答案 十五单元 基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划不等式(二)一.基本不等式(abb a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)积定,和有最小( 1.设414,4-+-=>x x y x 2.设41,4-+=>x x y x 3.1,1>>b a ,则ab b alog log+的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x xx y C ．xxe ey -+=2D ．2log 2log2x x y +=5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x1 B ．y= sinx ＋xsin 1,x ∈(0,2π) C ．y=2322++x xD ．y=xx 1+6.若lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．21D ．27.(10.重庆)已知0>t ,则函数tt t y 142+-=的最小值为 ． 8.若1<x ,则22222-+-=x x x y 有( )A.最小1B.最大1C.最大1-D.最小1-9.已知),0,0(1>>=+y x y x 则yx 21+的最小 ． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则ba 11+的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．41 已知312,0,0=+>>y x y x ,则yx 11+的最小 ． 若实数a 、b 满足的最小值是则b ab a 22,2+=+（ ） A ．8 B ．4 C ．22 D ．422 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号)1.设,20<<x 则函数)38(3x x y -=的最大值为 ． 2.设,20<<x 则函数)38(x x y -=的最大值为 ．3.建造一个容积83m ，深为m 2长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元。

专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式文考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

线性规划、基本不等式(易错题)含答案一、线性规划1. 设x y 、满足00+1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则2x y x +-的取值范围是 .2.已知a>0,x,y 满足约束条件1+3(3)≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩x x y y a x 若2=+z x y 的最小值为1,则a=( )A ．14B ．12C ．1D ．2 3. 变量x y 、满足约束条件2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则使目标函数z ax y =+（0a >）取得最大值的最优解有无数个，则a 的值为 .4.如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为 .5. 设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ） A. 3(0,]2 B. 3(0,)2 C. 3[,)2+∞ D. (0,)+∞二、不等式1.集合{22}A x x =-≤，2{,12}B y y x x ==--≤≤，则AB =（ ）A. RB. {0}x x ≠C. {0}D. ∅2.下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 4y x x =+ B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 22x x y e e -=+ D. 3log 4log 3(01)x y x x =+<<3.若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立,则a 的取值范围是 .4．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( ) A ．23＋2 B ．23－2 C ．2 3 D ．26.函数y=a x-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0上,其中mn>0,则+的最小值为( ) A.2 B.3 C.3+2 D.67.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．线性规划、不等式(参考答案)一、线性规划1、[-1,0]2、B3、 24、135、A 2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时,z 取得最小值,而点A 的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=,故选B ．二、不等式1、C2、C3、[-5,+∞)4、C5、A6、C7【解析】(1)∵x >0，y >0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立．∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18，当且仅当2x y ＝8y x ，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.。

不等式与线性规划考情解读(1)在高考中主要考查利用不等式的性质进展两数的大小比拟、一元二次不等式的解法、根本不等式与线性规划问题．根本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和最优解求参数的值或取值X 围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； ②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )．(4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值．4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一 一元二次不等式的解法例1(1)(2013·某某)一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，如此f (10x)>0的解集为________．(2)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，如此f (2－x )>0的解集为________．思维启迪 (1)利用换元思想，设10x＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0.答案 (1){x |x <－lg 2}(2){x |x <0或x >4}解析 (1)由条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )， 化简得(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，如此f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的根底知识，也是高考的热点，“三个二次〞的相互转化表现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．(2)p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mxp ∧q 为真命题，如此实数m 的取值X 围是______________________________________________________________． 答案 (1)(－12，1](2)(－2,0)解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]．(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<mp ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二 根本不等式的应用例2(1)(2014·某某)某项研究明确：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以一样速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，如此最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，如此最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·某某改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，如此当xy z取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为________．思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造根本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xy z取得最大值时的条件． 答案 (1)①1 900②100(2)1 解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时，比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 如此xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，所以当且仅当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华 在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号取得的条件)的条件才能应用，否如此会出现错误．(1)假如点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，如此mn 的最大值为________．(2)关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，如此实数a 的最小值为________． 答案 (1)3(2)32解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. (2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32.热点三 简单的线性规划问题例3(2013·某某)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，如此租金最少为________元． 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案 36 800解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时，租金为z 元，如此z ＝1 600x ＋2 400y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N画出可行域如图，直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值X 围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4y ≥0，如此w ＝y ＋1x的最小值是________． (2)(2013·)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值X 围是________． 答案 (1)1(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23解析 (1)画出可行域，如下列图．w ＝y ＋1x表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知PA 的斜率最小为－1－00－1＝1. (2)当m ≥0时，假如平面区域存在，如此平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如下列图的阴影局部为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进展转化． 2．根本不等式的作用二元根本不等式具有将“积式〞转化为“和式〞或将“和式〞转化为“积式〞的放缩功能，常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用根本不等式的切入点，并创造根本不等式的应用背景，如通过“代换〞、“拆项〞、“凑项〞等技巧，改变原式的结构使其具备根本不等式的应用条件．利用根本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等〞的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的根本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值. 真题感悟1．(2014·某某改编)实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，如此如下关系式恒成立的是________． ①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)； ③sin x >sin y; ④x 3>y 3. 答案 ④解析 因为0<a <1，a x <a y，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立．②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立．③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立．④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故④恒成立．2．(2014·某某)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，如此实数a的取值X 围是________． 答案 [1，32]解析 画可行域如下列图，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，如此a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值X 围是1≤a≤32.押题精练1．为了迎接2015年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，生产该产品还需投入本钱(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件，如此促销费用投入________万元时，厂家的利润最大？ 答案 1解析 设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋2PP)万元，所以y ＝2×(10＋2PP)×P －10－2P －x ＝16－4x ＋1－x (x >0)，所以y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13(当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．2．假如点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，如此OA →·OP →的最大值为________． 答案 6解析 由题意，知OA →＝(3，3)，OP →＝(x ，y )，如此OA →·OP →＝3x ＋3y . 令z ＝3x ＋3y ，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y ＝－3x ＋33z 经过点B 时，z 取得最大值． 由⎩⎨⎧3x －y ＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1，3)，故z 的最大值为3×1＋3×3＝6.即OA →·OP →的最大值为6.3．如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )，(1b ，1a)，那么称这两个不等式为“对偶不等式〞，如果不等式x 2－43x cos 2θ＋2<0与不等式2x 2＋4x sin 2θ＋1<0为“对偶不等式〞，且θ∈(π2，π)，如此θ＝______________________________________________. 答案5π6解析 由题意可知ab ＝2，a ＋b ＝43cos 2θ， 1b ＋1a＝－2sin 2θ，即a ＋bab＝－2sin 2θ， ∴23cos 2θ＝－2sin 2θ，tan 2θ＝－ 3. ∵θ∈(π2，π)，∴2θ∈(π，2π)，2θ＝5π3.∴θ＝5π6.(推荐时间：50分钟)一、填空题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，(x <0)，x －1，(x ≥0)，如此不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．答案 {x |x ≤2－1}解析 当x <－1时，原不等式可化为x ＋(x ＋1)·(－x )≤1，解得x 2≥－1恒成立， 所以x <－1.当x ≥－1时，原不等式可化为x ＋(x ＋1)·x ≤1， 解得－2－1≤x ≤2－1， 所以－1≤x ≤2－1.综上，原不等式的解集为{x |x ≤2－1}． 2．如下不等式一定成立的是________．①lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 应用根本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意根本不等式的应用条件与取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故①不正确； 运用根本不等式时需保证“一正、二定、三相等〞， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确； 由根本不等式可知，③正确； 当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 3．(2013·某某改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，如此a ＝________. 答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2014·某某改编)假如log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，如此a ＋b 的最小值是________． 答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0x －1≥0，如此z ＝x ＋2y －1的最大值为______________________________________________________________． 答案 8解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0，x －1≥0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A (1,4)时取得最大值，故z ＝x ＋2y －1的最大值为1＋2×4－1＝8. 6．f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，如此不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________．答案 (1e，e 2) 解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1，∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数，∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 7．假如x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，如此实数a 的值为________．答案 1 解析 画出满足条件的可行域如图阴影局部所示，如此当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.8．假如点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，如此1m ＋1n的最小值为________． 答案 32＋ 2 解析 ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，∴2m ＋n ＝2，又∵mn >0，∴m >0且n >0.∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m＋1) ≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2， 当且仅当2m n ＝n m，即n ＝2m 时取等号， ∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 二、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)假如C ⊆∁R A ，求a 的取值X 围．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0，得－4<x <2，即A ＝(－4,2)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时，y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 由(1)知∁R A ＝(－∞，4]∪[2，＋∞)当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}， 假如C ⊆∁R A ，如此1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤aa 的取值X 围为[－22，0)． 10．函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)假如z ＝a ＋2b ，求z 的取值X 围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值X 围为(167，8)． 11．某工厂生产某种产品，每日的本钱C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2， 解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以 L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x)·188－x＋18＝6，当且仅当2(8－x)＝188－x，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.所以当x＝5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。

线性规划和基本不等式一、知识点1、二元一次不等式表示平面区域：直线定界，特值定域。

2、ab b a 222≥+，222b a ab +≤ 3、ab b a 2≥+,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 4、22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 5、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+ 6、两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：n n n a a a na a a 2121≥+++ 7、常见不等式：若0,0ab m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。

二、典型例题例1、若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为 ，最小值为 。

练习（1）非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是 。

（2）设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（ ）A ． 2B ． 1C ． －2D ． －3（3）已知满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是（ ）A ．5B ．－6C ．10D ．－10 （4）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤≤+≤822624y x y x ，则x+y 的范围是 。

（5）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．23 Ｃ．223 Ｄ．2 例2、已知0>x ，求xx x f 94)(+=的最小值。

变式训练1：若0<x ，则x x x f 94)(+=有最 值，并求出这个值。

不等式及线性规划1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 3设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15B ．－9C ．1D ．9 4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______.6.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07.已知一元二次不等式f (x )≤9的解集为{x |x ≤12或x ≥3}，则f (e x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}8.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >09．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为______. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为______.【参考答案】1.[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C ．2．[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D ．3．[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A ．4．[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2. 作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.6.[解析] 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m－a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －a b>0恒成立，故③恒成立． 7.[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3. 8.[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．9．[解析] ∵ a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号．10．[解析]方法一：如图(1)，∵ S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴ 12ac ·sin120°＝12c ×1×sin60°＋12a ×1×sin60°， ∴ ac ＝a ＋c .∴ 1a ＋1c＝1. ∴ 4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4a c ＋5≥2c a ·4a c＋5＝9. 当且仅当c a ＝4a c，即c ＝2a 时取等号． 方法二：如图(2)，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)， A ⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a . 又A ，D ，C 三点共线，∴ c 2－1－32c ＝a 2－132a ， ∴ ac ＝a ＋c .以下同方法一．。

专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式 文2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为（ ）A. 6B. 19C. 21D. 45 2．【2018年文北京卷】设集合则（ ） A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a <0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.5．【2018年文北京卷】若,y 满足，则2y −U最小值是_________.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________． 8．【2018年全国卷II 文】若满足约束条件 则的最大值为__________．2017年高考全景展示1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是（ ）A.15-B.9-C.1 D 93.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）95.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是（ ）A.-3B.-1C.1D.36.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费 用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .8.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .9.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 10.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？2016年高考全景展示1. 【2016高考山东文数】若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）122. 【2016高考浙江文数】若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）3. 【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最小值为__________4. [2016高考新课标Ⅲ文数]若,x y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y=+-的最大值为_____________.5.【2016高考上海文科】设则不等式31x-<的解集为_______.6.【2016高考上海文科】若,x y满足0,0,1,xyy x≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y-的最大值为_______.7. 【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.8.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.。

专题15 不等式性质，线性规划与根本不等式文考纲解读明方向分析解读 1.理解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比拟两个实数的大小.3.利用不等式的性质比拟大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考察线性目的函数的最值问题,兼顾面积、间隔、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,消耗的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考察与平面区域有关的范围、间隔等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度利用根本不等式求最值①理解根本不等式的证明过程;②会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.掌握利用根本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或者配凑因式构造根本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等〞的原那么.2.利用根本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或者填空题的形式进展考察,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用可以灵敏运用不等式的性质求定义域、值域;可以应用根本不等式求最值;纯熟掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2021年高考全景展示1.【2021年卷文】设变量x，y满足约束条件那么目的函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目的目的函数的几何意义确定函数获得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2021年文卷】设集合那么A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，〔2,1〕C. 当且仅当a<0时,〔2,1〕D. 当且仅当时,〔2,1〕【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进展求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考察线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进展判断. 设，假设，那么；假设，那么，当一个问题从正面考虑很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2021年卷】假设满足约束条件那么的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目的函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影局部所示，那么直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界处获得.4．【2021年卷文】，且，那么的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或者和为定值；三相等——等号能否获得〞，假设忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2021年文卷】假设x,y满足，那么2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目的函数的几何意义，可知当时获得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下列图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考察线性规划，求线性目的函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2021年卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，那么的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.7．【2021年全国卷Ⅲ文】假设变量满足约束条件那么的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目的函数在直线与的交点〔2，3〕处获得最大值3，故答案为3. 点睛：此题考察线性规划的简单应用，属于根底题。

基本不等式与线性规划问题1．基本不等式 ab b a 2≥+ （积定和最小）注意：①a 、b 均为正实数 ②ab 为定值 ③a 、b 相等时取等号例1．⑴若x 为正数，求函数xx x f 1)(+=的最小值； ⑵若x 为非零实数，求函数xx x f 1)(+=的值域例2．当x ＞-1时，求函数11)(++=x x x f 的最小值例3．⑴已知x ＞0，y ＞0，且191=+yx ，求y x +的最小值⑵设a 、b 均为正实数，且2=+b a ，求ba 11+的最小值⑶已知135=+yx ，其中x ＞0，y ＞0，求xy 的最小值例4．⑴如果2lg lg =+y x ，求yx 11+的最小值⑵如果13=+y x ，求yx82+的最小值⑶如果4log log 33≥+n m ，求n m +的最小值例5．分别求下列函数的值域⑴．123)(2--+=x x x x f ，（其中x ＞1）⑵．45)(22++=x x x f⑶．1)(+=x x x f2．基本不等式 2)2(b a ab +≤ （和定积最大） 例1．已知)4,0(∈x ，求函数)4()(x x x f -=的最大值，并求此时x 的取值范围例2．已知x ＞1，y ＞1，且,4lg lg =+y x 求y x lg lg 的最大值例3．设a ＞b ＞1，b a P lg lg =，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R +=，试比较P 、Q 、R 的大小例4．已知x 、y 均为正实数，且14=+y x ，求xy 的最大值例5．若正数a 、b 满足条件3++=b a ab ，求ab 的取值范围3．二元一次不等式（组）与平面区域例1．不在不等式y x 23+＜6表示的平面区域内的点是（ ）A ．（0，2）B ．（1，1）C ．（0，-2）D ．（2，0）例2．分别画出下列不等式（组）表示的平面区域⑴．42+-y x ＞0 ⑵．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x例3．点A （3，1）和B （-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，求实数a 的取值范围例4．分别求下列不等式组所表示的平面区域的面积⑴． ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y x ⑵． ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x4．简单的线性规划求最值问题例1．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，求目标函数y x z -=的最值例2．若x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+--≥-≥3634123443y x y x y x⑴．求目标函数y x z 32+=的最大值 ⑵．求目标函数2434-+-=y x z 的最小值例3．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，y x z +=2，求z 的最大值和最小值5．线性规划应用题解线性规划应用题的七个步骤: ①设变量x 、y ②列目标函数③写线性约束条件（不等式组） ④画可行域⑤把区域顶点代入目标函数计算,或画平行线观察计算. ⑥观察确定最值,找到最优解 ⑦作答例1．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时，又知木工和漆工每天工作不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元。

1．基本不等式：≤（a＞0，b＞0当且仅当a＝b时取等号．）2、变形：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)≥2(a，b∈R)．3、两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题（x＞0，y＞0）(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)5、使用条件“一正、二定、三相等”．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．解析(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.（当且仅当＝时，取等号．）(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，（当且仅当x＝，即x＝1时取等号．）【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．解(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 （当且仅当x＝2时取等号）(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2×＝18，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c；＋≥2＝2b；＋≥2＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．练习题1．(1)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．A.B．1 C．2 D．44．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )．A．1＋B．1＋C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．答案：CBAC -2一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A练习：设变量x、y满足约束条件，则的最大值为。

试卷第1页，总2页 巧解：基本不等式与线性规划综合一、 温故知新（1）线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等；线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数.可行解：满足线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题（2）．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．二、 典例精讲 典例1．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74 B ．94 C ．52 D ．21．B 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=. ()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .三、归纳总结先由线性规划求出最值，再代入利用基本不等式求出最值。

四、迎接挑战挑战题：1．设x，y满足约束条件8401040x yx yx y--≤⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则11a b+的最小值为（）A．5 B．52C．92D．92．,x y满足约束条件3620x yx yxy-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为()A．256B．25C．253D．5试卷第2页，总2页。

基本不等式与线性规划一、选择题 1．【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，通过平移20x y +=到点()2,0的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为2204⨯+=．故选A ．2．【答案】C【解析】画出约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域，如图所示；由32z x y =-+得3122y x z =+，平移直线3122y x z =+， 由图象可知当直线3122y x z =+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小； 由3600x y y --=⎧⎨=⎩，解得()2,0A ，此时min 3206z =-⨯+=-，∴32z x y =-+的最小值为6-．故选C ． 3．【答案】C【解析】∵0x >，函数44y x x =+≥，当且仅当4x x=，2x =时，等号成立， 故函数4y x x=+的最小值是4，故选C ．4．【答案】A【解析】在A 中，若0x <，则10x x+<，故A 不成立； 在B 中，210x x ++>，1430∆=-=-<，∴不等式210x x ++>的解集为R ，故B 成立； 在C22==t =，2t ≥，()1g t t t =+在[)2,+∞上递增，∴有最小值()522g =，故C 成立；在D 中，∵3x >，∴30x ->，∴11333533x x x x +=-++≥=--， 当且仅当4x =时取等号，∴13x x +-的最小值为5，D 成立； ∴不正确的结论是A ，故选A ． 5．【答案】A【解析】画出22221x y x y y x +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩表示的可行域，由2221x y y x -=-⎧⎨-=⎩，可得10x y =-⎧⎨=⎩，将3z y x =-变形为1133y x z =+，平移直线1133y x z =+，由图可知当直1133y x z =+经过点()0,2A 时，直线在y 轴上的截距最大，目标函数3z y x =-取得最大值max 3206z =⨯-=，由图可知当直1133y x z =+经过点()1,0B -时，直线在y 轴上的截距最小，∴z 在点()1,0B -处取得最小值min 3011z =⨯+=，∴16x ≤≤，故选A ． 6．【答案】B【解析】()551111y x x x x =+=++-++， ∵()511x x ++≥+，∴当且仅当1x =时，取得最小值， ∴函数y在)1,x ∈+∞上单调递增，()1x ∈-上递减，由于2x ≥，∴函数51y x x =++在区间[)2,+∞上单调递增， 因此，当2x =时，函数取得最小值113，故选B ． 7．【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示：由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得到()1,1A ，两条直线的纵截距分别为43和4，故不等式组对应的可行域的面积为14414233⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选C ．8．【答案】B【解析】∵0m >，0n >，1112m n +=， ∴()11222222422n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22n mm n=，即2m n =时，取“=”． 故选B ． 9．【答案】B【解析】设22z x y =+，则 的几何意义为动点(),P x y 到原点距离的平方， 作出不等式组221x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，对应的平面区域如图，由图象可知点()0,2A 到原点的距离最大，22z x y =+最大值为4， 原点到直线1y =的距离最小，∴22z x y =+的最小值为1z =， ∴22x y +的取值范围是[]1,4，故选B ． 10．【答案】B【解析】由()1119a xa yx y a a x y y x ⎛⎫++=+++≥++≥ ⎪⎝⎭，∴80a +≥，∴)420≥，∴4a ≥．故选B ．11．【答案】A【解析】画出不等式组220240330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图ABD △，()21y k x =--恒过()2,1C -，12y k x +=-即为可行域内的点(),x y 与()2,1C -连线的斜率， 由图可知，1BC k k ≤=-，即实数k 的取值范围是(],1-∞-，故选A ． 12．【答案】B 【解析】由2a b+>()lg f x x =在()0,+∞上单调递增，可得2a b f f+⎛⎫> ⎪⎝⎭．又()()()()11lg 22r f a f b ab f p =+====，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，故p r q =<．故选B ．二、填空题 13．【答案】25【解析】设矩形的长和宽为小x 、y ，0x >，0y >，∵绳长为20米，则10x y +=，∴2252x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当5x y ==时等号成立．则围成最大矩形的面积是25平方米 14．【答案】1 【解析】1y z x+=的几何意义为区域内点到点()0,1G -的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG 的斜率最小，由323x y x y +⎧⎨-⎩＝＝解得21x y =⎧⎨=⎩，即()2,1A ，则AG 的斜率1112k +==，故答案为1． 15．【答案】4m 2-<<【解析】由211x y +=，可得()212214448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++==++≥+= ⎪⎝⎭， 而222x y m m +>+恒成立()2min 22m m x y ⇔+<+，∴228m m +<恒成立，即2280m m +-<恒成立，解得4m 2-<<．故答案为4m 2-<<． 16．【答案】103【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，根据题意设()()226223z ax y a a x y =-+-=+-+，则目标直线过点定点()2,3--， 由图像可知，当目标函数过点()1,2C 时，对(),x y ∀∈Ω，都有2260ax y a -+-≥成立， 故()()012223a =+-+，∴103a =．即答案为103．三、解答题17．【答案】（1）当5x =时，y 的最小值为7；（2）2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【解析】（1）已知3x >，则30x ->， 故44333733y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当433x x -=-，解得5x =，即当5x =时，y 的最小值为7． （2）已知0x >，0y >，223x y+=，则23x y +≥6xy ≤，即123x y ==， 解得2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 18．【答案】2800【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司每天共可获得的利润为z 元，依题意，得21221200x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩N N且且，目标函数为300400z x y =+，可行域为如图所示的阴影部分，目标函数300400z x y =+可变形为34400zy x =-+，这是随z 变化的一族平行直线．由212212x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4A ．∴目标函数300400z x y =+过点A 时取得最大值为max 120016002800z +==(元)． ∴每天生产的甲、乙两种产品都为4桶，公司共可获得的最大利润是2800元．。

基本不等式与线性规划1.若x >0，y >0，且log 3x +log 3y =1，则11x y+的最小值是 .【答案】【解析】由log 3x +log 3y =1，得x ·y =3，所以1x +1y ≥.2.函数y2的最小值为 .【答案】52【解析】设tt ≥2)，易知y =t +1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=2，即x =0时，y min =52.3.设x >1-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为.【答案】9【解析】y =27101x x x +++=x +1+41x ++5，因为x >-1，所以y =x +1+41x ++5≥9，当且仅当x =1时取等号.4.若实数x ，y 满足约束条件2022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的最小值为 .【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=05.(1)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1) 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2) 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2-12=，当且仅当x=.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=，n=，从而x2+y2≥2=.(2)若a>0，b>0，且11121a b b+=++，则a+2b的最小值为.【答案】【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=2-12b bb+，a+2b=2-12b bb++2b=12+32b+12b≥12=，故有最小值.(3)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22x yx y+-的最小值为.【答案】4【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xy x y +=x -y +4-x y ≥，当且仅当x -y =2时取等号.(4)如图，已知函数y =a x +b (b >0)的图象经过点P(1，3)，则411a b+-的最小值为.(第5题)【答案】92【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a >1，点(1，3)在函数y =a x +b 的图象上，所以a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以4-1a +1b =12×241-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12[(a -1)+b ]41-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=141521b a a b -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭≥92.当且仅当4-1b a =-1a b ，即a =73，b =23时取等号.所以4-1a +192b的最小值为. 方法二：(三角代换法)由方法一可知a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以-12a +2b =1.令-12a =cos 2θ，2b =sin 2θ，所以4-1a +1b =22cos θ+212sin θ=2(1+tan 2θ)+21112tan θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=52+2tan 2θ+212tan θ≥92.以下同方法一.(5)设,0,5a b a b >+=,________.23(6) 已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 . 222211211++=++++-++a b a b a b a b答案：23+(7)已知,x y 为正实数，且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .2121213222222+=+≥++-+++-+-x y x y x y y x y y y y答案：34+ (8)设,x y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 . 2,2x a y b +=+=, 则331a b+=，即3()ab a b =+(2)(2)2()44=--=-++=++xy a b ab a b a b答案：166(1).若x ，y 满足约束条件20020x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则目标函数z =2x +y 的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z =2x +y =2×4-2=6.(2)若实数x ，y 满足x +y -4≥0，则z =x 2+y 2+6x -2y +10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x +y -4≥0表示的平面区域如图所示，则z =(x +3)2+(y -1)2表示不等式x +y -4≥0表示的平面区域内的点(x ，y )与定点(-3，1)距离的平方，可求z min=2=18.(3).已知实数x ，y 满足 x 2+y 2≤1，则|2x +y -4|+|6-x -3y |的最大值是 .【答案】15【解答】当x ，y 满足x 2+y 2≤1时，2x +y -4<0，6-x -3y >0，设z =|2x +y -4|+|6-x -3y |，则z =-2x -y +4+6-x -3y =-3x -4y +10，即3x +4y +z -10=0.由题意可知，|-10|5z ≤1，即|z -10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15. (4)（11年江苏14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________解析：当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，(102m m +=+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有m112m ≤≤.又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤(5)【2012高考江苏14】（5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，。