高二3月月考数学试卷文

2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（下）月考数学试卷（3月份）及参考答案第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知数列{}n a 中，452+-=n n a n ，则数列{}n a 的最小项是()A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项2.在数列{}n a 中，4211+==+n n a a a ，，若2022=n a ，则=n ()A.508B.507C.506D.5053.等差数列{}n a 的前11项和4411=S ，则=++873a a a ()A.9B.10C.11D.124.在等比数列{}n a 中．已知487531=+=+a a a a ，，则=+++1513119a a a a ()A.11B.6C.3D.185.已知数列{}n a 是递增的等比数列，1+2+3=14，123=64，则公比=()A.12B.1C.2D.46.若数列{}n a 对任意正整数都有1+22+33+…+B =2−1，则22+55=()A.17B.18C.34D.847.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为()A.25B.24C.20D.198.已知等差数列{}n a 的前项和为，若7+8>0，7+9<0，则取最大值时的值为()A.8B.5C.6D.7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9.正项等比数列{}n a的前项和为，已知3=2+101，4=3.下列说法正确的是()A.1=9B.{}是递增数列C.{+118}为等比数列D.{log3}是等比数列10.记为公差不为0的等差数列{}n a的前项和，则()A.3，6−3，9−6成等差数列B.33,66,99成等差数列C.9=26−3D.9=3(6−3)11.已知数列{}n a中，1=2，+1+1=1，∈+，则()A.2022=1B.1+2+3+…+2002=1011C.123…2022==1011D.12+23+34+…+20222023=−101112.如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为1，图2中正方形的个数为2，图3中正方形的个数为3，……，图中正方形的个数为，下列说法正确的有()A.5=63B.图5中最小正方形的边长为14C.1+2+3+……+10=2036D.若=255，则图中所有正方形的面积之和为8第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共24.0分）13.设数列{}n a满足1=2=2+2K1，则3=．14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？“意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？“在这个问题中，若大夫出6钱，则上造出的钱数为．15.数列{}n a中，=−12+1−32(≥2,∈∗)，且1=1，则数列的通项公式为=．16.已知数列{}n a满足1=1，且+1=++1，则=，数列{1}的前项和=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

重庆市南开中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.553．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n nn n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()12，6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．207．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－18．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<二、填空题13．函数()f x =__________．14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占25．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD.（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.。

云南省玉溪一中2013-2014学年下学期高二年级3月月考数学试卷（文科，有答案）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |0862<+-x x ｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3}C ．｛x |1＜x ＜3}D ．｛x |2＜x ＜3} 2．在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为 （ ）A ．(1，3)B ．(3，1)C ．(－1，3)D ．(3，－1) 3. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．244．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．415.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a <<7. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ）A.14B. 18C. 4D. 88.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.1 B ．23 C ．21 D ．43 9. 已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且 y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )． A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.8010. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),31[+∞- B ．]31,(--∞C ．1[,)3+∞D ． 1(,]3-∞11．已知函数()y xf x ='的图象如图所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A. B. C. D.12. 椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第一次月考一、单选题1. 等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=，故选：C2．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1010S =，2030S =，则30S 的值为（ ） A ．50 B ．70 C ．90 D ．110【答案】B【解析】由等比数列的片段和性质得10S ，1200S S −，3020S S −成等比数列 所以()()22010103020S S S S S −=− 所以()()23030101030S −=−， 解得3070S =. 故选：B.3．用数学归纳法证明“1111112331n n n n ++++>++++”时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．134k + B ．11341k k −++ C ．111323334k k k +++++ D ．11232343(1)k k k +−+++ 131k +++111+31323k k k ++++111+31331111233123k k k k k k k ⎫++−⎪+++⎭⎫+++⎪++++⎭故选：D4．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若101210131a a <−，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2022 B ．2023C ．2024D ．20255. 已知数列{}n a 为正项递增等比数列，123212a a a ++=，12311176a a a ++=，则该等比数列的公比q =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】由题意10,1a q >>， 由123212a a a ++=，1312321231322111716a a a a a a a a a a a a +++++==+=， 得2221726a =，所以23a =（23a =−舍去），所以132********q a a q =−=++=， 整理得22520q q −+=，解得2q （12q =舍去）， 所以2q.故选：A.6．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ） A ．204万元 B ．220万元C ．304万元D ．320万元7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12cos 3n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ） A. 0 B.12C. lD. 32【答案】C【解析】解：()()()20231234567202120222023S a a a a a a a a a a =++++++++++2π5π1coscos 33=++++2018π2021πcoscos33+ 2π5π1337cos cos 133⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭．故选:C ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．76D ．2【答案】C【解析】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n −=+−，两式相减得11n n n a a a +−=+，二、多选题9．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（ ） A ．{}1n n a a +的公比为9 B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a −+=+=−∑2020++=，n a 的前201919033⨯⨯=，因为()1313n n a −++}1n n a a ++的前)13213n −=−10．下列命题中正确的是（ ）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3212D X += B ．若随机事件A ，B 满足：()12P A =，()23P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 相互独立C ．若事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则()()P A B P A =D ．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 的拟合效果越好11. 已知数列1C ：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则f ：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列()1k k C f C +=，1,2,3,k =，且n C 的所有项的和为n S ，则以下判断正确的是（ ）A. n C 的项数为153n −⋅B. 4136S =C. 5C 中0的个数为203D. 1531n n S −=⋅−【答案】ABC【解析】设数列{}n C 的项数为一个数列{}n a ，因为1C 中有5项，即15a =， 根据题意：在f 作用下，每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,2,0”， 所以有()13Nn n a a n *+=∈，由此可知数列{}n a 为首相15a =，公比3q =的等比数列， 所以n C 的项数为153n n a −=⋅，故A 正确；根据变换规则，若数列的各项中，2与0的个数相同， 则与之相邻的下一个数列中2与0的个数也相同；若2比0多n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数少n 个， 若2比0少n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数多n 个，因为1C 中有5项，其中2个2，3个0，2比0少1个， 所以2C 的15项中，2比0的个数多1个，以此类推，若n 为奇数，则数列的各项中2比0少1个， 若n 为偶数，则数列的各项中2比0多1个，4C 中4n =，项数为353135⋅=个，n 为偶数，所以2的个数为1351682+=， 所以4682136S =⨯=，所以B 正确；5C 中共有453405⋅=项，其中5n =为奇数，所以数列中有40512032+=个0，所以C 正确； D 选项，n S 的值与n 的奇偶有关()()11531531n n n n S n −−⎧⋅−⎪=⎨⋅+⎪⎩为奇数为偶数，所以D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 三、填空题12．已知等差数列{}n a 中，24a =，616a =，若在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为___． 【答案】31【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则62123624a a d −===−， 在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{}n b 的公差为344d =， 故新数列的首项为431−=，故通项公式为()33111444n b n n =+−=+， 故4131413144b =⨯+=. 故答案为：3113．箱子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球、2个白球.从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ．14．已知n S 是各项均为正实数的数列{}n a 的前n 项和，221111,60n n n n a a a a a ++=−−=，若*,2270n n n n S a ma ∀∈−+≥N ，则实数m 的取值范围是 ．(2)记n n n b a c ⋅=，n T 为n c 的前n 项和，求n T .【解】（1）解：由已知可得32112127a b a b d q d q =++=++=+①， ()()22231122212a b a d b q d q −=+−=+−=②，联立①②，得()()26320q q q q +−=+−=，解得3q =−或2q，2q，代入①式可得在曲线()y f x =上(1)3f '⇒−=，21a a ++−(1n ⋅++=，)1+；()(1nn −−⋅，)()(1212233445212222k k k k k ⎡+++⋅⋅−⋅+⋅−⋅++−⋅−⋅+⎣[]12224222k +⋅−⋅−⋅−−⋅()()222224221k k k k k k k k =+−+++=+−+=，即T 2n =n 2.18．已知数列{}n a 的前 n 项和为n S ，()*∈−=N n S a n n 2.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数λ ,使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ为等差数列？若存在， 求出λ的值； 若不存在，请说明理由； （3）已知数列{}n b ，()()1121++=+−n n nn a a b ，其前 n 项和为n T ，求使得442m T m n<<−对所有*N n ∈都成立的自然数m 的值.的一动点，PAB 面积的最大值为C 交于,D 两点，记ODE 的面积为,DN EN 的斜率分别为12,k k .联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()234m y +所以()()222Δ3636341441m m m =++=+且12122269,3434m y y y y m m +=−=−++， ODES=1,t t =≥2631t t =+试卷第11页，共11页。

上海市晋元高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知8876mP =⨯⨯，则m =.2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论赛，若4人中男生和女生各选2人，有种选法．3．2名男生和2名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为．4．在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.5．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是.（用分数表示）6．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取3个不同元素分别作为直线方程0Ax By C ++=中的A 、B 、C ，则经过坐标原点的不同直线有条（用数值表示）.7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =．8．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是7、8、9的概率依次是1P 、2P 、3P ，则1P 、2P 、3P 中最大的为.（请用分数表示）9．满足方程2216171718C C C x x -+=的x 的值为.10．若等式()()()()()2345501234511111x a a x a x a x a x a x =++++++++++对一切x ∈R 都成立，其中0a ，1a ，2a ，⋯，5a 为实常数，则4a =.（用数值表示）11．空间内存在三点A 、B 、C ，满足1AB AC BC ===，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 可以组成正四棱锥，求方案数为．12．已知抛物线22(0)y px x =>，(2,1)P 为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于A 、B 两点，直线AP 、BP 分别交抛物线于C 、D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得AP PC λ=u u u r u u u r ，(0,1)=≠>u u ur u u u r BP PD λλλ成立，则p =．二、单选题13．如果事件A 与事件B 互斥，那么（ ）条件.A ．()1P AB ⋃= B ．()0P A B =IC ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定独立14．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（ ）A ．112B ．12C ．23D ．3415．二项展开式15中，有理项的项的个数是A ．3B ．4C ．5D ．616．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为35，之后每局甲赢的概率为25，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（ ）A ．162625B ．234625C ．324625D ．396625三、解答题17．有九张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中各抽取一张卡片（不放回）．(1)求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； (2)求甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1F ，直线:l 1y =-.P 是平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且满足QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为曲线C ，过点F 作直线m ，与曲线C 交于,A B 两点，求证：OA OB⋅u u u r u u u r为定值.19．（1）若012C C C C nn n n n ++++L =64，其中n 是正整数，求2()n x x-展开式的常数项；（2）若2()n x x -展开式中第2项系数为12-，求()121n x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数.20．红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取L ，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数； (2)求甲取得胜利的概率(3)另有一黄袋中有2个白球2个黑球，从黄袋中取出1球放入红袋，再从红袋中取出1球，求取出的球为白球的概率21．已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的长轴长为，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B . (1)求Γ的方程；(2)若直线l 的方程为y x t =+，点()0,1M 关于直线l 的对称点N （与M 不重合）在椭圆Γ上，求t 的值；(3)设()3,0P -，直线P A 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，若点C ，D 和点71,32Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，求k 的值.。

2021-2022学年四川省巴中市通江县通江中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则2{|20}A x x x =--≤{|128,}x B x x Z =≤≤∈A B =A ．B ．C ．D ．[1,3]-{0,1}[0,2]{0,1,2}D【分析】解一元二次不等式求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得.A B 【详解】因为集合，{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}{}|128,|03,0,1,2,3x B x x Z x x x Z =≤≤∈=≤≤∈=所以，{}0,1,2A B = 故选D.该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．“直线与圆相切”是“”的（ ）430x y m ++=2220x y x +-=1m =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】先表示出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，结合充分必要条件的判断即可求解.【详解】，圆心，半径为1，由直线与圆()2211x y -+=()1,0430x y m ++=，解得或，故“直线与圆2220x y x +-=11m =9-430x y m ++=相切”是“”的必要不充分条件.2220x y x +-=1m =故选：B.3．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下40307035-50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）A ．该教职工具有本科学历的概率低于60％B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％D【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.【详解】A.该教职工具有本科学历的概率，故错误；75562.5601208p %>%===B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；45337.5501208p %<%===C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；1018.31012012p %<%==≈D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.15112.5101208p %>%===本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.4．函数的图象大致为（ ）()21x f x x-=A ．B ．C ．D ．A【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再利用函数的单调性判断.【详解】函数的定义域为，且，()21x f x x-={}|0x x ≠()()()2211x x f x f x xx----===-所以是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除BC ，()f x 当时，，在上递增，排除D ，0x >()211x f x x x x -==-()0,∞+故选：A5．若点（）是抛物线（）上一点，且点P 到该抛物线()P m 0m ≠22ypx =0p >焦点的距离为3，则（ ）p =A ．1B ．2C ．3D ．6B【分析】首先根据点在曲线上得到，再根据抛物线的焦半径公式得到m p =，联立两个方程即可求出答案.32pPF m =+=【详解】因为（）是抛物线（）上一点，所以()P m 0m ≠22ypx =0p >即，222m pm =m p =设抛物线的焦点为F ，由抛物线的焦半径公式可得：，解得.322p p pPF x m =+=+=2p =故选：B.6．若函数的极小值点是，则的极大值为（ ）()2()1xf x x ax e =--1x =()f x A ．B ．C ．D ．e -22e -25e-2-C求得函数的导数，根据，求得，进而得出2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦()01f '=1a =函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，()2()1xf x x ax e =--2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦所以，解得，故，(1)(22)0f a e '=-=1a =()2()1xf x x x e =--可得，()())1(2x f x e x x '=+-则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-()2,1-(1,)+∞所以的极大值为．()f x 2(2)5f e --=故选：C.7．某程序框图如图所示，若，则输出的（ ）2021N =S =A ．B ．2019202020202021C ．D ．2021202220222023C【分析】按照程序框图执行算法，可知输出的为S ，结合裂项求和法可求得结果.111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ 【详解】根据算法框图执行程序如下：第次循环，不成立，，；112021k =>112S =⨯112k =+=第次循环，不成立，，；222021k =>111223S =+⨯⨯213k =+=第次循环，不成立，，；332021k =>111122334S =++⨯⨯⨯314k =+=以此类推，执行最后一次循环，，111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ ；202112022k =+=成立，跳出循环体，输出20222021k =>111112233420212022S =++++⨯⨯⨯⨯ .11111112021122334202120222022=-+-+-++-=故选：C.结论点睛：常见的裂项公式：（1）；()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭（2）；()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭（3）；()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦（4.(1k =8．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的{}n a 231a a a ⋅=4a 72a 581234a a a a ⋅⋅⋅值为（ ）．A ．5B ．512C ．1024D ．64D【分析】设等比数列的公比为q ，根据已知求出，求出即得解.{}n a 1,a q n a 【详解】解：设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，解得，231a a a ⋅=223111a a a q a q a =⋅=3141a q a ==因为与的等差中项为，则有，4a 72a 58475228a a +=⨯即，解得，3445228a a q +⋅=⨯12q =所以，故，4138a a q ==141822n nn a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭则，，，，18a =24a =32a =41a =所以．1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：D ．9．已知双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 作圆的切()222210,0x y a b a b -=>>222x y b +=线，若两条切线互相垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．3A【分析】根据过点F 作圆求解.222x y b +=c =【详解】如图所示：，所以，c =222b c =即，即，()2222c a c -=222a c =所以，e=ca =故选：A10．已知实数，满足，，则下列正确的结论a b 13220a b +⨯-=()22log 23a c x x =+-+是（ ）A ．B ．a b c >>b a c >>C ．D ．a c b >>c b a>>B【分析】利用指数函数的单调性判断，的关系，利用对数函数性质判断，的关a b a c 系，从而得到结果.【详解】，112322032222123a b a b a b a b +-⨯-=⇒⨯=⨯⇒<=<⇒<，()()22222log log 12322log 1a c x c a x c cx c ⎡⎤-++=+⇒>⎣=+=+-≥+⎦故.b a c >>故选：B.11．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为,a b ,a b c 2,a c b c ⋅⋅ ＝＝c（ ）A ．BC ．D ．12D【分析】根据是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方,a b程进行求解即可.【详解】是相互垂直的单位向量，,a b不妨设，，()1,0a =()0,1b =设，由 (),c x y = 2,a c b c ⋅⋅ ＝＝可得，即，2x y ==()2,2c =则.c ==故选：D12．已知圆锥的轴截面是边长为要求圆柱的一个底面要放在圆锥的底面内，则能放置圆柱的最大体积为（ ）A ．B ．C ．D ．43π2π73π3πA【分析】由已知条件求出圆锥的底面半径和高，画出轴截面，设圆柱的底面半径为，x 则利用三角函数可表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的体积，进而可求出其最大值【详解】因为圆锥的轴截面是边长为，3=要使圆柱的体积最大，就要使圆柱与圆锥相切，则组合体和轴截面如图所示，则，3OB OC AO ===3C π=设圆柱的底面半径为（，则，，x 0x <<OD OE x ==CEx =-所以，)tan)3EF x x π==所以圆柱的体积为，（），2223))V OE EF x x x ππ=⋅⋅=⋅-=-0x <<则，23)3)V x x x '=-=令，得（舍去）或，0V '=0x =x =当时，，0x <<0V '>x <0V '<所以在上递增，在上递减，23)V x =-⎛ ⎝所以当时，取得最大值，x=23)V x =-2343π⎤⎥-=⎥⎣⎦所以圆柱的最大体积为，43π故选：A 二、填空题13．写出中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P (1，-4)的等轴双曲线的标准方程：____________.2211515y x -=【分析】由等轴双曲线知，分焦点位置讨论，再代入点P (1，-4)即可.a b =【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，无解；当x 22221x y a a -=221161a a -=焦点在轴上时，设双曲线方程为：，则，解得；故双y 22221y x m m -=221611m m -=215m =曲线方程为.2211515y x -=故答案为.2211515y x -=14．若曲线在点处的切线斜率为2，则______．()()10af x a x =-≠()()1,1f --=a 2-【分析】先求导，利用导数的几何意义得到，从而求出的值.()12f '-=a 【详解】∵，∴，解得:．()2a f x x '=-()()2121af '-=-=-2a =-故．2-15．2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师名，女教师名做义工，和需满足条件，则该校安排教师最多为x y x y 2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩__________人13【分析】作出不等式组所表示的可行域，可知目标函数为，结合图形找出使得z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数计算即可.z x y =+()(),,x y x N y N ∈∈【详解】由于和需满足约束条件，画出可行域为：x y 2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩对于需要求该校招聘的教师人数最多，设目标函数为，得，z x y =+y x z =-+则题意转化为：在可行域内任意取、且为整数，使得目标函数的斜率为定值，x y 1-截距最大时的直线为过 的交点A，此时取最大值，即6250x x y =⎧⎨--=⎩()6,7z.max 6713z =+=故答案为.13本题考查线性规划问题，考查线性规划中的整数解的问题，考查数形结合思想的应用，属于中档题.16．已知函数是R 上的减函数，､是其图象上的两点，那么不等式()f x (0,2)A -(3,2)B -的解集为___________.()e 22x f ->(ln 2,)+∞【分析】不等式取绝对值符号得或，再根据题()e 22x f ->()e 22x f ->()e 22x f -<-意可得或，解之即可得解.e 23x -<-e 20x->【详解】解：因为，()e 22x f ->所以或，()e 22x f ->()e 22x f -<-又因为，，且函数是R 上的减函数，()02f =-()32f -=()f x 所以或，e 23x -<-e 20x->所以，ln 2x >所以不等式的解集为.()e 22x f ->(ln 2,)+∞故答案为.(ln 2,)+∞三、解答题17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，设圆的半径为，圆心xOy O ()0,3A C 1在直线上.(),C a b :24=-l y x (1)若圆心也在直线上，求圆的方程；C 5y x =-+C (2)在上述的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程；A C (1)；()()22321x y -+-=(2)或.3y =34120x y +-=【分析】（1）通过求两直线的交点得到圆心坐标，从而可求出圆的方程；（2）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，从而求切线方程.【详解】(1)由，得圆心，245y x y x =-⎧⎨=-+⎩()3,2C 又因为圆的半径为，C 1所以圆的方程为C ()()2232 1.x y -+-=(2)由题意知，切线的斜率一定存在，所以设所求切线方程为，3y kx =+即，得或，30kx y -+=0k =34k =-所以所求切线方程为或，即或3y =334y x =-+3y =34120x y +-=18．已知在等差数列中，，．{}n a 35a=1763a a =（1）求数列的通项公式：{}n a （2）设，求数列的前n 项和．2(3)n n b n a =+{}n b n S （1）；（2）.21n a n =-1nn +（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出{}n a d 317653a a a =⎧⎨=⎩1a d 和，即可求出的通项公式；1a d {}n a （2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.111n b n n =-+【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 由，可得317653a a a =⎧⎨=⎩()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得，1a 1,d 2==所以等差数列的通项公式可得;{}n a 21n a n =-（2） 由（1）可得，211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++所以.111111...22311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.19．已知函数最大值为，对称中心与对称轴间的最短()sin (,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭2距离为．4π（1）求函数的单调递增区间；()y f x =（2）已知的内角，，所对的边分别为，，，，为的ABC A B C a b c ()1f B =D BC 中点，且，求的值．AD b =sin sin BACC ∠（1），；（2）.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 23【分析】（1）由最大值得，由周期得，得函数解析式，然后结合正弦函数的增区A ω间求解．（2）由（1）求得，由正弦定理关键是求得，取中点，由等腰三角形性3B π=ac CD E 质易得结论．【详解】（1）由题知，，则2A =12444T ππω=⨯=2ω=故．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，，解得，222262k x k πππππ-≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-≤≤+k ∈Z所以的单调递增区间为，．()y f x =,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2）．1()1sin 262f B B π⎛⎫=⇒+=⎪⎝⎭．13(0,)2,666B B ππππ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ ，，5266B ππ∴+=3B π=作线段的中点，因为，故．CD E AD AC =AE CD ⊥因为， 即．cos 3BE AB π=312423aa c c =⇒=由正弦定理知．sin 2sin 3BAC a C c ∠==思路点睛：本题考查由三角函数性质求函数解析式，函数的单调性，正弦定理的应用．在求三角形内角正弦之比时常常利用正弦定理化角为边，然后只要求得边的比值即可得．20．已知过圆C 1：x 2+y 2＝1上一点的切线，交坐标轴于A 、B两点，且1(2E A 、B 恰好分别为椭圆C 2：（a ＞b ＞0）的上顶点和右顶点．22221x y a b +=（1）求椭圆C 2的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点Q （﹣1，0），求证：PM ⊥PN ．（1）；（2）证明见解析.221443x y +=【分析】（1）设切线方程为yk （x ﹣），由圆心到直线的距离等于半径，建立12方程，解出k ＝A （0，和B （2，0），直接写出椭圆的方程；（2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）用设而不求法表示出，整理化简可得，即可证明PM PN0PM PN = PM⊥PN ．【详解】（1）设过点的切线方程为yk （x ﹣），即12E ⎛ ⎝12kx ﹣y ＝0，12k 因为圆心到直线的距离等于半径，，解得k ＝所以切线方程为，0x y -=令x ＝0，得y A （0，令y ＝0，得x ＝2，B （2，0）．所以b a ＝2，所以椭圆C 2方程为：．221443x y +=（2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）联立直线与椭圆的方程得：（m 2+3）y 2﹣2my ﹣3＝0，y 1+y 2＝，y 1y 2＝，223m m +233m -+x 1+x 2＝（my 1﹣1）+（my 2﹣1）＝m （y 1+y 2）﹣2，x 1x 2＝（my 1﹣1）（my 2﹣1）＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1，＝（x 1+2，y 1）•（x 2+2，y 2）＝（x 1+2）（x 2+2）+y 1y 2PM PN＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2，＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1+2[m （y 1+y 2）﹣2]+4+y 1y 2，＝（m 2+1）y 1y 2+m （y 1+y 2）+1，＝（m 2+1）（）+m （）+1，233m -+223mm +＝＝0，222233233m m m m --++++所以PM ⊥PN ．21．已知函数，（为自然对数的底数）．()2f x x x=-()e 1x g x ax =--e （1）讨论函数的单调性；()g x （2）当时，恒成立，求实数的取值范围．0x >()()f x g x ≤a （1），在上单调递增；0a ≤()g x (),-∞+∞，当时， 单调递减；时， 单调递增.0a >(],ln x a ∈-∞()g x ()ln ,x a ∈+∞()g x （2）(],e 1a ∈-∞-【分析】（1）对求导，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（2）当()g x a 0,0a a ≤>时，将分离常数，变为，利用导数求得右边表达式0x >()()f x g x ≤a e 11x a x x x ≤--+的最小值，由此求得的取值范围.a 【详解】（1）.()e x g x a '=-①若，则，在上单调递增；0a ≤()0g x '>()g x (),-∞+∞②若，当时，，单调递减；0a >(],ln x a ∈-∞()0g x '<()g x 当时，，单调递增.()ln ,x a ∈+∞()0g x '>()g x （2）当时，，即.0x >2e 1xx x ax -≤--e 11x a x x x ≤--+令，则.()e 11(0)x h x x x x x =--+>()()22e 11x x x h x x '--+=令，则.()()2e 11(0)x x x x x ϕ=--+>()()e 2x x x ϕ'=-当时，，单调递减；()0,ln2x ∈()0x ϕ'<()x ϕ当时，，单调递增.()ln2,x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ又，，()00ϕ=()10ϕ=所以，当时，，即，所以单调递减；()0,1x ∈()0x ϕ<()0h x '<()h x 当时，，即，所以单调递增，()1,x ∈+∞()()()1e 10x x x x ϕ=--->()0h x '>()h x 所以，所以.()()min 1e 1h x h ==-(],e 1a ∈-∞-本小题主要考查利用导数求解含有参数的函数的单调性问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.对于导函数含有参数的题目，往往要对参数进行分类讨论，制定分类讨论的标准关键点是根据参数对导函数零点分布的影响情况来分类.22．已知函数，，其中.()ln af x x x =+()sin xg x e x =+a ∈R (1)试讨论函数的单调性；()f x(2)若，证明.1a =()()g x f x x<(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证，只要证，由于时，()()g x f x x <sin ln 10x e x x x +-->(0,1)x ∈，当时，令，再利用导sin ln 1110x e x x x +-->-=[1,)x ∈+∞()sin ln 1xg x e x x x =+--数求出其最小值大于零即可【详解】(1)的定义域为()ln af x x x =+(0,)+∞221()a x af x x x x-'=-= 当时，，在上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，令，解得；令，解得；0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；0a ≤()f x (0,)+∞当时，在上单调递减，在上单调递增；0a >()f x (0,)a (,)a +∞(2)，，即证：1a = 1()ln f x x x ∴=+1sin ln x e x x x x ++<，即证：0x >sin ln 10xe x x x +-->当时，，，(0,1)x ∈e 1x>sin 0x >ln 0x x <sin ln 1110x e x x x ∴+-->-=当时，令，则[1,)x ∈+∞()sin ln 1xg x e x x x =+--()e cos ln 1x g x x x '=+--1()sin 110x g x e x e x''=--≥-->在上单调递增()cos ln 1x g x e x x '∴=+--[1,)+∞()(1)cos1010g x g e ''∴≥=+-->在上单调递增()sin ln 1x g x e x x x ∴=+--[1,)+∞()(1)sin1010g x g e ∴≥=+-->综上所述：，即sin ()x e x f x x +<()()g x f x x <。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二下学期3月月考数学试卷1.已知点，若向量，则点B的坐标是（）.A．B．C．D．2.设，为的导函数，若，则（）A．B．C．e D．3.用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）A．B．C．D．4.可表示为（）A．B．C．D．5.在三棱柱中，记，，，点P满足，则（）A．B．C．D．6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种B．种C．种D．种8.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（）A．B．C．D．9.设数列的前n项和为，已知，，，则（）A．B．C．数列是等比数列D．数列是等比数列10.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）A．直线AB的一个方向向量为B．线段AB的长度为3C．平面α的法向量中D．向量与向量夹角的余弦值为11.甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（）A．共有72种安排方法B．若甲被安排在学校，则有12安排方法C．若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法D．若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法12.已知，那么________；13.如图，已知空间四边形ABCD中，，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量表示)14.已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于____.15.甲组有3名男生．3名女生；乙组有4名男生，2名女生．(1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？(2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？(3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？16.记等差数列的前n项和为，，．设．(1)求的值；(2)记为数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，求实数t的值．17.已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．18.已知函数．(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个零点，求a的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．(1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；(2)求点到平面的距离；(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题B．A．62二、多选题6．从点P（1，2，3）出发，沿着向量v ＝（－4，－1，8）方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为（）A．（－1，－2，3）B．（9，4，－13）C．（－7，0，19）D．（1，－2，－3）三、单选题四、多选题五、单选题12．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，平面α的法向量为()6,4,1u =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥六、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面α的一个法向量是()1,1,2n =-，且平面α过点(0,3,1)A 若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是_______.14．已知向量()2,1,1a =- ，()1,2,b t = ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.15．若异面直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角为150°，则1l 与2l 所成的角为______.16．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为___________.七、解答题(1)求证：MN AB ⊥，MN (2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值20．如图，已知正方形ABCD M 是线段EF 的中点.(1)求证：AM BD⊥.(2)求证：AM⊥平面21．已知正方形ABCDBC的中点.（1）求点D到平面PEF（2）求直线AC到平面22．如图，在平行六面体＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．参考答案：故选：ABC111D B D D DB AA AB =+=-+- 11122EF EA AF D A AC =+=+ （2）()1111122D F D D D B =+= 11,,122x y z ∴==-=-18．(1)(2,4,1),(2,4,a b ==-- (2)219-【分析】（1）利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；由2AB =，1AF =，得()0,0,1E ，()2,2,1F 所以22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以2(AM BD ⋅=⨯- 所以AM BD⊥（2）由（1）知，AM = 设(),,n x y z = 是平面BDF 所以222n BD x y n DF y z ⎧⋅=-⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1y =，得1x =，z =-因为22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以AM ⊥平面BDF .21．（1）31717；（2）17【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点(2)平面A 1DA 的一个法向量为 设(),,x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又()(13,1,3,A B BD =--=- 则10,0,m A B m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即3333x y x y ⎧--⎪⎨-+⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，所以()3,3,2m =为平面BA 1D 从而(3,0,0,AE m cos AE m AE m ⋅== 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ因为[]0,θπ∈，所以1sin θ=。