教育最新2005年高考文科数学试题及答案(湖北)

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题卷(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分(选择题 共60分)注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P ＋Q ＝},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P ＋Q 中元素的个数是 ( )A.9B.8C.7D.6 2.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知向量a ＝(－2,2),b ＝(5,k).若|a ＋b |不超过5,则k 的取值范围是 ( ) A.[－4,6] B.[－6,4] C.[－6,2] D.[－2,6] 4.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )5.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的 ( )A.60倍B.6030倍C.120倍D.12030倍6.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )A.163 B.83 C.316 D.38 7.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当1021<<<x x 时,使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 8.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直.其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.49.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( ) A.168 B.96 C.72 D.144 10.若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin( )A.)6,0(πB.)4,6(ππ C.)3,4(ππ D.)2,3(ππ 11.在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.012.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13.函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14.843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15.函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元；另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 元. 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间(－1,1)上是增函数,求t 的取值范围.18.(本小题满分12分) 在△ABC 中,已知63,31cos ,3tan ===AC C B ,求△ABC 的面积.19.(本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为S n ＝2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-=(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)设nnn b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n .20.(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB＝4,BC＝2,CC1＝3,BE＝1.(Ⅰ)求BF的长；(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.21.(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率；(Ⅲ)当p1＝0.8,p2＝0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).22.(本小题满分14分)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分. 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13.)4,3()3,2[⋃ 14.38 15.212-π 16.500 三、解答题17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线,故要使x x t 232-≥在区间(－1,1)上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线,时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ,.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c ＝8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19.本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：(1)：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即(II),4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：(Ⅰ)过E 作EH//BC 交CC 1于H,则CH ＝BE ＝1,EH//AD,且EH ＝AD. 又∵AF ∥EC 1,∴∠FAD ＝∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF ＝C 1H ＝2..6222=+=∴DF BD BF(Ⅱ)延长C 1E 与CB 交于G ,连AG,则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ,垂足为M,连C 1M,由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC,且AG ⊂面AEC 1F,所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中,作CQ ⊥MC 1,垂足为Q,则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0), C(0,4,0),E(2,4,1),C 1(0,4,3).设F(0,0,z ). ∵AEC 1F 为平行四边形,.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴(II)设1n 为平面AEC 1F 的法向量,)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ,则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -(II)对该盏灯来说,在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-p 1)2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2),故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=(III)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p 5(其中p 为(II)中所求,下同)换4只的概率为415p C (1-p),故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(I)解法1：依题意,可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入,整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根,0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点,得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝-1,代入②得,λ>12,即λ的取值范围是(12,＋∞).于是,直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意,.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ(II)解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程,整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根,).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12,使得A 、B 、C 、D 四点共圆,则CD 必为圆的直径,点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时,A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心,2||CD 为半径的圆上. (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形,A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知,⑧式左边＝.212-λ 由④和⑦知,⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立,即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(II)解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程,整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程,整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅,∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点,∴A 、B 、C 、D 四点共圆.(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD)。

2005湖北卷试题及答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分 考试时间120分钟第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A ．9 B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是（ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6] 4．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ ）A B C D5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．387．在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 14．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1 （Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离121．（本小题满分12分） 某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换 （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字） 22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由2005湖北卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t≥t t 的取值范围是故解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f 'Θ的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B ο得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c . .3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得2222212cos ,546428,8100.2b ac ac B a a a a =+-=+-⨯⨯∴-+=即124460,090,30120.a a B C A ===<<∴<<o o o o o Q 所得1,sin sin 303,sin sin sin sin 2a b b b a A A B B B ==⋅>⋅==>o 由得243,,4a a =<=而舍去故故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c Θ ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--ΛΛΛ两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T Λ20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力 解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG. 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且 AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离.113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n AE n 得由1⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133cos 1111=++⨯==α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2. 所以寿命为1～2年的概率应为p 1-p 2. 其分布列为：寿命 0～1 1～2 2～ p 1-P 1 P 1-p 2 P 2（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1-p 2。

2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II共150分. 考试时间120第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60只有一个答案是正确的） （1）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V （5）设137x =，则 （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1 (6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c (7)设02x π≤<,sin cos x x =-,则(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤ (8)22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12（9）已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M到x 轴的距离为（A ）43 （B ）53（C （D（10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 （11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）7个（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16（13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=（15）曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为 （16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是三、解答题：(17)(本小题满分12分)已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 18）(本小题满分12分)照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （19）(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形， 平面V AD ⊥底面 1）求证AB ⊥面V AD ；2）求面VAD 与面VDB（20）(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a是1a 与4a 的等差中项，已知数列1a ,3a ,1k a ,2k a , ……,n k a ,……成等比数列，求数列{}n k 的通项n k(21) (本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(22) (本小题满分14分)设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当121,3x x ==-时，求直线l 2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案一、DBBCA ，CCBCD ，DA 二、13.3，14.23-，15.x+y-2=0，16.3 三、解答题：（17）解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………………………………………2分1)4x π=-………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)42x π⇔->-…………………………………………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………………………………12分 另法：22()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )f x x x x x x x x x =+=+=+()f x 为正值当且仅当sin x 与sin cos x x +同号，在[0,2]x π∈上，若sin x 与sin cos x x +均为正值，则3(0,)4x π∈； 若sin x 与sin cos x x +均为负值，则7(,)4x ππ∈所以所求x 的集合为37(0,)(,)44πππ （18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分（19）（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面1）求证AB⊥面VAD；2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=23a，tan∠AFB =33223==aaAFAB故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为332arctan证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分则A（12，0，0），B（12，1，0），C（-12，1，0），D（-12，0，0），V（0，02），∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22AB AD AV===-……3分由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD⋅=⋅=⇒⊥…………4分1(0,1,0)(022ABAV AB AV⋅=⋅-=⇒⊥……5分又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量……………………7分设(1,,)n y z=是面VDB的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,)(1,1,0)03xn VB y znzn BD y z=-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分∴(0,1,0)(1,cos,73AB n⋅-<>==-，……………11分又由题意知，面VAD 与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分 （II ）证法三：由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量…………………7分设平面VDB 的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D 三点的坐标代入可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=++023021021q p q m q n m 解之可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==q p q n q m 3222令q=,21则平面VDB 的方程为x-y+33Z+21=0 故平面VDB 的法向量是)33,1,1(-=n ………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos ,73AB n ⋅-<>==-，………………11分又由题意知，面VAD 与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos 7……12分 （20）解：由题意得：2214a a a =………………………………1分 即2111()(3)a d a a d +=+…………………………………………3分 又0,d ≠∴1a d =……………………………………………………4分 又1a ,3a ,1k a ,2k a ,……,n k a ,……成等比数列， ∴该数列的公比为3133a d q a d===，………………………6分 所以113n n k a a +=⋅…………………………………………8分又11(1)n k n n a a k d k a =+-=…………………………10分∴13n n k +=所以数列{}n k 的通项为13n n k +=……………………………12分（21）解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，……………………1分 则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24)…………………………………5分=4x 3-276x 2+4320x∵V ′=12 x 2-552x+4320……………………………………………7分 由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………12分 （22）解：（Ⅰ）∵抛物线22y x =，即22y x =，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x +=0……………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩………………………………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩…………………………………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………9分 （Ⅱ）当121,3x x ==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ……………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………………11分14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩……………………………………………13分所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、Ｂ相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k K n k n n P k C P P -=-一、 选择题（1） 函数 |cos sin |)(x x x f +=的最小正周期是（A ） 4π (B) 2π (C) π (D)2π （2）正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形(3)函数 )0(12≤-=x x y 反函数是 (A)1+=x y )1(-≥x (B)y = -1+x )1(-≥x(C)y =1+x )0(≥x (D)y =-1+x )0(≥x(4)已知函数wx y tan =在)2,2(ππ-内是减函数，则 (A)10≤<w (B)01<≤-w (C)1≥w (D)1-≤w(5)抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 (A) x y 32±= (B) x y 94±= (C) x y 23±= (D)x y 49±= (7)如果数列||n a 是等差数列,则(A) 1345a a a a ++< (B)1345a a a a +=++(C)1345a a a a +>+ (D)1345a a a a = (8)10)2(y x -的展开式中46y x 项的系数是 (A)840 (B)－840 (C)210 (D) －210(9)已知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A 设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E,那么有λ=其中λ等于(A) 2 (B) 21 (C)－3 (D)31- (10)已知集合2{|47},{|60}M x x N x x x =-≤≤=-->则N M ⋂为(A){|4237}x x x -≤<-<≤或 (B){|4237}x x x -<≤-≤<或(C){|23}x x x ≤->或 (D){|23}x x x <-≥或(11)点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量)3,4(-=v (即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离|v |个单位).设开始时点P 的坐标为(－10,10),则5秒后点P 的坐标为(A)(-2,4) (B)(-30,25) (C)(10,-5) (D)(5,-10)(12)△ABC 的顶点B 在平面a 内，A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC=24 ,AC=5,则AC 与a 所成的角为(A)60° (B)45° (C)30° (D)15°第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

北南徽第Ⅰ卷页页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回上黑如号不上分在的 33p 2p 2（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE D D 、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34 （D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a ya x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332（7）当20p<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为的最小值为（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34（8）)21( 22££-=x x x y 反函数是反函数是（A ）)11( 112££--+=x x y （B ）)10( 112££-+=x x y（C ）)11( 112££---=x x y （D ）)10( 112££--=x x y （9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa aax f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是的取值范围是（A ）)0,(-¥（B ）),0(+¥ （C ）)3log,(a -¥（D ）),3(log+¥a（10）在坐标平面上，不等式组îíì+-£-³131x yx y 所表示的平面区域的面积为所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2 （11）在ABC D 中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：，给出以下四个论断：①1cot tan =×B A②2sin sin 0£+<B A③1cos sin22=+B A ④C B A 222sin coscos=+其中正确的是其中正确的是ABCDE F（A ）①③）①③ （B ）②④）②④ （C ）①④）①④ （D ）②③）②③（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ×=×=×，则点O 是ABC D 的（A ）三个内角的角平分线的交点）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点）三条高的交点第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 （13）若正整数m 满足mm 102105121<<-，则m = )3010.02(lg »（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为 （用数字作答）（用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，名代表，要求至少包含要求至少包含1名女生，名女生，则不同的选法共则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形一定是平行四边形② 四边形E BFD '有可能是正方形有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形内的投影一定是正方形④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）（写出所有正确结论的编号）分解骤p -1-3 2 3 2 1 1 2-12p7p83p45p8p23p8p4p8oyx的中点的取值范围ACPM（20）（本大题满分12分）分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率 （精确到01.0）（21）（本大题满分12分）分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（Ⅰ）求{}na 的通项；的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和nT（22）（本大题满分14分）分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线 （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM Î+=m l m l ，证明22m l +为定值北南徽分分 p).33p p ],))3p x0 8p83p85p87p py22-－1 0 1 0 22--1-3232112-12p7p 83p 45p 8p 23p 8p 4p 8o yx能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD. 因而，CD 与面P AD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直，都垂直， ∴CD ⊥面P AD. 又CD Ì面PCD ，∴面P AD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==Ð\PBBE PBE.510arccos所成的角为与PB AC \（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △P AB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC, ∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM×-22)2(，5625223=´=\AN . ∴AB=2，322cos 222-=´´-+=Ð\BNAN ABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ^=×==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面P AD. 又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB ACEA BCDPMN.510||||,cos ,2,5||,2||=××>=<=×==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R Îl 使,MC NC l =..21,1,1),21,0,1(),,1,1(l l ==-=\-=---=zy x MC z y x NC 要使.54,0210,==-=×^l 解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=×-===×=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当lANB MC BN MC AN MC BN MC AN Ð^^=×=×所以得由.,0,0为所求二面角的平面角. 30304||,||,.555A NB N A N B N ==×=- 2o c os s (,).3||||A NB N A N B N A N B N ×\==-×2o a r c c oss ().3-故所求的二面角为19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a axx x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a axa x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=×-+-=D a a a ， 即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式的解析式ABCDPMNxzy.535651)(2---=x xx f（Ⅱ）由aa a aa x a a x a axx f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-=及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由ïîïíì<>++-,0,0142a aa a 解得解得 .03232<<+---<a a 或故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----¥20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=´´C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=´´C 恰有2个坑需要补种的概率为个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=´´C 3个坑都需要补种的概率为个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=´´C所以有坑需要补种的概率为所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分解：（Ⅰ）由（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-SSS得 ,)(21020203010S S S S-=-即,)(220121130222110a a a a a a +++=+++可得.)(22012112012111010a a a a a aq+++=+++×因为0>na ，所以，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而，因而 .,2,1,2111 ===-n qa a nnn（Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故的等比数列，故1)22),).12))22.,22222b a b a c a b a ca +-+由OB OA a OB OA +=+),),与a 共线，得共线，得 23c 即23222c b a c a =，所以3622aba=-，.36a ，所以椭圆22=+by a x 设OM =2005年高考数学试卷及答案年高考数学试卷及答案第11页 （共11页）页） îíì+=+=\.,2121x x y x x x m l m l ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++\m l m l 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++lm m l ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a cx x ===+22222122238a c a b x x c a b -==+1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++22239322c c c =-+=0又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+m l 故22m l +为定值，定值为1。

2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题（1）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1± （B ）21± （C ）33±（D ）3±（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34 （D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a yax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332（7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32 （C ）4 （D ）34（8）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞ （C ）)3log,(a -∞（D ）),3(log+∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cossin22=+B A④C B A 222sin coscos=+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④（C ）①④（D ）②③（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上2．答卷前将密封线内的项目填写清楚3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02l g ≈（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1( （Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a的取值范围（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率（精确到01.0）（21）（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T（22）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。

【试题答案】2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修I）参考答案一. 选择题：1. C2. D3. B4. B5. D6. C7. B 8. A 9. C 10. A 11. C 12. C二. 填空题：13. 216 14.15. 192 16. ①，④三. 解答题：17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力。

满分12分。

解法一：为第二象限的角，，所以所以为第一象限的角，，所以所以解法二：为第二象限角，，所以为第一象限角，，所以故所以18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4（I）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则所以，前三局比赛甲队领先的概率为（II）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，所以，所求事件的概率为19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。

满分12分。

（1）证明：成等差数列，即又设等差数列的公差为d，则这样从而这时是首项，公比为的等比数列（II）解：所以20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

满分12分。

方法一：（I）证明：连结EPDE在平面ABCD内，又CE＝ED，PD＝AD＝BC为PB中点由三垂线定理得在中，又PB、FA为平面PAB内的相交直线平面PAB（II）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直平面AEF连结BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，则平面AEF 为AC与平面AEF所成的角由可知由可知与平面AEF所成的角为方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系（1）证明：设E（a，0，0），其中，则C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）又平面PAB，平面PAB，平面PAB（II）解：由，得可知异面直线AC、PB所成的角为又，EF、AF为平面AEF内两条相交直线平面AEF与平面AEF所成的角为即AC与平面AEF所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6] 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 （ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .----资料来源高中数学教师交流分享QQ群545423319----整理收集不易，转载请注明出处20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ 由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16V B ．14V C ．13V D ．12V 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（ ）A ．43 B ．53C D 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C ．2 D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= .15．曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 .16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

2005年高考湖北文科数学试题一、单项选择题(下列各题，只有一个正确答案，不选、错选或多选均不得分。

本类题共计40分，每小题1分)5．企业为开具信用证而存人银行一笔款项时，应( )。

A．借记“其他货币资金——信用证存款”B．贷记“其他货币资金——信用证存款”C．借记“银行存款”D．贷记“库存现金”6．“待摊费用”科目期末如有贷方余额，应在资产负债表的( )项目反映。

A．“待摊费用”B．“递延资产”C．“预提费用”D．“其他应收款”7．将于一年内到期的长期债券投资，在资产负债表中应( )。

A．在“短期投资”项目下列示B．在“长期投资”项目下列示C．既在“短期投资”项目下列示，又在“长期投资”项目下列示D．在流动资产类下单独设置“一年内到期的长期债券投资”项目加以反映8．企业利润表中的“主营业务税金及附加”不包括( )。

A．营业税B．消费税C．资源税D．增值税9．企业将净利润调节为经营活动现金流量时，下列各项中，属于调整减少现金流量的项目是( )。

A．存货的减少B．无形资产摊销C．公允价值变动收益D．经营性应付项目的增加10．下列各账户中，年末结转后可能有余额的是( )。

A．“营业外收入”B．“主营业务收入”C．“营业外支出”D．“利润分配——未分配利润”11．“利润分配——未分配利润”账户贷方余额反映( )。

A．企业历年积存的未弥补亏损B．企业积存的未分配利润C．企业本年的亏损D．企业本年的利润12．登记账簿的依据是( )。

A．原始凭证B．记账凭证C．会计凭证D．审核无误的会计凭证13．企业向购货单位预收货款时，应( )。

A．贷记“应付账款”B．借记“应付账款”C．借记“预收账款”D．贷记“预收账款”14．现金清查发现现金短款时，应贷记( )账户。

A．“其他应收款”B．“库存现金”C．“营业外支出”D．“待处理财产损溢”15．期间费用不包括下列( )项目。

A．财务费用B．销售费用C．制造费用D．管理费用16．某企业期初资产总额为200万元，本期资产共增加120万元，期末的所有者权益为270万元，则期末的负债总额为( )。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件.其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知向量(2,2)a =-，(5,)b k =，若a b +不超过5，则k 的取值范围是 A ．[4,6]- B ．[6,4]- C ．[6,2]- D ．[2,6]- 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 A ．60倍 B． C ．120倍 D．5．双曲线221x y m n-=（0mn ≠）离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为A ．163B ．83C ．316D ．38A 1D6．在2x y =，2log y x =，2y x =，cos 2y x =，这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若a b ⊥，b c ⊥，则a ∥c ； ②若a ∥b ，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a β，b β⊂，则a ∥b ； ④若a 与b 异面，且//a β，则b 与β相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a 、b 都垂直. 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 9．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 A ．168 B ．96 C ．72 D ．1447．若sin cos tan ααα+=,02πα<<，则α∈A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .15．函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量2(,1)a x x =+，(1,)b x t =-，若函数()f x a b =⋅在区间(1,1)-上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知tan B =1cos 3C =，AC =ABC ∆的面积. 19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=. （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中4AB =，2BC =，13CC =，1BE =. （Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离.ABCDFEC 121．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为1p ，寿命为2年以上的概率为2p .从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当10.8p =，0.3p =时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力. 解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c . .3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG. 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF EF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）第 11 页 共 11 页 2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）第 11 页 共 11 页 解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得 .016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参阅公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率乃是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限乃是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数乃是（ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．284．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别乃是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16V B ．14V C ．13V D ．12V 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（ ）A ．43 B ．53C ．3D 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率乃是 （ ）A ．2 B ．12C ．2D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个12．计算机中常用十六进制乃是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（ ）A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 15．曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 .16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 乃是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值乃是 三.解读回答题：共74分. 17．(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器乃是否需要照顾相互之间没有影响。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分.1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16V B ．14V C ．13VD ．12V5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径7．设02x π≤≤,且sin cos x x =-,则（ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-yx 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,M F M F ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C 3D10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2B ．2C ．2-D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数 符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.14．已知向量(,12),(4,5),(,10)O A k O B O C k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= .15．曲线3=在点（1，1）处的切线方程为.y-2xx16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC 的距离乘积的最大值是三.解答题：共74分.17．(本小题满分12分)已知函数].=x+x∈f求使()xx2,2,0[sinsin)2(2πf x为正值的x的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）第I 部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A.9B.8C.7D.62.对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：其中真命题的个数是( ）①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.A.1B.2C.3D.43.已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ）A.[－4，6]B.[－6，4]C.[－6，2]D.[－2，6]4.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）5.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A.60倍B.6030倍C.120倍D.12030倍6.双曲线)0(122≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A.163B.83C.316D.387.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 8.已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.49.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A.168B.96C.72D.14410.若∈<<=+απαααα则),20(tancossin（）A.)6,0(πB.)4,6(ππC.)3,4(ππD.)2,3(ππ11.在函数xxy83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（）A.3B.2C.1D.012.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2005年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．4．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）反函数是（）A．B．C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为．15．（4分）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有种．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）21．（12分）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．22．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．2005年安徽省高考数学试卷Ⅰ（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．【分析】首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．【解答】解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，，解得a2=3，或（舍去）．∴，∴，故选D．7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx 的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）反函数是（）A．B．C．D．【分析】从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得到反函数．【解答】解：在定义域为{x|1≤x≤2}，原函数的值域为{y|0≤y≤1}，∵，∴y2=2x﹣x2，解得x=1±，∵1≤x≤2，∴x=1+，∴y=1+（0≤x≤1），故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，=×（2×1+2×）=，其面积S△ABC故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【分析】由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点【解答】解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点故选D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•山西）（x﹣）4的展开式中的常数项为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：的通项为=（﹣1）r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为615．（4分）（2005•安徽）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有100种．【分析】根据题意，选用间接法，首先计算从6名男生和4名女生共10人中，任取3名代表的选法数目，再计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男生和4名女生共10人中，任取3人作代表，有C103=120种，其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20种，故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种；故答案为100．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f （x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x ﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．20．（12分）（2005•山西）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）【分析】（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，∴甲坑不需要补种的概率为（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为，恰有2个坑需要补种的概率为，3个坑都需要补种的概率为∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．21．（12分）（2005•安徽）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出，．（Ⅱ）由题设知．数列{nS n}的前n项和，．由此可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．因为a n＞0，所以210q10=1，解得，因而，．（Ⅱ）由题意知．则数列{nS n}的前n项和，．前两式相减，得=即．22．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．。

2005年高考文科数学(全国卷Ⅰ)试题及答案（河北、河南、安徽、山西、海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（1）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCFADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32（B ）33（C ）34（D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（12）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率（精确到01.0） （21）（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T（22）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值2005年高考文科数学（全国卷Ⅰ）试题参考答案（河北、河南、安徽、山西、海南）一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD. 因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN.在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式（Ⅱ）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++=前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，即232222cba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22239322c c c =-+=0 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。

2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()( 一．选择题（1)设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） (C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28 （B)π8 （C)π24 （D ）π4 （3）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =(A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （4）如图，在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形,EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为(A ）32（B ）33 （C ）34 （D ）23（5)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心为(A)23 （B ）23 （C ）26（D ）332(6）当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A)2 （B ）32 （C)4 (D ）34（7）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是(A ）)11( 112≤≤--+=x x y ; (B))10( 112≤≤-+=x x y ；（C))11( 112≤≤---=x x y ； （D ）)10( 112≤≤--=x x y（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞(C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（10)在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断:①1cot tan =⋅B A ；②2sin sin 0≤+<B A ;③1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+，其中正确的是(A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D)②③（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的 (A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点(D ）三条高的交点（12）设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C)33±（D ）3±第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分，把答案填在题中横线上。