2.3.1公式法(一)

§2.3 公式法（1）【教学目标】1、理解用配方法推导一元二次方程求根公式的过程；2、熟记求根公式，会用公式法解一元二次方程；3、理解公式中的条件042≥-ac b .【重点】用公式法解一元二次方程．【难点】一元二次方程求根公式的推导过程．【相关链接】用配方法解方程：（1）02632=+-x x （2）y y y 441252+=+- 复习用配方法解数字系数的一元二次方程.【预习导航】一、阅读教材P 64～P 66.二、公式法解一元二次方程例1、用配方法解一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a用配方法解字母系数的一元二次方程学生可能感到困难，教学中教师注意引导学生做到数与字母的统一.注意条件0a ≠与042≥-ac b 的不可缺乏.一般地，对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 当042≥-ac b 时，我们称式子： aac b b x 242-±-=为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 例2、用公式法解方程x x x 23322-=+ 尝试练习：1、解方程：（1）226)3(2x x -=+ 解：将原方程化为一般形式，得：03522=-+x x∵a =2，b =5，c =-3，∴()0493245422>=-⨯⨯-=-ac b ∴22495242⨯±-=-±-=a ac b b x ∴.3,2121-==x x（2）213108x x --= （324x -=（3）2(1)88m m -+=- （4）1122-=++y y y解题反思：（1）一元二次方程的求根公式：______________________________________________.（2）我们称ac b 42-为关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式. 其中，①当042>-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；②当042=-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；③当042<-ac b 时，方程______（有、无）实数根。

第二章 分解因式2.3.1运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2.. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如22b a -的多项式分解因式的方法，即))((22b a b a b a -+=-，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。

笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。

（2）常见的公式变式有：○1位置变化：))((22y x y x y x -+=-；○2符号变化：))((22y x y x y x ----=-○3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： [例题1] 把下列各式分解因式（1）21625x - （2）22419b a -[针对性训练1] 把下列各式分解因式（1）222m b a - （2）448116y x +-[例题2] 把下列各式分解因式（1）22)()(9n m n m --+ （2）x x 823-[针对性训练2] 把下列各式分解因式（1）22)()(b n a m +-- （2）22)(c b a x ++-当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如222b ab a +±的多项式分解因式的方法，即222)(2b a b ab a +=+±，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。

[例题3] 将下列各式分解因式。

（1）49142++x x (2)9)(6)(2++-+n m n m[例题4] 将下列各式分解因式(1)22363ay axy ax ++(2)xy y x 4422+--[针对性训练3] 把下列各式分解因式（1）223612y xy x ++（2）422492416b b a a ++（3）229341n mn m ++（4）251036+-x x[针对性训练4]（1）222y x xy ---（2）2)(9)(124y x y x -+--。

2．3.1 离散型随机变量的均值填一填1.离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布和二项分布的均值(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .3．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.判一判判断(1．随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．(×) 2．随机变量的均值反映样本的平均水平．(×)3．若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.(√)4．随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.(×)5．若随机变量X 的数学期望E (X )＝3，则E (4X －5)＝7.(√)6．若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为43.(√) 7．设随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则p ＝14.(√)8．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为2.4.(√)想一想1.提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．2．随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？ 提示：随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．3．对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，称x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )为这n 个数的平均数，如何从随机变量的角度看这个问题？提示：设X 为从这n 个数中任取的一个数，则X 所有可能的取值便为x 1，x 2，…，x n ，P (X ＝x i )＝1n (i ＝1,2，…，n )，即X 的概率分布列为X x 1 x 2 x 3 … x nP 1n 1n 1n (1)nE (X )＝x 1·1n ＋x 2·1n ＋x 3·1n ＋…＋x n ·1n ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．4．若随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 为何值？提示：∵E (X )＝16，∴40p ＝16，即p ＝1640＝0.4.思考感悟：练一练1.已知某一随机变量的值为( )X a 7 9 P b 0.1 0.4A.4 B ．5 C ．6 D ．7解析：根据随机变量X 的分布列可知b ＋0.1＋0.4＝1，所以b ＝0.5.又E (X )＝ab ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝4.答案：A2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案：2.3763．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48. 答案：48知识点一 离散型随机变量的方差1.则E (X )等于( )A ．4B ．5C ．3D ．4.5解析：P (X ＝2)＝1C 25＝110，P (X ＝3)＝C 12C 25＝210＝15，P (X ＝4)＝C 13C 25＝310，P (X ＝5)＝C 14C 25＝410＝25，故E (X )＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.答案：A2．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解析：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435.P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835.P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235.P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量X 的分布列为X 5 6 7 8P 435 1835 1235 135所以E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.知识点二 离散型随机变量均值的性质3.X 1 2 3P 12 13 16且Y ＝aX ＋3解析：E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y ＝aX ＋3，∴E (Y )＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2.解得a ＝－3. 答案：－34．已知随机变量X 的分布列如下：X －2 －1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解析：(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一(公式法)：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215.法二(直接法)：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1P 14 13 15 16 120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.知识点三 两点分布及二项分布的均值5.每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：906．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解析：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 29 49 827由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝435，P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243.综合知识 均值的综合应用7.1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解析：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5X 2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3根据均值公式得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2； 因为E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大．8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.13期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及均值E (Y )．解析：(1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A －表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P (A －)＝(1－0.4)3＝0.216，P (A )＝1－P (A －)＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元． P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y 的分布列为Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2E (Y )＝200×0.4＋250×0.4基础达标一、选择题1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )为( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22解析：X 的取值为0,1,2，∴P (X ＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22， P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 答案：B2．设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.6，则a －b 等于( )X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1A.0.2 B ．0.1C ．－0.2D ．－0.4解析：由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8. 又由E (X )＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6， 得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2. 答案：C3．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元解析：出海的期望效益E (ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3000－800＝2 200元． 答案：B4．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4P 14 m n 112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7，则E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，∴E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立求解得m ＝13.答案：A5．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：依题意知，用电单位个数X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np . 答案：B6．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析：由题意可知，被种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.2)，所以X 的数学期望E (X )＝1 000×0.2＝200.答案：B7．设随机变量的概率分布为( )ξ 0 1 2P p 3 p 3 1－23p则ξA.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化解析：E (ξ)＝p3＋2×⎝⎛⎭⎫1－23p ＝2－p . ∵p 满足⎩⎨⎧0≤p3≤1，0≤1－23p ≤1，则有0≤p ≤32，∴E (ξ)最小值为12.答案：A 二、填空题8．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________. 解析：E (x )＝100×12＝50，E (2x ＋3)＝2E (x )＋3＝103.答案：1039．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25.答案：2510．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.解析：因为P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， 所以E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， 所以14a ＋6b ＝3.又因为(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， 所以6a ＋3b ＝1.由①②可知a ＝12，b ＝－23，所以a ＋b ＝－16.答案：－1611．某射手射击所得环数X 的分布列如下：X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知X 的均值E (X )＝8.9解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2，y ＝0.4.答案：0.412．同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数ξ的数学期望是________．解析：由已知同时抛掷两颗骰子一次，至少有一个3点或6点出现时的概率为P ＝2036＝59，∴9次试验相当于独立重复试验9次，则成功次数ξ服从二项分布，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫9，59. ∴E (ξ)＝9×59＝5.答案：5 三、解答题13．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解析：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23， ∴E (X )＝4×23＝83.14．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解析：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116，P (ξ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫124＝38，P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116. ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116(2)∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E (ξ)＝2 300－100×2＝2 100. 即实际支出的数学期望为2 100元.能力提升红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共同遇1个红灯的概率． 解析：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3；则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124；所以，随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量X 的数学期望为E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)·P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)·P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148； 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.16．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 4 6 4 6(1)从这的概率；(2)从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析：(1)从20名学生随机选出3名的方法数为C 320，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为C 14C 16C 14＋C 14C 16C 16＋C 14C 14C 16＋C 16C 14C 16＝480，所以P ＝480C 320＝819.(2)X 可能的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 316C 320＝2857，P (X ＝1)＝C 216C 14C 320＝819，P (X ＝2)＝C 116C 24C 320＝895，P (X ＝3)＝C 34C 320＝1285.所以X 的分布列为X0 1 2 3 P2857 819 895 1285所以E (X )＝2857×0＋819×1＋895×2＋1285×3＝5795.。

2.2 用公式法求解一元二次方程（1）自主学习、课前诊断一、温故知新：1. 二人小组复述用配方法解一元一次方程a x 2+bx++c=0(a ≠0)的一般步骤. 2.用配方法解下列方程： (1) 2x 2-10x-3=0（2）x 2-4x-12=0二、设问导读：阅读教材P 41-43完成下列问题： 1．教材P 41利用了 法推导出了解一元二次方程的另外一种方法： ____________法.2. 一元二次方程ax 2+bx++c=0(a ≠0)的根的情况是:(1) 当b 2－4ac ＞0时, 2244a acb -___0,两边开方，得______________________. 方程有两个__________的实数根.即 x 1=_____________,x 2=_____________. (2) 当b 2－4ac=0时，方程有两个_______的实数根.即x 1=x 2=_____________.(3)当b 2－4ac<0时，方程_______根. 3.式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的____________.通常用____表示，即_______________. 4.阅读课本例题，同时思考： （1）你认为公式法解方程的易错点在哪里？怎样克服？（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？三、自学检测：1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A.012=+xB.01692=+-x xC 、022=+-x x D. 0222=--x x2、用公式法解下列方程：(1)x 2+2x-35=0(2)5x 2-15x-10=0互动学习、问题解决一、导入新课 二、交流展示学用结合、提高能力一、巩固训练：1、若关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-1 2.填空题：(1)方程(2x-1)(x+3)=15的判别式b 2-4ac= . (2)方程9x 2—（k+6）x+k+1=0有两个相等的实数根，则k=_______.（3）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_____________. 3.用公式法解下列方程： （1）x 2-6x+5=0 ；（2）2x 2-7x+3=0 ；(3)1)2(2-=+x x ；二、当堂检测：1、下列方程中，没有实数根的方程是( ) A.x 2+x-1=0 B.x 2+x+2=0 C.x 2+8x+1=0D.x 2-22x+2=02. 用公式法解下列方程： （1）2x 2+3x+1=0（2）3x 2+2=6x三、拓展延伸：已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0 求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．课堂小结、形成网络________________________________________________________________________________________________________________________________________2.3用公式法求解一元二次方程（1） 三、自我检测 1、D2、 (1)x 1=-7 x 2=-5.(2)x=2173± 一、巩固训练 1、C ；2.（1）169；（2）0或24；（3）3.（1）1，5；（2）3,21；（3）22- 二、当堂检测：1、B2、（1）（2）三、拓展延伸：解：∵△=a 2﹣4（a ﹣2）=a 2﹣4a +8=a 2﹣4a +4+4=（a ﹣2）2+4≥0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．。

课题：2.3《用公式法求解一元二次方程》(第1课时)学习目标：1、理解求根公式的推导过程，理解公式中的条件042≥-ac b 。

2、会用求根公式解简单的数字系数的一元二次方程。

3、理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。

学习重点、难点：求根公式的推导及运用求根公式解一元二次方程。

学法指导：1、先利用10分钟阅读并思考P41-43页教材内容，通过复习配方法解一元二次方程，初步探究用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax ，得出求根公式，理解公式中的条件042≥-ac b ，并会用求根公式解一元二次方程；初步理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。

2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。

一、合作探究探究点一： 求根公式的推导1、用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax2、为什么要042≥-ac b ？3、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：探究点二： 利用求根公式解一元二次方程1、解下列方程：（1）x x 7322=+ （2）01232=++x x2、探讨使用求根公式解一元二次方程的一般步骤：探究点三：一元二次方程的根的判别式：1、不解方程，判断下列方程根的情况。

（1）022=++x x （2）01442=+-x x （3）042=+x2、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。

三、课堂检测1、用公式法解下列方程：（1）08922=+-x x （2）01692=++x x（3）38162=+x x （4）2342-=x x2、已知一元二次方程022=+-m x x ，且042=-ac b ，求m= 。

3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长。

课堂小结：你学到了什么？你还有什么疑惑？作业（★B 层同学选做题，☆C 为层同学选做题）教材P43页习题2.5的第1、2、3、4课后反思：。

§2.3运用公式法 （1）【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。

【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。

3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a -解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31)(3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823-解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x --解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。

北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。

通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。

2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。

2.运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。

公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。

让学生举例说明，培养学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。

2.3 .1用公式法求解一元二次方程教学目的：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式法的概念，会纯熟应用公式法解一元二次方程．2、复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入惯用配方法解一元二次方程的一般步骤.2＋bx＋c＝0(a≠0)?3.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法〞，比方，方程〔1〕x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的〔理论〕根据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？〔只对那种“平方式等于非负数〞的特殊二次方程有效，不能施行于一般形式的二次方程。

〕4．面对这种局限性，怎么办？〔使用配方法，把一般形式的二次方程配方成可以“直接开平方〞的形式。

〕〔学生活动〕用配方法解方程 2x2+3=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤：(1)现将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；〔4〕方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；〔5〕变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q；假如q＜0,方程无实根．二、探究新知用配方法解方程（1）a x2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕，试推导它的两个根x 1，x 2(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面详细数字已做得很多，我们如今不妨把a 、b 、c 也当成一个详细数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=-配方，得：x 2+x+〔〕2=-+〔〕2即〔x+〕2=∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0 ∴〔x+〕2)2 直接开平方，得：x+=即 ∴x 1，x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：2ba 2ba 2b a 2244b ac a -2244b a c a -2b a 2ba〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性与和谐性。

2.3.1 公式法一、选择题1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是()A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=32.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是()A.16B.24C.8D.43.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断4.[2020·黔西南州] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为;若方程有两个相等的实数根,则a=.7.一元二次方程3x2=4-2x的解是.,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是12是.9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是;(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是.10.在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为.三、解答题11.不解方程,判断下列方程的根的情况:=0; (2)16x2-24x+9=0;(1)2x2-3x-32(3)x2-4√2x+9=0; (4)3x2+10=2x2+8x.12.用公式法解下列方程:(1)x2-5x+4=0;(2)x2+3x=0;(3)2x2-3x+9=0;8(4)2x2-3√3x+3=0;(5)0.3y2+y=0.8;(6)6x2-11x+4=2x-2;(7)(3x+2)(x+3)=x+14.13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).(1)求证:方程一定有实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.15.[分类讨论题] 已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.详解详析1.D2.B [解析] 方程x 2-4x=2可化为x 2-4x-2=0.∵a=1,b=-4,c=-2,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.故选B .3.A [解析] ∵b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A .4.D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+2x+1=0有实数根,∴{m -1≠0,Δ=22-4×1×(m -1)≥0,解得m ≤2且m ≠1.故选D .5.A [解析] ∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,所以原方程的根的情况是没有实数根.故选A .6.无实数根 -947.x 1=-1+√133,x 2=-1-√133[解析] 3x 2=4-2x ,3x 2+2x-4=0,则b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,故x=-2±√526,则x 1=-1+√133,x 2=-1-√133.故答案为x 1=-1+√133,x 2=-1-√133. 8.12 [解析] ∵b 2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为12.9.(1)0 (2)k<-1[解析] (1)一元二次方程x 2-2x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.10.x 1=-1+√52,x 2=-1-√5211.解:(1)2x 2-3x-32=0,∵Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×-32=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)16x 2-24x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)x 2-4√2x+9=0,∵Δ=b 2-4ac=(-4√2)2-4×1×9=-4<0,∴方程没有实数根.(4)3x 2+10=2x 2+8x ,即x 2-8x+10=0,∵Δ=b 2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,∴方程有两个不相等的实数根.12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,∴Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,∴x=5±√92=5±32,∴x 1=1,x 2=4. (2)∵a=1,b=3,c=0,∴Δ=b 2-4ac=32-4×1×0=9>0,∴x=-3±√92×1,∴x 1=0,x 2=-3.(3)∵a=2,b=-3,c=98,∴Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×98=9-9=0, ∴x=-(-3)±√02×2,∴x 1=x 2=34. (4)∵a=2,b=-3√3,c=3,∴Δ=b 2-4ac=(-3√3)2-4×2×3=3>0,∴x=3√3±√32×2=3√3±√34, ∴x 1=√3,x 2=√32.(5)移项,得0.3y 2+y-0.8=0.∵a=0.3,b=1,c=-0.8,∴Δ=b 2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,∴y=-1±√1.962×0.3=-1±1.40.6, ∴y 1=23,y 2=-4.(6)原方程可化为6x 2-13x+6=0.∵a=6,b=-13,c=6,∴Δ=b 2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,∴x=13±√252×6=13±512, ∴x 1=32,x 2=23.(7)原方程可化为3x 2+10x-8=0,∵a=3,b=10,c=-8,∴Δ=b 2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,∴x=-10±√1966, 即x=-5±73,∴x 1=23,x 2=-4.13.解:(1)证明:∵m ≠0,Δ=[-(m-2)]2-4m ×(-2)=m 2-4m+4+8m=m 2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴方程一定有实数根.(2)由(1)易得x=m -2±(m+2)2m ,∴x 1=1,x 2=-2m , 当整数m 取±1,±2时,x 2为整数.∵方程有两个不相等的整数根,∴-2m ≠1,∴m ≠-2,∴整数m 的值为-1,1,2.14.解:(1)△ABC 是直角三角形.理由:∵原方程有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,∴2ax2+2ax=0,而a≠0,∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.15.[解析] (1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.(2)分b=c,b=a两种情况.解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.(2)①若b=c,则Δ=0,即(k-2)2=0,∴k=2,∴方程可化为x2-4x+4=0,∴x1=x2=2,则b=c=2,∴△ABC的周长为5;②若b=a=1(或c=a=1),则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,∴原方程可化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),此时不满足三角形的三边关系,舍去.综上所述,△ABC的周长为5.。

数项级数的求和方法数项级数是指由一系列数字组成的无限数列相加的结果。

求和数项级数的方法有很多，包括公式法、变换法、分解法等等。

接下来，我将详细介绍一些常用的数项级数求和方法。

一、公式法公式法是指通过已知的公式来计算数项级数的和。

下面列举几种常见的公式法求和方法：1.1等差数列的和：等差数列的和公式为Sn=n(a+L)/2，其中n是项数，a是首项，L是末项。

1.2等比数列的和：等比数列的和公式为Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a是首项，q是公比，n是项数。

1.3平方数的和：平方数的和公式为Sn=n(n+1)(2n+1)/61.4立方数的和：立方数的和公式为Sn=[n(n+1)/2]^21.5斐波那契数列的和：斐波那契数列的和公式为Sn=Fn+2-1，其中Fn表示斐波那契数列的第n项。

二、变换法变换法是指通过对数项级数进行变换，从而将其转化为已知的级数，然后再求和。

常用的变换法包括部分和公式、差分法、反演法等。

2.1 部分和公式：对于一些特殊的数项级数，可以找到其部分和的公式，从而通过计算部分和来求和。

例如，对于等差数列an = a+(n-1)d，其部分和Sn = (2a+(n-1)d)n/22.2差分法：差分法是指通过计算数项级数的差分序列来找到规律，从而得到求和公式。

例如，对于一般的等差数列和，可以通过计算相邻项的差值得到一定的规律，进而得到求和公式。

2.3反演法：反演法是指通过将数项级数转化为另一种形式，然后求和。

例如，对于倒数级数1+1/2+1/3+...，可以通过将其乘以2再减去1的方式，得到一个新的序列1+1/2+1/4+...，从而得到求和公式。

三、分解法分解法是指将数项级数分解为若干个子级数，通过计算子级数的和再相加来求得原级数的和。

常用的分解法包括部分和分解、特殊级数分解、倒数级数分解等。

3.1部分和分解：对于有穷项的级数，可以将其进行部分和的分解，然后再相加得到原级数的和。