最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》综合应用

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

整合提升知识网络知识回顾这一章的内容主要包括曲线与方程,椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,以及它们在实际中的一些应用.1.曲线和方程的关系,反映了现实世界空间形式和数量关系之间的某种联系.我们把曲线看作适合某种条件p的点M的集合P={M|P(M)}.在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.求曲线方程一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.2.椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这种曲线的几何性质.3.椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线,它们的统一性如下:(1)从方程的形式看:在直角坐标系中,这几种曲线的方程都是二元二次的,所以它们属于二次曲线.(2)从点的轨迹的观点看:它们都是与定点和定直线的距离比是常数e 的点的轨迹,这个定点是它们的焦点(定直线叫做它们的准线).只是由于离心率e 取值的范围不同,而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线.(3)这三种曲线都是可以由平面截圆锥面而得到的截线(如右图).在宇宙间运动的天体,如行星、彗星、人造卫星等,由于运动速度的不同,它们的轨道有的是椭圆,有的是双曲线,有的是抛物线.4.直线与圆锥曲线有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解,直线与圆锥曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与曲线就没有公共点.5.本章研究几何图形时,大量采用了坐标法,利用曲线的方程讨论曲线的性质,解决几何问题.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,找到解决问题的有效办法,所以在解本章题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来. 典例精讲【例1】 已知直线l 的方程为：（2+m ）x+（1-2m ）y+（4-3m ）=0. （1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线l 1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l 1的方程.解析：（1）直线l 可变为：m （x-2y-3）+2x+y+4=0 由⎩⎨⎧==+=--,042,032y x y x 得m （-1，2）（2）设l 1：y-2=k （x+1）（k ＜0），S △=21|2+k||k 2+1| =21|3+k 4+k|≥21， k=-2，则l 1：y-2=-2（x+1）， 即2x+y=0. 温馨提示在轨迹方程的求解过程中要充分利用几何法和代数法. 【例2】 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e=32，过点C （-1，0）的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足=λ（λ≥2）.（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率k （k≠0）表示三角形OAB 的面积. （2）若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程.（3）若λ变化，且λ=k 2+1，试问：实数λ和直线l 的斜率k （k ∈R ）分别为何值时，椭圆E 的短半轴取得最大值？并求此时的椭圆方程.思路分析：该题以直线与椭圆为背景，向量为“纽带”把方程、不等式，函数联系起来，利用直线、椭圆方程，交点坐标与方程的关系，向量CA 、BC 坐标间的关系；不等式的性质，函数的单调性等知识来解决问题.解：设椭圆方程为：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）.由e=a c =32及a 2=b 2+c 2得a 2=3b 2. 故椭圆方程为：x 2+3y 2=3b 2.①（1）因为直线l ：y=k （x+1）交椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，并且CA=λBC(λ≥2), ∴(x 1+1,y 1)=λ(-1-x 2,-y 2); 即⎩⎨⎧=+=+,),1(12121y y x x λλ②把y=k （x+1）代入椭圆得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2-3b 2=0且 k 2（3b 2-1）+b 2＞0.∴x 1+x 2=13622+-k k ，③x 1·x 2=133322+-k b k .④ 因此：S △OAB =21|y 1-y 2|=21|λ+1|·|y 2|=2|1|+λ|k|·|x 2+1|,取立②③得x 2+1=)13)(1(22+-k λ, ∴S △OAB =11-+λλ·13||2+k k （k≠0）. （2）S=11-+λλ·||1||31k k +≤11-+λλ·321（λ≥2）.当且仅当3|k|=||1k 时，即k=±33时， S 取得最大值，此时x 1+x 2=-1.又x 1+1=-λ（x 2+1）, ∴x 1=11-x ，x 2=1--λλ， 将x 1，x 2代入④，得3b 2=22)1(1-+λλ, 故椭圆方程为x 2+3y 2=22)1(1-+λλ（λ≥2）.（3）由②③联立得x 1=)13)(1(22+--k λλ-1, x 2=)13)(1(22+-k λ-1，把x 1，x 2代入④得 3b 2=)23()1(42--λλλ+1=34［2)1(1-λ+)23()1(22--λλ］+1.易知：当λ≥2时，3b 2是λ的减函数，故当λ=2时，（3b 2）max =3，所以，当λ=2，k=±1时，椭圆短半轴取得最大值，此时椭圆方程为x 2+3y 2=3. 温馨提示在解决有关学科内的综合问题时要注意前后知识的联系，数与形的关系，问题解决过程中要灵活，提高综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力.【例3】 已知双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=332，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23. （1）求双曲线的方程；（2）直线y=kx+m （k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.解析：（1）由题设，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=,23,4312222ba ab a b e解得a 2=3，b 2=1,∴双曲线的方程为32x -y 2=1.（2）把直线方程y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得（1-3k 2）x 2-6kmx-3m 2-3=0. 因为直线与双曲线交于不同两点， ∴Δ=12m 2+12-36k 2＞0.① 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2） 则x 1+x 2=2316kkm-， y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=2312km-, 设CD 中点为P （x 0，y 0）， 其中x 0=221x x +，y 0=221y y +，则x 0=2313kkm -，y 0=231k m-. 依题意，AP ⊥CD ，∴k AP =k k km k m131313122-=-+-.整理得3k 2=4m+1,将②式代入①式得m 2-4m ＞0, ∴m ＞4或m ＜0.又3k 2=4m+1＞0，即m ＞41-, ∴m 的取值范围为m ＞4或41-＜m ＜0.温馨提示圆锥曲线与直线的关系的问题由于是几何问题，往往利用图形的一些平面几何性质，如本题，CD 是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可以较方便地用斜率互为负倒数而表示出来.解析几何不等的关系通常由判别式大于、等于零而得到. 【例4】 已知点F （0，415），上半平面内的点P 到点F 和x 轴的距离之和为417. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设动点P 的轨迹是C ，曲线C 交y 轴于点M ，在曲线C 上是否存在两点A 、B ，使∠AMB=2π？ （3）如右图，若A 、B 是曲线上满足∠AMB=2π的两点，证明：直线AB 与y 轴交于一定点.思路分析：（1）按题目已知条件直接写动点轨迹方程；（2）属开放性问题，只要能找到满足题意的点A 、B 即可；（3）依已知写直线AB 方程，再由直线方程的特点说明直线过定点. 解析：（1）设P 点坐标为（x ，y ），其中y ＞0，依题意22)415(-+y x +|y|=417，化简得动点P 轨迹方程为x 2=（y-4）（0＜y≤4）.（2）点（-1，3）与点（1，3）是曲线C 上的点，点（-1，3）与点M （0，4）连线斜率为1，取（-1，3）点为A 点，（1，3）点为B 点，由两直线垂直的条件可知，则∠AMB=2π. （3）解法一：设直线AM 的方程为y=kx+4，直线BM 的方程为y=-k1x+4，由方程组⎩⎨⎧--=+=),4(,42y x kx y 得A 点坐标（-k ，4-k 2）. 同理可得B 点坐标（k 1，4-21k），则直线AB 的斜率为k-1[]k ，从而得直线AB 的方程. y-（4-k 2）=（k-k1）（x+k ） 令x=0，得y=3，故直线AB 与y 轴交于定点（0，3）. 解法二：设A 、B 两点坐标为（x 1，4-x 12）、（x 2，4-x 22），直线AM 斜率为11244x x --=-x 1，直线BM 斜率为22244x x --=-x 2.∵∠AMB=2π， ∴（-x 1）（-x 2）=-1， 得x 1·x 2=-1.直线AB 的斜率为212212)4()4(x x x x ----=-（x 1+x 2），则直线AB 的方程为 y-（4-x 12）=-（x 1+x 2）（x-x 1）， 该方程中若令x=0， 则y=4-x 12-（x 1+x 2）（-x 1） =4+x 1·x 2=3,∴直线AB 与y 轴交于定点（0，3）. 温馨提示该题主要问题在（2）中，只要找出一对这样的点A 、B ，使得∠AMB=2π，问题便解决.解答中找出与M 点连线斜率分别为1，-1.这样的抛物线上特殊的关于y 轴对称的两点. 【例5】 已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P （1，2）.（1）求过P （1，2）点的直线l 的斜率k 的取值范围，使l 与C 分别有一个交点、两个交点、没有交点.（2）是否存在过P 点的弦AB ，使A 、B 中点为P ？ （3）若Q （1，1），试判断以Q 点为中点的弦是否存在. 思路分析：（1）如下图设直线l 方程为y-2=k （x-1），代入C 的方程，并整理得（2-k 2）x 2+2（k 2-2k ）x-k 2+4k-6=0（*） 令Δ=0，解之得k=23. 由于两渐近线斜率分别为2、-2. ∴当k=±2或k=23或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23或k ＜-2或-2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞3[]2时，l 与C 没有交点.（2）假设以P 为中点的弦AB 存在，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则x 1、x 2是方程（*）的两根，由韦达定理有)2()2(222--k k k =1，解得k=1， ∴这样的弦存在，方程为：y=x+1. （3）假设弦AB 以Q 为中点， 且A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），所以2x 12-y 12=2，2x 22-y 22=2，两式相对减得： 2（x 1-x 2）（x 1+x 2）=（y 1-y 2）（y 1+y 2）， ∴2（x 1-x 2）=y 1-y 2.∴AB 斜率为2.但渐近线斜率为±2，结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在. 温馨提示题（1）处理过程中，考虑了渐近线斜率.进一步地2＜k ＜23时，两交点在左支；k ＜-2，两交点在右支；-2＜k ＜2时，两交点分布在左、右支.对题（2），k=1∈（-2，2），所以l 存在.如果题（3）也采用韦达定理，k 也为1，但使过Q 的直线与C 有两个交点的k 必须重新计算.因此题（3）改用“点差法”.实际上，与弦中点有关的问题，基本上可采用这种策略.。

第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。

第二章 圆锥曲线与方程本章概览 内容提要本章主要学习三种圆锥曲线及方程，它们分别是椭圆、双曲线和抛物线，需掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质具体内容如下： 一、椭圆 1.椭圆定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的方程（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）.（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：2222bx a y +=1（a ＞b ＞0）.（3）一般表示：Ax 2+By 2=1（A ＞0，B ＞0且A≠B ）.椭圆的简单几何性质（a 222）1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程若焦点F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），则双曲线的标准方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0，c 2=a 2+b 2）若焦点F 1（0，-c ）、F 2（0，c ），则双曲线方程为2222bx a y -=1（a ＞0，b ＞0），c 2=a 2+b 2）222）1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上.四、圆锥曲线的统一性1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线.2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，此值的取值范围不同形成了不同的曲线.3.它们的方程都是关于x，y的二次方程.学法指导圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,所以学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.高中阶段对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.同时,在本模块中,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.圆锥曲线本身有一些很深奥的性质(如光学性质、行星运行轨道的性质等),其中有一些是圆锥曲线最基本的性质.。

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

人教版高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程课程设计前言圆锥曲线和方程是高中数学中比较重要的内容，也是大学数学的基础概念之一。

掌握圆锥曲线和方程的知识对于学习高中数学和后续的学习都非常重要。

因此，在高中选修2-1第二章中，我们将对圆锥曲线和方程进行深入学习。

本文将介绍高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程的课程设计，包括课程目标，教学内容、教学方法、教学评价以及课程总结。

课程目标本课程的主要目标是帮助学生：1.掌握圆锥曲线的基本定义，了解圆锥曲线的种类和性质；2.熟悉圆锥曲线的一般方程及其图形；3.掌握圆锥曲线双曲线、抛物线、椭圆的解析式，并能应用解析式解决相关问题。

了解圆锥曲线的应用。

教学内容1.圆锥曲线的基本知识•圆锥面、焦点、准线、二次曲线的定义；•二次曲线的种类和一般式；•二次曲线的图形，以及曲线的变换（平移、旋转、缩放）。

2.圆锥曲线的特殊曲线•椭圆曲线：标准方程、图像、离心率、长轴、短轴、焦距等；•双曲线曲线：标准方程、图像、离心率、渐进线等；•抛物线曲线：标准方程、图像、焦点、准线等。

3.圆锥曲线的应用•圆锥曲线在实际生活中的应用，如抛物线的反射原理、椭圆的轨道等；•初步认识轨迹的概念和轨迹的应用。

教学方法本课程采取多种教学方法，包括讲授、互动、实例演练、小组讨论等，以帮助学生更好地理解圆锥曲线和方程的基本概念和性质。

•讲授：通过讲解基本概念和性质，让学生快速掌握圆锥曲线的基本定义和分类，以及它们的特点和性质；•互动：通过互动，可以使学生更好地理解圆锥曲线的基本概念和性质，提高学生的学习兴趣；•实例演练：通过演示一些实例，可以使学生更加深入地理解圆锥曲线的应用；•小组讨论：通过小组讨论，可以让学生更好地交流，共同解决问题，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

教学评价为了评价学生对圆锥曲线和方程的掌握程度，我们将采取以下方式进行教学评价：1.期中考试：期中考试是对学生第一学期学习成绩的考核，旨在检验学生对圆锥曲线和方程的基本概念掌握情况，并对学生进行及时反馈；2.作业：教师提供多种类型的作业形式，如作图、计算题和简答题等，以检验学生对圆锥曲线和方程不同方面的掌握情况；3.小组讨论：小组讨论活动是一种合作学习方式，通过小组内的交流和互动，来评估学生的沟通和交流技能；4.期末考试：期末考试是对学生第二学期学习成绩的考核，考试范围包括圆锥曲线和方程的全面知识，考察学生对圆锥曲线和方程的应用能力。

第二章圆锥曲线与方程本章概览教材分析“圆锥曲线与方程”是理科选修21的第二章内容，是必修教材中解析几何的延续，在那里我们研究了直线和圆，选修教材在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程．对于这段内容，文科与理科的处理基本相同，只有细微的区别．笛卡儿的坐标系，开启了变量数学的大门．学了距离公式、直线和圆的方程这些入门功夫，算是品尝了数形结合的思想．要进一步感受这种思想的奥妙和威力，就来探索如何用解析几何的方法研究圆锥曲线吧！地球和宇宙飞船的轨道，子弹的飞行路线，一去不返的彗星的遗迹，放到直角坐标系里原来都是二次方程．用了代数方法，古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线的奥秘，就水落石出真相大白了．圆锥曲线是一个重要的数学模型，课本章前图讲了圆锥曲线可以由平面截圆锥得到，讲了它的广泛应用，“天上地下，圆锥曲线无处不在”．因此，无论从数学的进一步学习和研究，还是从今后在日常生活和实践的应用来看，学习这部分内容都是非常重要的．“圆锥曲线与方程”这部分内容研究的对象是圆锥曲线，其中圆锥曲线的几何性质可以从动手实验和直观的观察得到，而进一步深入的定量研究就要依靠对曲线与方程之间对应关系的了解，通过对方程这样一个代数对象的分析研究获得对圆锥曲线的几何性质的认识．因此，对这部分内容的学习，就不只是为获得对圆锥曲线性质的了解，而是要进一步体会数形结合的重要数学思想．历史上，正是这一重要的数学思想推动了数学跨越式的革命．事实上，在解析几何诞生后不久，微积分便产生了，这在数学发展的进程中是件里程碑价值的事件．我们说，学生在数学上的进步本质不单靠数学知识的积累，而是数学思想与数学方法的提升．数学从实践中来，建立了数学模型之后，又返回到实践中去，应用的范围得到了极大的扩展，这才显示出数学的力量．圆锥曲线正是对此有效诠释的一个极好的素材．从2000多年以前古希腊人研究圆锥曲线，到笛卡儿、开普勒、牛顿，直到今天的航天飞行，学生从数学文化的角度，从圆锥曲线的应用的角度都能受到很好的数学教育．因此，“圆锥曲线与方程”是一部分很有挖掘价值的素材，我们期望学生通过这部分内容的学习获得更多的收获．新教材在教材的选择与编排上力图体现知识的发展过程，丰富学生的数学活动，突出数学模型的建立，体现数形结合的思想，介绍圆锥曲线的重要应用与文化背景．希望给学生展现出更加生动活泼的数学，并给学生留有更多的思考空间．其主要特色：1．数学实验丰富了学生的数学活动；2．知识的呈现体现出层次性(先从几何直观想性质，再从方程进行研究)．课标要求1．曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2.圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．教学建议1．把握教学要求本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤．后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质．并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”“探究”“探究与发现”“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间．另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”．2．突出基本思想解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质．由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上．曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究．本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实．3．重视引入过程在椭圆的学习过程中，教材从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程．教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”，形成理性认识．其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开．课时分配2.1曲线与方程整体设计教材分析“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响．学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径．如果认为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线与方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．课时分配本节共安排两个课时，第一课时讲解曲线与方程的概念和简单的求曲线方程，第二节讲解求曲线方程的方法与步骤．2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C 的方程．第(1)题中曲线C 上的点不全是方程x －y ＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y ＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C 上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y ＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即C F但F C.(2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即C F且F C.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。

双曲线【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2双曲线双曲线的定义与标准方程双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)y a x b b a -=>>22221(0,0)x a y b b a -=>>要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质(,0)F c-，(,0)F c(0,)F c-，(0,)F c要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m=+与双曲线的方程22221x ya b-=(0,0)a b>>联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222 ()20 b a k x a mkx a m a b----=若2220,b a k-=即bka=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解 双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．【变式1】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ）(A)2214y x -= (B)2214x y -= (C)2214y x -= (D)2214x y -= 【变式2】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 . 类型二：直线与双曲线的位置关系例2．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3例3.过点P与双曲线221725x y-=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。