等积变形问题

一、打折销售问题（1）售价、进价、利润的关系：利润=售价—成本进价、利润、利润率的关系：利润率＝商品利润商品成本价×100%商品售价＝商品进价×(1+利润率)（2）标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×折扣数（3）商品总销售额＝1件商品售价×销售量例1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？等量关系：折扣后价格－进价=151.一家商店将某种服装按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种服装成本价是多少元？2、某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？3、一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，•结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为多少？4、一件夹克按成本提高50%后标价，后因季节关系案标价的8折出售，每件以60元卖出，5、一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x满足的方程是____________。

6.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______．7、某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？8、某商场把一个双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8元。

这种书包的进价是多少元？9、商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1600元。

问商品的原价是多少？10.一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，如果该彩电的进货价是2400元，那么彩电的标价是多少元？11.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？二、相遇与追击问题（画草图）1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型 （1）相遇问题： 快行路程＋慢行路程＝总路程 （二者所用时间相同）（2）追及问题： 快行路程=慢行路程+二者初始距离 （二者所用时间相同）（1）相遇问题： 两者的路程之和=环形跑道一圈的长度（2）追及问题： 两者的路程之差=环形跑道一圈的长度错车问题：两者路程和或差=两个车身的长度和1、甲、乙两人每天早晨坚持跑步，甲每秒跑4m ，乙每秒跑6m.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如乙站在百米跑道的起点处，甲站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后乙能追上甲？2、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h 的速度前进。

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。

等积变形（复习）例1、M、N分别为四边形ABCD的边AB和CD 的中点，如果四边形的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积。

练习1、如图，六边形ABCDEF的面积是16平方厘米，M、N、P、Q分别是AB、CD、DE、AF 的中点。

求阴影部分的面积练习2、如图，平行四边形的面积为50平方厘米，P是其中任意一点，求阴影部分的面积。

例2、如图，D是等边三角形AB边上的中点。

已知三角形BDE的面积为5平方厘米。

求等边三角形的面积。

练习1、如图，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，求平行四边形的面积。

练习2、如图，已知P点是面积为40平方厘米的等边三角形ABC中的任意一点，PE、PF、PG分别垂直AB、BC、AC，求阴影部分的面积。

例3、如图是两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

练习：已知图中大正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。

ABCD 中，EF 与AC 平行，如果三角形BFC 的面积是35平方厘米，那么三角形AEB 的面积是多少平方厘米？2、在三角形ABC 中，AD 与BC 垂直，CE 与AB 垂直，AD=8厘米，CE=7厘米，AB+BC=21厘米，求三角形ABC 的面积。

3、如图，三角形ABC 的面积是30平方厘米，D 是BC 的中点，AE=2ED ，求阴影部分的面积。

4、三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD=3AE ，EF=3BF ，求阴影部分的面积。

5、如图，BD=2DC ，AE=BE ，已知三角形ABC 的面积是18平方厘米，求四边形AEDC 的面积。

6、两个边长为2厘米的正方形，其中一个的顶点在另一个的中心上，求两个正方形不重合部分的面积和。

7、在正方形中，A 、B 、C 分别是所在边的中点，三角形COD 的面积是三角形AOB 的面积的几倍？8、如图，长方形ABCD 的长为10厘米，宽为6厘米，E 、F分别为所在边的中点，FG=2GE。

等积变形问题归纳总结等积变形是数学中一个经典而重要的问题，涉及到几何和代数两个方面。

这类问题一般给定一个几何形状，然后要求找到一个变形的方法，使得该形状在变形后保持等面积不变。

在这篇文章中，我将对等积变形问题进行归纳和总结，介绍常见的等积变形方法及其应用。

一、等积变形的概念和意义等积变形是指通过某种方式改变一个几何形状，使得变形后的形状与原来的形状面积相等。

这个问题在工程、建筑、地理测量等领域有着广泛的应用。

等积变形的主要目的是在不改变面积的情况下，改变某个几何形状的外观或者其他性质。

在实际应用中，等积变形可以用于设计优化、曲面造型、地图绘制等方面。

二、等积变形的常见方法1. 平移变形：平移是最简单的等积变形方法之一。

平移变形是通过将几何形状整体平行地移动，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。

平移变形的关键是保持对称性，即移动后的形状与原来的形状在空间中仍具有相同的位置关系。

2. 旋转变形：旋转变形是通过将几何形状绕一个确定的旋转点旋转一定角度，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。

旋转变形的关键是确定旋转中心和旋转角度，以及保持旋转后的形状与原来的形状在空间中具有相同的位置关系。

3. 缩放变形：缩放变形是通过改变几何形状的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。

缩放变形可以分为等比例缩放和非等比例缩放两种方式。

等比例缩放是将形状的所有尺寸同时按照相同的比例进行缩放；非等比例缩放是将形状的各个尺寸分别按照不同的比例进行缩放。

4. 拉伸变形：拉伸变形是通过改变几何形状的某个方向的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。

拉伸变形可以在一维、二维和三维空间中进行。

在一维空间中，拉伸变形是指改变线段的长度；在二维空间中，拉伸变形是指改变面的某个方向的尺寸；在三维空间中，拉伸变形是指改变体的某个方向的尺寸。

5. 弯曲变形：弯曲变形是通过施加外力将几何形状弯曲，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。

等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。

在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。

这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。

等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。

通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。

等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。

假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。

如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。

根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。

通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。

同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。

这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。

2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。

这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。

考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。

现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。

我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。

设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。

根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。

由此可得R = ±r。

根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。

这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。

3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。

等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。

三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底x高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化. 但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原耒的;.贝!I三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若^ABD-^A AEC的底边相等（£D=DE=EC=|E.C）3它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道^ ABC勺面积是△ ABD或△ AEC面积的3倍.例如在图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,AABC的高是△ DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE）则^ ABC的面积是△ DBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法1=如右图，将RC边四等分（KD =DE=EF=FC=|B C）,连结△ABE、△AEF、△AF对积*方法2:如右图，先将BC二等分，分点D连结AD得到两个等积三角形，即△ ABD与△ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE等积.C方法务如右图，先將BC四攀分，即：BD二一BC,连结直A再将AB三等分，aPAE-EF=FD--AD,连结CE、CF,从而得到四个尊积的三角形 ,即^AKD, △CDF, △CEE △ACE等积.例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1 : 3 : 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE 从而得到^ ABD △ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右圈，先取EC中点D,再取yVB的才分点民连结AD、DE从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先恥止中点D,连结CD,再取CD上;分点兔连结4从而得到三个三角形；△ACE △ADE、△BCD,其面积比为1 ； 3 :4.C当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△ A0B与△ CODS积相等.c证明：•••△ ABC与△ DBC等底等高, /. S^AB(=S A DBC又S △ AOB=S A ABC—S A BOC S △ DOC=S^ DBC—BOC/. S AAOB=S ACOD例4、如图，把四边形ABCDfe成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABC®积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形^ A DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A。

等积变形初一试题及答案一、选择题1. 一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，其体积是（）。

A. 72cm³B. 48cm³C. 24cm³D. 36cm³2. 一个正方体的棱长为5cm，其体积是（）。

A. 125cm³B. 100cm³C. 75cm³D. 50cm³3. 一个圆柱体的底面半径为4cm，高为5cm，其体积是（）。

A. 200πcm³B. 100πcm³C. 80πcm³D. 40πcm³二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm、5cm，其体积为_______cm³。

2. 一个正方体的体积为216cm³，其棱长为_______cm。

3. 一个圆柱体的底面半径为3cm，高为10cm，其体积为_______cm³。

三、解答题1. 一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm、7cm，求其体积。

2. 一个正方体的棱长为4cm，求其体积。

3. 一个圆柱体的底面直径为6cm，高为9cm，求其体积。

答案：一、选择题1. A2. A3. B二、填空题1. 2402. 63. 942π三、解答题1. 长方体的体积为10cm × 8cm × 7cm = 560cm³。

2. 正方体的体积为4cm × 4cm × 4cm = 64cm³。

3. 圆柱体的体积为π × (3cm)² × 9cm = 81πcm³。

热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。

1在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。

【答案】0.9【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是=长×宽×高。

放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。

但是底面积发生可改变。

现在水的高度=水的体积÷底面积。

注意：求的是水位上升的高度。

水位上升的高度=现在水的高度-开始水的高度。

【详解】20×9×3.6=648(立方分米)20×9-6×6=180-36=144(平方分米)648÷144=4.5(分米)4.5-3.6=0.9(分米)则水位上升了0.9米。

2把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。

【答案】32301.44【分析】根据题意可知，把一个圆柱体铁块熔铸成一个圆锥体，铁块的形状变了，但体积不变；先根据圆柱的体积公式V=πr2h，求出这个铁块的体积，也就是圆锥的体积；再根据圆锥的高h=3V÷S，求出这个圆锥体的高。

【详解】铁块的体积：3.14×42×6=3.14×16×6=50.24×6=301.44(立方分米)圆锥的底面积：3.14×32=3.14×9=28.26(平方分米)圆锥的高：301.44×3÷28.26=904.32÷28.26=32(分米)这个圆锥体的高是32分米，体积是301.44立方分米。

3一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。

五年级等积变形题一、等积变形题目。

1. 一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米，高4分米。

先倒入82升水，再浸入一块棱长2分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。

求水箱的容积是多少升？- 解析：正方体铁块体积为2×2×2 = 8立方分米，因为1立方分米= 1升，所以8立方分米= 8升。

倒入水的体积是82升，此时水和铁块总体积为82+8=90升。

水面离水箱口1分米，则此时水和铁块占水箱的高度是4 - 1=3分米。

水箱底面积为6×5 = 30平方分米，根据长方体体积公式V=Sh（S是底面积，h是高），那么3分米高的水和铁块的体积对应的水箱容积部分为30×3 = 90升，所以水箱容积为90÷3×4 = 120升。

2. 有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。

现在把一块石头浸没到水里，水面上升2厘米。

这块石头的体积是多少立方厘米？- 解析：因为石头浸没到水中，水面上升的体积就是石头的体积。

长方体底面积是300平方厘米，水面上升了2厘米，根据长方体体积公式V = Sh，石头体积为300×2=600立方厘米。

3. 一个正方体容器棱长为6分米，里面装满水。

现将水倒入一个长0.8米、宽0.6米的长方体容器中，水面高多少分米？- 解析：首先统一单位，0.8米= 8分米，0.6米= 6分米。

正方体容器棱长6分米，则水的体积为6×6×6 = 216立方分米。

将水倒入长方体容器中，长方体容器底面积为8×6 = 48平方分米，根据h=(V)/(S)（h是高，V是体积，S是底面积），水面高度为216÷48 = 4.5分米。

4. 把一块棱长12厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是144平方厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？- 解析：正方体铁块体积为12×12×12 = 1728立方厘米。