11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m I , k 是常数； (2) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是列等和矩阵的充分必要条件是I 1⨯m A = k I 1⨯n ， 其中()m m ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I ,()n n ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I .[练习5] 设A , B 均为n 阶方阵，且A 2=E , B 2=E ，证明：(AB )2=E 成立的充分必要条件是AB =BA[提示] 必要性：(AB )2=E 即ABAB =E ，两端左乘A 、右乘B ，再利用题设条件A 2=E , B 2=E 化简；充分性：由AB =BA ，可得(AB )2= (AB )(AB ) = (AB )(BA ) = A (BB )A .2 与方阵有关的计算 ⑴ 方阵的多项式⑵ 方阵的幂[练习6] 设A 为方阵，且A 2=A ，证明：(A +E )n=E +(2n-1)A . [提示] 用归纳法.[练习7] 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001001λλA ，求A n.[答案] ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001011221λλλn n n n C C C A[练习8] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1111111111111111A ，求A 5. [答案] ()1 ,1 ,1 ,11111--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ⇒ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=1111111111111111)4(45A⑶ 方阵、方阵的行列式用方阵中的元素构成的行列式(元素的位置不变)，称为方阵的行列式. 方阵和行列式是不同的概念，要注意两者运算性质之间的区别.[练习9] 设α=(1,0,-1)T，矩阵A =ααT，n 为正整数，求∣k E -A n∣. [答案] k 2(k -2n)⑷ 利用定理“∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣”计算行列式(其中A ,B 是同阶方阵)练习10设a 1, a 2, …, a n 是n 个互异的非零实数，S i=a 1i +a 2i +…+a n i,(i = 0,1, 2, …, 2n -2), 证明:022121110>---n nn nn S S S S S S S S S[提示] 利用11121211112元)(-------++++==j n i n j i j i j i a a a a a a S i,j()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------1121111211 ,,,j n j j i n i i a a a a a a可得，行列式的值为0)(12>-∏≤<≤ni j j i a a练习11 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +2E ，求∣B ∣.[提示] BA =B +2E ⇒ B (A -E )=2E ⇒ 22=-⋅E A B [答案] 2.3 线性变换的矩阵表示练习12 设A=E-2ααT，其中α=(a1, a2,…, a n)T，且αTα=1，证明：①A是对称矩阵；②AA T=E.[提示]①证明A T = A即可；②利用①的结论，有AA T=A2=E-4ααT+4ααTααT (其中αTα=1)5 伴随矩阵和可逆矩阵⑴伴随矩阵及其性质⑵ 求可逆矩阵的逆矩阵对于一个“数字”形式的可逆方阵A ，求逆的基本方法有： 方法一：待定元素法 (例27). 方法二：利用伴随矩阵求逆，*11A AA=- (例28). 方法三：分块矩阵法 [6-(2)中的例49和例50]. 方法四：初等变换法 (常规方法．．．．，将于第三章中介绍). 求逆的运算容易出错，最后应验算A -1A =E 或AA -1=E成立.⑶ 判断方阵的可逆性判断方阵A 是否可逆的基本方法：方法一：根据|A |的值判断，“A 可逆⇔⎪A ⎪≠0”； “A 不可逆⇔⎪A ⎪=0”方法二：若A ,B 为同阶方阵，且AB =E (或BA =E )，则A ,B 互为逆矩阵.方法三：若A 可表示为若干个可逆矩阵的乘积，则A 可逆. (可逆矩阵的性质：可逆阵的乘积仍是可逆阵) 方法四：反证法.练习13 设A 是n 阶方阵，且AA T=E ，∣A ∣=-1，证明A +E 不可逆. [提示] 由∣A +E ∣=∣A +AA T∣=∣A (E +A T)∣=∣A ∣∣(E +A )T∣=-∣E +A ∣，得∣A +E ∣=0练习14 设A 是n 阶方阵且满足关系式A 2+A -6E =O ，证明A , A +E , A +4E 均可逆，并求逆矩阵. [提示] 以证明A +4E 可逆为例，A 2+A -6E =O ⇒ A 2+A -12E =-6E ⇒ E E A E A =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)4()3(61∴ A +4E 可逆，且)3(61)4(1E A E A --=+-[答案] )(611E A A +=-，A E A 61)(1=+-，)3(61)4(1E A E A --=+-练习15 设A ,B 和A -1+B -1均为可逆矩阵，证明：①A +B 可逆，② (A +B )-1=A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1.[提示] 本题可综合利用例32和例33的方法，主要步骤如下： ① A +B = AB -1B +AA -1B = A (B -1+A -1)B (三个可逆阵的乘积) ② 证明[A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] (A +B )= [A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] A (B -1+A -1)B = E 即可练习16 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11334221t A ，B 为3阶非零矩阵，且AB =O ，求t .[提示] 由B ≠O ，用反证法可得A 不可逆，即∣A ∣=0 [答案] t =-3.⑷ 利用逆矩阵解矩阵方程本章涉及的矩阵方程的基本类型如下：当A ,B 是可逆阵时，① 1B X B AX -=⇒=A ②1 -=⇒=A B X B XA③11 --=⇒=CB X C AXB A注意，如果计算中要使用了一个矩阵的逆，应先证明该矩阵可逆.练习17 设4阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000230022303123B ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000410044106241C ，且矩阵A 满足关系式 (2E -C -1B )A T= C -1，其中E 为4阶单位阵，将关系式化简，并求A .[提示] 对(2E -C -1B )A T= C -1两端左乘C ，再转置，得A (2C - B ) T= E .[答案] E B C A 51])2[(1=-=-T练习18 设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112*A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .[提示] 化简ABA -1=BA -1+3E ，可得1*1113)(3----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A E A E B其中的A 利用1*-=n AA 计算.[答案] ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3330B⑸ (涉及可逆阵的) 方阵的幂的计算练习19 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100001010A ，B =P -1AP ，其中P 为3阶可逆矩阵，求B2004-2A 2.[提示] ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000100012A ；E A =4；E P E P P A PB ===--5011200412004[答案] ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1336 分块矩阵矩阵的分块是重要的计算技巧，通过恰当的分块，将大矩阵的运算变成小矩阵的运算，可达到简化计算的目的. ⑴ 分块矩阵的运算练习20 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ，求A 2k(k 为正整数) [提示]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A ⇒ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k 22212A O O A A其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k kk 222221130013130013A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+k k k k k A 2222222022[答案] ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+k k k k k kk 222222220002200013000013A练习21 设任意矩阵A 的分块矩阵A =(B , C )，证明：如果C TB =O ，则∣A T A ∣=∣B T B ∣∣C TC ∣.[提示] ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C B C C B B B C B C B A A T T T T T T T, 其中C T B =O ，B T C =(C T B )T =O T练习22 设αT, βT, γ1T, γ2T均为1⨯3行向量，记分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT2153γγαA ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T 21γγβB ，若∣A ∣=15，则∣B ∣=4，则∣A -B ∣=______.[答案] -24 ⑵ 分块法求逆矩阵分块法计算逆矩阵的公式参见“要点和公式”中的 (2-4)~(2-9).练习23 设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，且∣A ∣=a ≠0，∣B ∣=b ≠0，则O B A O 2=_______，12-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O =_______.[答案] ab m n m 2)1(⨯-； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O 11127 矩阵的运算性质除了矩阵的基本运算(加、减、数乘、乘法、转置)外，本章还介绍了对称矩阵、反对称矩阵、伴随矩阵、可逆矩阵、分块矩阵，要牢固掌握并能熟练运用相关的运算性质.练习24 设A是3阶可逆矩阵，且∣A∣=3，则∣2A-1∣=_____；∣A*∣=_____；∣(A*)*∣=_____；∣(A*)-1∣=_____；∣5A-1-2A*∣=_____；∣ (2A)*∣=_____；∣4A-(A*)*∣=_____.[答案]8/3, 9, 81, 1/9, -1/3, 576, 3(本题主要考察逆矩阵以及伴随矩阵的运算性质)。
