【K12教育学习资料】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习 12+4分项练9 直线与圆 文

考前强化练2 客观题综合练(B)一、选择题1.复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2.已知集合A={-2,-1,1,2},集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.3D.43.若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(|X-μ|<σ)=0.682 6,P(|X-μ|<2σ)=0.954 4,P(|X-μ|<3σ)=0.9974.高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上在130分以上人数约为()A.19B.12C.6D.54.执行如图所示的程序框图,则输出的S等于()A. B.C.D.5.(2018山东潍坊一模,理10)甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的,则获得第一名的同学为()A.甲B.乙C.丙D.丁6.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,||·||=2,则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为()A.3B.C.D.17.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=()A.0B.2 018C.4 036D.4 0378.今年“五一”期间,某公园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去,到上午11时公园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-309.(2018湖南衡阳二模,理8)在△ABC中,∠A=120°,=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是()A. B. C. D.10.函数y=的图象大致为()11.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=x2-ax+b ln x存在极大值点x0,且对于a的任意可能取值,恒有极大值f(x0)<0,则下列结论中正确的是()A.存在x0=,使得f(x0)<-B.存在x0=,使得f(x0)>-e2C.b的最大值为e3D.b的最大值为2e2二、填空题12.(2018福建厦门外国语学校一模,理13)锐角△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,b=3,且△ABC的面积为3,则c=.13.(2018山东潍坊三模,理14)若(3x-1)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,则+…+=.14.设0<m≤1,在约束条件下,目标函数z=3x-2y的最小值为-5,则m的值为.15.(2018河北保定一模,理16)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,b=6,且a cosB=a2-b2+bc,O为△ABC内一点,且满足=0,∠BAO=30°,则||=.参考答案考前强化练2客观题综合练(B)1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.D解析B={k∈A|y=kx在R上为增函数}={k|k>0,k∈{-2,-1,1,2}}={1,2},所以A∩B={1,2},其子集个数为22=4,选D.3.C解析μ=120,σ==10,∴P=0.682 6,∴P(R>130)=(1-P)=0.317 4=0.158 7,∴130分以上的人数约为40×0.158 7≈6.故选C.4.C解析模拟执行程序,可得S=600,i=1,执行循环体,S=600,i=2,不满足条件S<1,执行循环体,S=300,i=3,不满足条件S<1,执行循环体,S=100,i=4,不满足条件S<1,执行循环体,S=25,i=5,不满足条件S<1,执行循环体,S=5,i=6,不满足条件S<1,执行循环体,S=,i=7,满足条件S<1,退出循环,输出S的值为故选C.5.A解析当甲获得第一名时,甲、乙、丙说的都是错的,丁说的是对的,符合条件;当乙获得第一名时,甲、丙、丁说的都是对的,乙说的是错的,不符合条件;当丙获得第一名时,甲和丁说的都是对的,乙、丙说的是错的,不符合条件;当丁获得第一名时,甲和乙说的都是对的,丙、丁说的是错的,不符合条件,故选A.6.D解析=0,∴MF1⊥MF2.∴|MF1|2+|MF2|2=40,∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36,∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3.又c=,∴b2=c2-a2=1,∴b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.∴双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为=1.故答案为D.7.D解析∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)=x2,h(x)=+1,因此h(x)+h(-x)=+1++1=2,h(0)=+1=1,因此h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=2 018×2+1=4 037,选D.8.B解析设每个30分钟进去的人数构成数列{a n},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,所以a n=2n-(n-1),设数列{a n}的前n项和为S n,依题意,S10=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(210-9)=(2+22+23+…+210)-(1+2+…+9)=211-47,故选B. 9.B解析设△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.=-3,∴-bc=-3,bc=6),∴||2=)2=(b2+c2-6)(2bc-6)=,∴||10.D解析函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)==-=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称,故A错误.由于分子中cos 3x的符号呈周期性变化,故函数的符号也呈周期性变化,故C错误;当x时,f(x)>0,故B错误,故选D.11.C解析函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-a+,∵函数存在极大值点x0,∴f'(x)=0有解,即x2-ax+b=0有两个不等的正根,解得a>2,b>0.由f'(x)=0,得x1=,x2=,分析易得函数f(x)的极大值点x0=x1.∵a>2,b>0,∴x0=x1=(0,).则f(x)max=f(x0)=-ax0+b ln x0,∵x2-ax+b=0,∴ax=x2+b.∴f(x)max=-+b ln x0-b,令g(x)=b ln x-x2-b,x∈(0,),∵g'(x)=-x=>0,∴g(x)在(0,)上单调递增,故g(x)<g()=b ln b≤0,得b ln b,即b≤e3,故b的最大值为e3,故选C.12解析由题意得3ab sin C,故sin C=又△ABC是锐角三角形,所以C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=25-12=13,c=13.-1解析由(3x-1)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,取x=0,可得a0=1,取x=,可得0=a0++…+,+…+=-a0=-1.14.1解析作出不等式组对应的平面区域如图所示,由z=3x-2y,得y=x-z,∵0<m≤1,直线x+2y≤m是斜率为-的一组平行线,由图可知当直线y=x-z经过点A时,直线的截距最大,此时z的最小值为-5,即3x-2y=-5.由解得即A,∵点A在直线3x-2y=-5上,∴3-2=-5,解得m=1.15.3解析∵a cos B=a2-b2+bc,(a2+c2-b2)=a2-b2+bc.∴b2+c2-a2=bc.∴cos A=,∴sin A=因为=0,所以O为三角形ABC重心.设AC中点为M,则B,O,M三点共线,由面积关系得AO=3.即||=1.。

第2讲 不等式与推理证明[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.利用不等式解决实际问题.4.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.5.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max＝3×2＋5×3＝21. 故选C.2．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A.92B ．－92C.14D ．－4 答案 B解析 －12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2b 2a ×2a b ＝－92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等，所以原式的上确界为－92，故选B.3．(2018·绵阳三诊)甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利．甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( ) A ．吉利，奇瑞 B ．吉利，传祺 C ．奇瑞，吉利 D ．奇瑞，传祺答案 A解析 因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的．否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同品牌的新汽车矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利．4．(2018·佛山质检)已知a >0，设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，且z ＝2x －y 的最小值为－4，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 作出可行域，如图△ABC 内部(包括边界)，并作直线l ：2x －y ＝0，当直线l 向上平移时，z 减小， 可见，当l 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2，1＋a 2时，z 取得最小值，∴2×1－a 2－1＋a2＝－4，解得a ＝3.5．(2018·四平模拟)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.6．(2018·河北省衡水金卷调研卷)下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是( )①“数轴内两点间距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2，平面内两点间距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2”，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2”；②“代数运算中的完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2”类比推出“向量中的运算(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2仍成立”；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比推出“空间内两不重合的直线不平行就相交”也成立；④“圆x 2＋y 2＝1上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1”类比推出“椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1”． A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，类比正确；对于③，在空间内不平行的两直线，有相交和异面两种情况，类比错误；对于④，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1为真命题，综上所述，可知正确个数为3. 7．(2018·安徽省“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ，若x ，y 满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y≥0，则yx ＋3的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1,1) D ．[－1,1]答案 C解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，从而f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y ≥0可以转化为f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，并且f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，可以判断出函数f (x )在定义域上是减函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<12y <1，x ≤12y ，根据约束条件，画出对应的可行域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，yx ＋3表示可行域中的点(x ，y )与C (－3,0)连线的斜率，可知在点A (－1，－2)处取得最小值，在点B (－1,2)处取得最大值，而边界值取不到，故答案是(－1,1)．8．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →|＝|AB →|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2B ．4C ．22D ．4 2 答案 C解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →|， 又∵|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2＝2， ∴x 2＋y 2＝4.∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2(x 2＋y 2)＝8， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴x ＋y ≤22， 即x ＋y 的最大值为2 2.9．(2018·嘉兴模拟)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8，得x ＋y －8＝1x ＋4y，两边同时乘以“x ＋y ”，得(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )，所以(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥9，当且仅当y ＝2x 时等号成立，令t ＝x ＋y ， 所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9， 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥9，即(x ＋y )min ＝9.10．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签20172的格点的坐标为()A ．(2017,2016)B ．(2016,2015)C ．(1009,1008)D ．(1008,1007)答案 C解析 由图形规律可知，由0(记为第0圈)开始，第n 圈的正方形右上角标签为(2n ＋1)2－1，坐标为(n ，n )， 所以标签为20172的数字是标签为20172－1的右边一格， 标签为20172－1的坐标为(1008,1008)， 所以标签为20172的坐标为(1009,1008)．11．(2018·衡水金卷信息卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤m表示的平面区域为M ，若m是整数，且平面区域M 内的整点(x ，y )恰有3个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则m 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意可知m >0，又m 是整数，所以当m ＝1时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤1，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，共2个， 不符合题意；当m ＝2时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤2，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)， 共3个，符合题意；当m ＝3时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤3，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共5个，不符合题意； 依次类推，当m >3时，平面区域M 内的整点一定大于3个，不符合题意． 综上，整数m 的值为2.12．(2018·上海普陀区模拟)已知k ∈N *，x ，y ，z 都是正实数，若k (xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)，则对此不等式描述正确的是( )A ．若k ＝5，则至少存在一个以x ，y ，z 为边长的等边三角形B ．若k ＝6，则对任意满足不等式的x ，y ，z 都存在以x ，y ，z 为边长的三角形C ．若k ＝7，则对任意满足不等式的x ，y ，z 都存在以x ，y ，z 为边长的三角形D ．若k ＝8，则对满足不等式的x ，y ，z 不存在以x ，y ，z 为边长的直角三角形 答案 B解析 本题可用排除法，由x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 22＋y 2＋z 22＋z 2＋x 22≥xy ＋yz ＋zx ，对于A ，若k ＝5，可得xy ＋yz ＋zx >x 2＋y 2＋z 2，故不存在这样的x ，y ，z ，A 错误，排除A ；对于C ，当x ＝1，y ＝1，z ＝2时，7(xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)成立，而以x ，y ，z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于D ，当x ＝1，y ＝1，z ＝2时，8(xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)成立，存在以x ，y ，z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除D ，故选B. 13．(2018·荆州质检)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≥0，x ＋y －3≤0，2x －y ＋3≥0，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,3]解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意可得点A ，B 的坐标为A (－2，－1)，B (2,1)．又直线ax ＋y －7＝0过定点M (0,7)， 故得k MA ＝4，k MB ＝－3.由图形得，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4，－a ≥－3，解得－4≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[－4,3]．14．(2018·衡水金卷调研卷)观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．答案 1296解析 第一行的和为12，第二行的和为32＝(1＋2)2， 第三行的和为62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和为(1＋2＋3＋4)2＝102，…，第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296.15．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，4x ＋y －4≤0，2x －y －1≥0，则目标函数z ＝4x 2＋y 2的最大值与最小值之和为________． 答案314解析 令t ＝2x ，则x ＝t2，原可行域等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2t ＋y －4≤0，t －y －1≥0，作出可行域如图(阴影部分含边界)所示，经计算得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1.z ＝4x 2＋y 2＝t 2＋y 2的几何意义是点P (t ，y )到原点O 的距离d 的平方，由图可知，当点P 与点C 重合时，d 取最大值；d 的最小值为点O 到直线AB ：t －y －1＝0的距离，故z max ＝254＋1＝294，z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＝12，所以z ＝4x 2＋y 2的最大值与最小值之和为314. 16．(2018·滨海新区七所重点学校联考)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝5，则x 2－3x ＋1＋2y 2－1y的最大值是________． 答案 83解析 x 2－3x ＋1＋2y 2－1y ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)－2x ＋1＋2y －1y＝x ＋1－2＋2y －⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1＋1y＝x ＋2y －1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＋1y (x ＋1＋2y ) ＝4－16⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋4y x ＋1＋x ＋1y ≤4－16⎝⎛⎭⎪⎫4＋24y x ＋1·x ＋1y＝4－16(4＋24)＝83.当且仅当4y x ＋1＝x ＋1y，x ＋2y ＝5， 即x ＝2，y ＝32时，等号成立．。

第1节 合情推理与演绎推理最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1.合情推理2.演绎推理(1) 定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( ) A.28 B.32 C.33D.27解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32. 答案 B3.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案 C4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N +)个不等式是______________________.解析 根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）225.(教材习题改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N +)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________. 答案 b 1b 2b 3…b 17－n (n ＜17，n ∈N +)考点一 归纳推理【例1】 (1)(2018·烟台一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为__________. (2)(2018·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1，2，3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2；a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3；a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；……照此规律，当n ∈N +，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn≥________.解析 (1)由题意，如果2n－1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，例如：6＝21＋22＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，…；若2n －1(2n－1)＝8 128，解得n ＝7，所以8 128可表示为26(27－1)＝26＋27＋…＋212.(2)根据题意有a 1＋a 2＋…a n n≥na 1a 2…a n (n ∈N +，n ≥2). 答案 (1)26＋27＋…＋212(2)na 1a 2…a n 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.【训练1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A.45B.55C.65D.66(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________. 解析 (1)第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55.(2)三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2，正方形数 N (n ，4)＝n 2＝2n 2－0·n2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n2，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2，k 边形数 N (n ，k )＝（k －2）n 2－（k －4）n2，所以N (10，24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.答案 (1)B (2)1 000 考点二 类比推理【例2】 (1)(一题多解)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________.解析 (1)法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d2n＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. (2)椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a －13π×b 2a ＝43πb 2a .答案 (1)D (2)43πb 2a规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________________.解析 (1)令1＋11＋11＋…＝x (x >0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCDV V －BCD＝1. 答案 (1)C (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N +).证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.【训练3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩.答案 D基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A.22项B.23项C.24项D.25项解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.答案 C2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.答案 C3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A.f(x)B.－f(x)C.g(x)D.－g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案 D4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( ) A.28B.76C.123D.199解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 C5.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确. 答案 D6.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( ) A.42B.65C.143D.169解析 可以通过列表归纳分析得到.∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线.答案 B7.(2018·青岛模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0). 在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →， 所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ). 所以b 2＝ac . 又b 2＝c 2－a 2， 所以c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12. 答案 A8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( ) A.6B.7C.8D.9解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N +)层的点数为6(n －1).设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N +)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6（n －1）2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0， 所以n ＝8，故共有8层. 答案 C 二、填空题9.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n （n ＋3）2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.答案 14 10.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________. 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22＝n 2（n ＋1）24. 答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）2411.(2018·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝ a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：____________________________________________________________________.解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12.已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立.运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立.解析 对于函数y ＝a x(a ＞1)的图象上任意不同两点A ， B ，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立. 答案 sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·包头调研)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2 016a 2 017>1，a 2 016－1a 2 017－1<0，下列结论中正确的是( ) A.q <0B.a 2 016a 2 018－1>0C.T 2 016是数列{T n }中的最大项D.S 2 016>S 2 017解析 由a 1>1，a 2 016a 2 017>1得q >0，由a 2 016－1a 2 017－1<0，a 1>1得a 2 016>1，a 2 017<1，0<q <1，故数列{a n }的前2 016项都大于1，从第2 017项起都小于1，因此T 2 016是数列{T n }中的最大项. 答案 C14.(2018·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直.设回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，从点O 到点A 1的回形线为第1圈(长为7)，从点A 1到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为________.解析 第1圈的长为2(1＋2)＋1＝7，第2圈的长为2(3＋4)＋1＝15，第3圈的长为2(5＋6)＋1＝23，则第n 圈的长为2[(2n －1)＋2n ]＋1＝8n －1，当n ＝8时，第8圈的长度为8×8－1＝63.答案 6315.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z 均为正整数.①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.答案 ①6 ②12。

思想方法训练3 数形结合思想一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.方程sin x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对3.若x∈{x|log2x=2-x},则()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x24.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.2±B.2-或6-3C.6±3D.2+或6+35.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)6.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.9.函数f(x)=2sin x sin-x2的零点个数为.10.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= .11.(2018浙江,15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.12.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最大值,并确定此时x的值.二、思维提升训练13.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.B.C.D.14.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C.D.15.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.2B.4C.3D.616.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.D解析由题图知,z=2+i,则i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.B解析在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.A解析设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.4.D解析结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选D.5.C解析作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则-lg a=lg b=-c+6.∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c.由图知10<c<12,∴abc∈(10,12).6.B解析如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有解得-6<t<6.7.C解析当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0,x>0时,f(x)=(-ax+1)x=-a x,结合二次函数的图象可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的充要条件,故选C.8.-解析在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-9.2解析f(x)=2sin x sin-x2=2sin x cos x-x2=sin 2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.10解析令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),∴k= 11.(1,4)(1,3]∪(4,+∞)解析当λ=2时,f(x)=当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.解 (1)由题图知A=2,,则=4,得ω=又f=2sin=2sin=0,∴sin=0.∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(2)由(1)可得f=2sin=2sin,g(x)==4=2-2cos∵x,∴-3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.二、思维提升训练13.D解析由f(x)=得f(x)=f(2-x)=所以f(x)+f(2-x)=因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.14.D解析设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D取点C由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=,k PA==1,所以a<1.故选D.15.C解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.由C点坐标为(-1,1).由D点坐标为(2,-2).∴|CD|==3,即|AB|=3故选C.16.(1)Q1(2)p2解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,所以实数a的取值范围是图①图②。

考前强化练3 客观题综合练(C)一、选择题1.(2018浙江卷,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.(2018宁夏银川一中一模,理1)已知复数z=-2i(其中i为虚数单位),则|z|=()A.3B.3C.2D.23.(2018河北唐山二模,理3)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=()A.-B.C.-D.5.2019年高考考前第二次适应性训练考试结束后,市教育局对全市的英语成绩进行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是()A. B. C. D.6.(2018山东济南二模,理7)记不等式组的解集为D,若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y 恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,8]7.(2018河南濮阳二模,理8)设{a n}是公比为q的等比数列,|q|>1,令b n=a n+1,若数列{b n}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q的值为()A.-B.-C.-2D.-8.执行如图所示的程序框图,若输入的x=-10,则输出的y=()A.0B.1C.8D.279.(2018河北唐山三模,理11)抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为准线上一点,M为y轴上一点,∠MNF 为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则△MNF的面积为()A. B.C. D.310.(2018全国高考必刷模拟一,理12)Rt△AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,△AOB的面积是16,抛物线的焦点为F,若M是抛物线上的动点,则的最大值为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=x2-2x cos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点12.(2018晋豫名校第四次调研,理12)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x+3)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,若不等式f(x)-k<0的解集中恰有两个整数,则实数k的取值范围是()A.-,0B.-,0C.-,0D.-,0二、填空题13.(2018湖南长郡中学一模,理13)n(a>0)的展开式中,若第三项为28x2,则此展开式中的第六项为.14.(2018山东济南二模,理15)已知△ABC中,AB=4,AC=5,点O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则=.15.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若4≤SC≤4,则四棱锥S-ABCD体积的取值范围为.参考答案考前强化练3客观题综合练(C)1.C解析∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.2.B解析z=-2i=-2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3,故选B.3.C解析如果f(x)=m·2x+2-x为偶函数,则f(-x)=f(x),∴m·2-x+2x=m·2x+2-x,∴m(2-x-2x)=2-x-2x,∴(m-1)(2-x-2x)=0.∴m=1.所以“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的充要条件.故选C.4.D解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,解得故选D.5.D解析由题意,英语成绩超过95分的概率是,∴在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是,故选D.6.C解析若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,即求z=2x+y的最小值,作出不等式组对应的可行域,如图所示:当y=-2x+z经过点A(1,4)时,截距最小,此时z=2×1+4=6,∴a≤6,故选C.7.B解析∵数列{b n}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,且a n=b n-1,∴数列{a n}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中.∵{a n}是等比数列,等比数列中有负数项,则q<0,且负数项为相隔两项,∴等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值{18,-24,36,-54,81}, 相邻两项相除=-=-=-=-,则可得-24,36,-54,81是{a n}中连续的四项,q=-或q=-(|q|>1,故负值应舍去).∴q=-8.C解析模拟程序的运行,可得x=-10,满足条件x≤0,x=-7,满足条件x≤0,x=-4,满足条件x≤0,x=-1,满足条件x≤0,x=2,不满足条件x≤0,不满足条件x>3,y=23=8.输出y的值为8.故选C.9.C解析抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),不妨设N在第三象限,∵∠MNF为直角,E是MF的中点,∴NE=MF=EF,∴NE∥x轴,又∵E为MF的中点,E在抛物线y2=4x上,∴E,-,∴N(-1,-),M(0,-2),∴NF=,MN=,∴S△MNF=MN·NF=10.C解析因抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,由题意点A,B关于x轴对称,S△AOB=OA2=16,∴OA=4,点A的坐标为(4,4),代入抛物线方程得p=2,焦点F(1,0),设M(m,n),则n2=4m,m>0,设M到准线x=-1的距离等于d,则令m+1=t,t>1,则(当且仅当t=3时,等号成立).故的最大值为11.D解析对于A,f(-x)≠f(x),故A错误;对于B,问题转化为x2+1=2x cos x有解,即x+=2cos x有解,x+min=2,当x=1时,2cos 1<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于x=2cos x有三个解,画出y=x,y=2cos x的图象,两图象只有一个交点,故C错;对于D,f'(x)=2x-2(cos x-x sinx)=2x(1+sin x)-2cos x,结合题意2x(1+sin x)-2cos x=0,即x=,而=tan,∴f(x)有无数个极值点,故选D.12.C解析当k=0时,即解f(x)<0,构造函数g(x)=,g'(x)==2x+3,可令g(x)=x2+3x+c,∴f(x)=(x2+3x+c)e x,由f(0)=c=1,得f(x)=(x2+3x+1)e x,由f(x)<0,得x2+3x+1<0,解得<x<,其中恰有两个整数-2和-1,∴k=0时成立,排除A、D.当k=-时,f(x)=(x2+3x+1)e x<-,令h(x)=(x2+3x+1)e x+2<-1,h'(x)=e x+2(x2+5x+4),得函数在(-4,-1)上递减,在(-∞,-4),(-1,+∞)上递增,此时(x2+3x+1)e x+2<-1的解至少有-4,-2,-3和-1,不合题意,∴k≠-,排除B,故选C.13解析二项式的展开式的通项为T k+1=a k,第三项是当k=2时,项为28x2,故n-2=2,解得n=8.又a2=28,故a=1.所以展开式中的第六项为14解析∵||=||=||,∴点O为△ABC的外心,设D为AC的中点,则OD⊥AC,如图,,==|2=,同理|2=8,()=-8=15.解析如图,由题意得AD⊥SA,AD⊥AB,∴平面SAB⊥平面ABCD,当SC=4时,过S作SO⊥AB,垂足为O,连接AC,OC,设OA=x,在△OAC中,由余弦定理,得OC2=x2+(4)2-2×4x=x2-8x+32,在Rt△SOA中,OS2=SA2-x2=16-x2,在Rt△SOC中,OS2+OC2=SC2,即16-x2+x2-8x+32=32,解得x=2.∴OS==2,此时(V S-ABCD)min=16×2;当SC=4时,∵SA2+AC2=SC2,可知SA⊥AC,结合SA⊥AD,可得SA⊥平面ABCD,则(V S-ABCD)max=16×4=四棱锥S-ABCD的体积的取值范围为.。

[80分] 12＋4标准练21．复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋i D ．i 答案 D解析 根据题意可得，z ＝a －i ， 所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0， 所以复数z ＝i.2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ⎪⎪⎪π4<φ<1，则集合A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π4<θ<π2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6<θ<1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<π2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪12<sin θ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6<θ<5π6， ∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<1. 3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34 答案 C解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为()A ，a ，()a ，A ，()B ，b ，()b ，B ，共4种， 所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为 1－412＝23. 4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π12答案 A解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，所以φ＝0.5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1 000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2 000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱共有( ) A ．2×106枚 B ．2.02×106枚 C ．2.025×106枚 D ．2.05×106枚答案 B解析 由题意可知，可构成一个首项为70，末项为31，项数为40，公差为1的等差数列，则和为S ＝40×()70＋312＝2 020，这一堆铜钱共有2 020×1 000＝2.02×106(枚)．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.7．如图所示的程序框图，当输出y ＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )A ．x ≤1? B．x ≤2? C．x ≤3? D．x ≤4? 答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束．所以y 的最大值为15，可知x ≤3？符合题意．8.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2 C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2答案 D解析 对于A ，函数y ＝x2|x |，当x >0时，y >0，当x <0时，y <0，不满足题意； 对于B ，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，不满足题意； 对于C ，当x ≥0时，y >0，不满足题意．9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为( ) A.14 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 不妨设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，Δ＝b 2>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b 4a ，x 1x 2＝0，所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b4a ，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2×b 216a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)， 所以双曲线C 的离心率e ＝2.10．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x的极值点，则函数f (x )的最小值为( ) A ．(2＋22)e －2B ．0C ．(2－22)e 2D ．－e答案 C解析 ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x， 由已知得，f ′(2)＝0，∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1， ∴f (x )＝(x 2－2x )e x， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e x，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，当x ∈()－∞，－2或x ∈()2，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0， 当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈()0，2时，函数f (x )单调递减， 当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e2.11．点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b 为正实数，则1a ＋1＋1b的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为C (2,0)，半径为5的圆，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6,6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|CN |＋5，即点M 是直线CN 与圆C 距N 较远的交点，所以直线CN 的方程为y ＝－34(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －2)，(x －2)2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，则t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ， 所以a ＋b ＝3， 所以(a ＋1)＋b ＝4，1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [](a ＋1)＋b＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时取等号．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且在R 上单调递增，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0 答案 A解析 因为函数g (x )＝f (x －5)＋x ， 所以g (x )－5＝f (x －5)＋x －5，当x ＝5时，g (5)－5＝f (5－5)＋5－5＝f (0)， 而y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以g (5)－5＝0. 由g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，得[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]＝0， 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数， 且在R 上单调递增，可知y ＝g (x )－5关于(5,0)对称， 且在R 上是单调递增函数， 由对称性猜想g (a 5)－5＝0，下面用反证法证明g (a 5)－5＝0. 假设g (a 5)－5<0，知a 5<5， 则a 1＋a 9<10，a 2＋a 8<10，…，由对称性可知[g (a 1)－5]＋[g (a 9)－5]<0， [g (a 2)－5]＋[g (a 8)－5]<0，…，则[g (a 1)－5]＋[g (a 2)－5]＋…＋[g (a 9)－5]<0与题意不符， 故g (a 5)－5<0不成立； 同理g (a 5)－5>0也不成立， 所以g (a 5)－5＝0，所以a 5＝5，根据等差数列的性质，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45. 13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.14．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________．答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2.15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________． 答案 －1解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，PD →＝(1－x,1－y )，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1， 当x ＝12，y ＝12时，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)取得最小值－1.16．如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π2，∠CBD ＝π2，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π6，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案2053π 解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π6.又∠OFA ＝π2，所以∠OFE ＝π3，EF ＝12BC ＝1，所以OE ＝EF ·tan π3＝3，所以R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝5， 所以V ＝43πR 3＝2053π.。

第十二章推理与证明考纲解读分析解读本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.五年高考考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.答案①6②123.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案1和34.(2016山东,12,5分)观察下列等式:+=×1×2;+++=×2×3;+++…+=×3×4;+++…+=×4×5;……照此规律,+++…+= .答案5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为.答案1-+-+…+-=++…+6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A教师用书专用(7—11)7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).答案(1)3,1,6 (2)799.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.(2)F(n)=,1n9,2-9,10n99,3-108,100n999,4-11?07,1?000n2?014. nnnn≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=同理有f(n)=由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. 所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)===;当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由于y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解析(1)当a=时, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<x≤a时,由(a-x)=x解得x=∈(a2,a),因f=·=≠,故x=为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由(x-a)=x解得x=∈(a,a2-a+1),因f=·=,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1≤x≤1时,由(1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1),因f=·=≠,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,则S(a)=·,S'(a)=·,因为a∈,a2+a<1,所以S'(a)=·=·>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3,因a∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·>0.则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A2.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]答案 A3.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=++…+.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=≤=≤,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.教师用书专用(4—5)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=-q n-1=-1<0.所以,s<t.5.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四边形A1A2B2B1,四边形A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN,AA2⊂平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.又M,N分别为AB,AC的中点,则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点,即DE,FG分别为梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位线.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.证明如下:由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=BC=a,即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一合情推理与演绎推理1.(2018江西上饶一模,7)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生的回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”成绩出来后发现,四名学生中有且只有两人说对了,他们是( )A.甲、丙B.乙、丁C.丙、丁D.乙、丙答案 D2.(2018福建六校联考,16)图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图,我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数),比如第1行记为(0,1),第2行记为(1,2),第3行记为(4,5),照此下去,第5行中白圈与黑圈的“坐标”为.答案(40,41)3.(2017河北邯郸质检,15)2016年6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的:(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判断:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.答案③4.(2017广东七校第二次联考,15)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行,数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行,……,依此类推,则第20行从左到右第4个数字为.答案1945.(人教A选1—2,二,1,例7,变式)证明函数f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.证明 f '(x)=-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1).当x>2时,(x+1)(x-1)>0,∴f '(x)=-3(x+1)(x-1)<0.∴f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.考点二直接证明与间接证明6.(2018吉林三校联考,4)用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于( )A.a,b,c中没有偶数B.a,b,c中恰好有一个偶数C.a,b,c中至少有一个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数答案 D7.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列{a n}中,a3=,S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,且{b n}为递增数列,若c n=,求证:c1+c2+c3+…+c n<.解析(1)设{a n}的公比为q(q≠0).∵a3=,S3=,∴⇒或∴a n=或a n=6.(2)证明:由题意知b n=log2=log2=log222n=2n,∴c n===,∴c1+c2+c3+…+c n===-<.8.(2016河南南阳期中,18)已知数列{log2(a n-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明++…+<1.解析(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1.所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.(2)证明:因为==,所以++…+=+++…+==1-<1,原不等式得证.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018辽宁大连调研,5)如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是( )A.只需要按开关A,C,可以将四盏灯全部熄灭B.只需要按开关B,C,可以将四盏灯全部熄灭C.按开关A,B,C,可以将四盏灯全部熄灭D.按开关A,B,C,无法将四盏灯全部熄灭答案 D2.(2017辽宁六校期中联考,10)已知整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个数对是( )A.(10,1)B.(2,10)C.(5,7)D.(7,5)答案 C二、填空题(共5分)3.(2017山东济宁3月模拟,11)已知a i>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:≥;≥;≥;……照此规律,当n∈N*,n≥2时,≥.答案三、解答题(共15分)4.(2017湖北华中师大一附中期中模拟,21)已知函数f(x)=ln x+.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求证x1+x2>4.解析(1)∵f(x)=ln x+,∴f '(x)=-=,x>0,当a≤0时, f '(x)≥0总成立;当a>0时,令f '(x)=0,得x=a.当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.综上所述,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)当a=2时, f(x)=ln x+.不妨令x1<x2,且x2>x1>0,要证明x1+x2>4,即证x2>4-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则0<x1<2,x2>2,只需证f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即证f(x1)>f(4-x1).设g(x)=f(x)-f(4-x)(0<x<2),则g(x)=ln x+-ln(4-x)-,则g'(x)=---=<0,所以g(x)在(0,2)内单调递减,所以g(x)>g(2)=0,所以f(x)>f(4-x)(0<x<2),故证得f(x2)>f(4-x1).所以x1+x2>4.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 合情推理与演绎推理1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,……,照此规律,第五个不等式为.答案1+++++<2.(2017上海浦东期中联考,12)在Rt△ABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则=+,由此类比:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面△ABC上的高为h,则.答案=++方法2 直接证明的方法3.(2017皖南八校联考,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,b n=,且a2·b2=,S5=.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求证:b1+b2+…+b n<.解析(1)设{a n}的公差为d.∵b n=,a2·b2=,S5=,∴解得∴a n=n+,S n=,∴b n=.(2)证明:b1+b2+…+b n=+++…+=1-+-+-+…+-+-=--<.。

[80分] 12＋4标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A．30 B．25 C．22 D．20答案 D解析50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1)等于( ) A．7 B．－4 C．－7 D．4答案 B解析∵y′＝4x3＋2ax，∴－4－2a＝8，∴a＝－6，∴f(－1)＝1＋a＋1＝－4.5．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为( )A．1 B. 2C.12D.22答案 D解析设a与b的夹角为θ，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，即a2－|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝22，∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ＝22.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为( ) A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.9．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos∠ACB ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，则sin∠ACB ＝32， 再由正弦定理得AB sin∠ACB＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133，因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( ) A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( )A ．(0,12)B ．(0,16)C ．(9,21)D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca≤3＋1.。

[80分] 12＋4标准练11．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0<ln x<2}，则A∩B的真子集的个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8答案 C解析A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{x|0<ln x<2}＝{x|1<x<e2}，所以A∩B＝{2,3,4}，所以A∩B的真子集有23－1＝7(个)．2．设复数z＝1－2i(i是虚数单位)，则|z·z＋z|的值为( )A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．4 2答案 A解析z·z＋z＝()1＋2i＋1＋2i＝4＋2i，1－2i()|z·z＋z|＝3 2.3．“p∧q为假”是“p∨q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由“p∧q为假”得出p，q中至少有一个为假．当p，q为一假一真时，p∨q为真，充分性不成立；当“p∨q为假”时，p，q同时为假，所以p∧q为假，必要性成立．4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝x －5y 改写为1z ＝y －0x －5， 所以1z可看作点(x ，y )和(5,0)连线的斜率，记为k ，则－23≤k ≤43，所以z ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.6．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.7．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.8．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m2，设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝54m ，即6＋m 2＝54m ，解得m ＝8.9．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．A 33(A 44)3B ．A 44(A 33)4C.A 1212A 33 D.A 1212A 44答案 B解析 12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A 33种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A 44种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A 33)4A 44种不同的坐法． 10．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则a 等于( )A ．4B ．3 C. 2 D ．1 答案 D 解析 一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1； 另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1.11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且2a ＋b ＝52(a >0，b >0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A.174πB.214π C ．4π D ．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1，且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2，a ，b ，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球， 半径为22＋a 2＋b 22＝4＋a 2＋b 22，所以三棱锥外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 2＋b 222＝π()4＋a 2＋b 2＝5π(a －1)2＋21π4，当且仅当a ＝1，b ＝12时，三棱锥外接球的表面积取得最小值214π.12．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则( )A ．至少存在两个点P 使得k ＝－1B ．对于任意点P 都有k <0C ．对于任意点P 都有k <1D ．存在点P 使得k ≥1 答案 C解析 任意取x 为一正实数， 一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1， 另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立， 所以y ＝sin x ＋ln x ≤x ，因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样，所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立， 所以k <1，排除D ；当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0， 所以k >0，排除B ；对于A 选项，至少存在两个点P 使得k ＝－1， 即sin x ＋ln xx＝－1至少存在两解，亦即sin x ＋ln x ＋x ＝0至少存在两解， (sin x ＋ln x ＋x )′＝cos x ＋1x＋1>0恒成立，所以sin x ＋ln x ＋x ＝0至多存在一解，故排除A.13．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ， 所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.14．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________． 答案 19解析 从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C 210＝45(个)基本事件，其中取出的两条边或对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为545＝19. 15．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________． 答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，①所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 16．设a n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 63的值为________． 答案 714解析 由已知得，当n 为偶数时，a n ＝2n a ，当n 为奇数时，a n ＝1＋n2.因为21n S -＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋21n a -， 所以12n S +－1＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋12n a +－1＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋12n a +－1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋12n a +－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋32＋1＋52＋…＋1＋2n ＋1－12＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a -)＝(1＋2＋3＋ (2))＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a -) ＝(1＋2n)2n2＋21n S -＝12(2n ＋4n)＋21n S -， 即12n S +－1＝12(2n ＋4n)＋21n S -，所以21n S -＝12(4n －1＋2n －1)＋12(4n －2＋2n －2)＋…＋12(41＋21)＋121S -＝2n －1＋23·4n －1－23， 所以S 63＝621S ＝25＋23·45－23＝714.。

[80分] 12＋4标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 010x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A ．(1,2 010) B ．(1,2 011) C ．(2,2 011) D ．[2,2 011]答案 C解析 因为a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， 则0<a <b <1<c ，由f (a )＝f (b )知，a ，b 关于直线x ＝12对称，所以a ＋b ＝1.由0<log 2 010c <1，知1<c <2 010， 所以2<a ＋b ＋c <2 011.4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3等于( )A.73B.359 C ．4 D ．5 答案 D解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.5.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.6．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD＝13×12×1－112＝14.所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为 112∶14＝1∶3. 7．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 模拟程序的运行，可得x ＝3，k ＝0，s ＝0，a ＝4，s ＝4，k ＝1； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝16，k ＝2； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝52，k ＝3； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝160，k ＝4； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝484，k ＝5.由题意，此时应该满足条件k >n ，退出循环，输出s 的值为484， 可得5>n ≥4，所以输入n 的值为4.8．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是( )A ．－5B ．7C ．－11D ．13 答案 C解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC 所成角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°答案 C解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt△DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.10．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13，所求概率P ＝134＝112.11．椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 A解析 方法一 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b 2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22.线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，把x ＝1－1－b 22＝m ，代入上述方程，可得y ＝b 2－1－b 22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b <0，化简得b <1－b 2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1， ∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 方法二 设A (0，b )，B (a,0)，F (－c,0)， 设△FAB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，F 代入外接圆方程， 解得m ＝－c ＋a 2，n ＝b 2－ac2b.由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可知m ＋n <0， ∴－c ＋a 2＋b 2－ac2b <0，整理得1－c ＋b －cb <0，∴b －c ＋b －cb<0， ∴b －c <0，又椭圆的离心率e ＝c a＝c ， ∴c 2>b 2，即c 2>a 2－c 2,2c 2>a 2,2e 2>1， 由0<e <1，解得22<e <1， ∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 12．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz 的最小值为4.13．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．14．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C ，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________． 答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3.。

课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/45分钟分值/100分基础热身1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=1000×2xB.y=1000log2xC.y=x1000D.y=1000×(32) x2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.8米B.6米C.4米D.3米3.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=log2xD.y=2x-24.某市出租车的车费计算方法如下:路程在3 km以内(含3 km)为8元,达到3 km后,每增加1 km加收1.4元,达到8 km后,每增加1 km加收2.1元,增加不足1 km按四舍五入计算.若某乘客乘坐该市出租车交了44.4元车费,则该乘客乘坐出租车行驶的路程可以是()A.22 kmB.24 kmC.26 kmD.28 km5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.能力提升6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过()A.6B.7C.8D.97.我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图K12-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()ABCD图K12-18.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,所有生产出来的产品都能卖完,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台9.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t>0)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x ∈N*)人去从事产品B的生产,分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.1810.国家对某行业征税的规定如下:年收入在280万元及以下部分的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元图K12-211.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-2),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.12.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n(n∈N*)年的累计n(n+1)(2n+1),当年产量超过150吨时,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产量(单位:吨)为f(n)=12产线拟定最长的生产期限是年.13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是h.14.(10分)某地上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55~0.75元/千瓦时,经测算,若电价调至x元/千瓦时,本年度新增用电量为y亿千瓦时,则y与(x-0.4)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?(收益=用电量×(实际电价-成本价))15.(10分)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林剩余面积为原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?难点突破16.(15分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益(单位:万元)的范围是[10,100].现准备制定一个对科研课题组的奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)该公司为制定奖励方案,现建立函数模型y=f(x),请你根据题意,写出函数模型应满足的条件.(2)现有两个函数模型:①y=120x+1;②y=log2x-2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.课时作业(十二)1.A[解析]在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增大速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数的增大速度越快,故选A.2.D[解析]设隔墙的长度为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24−4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选D.3.C[解析]将x=0.50,y=-0.99代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,D;将各组数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选C.4.A[解析]设该乘客乘坐出租车行驶的路程为x km.根据题意可得8+1.4×5+2.1×(x-8)=44.4,解得x=22.故选A.5.4.24[解析]因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.6.B[解析]由题意得,n235≤3%,解得n≤7.05,所以若这批米合格,则n不超过7.7.B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输总量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .8.C [解析] 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3000≥0,得x ≥150,所以生产者不亏本时的最低产量为150台.故选C .9.B [解析] 由题意,分流前产品A 的年产值为100t 万元,分流x 人后,产品A 的年产值为(100-x )(1+1.2x %)t 万元,则由{0<x <100,x ∈N *,(100-x)(1+1.2x%)t ≥100t,解得0<x ≤503,且x ∈N *,所以x 的最大值为16.故选B .10.D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ·p%,x ≤280,280·p%+(x -280)·(p +2)%,x >280,依题有280·p%+(x -280)·(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11.180 [解析] 依题意知20−x 20=y -824−8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,0<y<24,所以当y=12时,S 取得最大值180.12.7 [解析] 设第n (n ∈N *)年的年产量(单位:吨)为a n ,则a 1=12×1×2×3=3.当n ≥2时,a n =f (n )-f (n-1)=12n (n+1)(2n+1)-12n (n-1)(2n-1)=3n 2,又a 1=3也符合a n =3n 2,所以a n =3n 2(n ∈N *).令a n ≤150,即3n 2≤150,解得-5√2≤n ≤5√2,所以1≤n ≤7,n ∈N *,故最长的生产期限为7年. 13.24 [解析] 由已知条件,得192=e b,且48=e22k+b=e b ·(e 11k )2,所以e11k=(48192)12=(14)12=12,设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h ,则t=e 33k+b =192e 33k =192·(e 11k )3=192×(12)3=24. 14.解:(1)因为y 与(x-0.4)成反比例,所以设y=kx -0.4(k ≠0,0.55≤x ≤0.75). 把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=k0.65−0.4,得k=0.2.所以y=0.2x -0.4=15x -2, 即y 与x 之间的函数关系式为y=15x -2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意,得(1+15x -2)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%), 整理得x 2-1.1x+0.3=0,解得x=0.5或x=0.6. 经检验0.5,0.6都是所列方程的根. 因为0.55≤x ≤0.75,所以x=0.5不符合题意,应舍去,所以x=0.6.所以当电价调至每千瓦时0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 15.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1), 则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12, 解得x=1-(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a(1-x)m=√22a,即(12)m10=(12)12,即m10=12,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为√22a(1-x)n.令√22a(1-x)n≥14a,即(1-x)n≥√24,即(12)n10≥(12)32,即n10≤32,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.16.解:(1)由题知,函数模型y=f(x)满足的条件是:(i)当x∈[10,100]时,f(x)是增函数;(ii)当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立;(iii)当x∈[10,100]时,f(x)≤x5恒成立.(2)对于函数模型①y=120x+1,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件(ii).故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型②y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);当x=100时,y max=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立,满足条件(ii);设h(x)=log2x-2-15x,则h'(x)=log2ex-15,因为x∈[10,100],所以1100≤1x≤110,所以h'(x)≤log2e10-15<210-15=0,所以h(x)在[10,100]上是减函数,因此,h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤x5恒成立,满足条件(iii).所以该函数模型符合公司要求.综上,对数函数模型y=log2x-2符合公司要求.。

题型练 1 选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.(2018北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.44.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.55.(2018全国Ⅰ,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.57.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-98.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()9.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=.10.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.11.的展开式中的常数项为.(用数字表示)12.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.13.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.14.在平面直角坐标系中,已知圆C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin.若直线l与圆C相切,则实数a=.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.(2018北京,理8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A3.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.55.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.6.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()7.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B.C. D.8.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1D.9.(2018天津,理9)i是虚数单位,复数=.10.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.11.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.12.一条曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则切线l的极坐标方程为.13.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.14.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.##题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.A解析∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.2.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.3.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.4.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+25.A解析设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.7.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-8.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.9.1-2i解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i.10解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=11解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为12解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=613解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=14.-1±解析由题意知圆C的普通方程为(x-a)2+y2=1,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.由题意知=1,解得a=-1±思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.D解析若(2,1)∈A,则有化简得即a>所以当且仅当a时,(2,1)∉A,故选D.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.5.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=6.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.7.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),( 2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.8.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.9.4-i解析=4-i.10.-7解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.11.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.12.ρsin13解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=,令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为14.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.。

12＋4标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( ) A ．－4－7i B ．－2－i C ．1＋i D ．14＋5i答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ， 所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( ) A ．[0,3] B ．(0,3] C ．(－∞，3] D ．(－∞，3) 答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}， 因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3.3.如图所示，已知AB ，CD 是圆O 中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O 以及AB ，CD 均相切，则往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为( )A ．12－8 2B ．3－2 2C ．8－5 2D ．6－4 2答案 D解析 设小圆半径为r ，则圆O 的半径为r ＋2r ，由几何概型的公式得，往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为2πr2π(1＋2)2r2＝6－4 2.故选D.4．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5 D ．2 2 答案 C解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2， 所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝ 5.5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2φ＋π4，所得图象关于直线x ＝π4对称，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－2φ＝±1，则2φ－5π4＝k π＋π2，φ＝k π2＋7π8，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为3π8，故选C.6．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A ．3B ．0C ．15D ．8 答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0； 当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束， 所以y 的最大值为15.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2＋πB ．1＋πC ．2＋2πD ．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋12×π×12×2＝2＋π.8.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ， 所以cos∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.故选A.9．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为x －2y －5＝0，圆C 的方程为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0(a >0)，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为( ) A ．π或(201－885)π B ．πC ．(201＋885)πD ．π或(201＋885)π答案 B解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0 等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a,1)，半径为a . 因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋|2a －2－5|(－2)2＋12＝2， 当a ≥2＋52时，解得a ＝11－45，由于11－45<2＋52，故舍去，所以a＝1，S圆＝πa2＝π.10．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上是单调函数，函数g(x)＝f(x－5)．数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)＋g(a9)＝0，则a1＋a2＋…＋a9等于( )A．45 B．15 C．10 D．0答案 A解析由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上是单调函数，可知g(x)＝f(x－5)关于(5,0)对称，且在R上是单调函数，又g(a1)＋g(a9)＝0，所以a1＋a9＝10，即a5＝5，根据等差数列的性质得，a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝45.11．若x＝2是函数f(x)＝(x2－2ax)e x的极值点，则函数f(x)的最小值为( )A．(2＋22)e－2B．0C．(2－22)e2D．－e答案 C解析f(x)＝(x2－2ax)e x，∴f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋2(1－a)x－2a]e x，由已知得，f′(2)＝0，∴2＋22－2a－22a＝0，解得a＝1.∴f(x)＝(x2－2x)e x，∴f′(x)＝(x2－2)e x，∴令f′(x)＝(x2－2)e x＝0，得x＝－2或x＝2，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－2，2)上是减函数，当x∈()2，＋∞时，f′(x)>0，－∞，－2或x∈()∴函数f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数．又当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x2－2x>0，f(x)>0，当x∈(0,2)时，x2－2x<0，f(x)<0，∴f(x)min在x∈(0,2)上，又当x∈()0，2时，函数f(x)单调递减，当x ∈()2，2时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f ()2＝()2－22e2.12．已知b >a >0，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122log x －log 2x 在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3，则b a等于( )A.14B.12 C ．2 D. 2 答案 D解析 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122log x－log 2x ＝1x －log 2x ()a ≤x ≤b ，又f ′(x )＝－1x 2－1x ln 2<0，所以y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝3，f ()b ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －3＝log 2a ，1b ＋12＝log 2b ，①由y ＝1x＋t 与y ＝log 2x 的图象只有唯一交点可知，方程1x＋t ＝log 2x 只有唯一解，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2是方程组①的唯一解，所以b a＝ 2.13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.14．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝π2，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则HB →·HC →的最小值为________． 答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)， 设点H (x,0)，则x ∈[0,8]， ∴HB →·HC →＝(8－x,0)·(－x,6) ＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，HB →·HC →的最小值为－16.15．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则sin 2αsin (β－α)的最大值为________． 答案2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则sin 2αsin (β－α)＝sin 2αsin α＝2sin αcos αsin α＝2cos α.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，所以2cos α∈[]1，2，所以sin 2αsin (β－α)的最大值为 2.16．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝CD ＝2，BD ＝3，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成三棱锥A －BCD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案776π 解析 因为AB ⊥BD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ， 所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A －BCD 可放在长方体中， 它们外接球相同，设外接球半径为R ， 则R ＝(2)2＋(2)2＋(3)22＝72，V 球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫723＝776π.。

12＋4分项练6 数 列1．(2018·烟台模拟)已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．3n ＋1B ．3n －1C.3n 2＋n 2D.3n 2－n 2 答案 C 解析 ∵b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，∴a 1(b 2－b 1)＝a 2，即a 2＝3a 1，又数列{a n }为等比数列，∴数列{a n }的公比q ＝3，且a n ≠0，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3， ∴数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)2×3＝3n 2＋n 2. 2．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.3．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等于( )A ．15B ．19C ．21D ．30答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3＝a 22，所以3a 2＝a 22，解得a 2＝0或a 2＝3，又因为S 1，S 2，S 4构成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，此时d ＝0，不符合题意，舍去，当a 2＝3时，可得(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝2(d ＝0舍去)，所以a 10＝a 2＋8d ＝3＋8×2＝19.4．在等差数列{a n }中，若a 9a 8<－1，且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n >0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴d >0，a 1<0，{a n }为递增数列．∵a 9a 8<－1，∴a 8·a 9<0，a 8＋a 9>0，由等差数列的性质知，2a 8＝a 1＋a 15<0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16>0.∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴当S n >0时，n 的最小值为16.5．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( )A ．255B ．256C ．510D ．511答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 6．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2 ＝2 017×1 010－1.7．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…， 故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.8．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A ．72.705尺B ．61.395尺C ．61.905尺D ．73.995尺 答案 B解析 因为每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，由{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×(－0.013)＝61.395. 9．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．6D ．18答案 D解析 因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q (q －1)， 由于{a n }的各项为正数，所以q >1. a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q＝a 1q (q 2＋3)＝3q (q －1)q (q 2＋3) ＝3(q 2＋3)q －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1＋4q －1＋2≥18， 当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 4＋3a 2取得最小值18.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e) C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n1＋c n ， 得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n .令F n ＝1x 1…x n －1x n ，则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 11．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q .∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32； 当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 12．(2018·烟台模拟)对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{a n }满足a n ＝[log 2n ]，其前n 项和为S n ，若n 0是满足S n >2 018的最小整数，则n 0的值为( )A ．305B ．306C ．315D ．316答案 D解析 由题意，a n ＝[]log 2n ，当n ＝1时，可得a 1＝0，(1项)当21≤n <22时，可得a 2＝a 3＝1，(2项)当22≤n <23时，可得a 4＝a 5＝…＝a 7＝2，(4项)当23≤n <24时，可得a 8＝a 9＝…＝a 15＝3，(8项)当24≤n <25时，可得a 16＝a 17＝…＝a 31＝4，(16项)……，当2k ≤n <2k ＋1时，可得a 2k ＝a 2k ＋1＝…＝a 2k ＋1－1＝k ，(2k 项)当2k ≤n <2k ＋1时，前n 项和S n ＝1×21＋2×22＋…＋k ×2k ，2S n ＝1×22＋2×23＋…＋k ×2k ＋1， 所以－S n ＝2＋22＋23＋…＋2k －k ×2k ＋1， 所以S n ＝(k －1)×2k ＋1＋2.由S n >2 018，得k ≥8.当k ＝7时，S n ＝1 538<2 018；当k ＝8时，S n ＝3 586>2 018，所以取k ＝7，且2 018－1 538＝480，所以n 0＝1×(1－28)1－2＋4808＋1＝316. 13．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.14．(2018·上饶模拟)已知等比数列{a n }的首项是1，公比为3，等差数列{b n }的首项是－5，公差为1，把{b n }中的各项按如下规则依次插入到{a n }的每相邻两项之间，构成新数列{}c n ：a 1，b 1，a 2，b 2，b 3，a 3，b 4，b 5，b 6，a 4，…，即在a n 和a n ＋1两项之间依次插入{b n }中n 个项，则c 2 018＝________.(用数字作答)答案 1 949解析 由题意可得，a n ＝3n －1，b n ＝－5＋(n －1)×1＝n －6，由题意可得，数列{c n }中的项为30，－5,31，－4，－3,32，－2，－1,0,33， (3)时，数列{c n }的项数为1＋2＋…＋n ＋(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)2， 当n ＝62时，63×642＝2 016，即此时共有2 016项，且第2 016项为362， ∴c 2 018＝b 1 955＝1 955－6＝1 949.15．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 60＝________.(用数字作答)答案 264解析 因为a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，所以a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，因此(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59)＝2＋3＋…＋20＝209， 因为a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋2＝a n －n ，所以a 60＝a 3×20＝2×20－2a 20，a 20＝a 3×6＋2＝a 6－6， a 6＝a 3×2＝2×2－2a 2＝0，所以a 20＝－6，a 60＝52，综上，S 60＝1＋2＋209＋52＝264.16．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1，所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1， 因为a 1＝43，所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139， a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381， a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…， 所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<1a 2 018－1<1， 所以2<3－1a 2 018－1<3， 因此m 的整数部分是2.。

第5节 复数最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).[常用结论与微点提醒] 1.i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N +.2.(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 因为(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，所以a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 答案 A3.(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意，得z ＝－1－2i ，其在复平面内所对应的点位于第三象限. 答案 C4.(2017·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________. 解析 z ＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i ，所以|z |＝（－1）2＋32＝10. 答案105.(教材习题改编)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.解析 ∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i.答案 2＋i考点一 复数的有关概念【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)(2)(2017·全国Ⅲ卷)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12B.22C. 2D.2(3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析 (1)由(1＋i)2＝2i 为纯虚数知选C. (2)z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i ＋22＝i ＋1，则|z |＝12＋12＝ 2. (3)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2. 答案 (1)C (2)C (3)A规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)(2018·广东名校联考)已知z ＝1－3i 3＋i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A.－iB.iC.－1D.1(2)(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4解析 (1)∵z ＝1－3i 3＋i ＝（1－3i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝－i ，则z ＝i ，则z 的虚部为1.(2)p 1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得到b ＝0，所以z ∈R ，故p 1正确；p 2：若z 2＝－1，满足z 2∈R ，而z ＝±i ，不满足z ∈R ，故p 2不正确；p 3：若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4：因复数z ∈R ，所以z 的虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确.答案 (1)D (2)B 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)复数z ＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为( ) A.(1，1) B.(－1，－1) C.(1，－1)D.(－1，1)(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 (1)因为z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，故复数z ＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1).(2)(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 的对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，∴a <－1.答案 (1)D (2)B规律方法 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应Z (a ，b )一一对应 OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A.EB.FC.GD.H(2)(2016·北京卷)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.解析 (1)由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .(2)(1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案 (1)D (2)－1 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i(2)(2018·日照质检)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a 等于( )A.－4B.－3C.3D.4(3)(2017·全国Ⅱ卷)(1＋i)(2＋i)＝( ) A.1－iB.1＋3iC.3＋iD.3＋3i解析 (1)3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i.(2)由2＋a i 1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，因此a i ＝4i(a ∈R )，所以a ＝4.(3)由题意(1＋i)(2＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i. 答案 (1)D (2)D (3)B规律方法 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.【训练3】 (1)(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位.若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A.1或－1B.7或－7C.－ 3D. 3(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)A (2)－1＋i基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0B.2C.2iD.2＋2i解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 答案 C2.(2018·威海质检)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i5C.1－2i 5D.1＋2i 5解析1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. 答案 D3.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z ＝－2＋i ，则复数z ＋1z的虚部为( ) A.45B.45i C.65D.65i 解析 z ＋1z ＝－2＋i ＋－2－i 4＋1＝－2－25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15i ＝－125＋45i.答案 A4.(2018·石家庄质检)在复平面中，复数1（1＋i ）2＋1对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 因为1（1＋i ）2＋1＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i 5＝15－25i ，复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，在第四象限.答案 D5.(2017·山东卷)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A.－2iB.2iC.－2D.2解析 由z i ＝1＋i ，得z ＝1＋ii＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝－2i. 答案 A6.(2017·东北三省四校联考)i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( ) A.－2B.－1C.0D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.答案 C7.(2017·北京东城综合测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1.答案 C8.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1B. 2C. 3D.2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2. 答案 B 二、填空题9.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 答案 510.(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________.解析a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2. 答案 －211.若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析 3＋b i 1－i ＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案 312.(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i. 即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i.从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2.答案 5 2能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.(2018·濮阳一模)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝( ) A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i ＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0. 答案 B14.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B.若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立；B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立；C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1·z 1＝z 2·z 2，C 正确；D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2， 则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22. 答案 D15.(2018·黄山模拟改编)复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i(i 为虚数单位)，若z <0，则实数a 的值是________.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，a 2－3＝0，解得a ＝－ 3.答案 － 316.若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1. 答案 1。