等积变形巧解题

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。

等积变形解题技巧
等积变形是解题过程中常用的一种技巧，主要涉及在物体形状变化过程中，体积保持不变的一种理想状态。

解题时，需要遵循以下步骤：
1. 确定物体形状变化前后的体积。

2. 理解等积变形的含义，即物体形状变化前后体积相等。

3. 根据等积变形原则，判断物体形状变化前后体积相等的条件。

4. 运用等积变形技巧，将问题转化为容易解决的形式。

5. 解答问题时，要细心分析每个步骤，确保思路清晰、计算准确。

以一个例子说明：有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

问如何通过等积变形将水全部导出？
首先，我们需要理解等积变形的含义，即物体的形状变化前后体积不变。

对于这个例子，我们可以考虑将长方体容器中的水倒入另一个容器，使水的高度与容器的底面相平。

然后，我们需要确定水在两个容器中的体积。

由于水的体积不变，所以我们可以计算出长方体容器中水的体积，即为倒入另一个容器的水的体积。

最后，我们可以通过计算来验证是否能够通过等积变形将水全部导出。

根据题目给出的数据，我们可以计算出长方体容器中水的体积为
30×20×6=3600立方厘米。

由于另一个容器的底面面积大于长方体容器的底面面积，所以水的高度会低于10厘米。

因此，我们可以将水全部导出。

以上是等积变形解题技巧的简单介绍和示例，希望能对您有所帮助。

专题2.5体积的等积变形1、体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形：（1）当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；（2）当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题；（3）要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题。

【典例一】有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体．已知原木料的表面积是2350cm ，那么原木料的体积是多少3cm ？【分析】根据题意，小正方体一个面的面积是350(634)25÷⨯-=（平方厘米），因为2555=⨯，所以小正方体的棱长是5厘米，那么长方体体积为：5553375⨯⨯⨯=（立方厘米），解决问题．【解答】解：小正方体一个面的面积是：350(634)÷⨯-35014=÷25=（平方厘米）；小正方体的棱长：因为2555=⨯，所以小正方体的棱长是5厘米；长方体体积为：5553375⨯⨯⨯=（立方厘米）；答：原木料的体积是375立方厘米．【点评】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题．【典例二】将底面积是3.14平方分米，高4分米的圆柱形铁块熔铸成一个圆锥．已知圆锥铁块的底面半径是2分米，那么它的高是多少分米？【分析】由题意可知：圆锥铁块的体积应该和圆柱形铁块的体积相等，先据条件求出圆柱的体积，也就等于知道了圆锥的体积，由圆锥的体积公式可得“圆锥的高=圆锥的体积3⨯÷底面积”，圆锥的底面半径已知，从而可以求出底面积，进而求出圆锥的高．【解答】解：23.1443(3.142)⨯⨯÷⨯12.563(3.144)=⨯÷⨯12.56312.56=⨯÷3=（分米）；答：圆锥的高是3分米．【点评】此题主要考查圆柱与圆锥的体积的计算方法，关键是利用体积不变．【典例三】有一个棱长4分米的正方体铁块熔铸成宽2.5分米，高1.6分米的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？【分析】根据题干可得，这个棱长为4分米的正方体的体积为：44464⨯⨯=立方分米，就是熔铸后的长方体铁块的体积，根据长方体的体积公式可得：长方体的长=体积÷宽÷高，由此代入数据即可计算得出正确答案．【解答】解：44464÷÷=（分米）；⨯⨯=（立方分米），64 2.5 1.616答：长方体铁块的长是16分米．【点评】此类题目要抓住熔铸前后的体积大小没有变化这一关键，利用正方体和长方体的体积公式即可解决问题．一．选择题（共4小题）1．把一个高为24cm的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是() A．72cm B．24cm C．16cm D．8cm2．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是()A．甲高B．乙高B．C．一样高D．无法判断3．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是()立方厘米．A．240B．1000C．125D．400cm．将它们拼成4．如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：)如图2的新几何体，则该新几何体的体积用π表示，应为()A．364cm πB．360cm πB．C．356cm πD．340cm π二．填空题（共8小题）5．用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，两个物体的一样大．6．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是3:2，高的比是2:3，现在水面的高度是分米．7．甲、乙两个容器内盛有相同体积的水；已知甲容器长是10厘米．宽是10厘米．高12厘米．容器内原来水面高是9厘米．放入一个圆锥体完全浸没后．水面高度与容器高度相等（且没有溢出）：乙容器的棱长是15厘米．放入一个同样大小的圆锥体和一个圆柱体完全浸没后．水面高度距离容器口8厘米．那么圆锥的体积与圆柱体积的比是．8．一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量，长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米．如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深厘米．9．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是立方厘米，圆锥的体积是立方厘米．10．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是．11．一个棱长是6dm 的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是218dm 的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是．12．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是立方厘米．三．解答题13．一个长方体容器，长5cm，宽4cm，高3cm，装满水后将水全部倒入一个高5cm的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？14．明明想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：①给容器中注入一定量的水，接着把一个棱长6厘米的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了9厘米。

第五讲等积变形答案方法与技巧：（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。

【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。

（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB，BD=2BC，△DEC的面积是△ABC面积的倍。

（4）【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。

若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。

请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。

在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。

（B）一直变小。

（C）先变小后变大。

（D）先变大后变小。

（E）保持不变。

【练习1】如左下图，△ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。

若图中阴影部分面积为1，则△ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。

初一等积变形题解题方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一等积变形是初中数学中的一个重要知识点，也是中考中常考的内容之一。

等积变形是指在等式两侧同时乘以（或除以）相同的数（非零）得到新的等式，等式依然成立。

初一等积变形题目一般比较简单，但是要掌握一些解题方法才能高效解题。

下面就给大家介绍一下初一等积变形题解题方法。

要熟练掌握等式的性质。

等式的性质有交换性、结合性、分配律等。

通过这些性质可以将等式进行变形，从而更好地解题。

要能够灵活运用等性变形规律。

在等式中，常见的等式变形规律有消去规律、配方规律等。

要能够根据题目的要求，合理运用这些规律进行等式变形。

接着，要注意等式的两侧同时进行变形。

等式的两侧必须同时进行变形，不能只对一侧进行操作，否则等式就会不成立。

在进行等积变形题目时，一定要保持等式的平衡性。

要善于利用未知数进行代入。

有些等积变形题目中会涉及到未知数，此时可以通过代入的方法，将未知数代入到等式中，从而更好地解题。

要注意化简过程中的乘法运算。

在进行等积变形题解题时，常常会涉及到乘法运算，要注意运算的准确性和顺序，避免出现计算错误。

要进行检验答案。

在解完等积变形题目之后，一定要进行答案的检验。

将得到的答案代入原等式中进行验证，确保答案正确，避免因计算错误而导致答案不准确。

初一等积变形题目在解题过程中需要注意一些方法和技巧。

只有掌握了这些方法和技巧，才能更好地解答等积变形题目，提高解题效率。

希望通过本文的介绍，大家能够更好地掌握初一等积变形题解题方法，取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：初一的数学学习主要围绕着数学的基础知识展开，其中等积变形是其中一个比较重要的知识点。

等积变形是数学中的一个重要概念，它是指通过对等式两边进行一些操作，使得等式的两边仍然等积的过程。

初一阶段的数学学习主要是帮助学生建立数学思维和分析问题的能力，等积变形题是一个很好的训练这些能力的题型。

今天我们就来探讨一下初一等积变形题解题方法。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。

中考数学等积变形答题技巧中考数学等积变形答题技巧中考数学等积变形答题技巧一、平移例：从大半圆中剪去一个小半圆(小半圆的直径在大半圆的直径MN上)点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB‖ MN。

已知AB=24cm，求阴影部分的面积。

分析：由于只知道了弦AB的长，所以就不可能直接求出阴影部分的面积，此时因为AB‖ MN，两条平行线间的距离保持不变，所以可以通过平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，然后作OC AB，垂足为点C，连接OB，利用Rt △OCB就很容易得出正确答案。

具体过程为：解：设大半圆与小半圆的半径分别为R、r ，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，作OC AB，垂足为点C，则AC=BC =12cm .连接OB，在Rt △OCB中，R2-r2=122.所以S阴影=п(R2-r2)/2=72п(cm2)例2:：如图，AB是以点O为圆心的半圆的直径，C，D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意一点，已知圆O的半径为1，求图中阴影部分的面积.分析：这个题目中的阴影部分的面积也是不规则的，但是因为C，D是弧AB的三等分点，连结CD、OC、OD后，很容易得到AB‖CD，在弓形面积不变的情况下点E在向点O平移的例：2019年奥运会将在北京举行，你们知道吗?国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内外圆直径分别是8和10，图中两两相交成的小曲边形(闪烁部分)的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边形的面积(п取3.14)分析：只要明确出五个圆环覆盖的面积与独立的五个圆环所占面积之间的区别，就会得到每一个小曲边形的面积实际是独立的五个圆环所占的面积减去五个圆环覆盖的面积后结果的八分之一。

热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。

1在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。

【答案】0.9【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是=长×宽×高。

放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。

但是底面积发生可改变。

现在水的高度=水的体积÷底面积。

注意：求的是水位上升的高度。

水位上升的高度=现在水的高度-开始水的高度。

【详解】20×9×3.6=648(立方分米)20×9-6×6=180-36=144(平方分米)648÷144=4.5(分米)4.5-3.6=0.9(分米)则水位上升了0.9米。

2把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。

【答案】32301.44【分析】根据题意可知，把一个圆柱体铁块熔铸成一个圆锥体，铁块的形状变了，但体积不变；先根据圆柱的体积公式V=πr2h，求出这个铁块的体积，也就是圆锥的体积；再根据圆锥的高h=3V÷S，求出这个圆锥体的高。

【详解】铁块的体积：3.14×42×6=3.14×16×6=50.24×6=301.44(立方分米)圆锥的底面积：3.14×32=3.14×9=28.26(平方分米)圆锥的高：301.44×3÷28.26=904.32÷28.26=32(分米)这个圆锥体的高是32分米，体积是301.44立方分米。

3一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。

小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)小学奥数精讲：等积变形求面积基本概念我们都知道“三角形的面积等于底与高的积的一半”，因此，我们可以得出等底等高的两个三角形面积相等的结论。

这意味着，即使两个三角形的形状不同，只要它们的底和高分别相等，它们的面积就相等。

但是，不能反过来说“面积相等的两个三角形的底和高一定分别相等”。

另一类三角形有一条公共底边，但这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。

例如，右图中的三角形A1BC、A2BC和A3BC的面积都相等。

图形割补是求图形面积的重要方法。

通过割补，我们可以将一些形状不规则的图形转换成形状规则但面积相等的图形，或者将不易求面积的图形转换成易求面积的图形。

常用的割补方法包括添加平行线或垂线。

利用等底等高的三角形面积相等这个性质是面积割补的重要依据，而抓住具体的图形特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键。

在进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案。

不要盲目地乱动手。

本讲中的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。

例题分析例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积。

例2：如下图，A为△XXX的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD及△XXX的面积。

例3：2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成（直角边长为2和3）。

问：大正方形的面积是多少？例4：下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积。

练提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC=CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？在平行四边形ABCD中，如果AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，求平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍。

数学：等积变形的策略各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢在中考数学中我们经常会遇到求阴影部分的面积的题目，它们的形状多数不规则，这时就会用到等积变形下面是等积变形的几种的常用策略一、平移例：从大半圆中剪去一个小半圆（小半圆的直径在大半圆的直径mN上）点o 为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB‖mN。

已知AB=24cm，求阴影部分的面积。

分析：由于只知道了弦AB的长，所以就不可能直接求出阴影部分的面积，此时因为AB‖mN，两条平行线间的距离保持不变，所以可以通过平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，然后作oc⊥AB，垂足为点c，连接oB，利用Rt△ocB就很容易得出正确答案。

具体过程为：解：设大半圆与小半圆的半径分别为R、r，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，作oc⊥AB，垂足为点c，则Ac=Bc=12cm.连接oB，在Rt△ocB 中，R2-r2=122.所以S阴影=п（R2-r2）/2=72п（cm2）例2:：如图，AB是以点o为圆心的半圆的直径，c，D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意一点，已知圆o 的半径为1，求图中阴影部分的面积.分析：这个题目中的阴影部分的面积也是不规则的，但是因为c，D是弧AB的三等分点，连结cD、oc、oD后，很容易得到AB‖cD，在弓形面积不变的情况下点E在向点o平移的过程中△EcD 形状改变，但面积不变，所以阴影部分的面积就等于半圆面积减掉60度扇形的面积即等于120度扇形的面积。

二、旋转例：矩形ABcD中，Bc=2，Dc=4，以AB为直径的半圆o与Dc相切于点E，求阴影部分的面积分析：见切点连圆心，连接oE交DB于点F，△DEF与△DBF全等，△DEF 以点F为旋转中心顺时针或逆时针旋转可使两个三角形重合，阴影部分的面积等于四分之一的圆的面积三、对称例：在每个小格边长为1的方格纸上利用圆规作出如图所示的图形，图中的阴影部分的面积是多少？分析：左侧的阴影部分与右侧的空白部分相对应，所以阴影部分可以通过折叠组合成两个半圆环和一个半圆，结果不难得出。

奥数拓展：等积变形（一）故事导入：有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。

同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。

（二）即学即练：2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？如图.三角形ABC中.D是AB的中点.点E、F.G、H把BC平均分成五份.阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？AB£FG H C三）思维探索：（平行线间的等积变形）如下图，AACD和厶BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和厶BCD的面积关系是怎样的？为什么？四）即学即练：1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对?2.如下圏，在梯形ABCP中，梯形舫CD的面釈是ZIABC的面視是1也AAKD的面秩是瘗少？（五）结论总结：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。

同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（六）例题梳理【例1】等积变形的等分点应用1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米.求AABC2.如图，A为三角形DE边上的中点，BF为CD边上的三等分点，如果三角形ABC的面积为5,求三角形ABD和三角形ACE的面积。

3.在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若三角形ADE的面积是1,求三角形BEF的面积。