幂函数[上学期]--江苏教育版(新2019)

幂函数【学习导航】知识网络学习要求1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．自学评价1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ；（3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ．【精典范例】例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x =（3）2y x -= （4）22y x x -=+ （5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+-分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路．点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小． 追踪训练一1．在函数（1）21,y x=（2）22,y x =（3）2y x x =+，（4）1y =中，是幂函数序号为 ．2.已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式；3．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．【选修延伸】一、幂函数图象的运用例3：已知122x x <，求x 的取值范围． 【解】在同一坐标系中作出幂函数2y x =和12y x =的图象，可得x 的取值范围为(0,1)．点评:数形结合的运用是解决问题的关键．二、幂函数单调性的证明例4: 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 追踪训练二 1．下列函数中，在区间(0,2)上是单调增函数的是 （ ）A ．12log (1)y x =+B ．12y x=C ．12y x =-D ．1()2x y =2．函数122(1)y x =-的值域是 （ ）A ．[0,)+∞B ．(0,1]C ．(0,1)D ．[0,1]3．若1122a a -<，则a 的取值范围是 （ ）A ．1a ≥B ．0a >C ．01a <<D ．01a ≤≤4．证明：函数3()1f x x =--在(,)-∞+∞上是减函数． ．。

苏教版高一数学幂函数知识点：上册一般地，形如y=xalpha;(alpha;为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数，下面是苏教版高一数学幂函数知识点，xx请大家及时学习。

幂函数定义：对于形如：f(x)=xa，其中a为常数.叫做幂函数。

定义说明：定义具有严格性，xa系数必须是1，底数必须是xa取值是R .要求掌握alpha;=1、2、3、frac12;、-1五种情况幂函数的图像：幂函数的图像是由a决定的，可分为五类：1)a1时图像是竖立的抛物线.例如：f(x)=x22)a=1时图像是一条直线.即f(x)=x3)04)a=0时图像是除去(0,1)的一条直线.即f(x)=x0(其中x不为0)5)a<0时图像是双曲线(可为双曲线一支)例如f(x)=x-1具备规律:①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高(指大图高);②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称;③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像。

幂函数的性质定义域、值域与alpha;有关，通常化分数指数幂为根式求解奇偶性要结合定义域来讨论单调性：alpha;0时，在(0，+infin;)单调递增：alpha;=0无单调性;alpha;<0时，在(0，+infin;)单调递减过定点：alpha;0时，过(0,0)、(1,1)两点;alpha;<0时，过(1,1)由f(x)=xa可知，图像不过第四象限.精品小编为大家提供的苏教版高一数学幂函数知识点：上册大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

苏教版高一数学指数函数知识点：上册苏教版高一数学对数函数知识点：上册。

第六章 幂函数、指数函数和对数函数6.1 幂函数 ...................................................................................................................... 1 6.2 指数函数 . (10)第1课时 指数函数的概念、图象与性质 ......................................................... 10 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 ......................................................... 19 6.3 对数函数 . (28)第1课时 对数函数的概念、图象与性质 ......................................................... 28 第2课时 对数函数的图象与性质的应用 ......................................................... 36 章末复习 . (45)6.1 幂函数学 习 任 务核 心 素 养1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的图象．(重点)2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)1．结合幂函数的图象提升直观想象素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养． 3．通过本节课学习你能解决哪些问题？经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格x 与需求量y 之间近似地满足关系式y ＝x －0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？知识点1 幂函数的概念一般地，我们把形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．1.若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________. 3 [由题意得⎩⎨⎧ m ＝1，2n －4＝0，所以⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.]知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)2.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________. －8[8＝2α，所以α＝3，所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.]3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象不经过第四象限．( ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( ) (3)幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数也无关．( )[提示] (1)由幂函数的一般式y ＝x α(α为常数)及图象可知，当x >0时，y >0，即图象不经过第四象限．(2)y ＝x －1不经过(0,0)点，故错误．(3)y ＝x ，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． [答案] (1)√ (2)× (3)×类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.[跟进训练]1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)①y ＝x 2x；②y ＝2x 2；③y ＝x ；④y ＝x 2＋1；⑤y ＝－1x ；⑥y ＝x .③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (100)＝________.110 [由题知2α＝22＝2，∴α＝－12.∴f (x )＝x，∴f (100)＝100＝1100＝110.] 类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．[跟进训练]3．比较下列各组中两个数的大小： (1)3，3.1；(2)a 1.5，(a ＋1)1.5(a ＞0)； (3)(－0.88)，0.89. [解] (1)因为函数y ＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1.(2)函数y ＝x 1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a ＞0，a ＋1＞a ， 所以(a ＋1)1.5＞a 1.5.(3)函数y ＝x 为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数， 所以(－0.88)＝ 0.88<0.89. 类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．[跟进训练]4．(1)若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y ＝x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D(1)B (2)B [(1)令a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.(2)y ＝x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x －1的图象可看作由y ＝x 的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x －1的图象关于x 轴对称后即为选项B.]类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．[跟进训练]5．已知x2>x，则x的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞)[作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)，易得x<0或x>1.]课堂达标练习1．(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是()A．y＝x B．y＝x－3C．y＝x D．y＝2x2ABC[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有D中函数不是幂函数．]2．函数y＝x 54的图象是()A B C DC[∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.] 3．下列不等式成立的是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34<⎝ ⎛⎭⎪⎫23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫232>⎝ ⎛⎭⎪⎫322D ．8<⎝ ⎛⎭⎪⎫19 A [y ＝x 在(0，＋∞)上为减函数．故A 正确．]4．已知幂函数y ＝x α的图象过点(2，2)，则f (4)的值是________． 2 [将点(2，2)代入幂函数可得f (2)＝2α＝2，解得α＝12，即幂函数为f (x )＝x ，可得f (4)＝4＝2.]5．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.2 [令m 2－m －1＝1，得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3符合要求． 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0不符合要求． 故m ＝2.]回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．判断函数为幂函数的标准是什么？[提示] 底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1. 2．幂函数在第一象限内的图象有何特点？[提示] α>0时，幂函数的图象经过(0,0)，(1,1)，在(0，＋∞)上图象上升． α<0时，幂函数的图象经过(1,1)，在(0，＋∞)上图象下降．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质学习任务核心素养1．理解指数函数的概念．(重点)2．掌握指数函数的图象和性质．(重点) 3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4．掌握函数图象的平移变换和对称变换.1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a >0且a ≠1?[提示] ①当a ≤0时，a x 可能无意义；②当a >0时，x 可以取任何实数；③当a ＝1时，a x ＝1(x ∈R )，无研究价值．因此规定y ＝a x 中a >0，且a ≠1.1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (2)指数函数的图象与x 轴永不相交．( ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为增函数．( ) (4)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x ＞1.( )[提示] (1)y ＝3·2x 的系数为3，故y ＝3·2x 不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交． (3)y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．(4)a >1时，若x <0，则a x <1. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2.若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝xB [设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (3)＝8得a 3＝8，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，故选B.]类型1 指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x . A ．1 B ．2 C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．[跟进训练]1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. 2 [由题意知⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.]2．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (3)＝________.125 [设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525得a＝525＝552＝5，所以a ＝5，即f (x )＝5x ，所以f (3)＝53＝125.] 类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1；(3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．[跟进训练]3．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.60.4与0.40.6；[解] (1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π<－3， ∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y ＝0.6x 在R 上递减， ∴0.60.4>0.60.6.又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 图象的上方， ∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.又在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象在y ＝4x 的下方，类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[跟进训练] 4．若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围． [解] 因为ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x，所以a x ＋1>(a )3x －5.当a >1时，y ＝a x 为增函数，可得x ＋1>3x －5，所以x <3. 当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，可得x ＋1<3x －5，所以x >3.综上，当a >1时，x 的取值范围为(－∞，3)．当0<a <1时，x 的取值范围为(3，＋∞)．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．[跟进训练]5．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1； (4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |.[解] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到． (2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到． (3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x 的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，既可得到y ＝2|x |的图象．课堂达标练习1．(多选题)下列所给函数中为指数函数的是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝x 2 C ．y ＝2·2xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xAD [A 是指数函数，B 中自变量的位置不对，C 中系数不为1，D 符合．] 2．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x 是指数函数，则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2D ．12C [依题意，有⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，m >0且m ≠1，解得m ＝2(舍m ＝－1)，故选C.]3．函数y ＝2ax －12＋1(a ≠0)的图象必过定点________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 [令x －12＝0得x ＝12，当x ＝12时，y ＝2＋1＝3，故过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.]4．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0的解集为________．[0，＋∞) [1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫120－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫120，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以x ≥0.] 5．f (x )为指数函数，若f (x )过点(－2,4)，则f (f (－1))＝________. 14[设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 所以f (－2)＝4，a －2＝4，解得a ＝12， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.]回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．判断指数函数的标准是什么？[提示] 符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这种形式，即a x 的系数为1，指数是x 且系数为1.2．怎样理解指数函数的性质？[提示] 指数函数的性质分底数a >1,0<a <1两种情况，不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．怎样解形如a x >a y 的不等式？ [提示] 借助y ＝a x 的单调性求解．若a 不确定，分a >1或0<a <1两种情况讨论．第2课时 指数函数的图象与性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点) 1．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．2．通过指数函数研究实际问题提升数学建模素养.请画出y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象，归纳出函数y ＝a x ，y ＝a －x 的图象与它们具有哪些相同的特征？知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a 万元，银行贷款利率为月息p ，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为________万元．a (1＋p )20 [一个月后a (1＋p )，二个月后a (1＋p )(1＋p )＝a (1＋p )2，… 今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为a (1＋p )20万元．]类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．[跟进训练]1．(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．(2)求函数y ＝4－x －21－x ＋1在x ∈[－3,2]上的最大值和最小值．(1)(－3,0] [由⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，得－3<x ≤0.所以函数的定义域是(－3,0]．] (2)[解] y ＝4－x－21－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12， ∵x ∈[－3,2]， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，得y ＝(t －1)2，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴y ∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0. 类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．[跟进训练]2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．[解]设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克．经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．则人均占有粮食为360M(1＋4%)M(1＋1.2%)千克，经过2年后，人均占有粮食为 360M (1＋4%)2M (1＋1.2%)2千克，…经过x 年后，人均占有粮食为 y ＝360M (1＋4%)x M (1＋1.2%)x 千克，即所求函数解析式为 y ＝360⎝ ⎛⎭⎪⎫1.041.012x (x ∈N *)．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0，∴f (x )在定义域R 上为减函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13. (3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310， ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．[跟进训练]3．设a >0，函数f (x )＝4x a ＋a4x 是定义域为R 的偶函数． (1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． [解] (1)由f (x )＝f (－x ) 得4x a ＋a 4x ＝4－x a ＋a 4－x ，即4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＋14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝0，根据题意，可得1a －a ＝0， 又a >0，所以a ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝4x ＋14x ， 设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝4x 1＋14x 1－4x 2－14x 2 ＝(4x 1－4x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－14x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2， 所以4 x 1<4x 2， 所以4 x 1－4x 2<0. 又x 1＋x 2>0， 所以4x 1＋x 2>1，所以1－14x 1＋x 2＝4x 1＋x 2－14x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．[跟进训练] 4．函数y ＝3的单调递减区间是________，值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [1，3] [由x －x 2≥0得函数y ＝3x －x 2的定义域为0≤x ≤1，令y ＝3u ，u ＝x －x 2，因为y ＝3u 在R 上单调递增， u ＝x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，所以函数y＝3的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，又0≤x ≤1时，u ＝x －x 2＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以函数y ＝3x －x 2的值域为[1，3]．]课堂达标练习1．函数f (x )＝1－3x ＋1x ＋5的定义域为( ) A ．(－5,0) B ．[－5,0) C ．(－5,0]D ．[－5,0]C [令⎩⎨⎧1－3x ≥0，x ＋5>0，∴－5<x ≤0.]2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则f (x )的值域为( )A ．(0,1]B ．(1,2]C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)A [因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，x <0所以其图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)和y ＝2x (x <0)的图象合并而成．如图．]3．函数y ＝32－2x 2的单调递减区间是________．[0，＋∞) [令y ＝3u ，u ＝2－2x 2，因为y ＝3u 在R 上单调递增，u ＝2－2x 2在[0，＋∞)上单调递减，所以y ＝32－2x 2的单调递减区间是[0，＋∞)．]4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．2020 [设第n 年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n －2 016>200，化简得 (n －2 016)lg1.12>lg 2－lg 1.3，即n －2 016>0.30－0.110.05＝3.8，取n ＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年．]5．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值为n ，则m ＋n的值为________．12 [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∴m ＋n ＝12.]回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．怎样比较两个指数式值的大小？[提示] ①比较形如a m 与a n 的大小．应用指数型函数y ＝a x 的单调性． ②比较形如a m 与b n 的大小．一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n .若a m >c 且c >b n 则a m >b n .2．复合函数的单调性遵循什么原则？ [提示] 同增异减．6.3 对数函数第1课时 对数函数的概念、图象与性质学 习 任 务核 心 素 养1．理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 1．通过学习对数的概念，培养数学抽象素养．2．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．3．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算素养.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么？知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2不是对数函数．()[答案](1)×(2)√知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．2.(1)函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A．5B．1 5C．1πD．12(2)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．(1)A(2)(－1，＋∞)[(1)由图可知，a>1.(2)由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．3.y＝2x的反函数为________．y＝log2x[由y＝2x得x＝log2y.以x换y得y＝log2x.故y＝2x的反函数为y＝log2x.]类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x .[跟进训练]1．(1)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (2)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.(1)4 (2)－1[(1)由题意⎩⎨⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(2)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.]类型2 对数函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 12 x ＋1； (2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； (4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．[跟进训练]2．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log x －1(x ＋2)；(2)f (x )＝－lg (1－x )； (3)f (x )＝1log 2(x －1)；(4)f (x )＝11－log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)．[解](1)由题知⎩⎨⎧x －1>0，x －1≠1，x ＋2>0，解得x >1且x ≠2，∴f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}． (2)由⎩⎨⎧－lg (1－x )≥0，1－x >0，得⎩⎨⎧ lg (1－x )≤0，x <1⇒⎩⎨⎧1－x ≤1，x <1⇒0≤x <1. ∴函数的定义域为[0,1)．。