人教A新版必修1《第2章 一元二次函数、方程和不等式》2020年单元测试卷(一) (有解析)

第二章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设M ＝2a(a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M>N B ．M ≥N C ．M<N D ．M ≤N2．关于x 的不等式－x 2＋2x ≥0的解集为( ) A ．[0,2] B ．(－∞，0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)3．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．{x|x<－1或－1<x ≤2}B ．{x|－1≤x ≤2}C ．{x|x<－1或x ≥2}D ．{x|－1<x ≤2}4．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c |5．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2>ab (a >b >0) B ．a 2＋b 2>2ab (a >b >0)C.2aba ＋b <ab (a >b >0) D.a ＋b 2< a 2＋b 22(a >b >0) 6．若不等式4x 2－12x －7>0与关于x 的不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则x 2－px ＋q <0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x >72或x <－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <72C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <－72或x >12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－72<x <12 7．若关于x 的一元二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≤－2或m ≥2}B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}8．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知a 、b 、c 、d 均为实数，则下列命题中正确的是( )A ．若ab <0，bc －ad >0，则c a －d b >0B ．若ab <0，c a －db >0，则bc －ad >0C ．若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0D ．若1a <1b <0，则1a ＋b <1ab10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14C.ab ≥2D.1a ＋1b ≤112．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为y 2＝14x ＋52三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－2)∪(1，＋∞)，则a ＋b ＝________.14．函数f (x )＝x ＋2x －1(x >1)的最小值是________；取到最小值时，x ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则不等式ax ＋bcx ＋a<0的解集是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求a ，b 的值．18．(本小题满分12分)(1)设函数y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)．若不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}，求a ，b 的值；或x >b }，(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. 第二章单元测试卷1．解析：∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N . 答案：A2．解析：由原不等式可得x 2－2x ≤0，即x (x －2)≤0，解得0≤x ≤2，故选A.答案：A3．解析：原不等式同解于⎩⎨⎧x ＋1≠0(x －2)(x ＋1)≤0，解得－1<x ≤2，选D.答案：D4．解析：根据不等式的性质，知C 正确；若a >0>b ，则1a >1b ，则A 不正确；若a ＝1，b ＝－2，则B 不正确；若c ＝0，则D 不正确．故选C.答案：C5．解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2，在Rt △OCF 中， CF ＝OF 2＋OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －b 22 ＝a 2＋b 22>OF ＝a ＋b2，故选D. 答案：D6．解析：由4x 2－12x －7>0得(2x －7)(2x ＋1)>0， 则x >72或x <－12.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＝72－12，q ＝72×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12－72，q ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，x 2－px ＋q <0对应方程x 2－px ＋q ＝0的两根分别为12，－72，则x 2－px ＋q <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－72<x <12.故选D.答案：D7．解析：因为不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，所以Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：B8．解析：由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.答案：C9．解析：对于A ：∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴c a －d b ＝1ab ·(bc－ad )<0，即c a －d b <0，故A 不正确；对于B ：∵ab >0，c a －db >0，∴ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －d b >0，∴ab ·1ab (bc －ad )>0，即bc －ad >0，故B 正确；对于C ：∵c a －db >0，∴bc －ad ab >0，又∵bc －ad >0，∴ab >0，故C 正确；对于D ：由1a <1b <0，可知b <a <0，∴a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <1ab 成立，故D 正确．故选BCD.答案：BCD10．解析：设y ＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x ＝3，则⎩⎨⎧22－6×2＋a ≤012－6×1＋a >0解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8. 故选ABC. 答案：ABC11．解析：a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，A 正确；a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤4，1ab ≥14，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，C 错误，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，D 错误．故选AB.答案：AB12．解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确；甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1，故B 正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C 正确；易知当x >2时，y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝14x ＋52，故D 正确．故选ABCD.答案：ABCD13．解析：不等式对应方程ax 2＋bx －2＝0的实数根为－2和1， 由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝－b a －2×1＝－2a解得a ＝1，b ＝1， 所以a ＋b ＝2. 故答案为2.答案：214．解析：∵x ＞1，∴x －1＞0，由基本不等式可得y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2(x －1)·2x －1＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝2x －1即x ＝1＋2时，函数取得最小值22＋1.答案：22＋1 1＋ 215．解析：由题图知，1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以－b a ＝3且ca ＝2， 所以b ＝－3a ，c ＝2a 且a >0.不等式ax ＋b cx ＋a<0等价于(ax ＋b )(cx ＋a )<0，即(x －3)(2x ＋1)<0，所以－12<x <3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <316．解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立， 即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立． 若a ＋2＝0，显然不成立； 若a ＋2≠0，则⎩⎨⎧a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)<0，⇔⎩⎨⎧a >－2，16－4(a ＋2)(a －1)<0，⇔⎩⎨⎧a >－2，a <－3或a >2，⇔a >2.答案：a >217．解析：(1)A ＝{x |－1＜x ＜3}, B ＝{x |－3＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}(2)－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根∴⎩⎨⎧1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－2.18．解析：(1)∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}， ∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根，从而有⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)∵a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时等号成立，所以1a ＋4b 的最小值为9.19．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4 ＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4， 由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)， 所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为252.20．解析：(1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1.②当a >0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0， 解得x <－1或x >1a .③当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0. 若1a <－1，即－1<a <0，则1a <x <－1； 若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式的解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1<x <1a .综上所述，当a <－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1a ； 当a ＝－1时，不等式解集为∅；当－1<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . (2)∵当x ＝－a 时不等式成立，∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， ∴a >1，即a 的取值范围为{a |a >1}．21．解析：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x ≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．22．解析：(1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝1＋b2a ＝b ，解得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，2<x <c ；②当c <2时，c <x <2；③当c ＝2时，原不等式无解．综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。

章末质量检测(二) 一元二次函数、方程和不等式考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设M ＝2a(a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M>N B ．M ≥N C ．M<N D ．M ≤N2．若集合A ＝{x|x 2＋2x>0}，B ＝{x|x 2＋2x －3<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x|－3<x<1} B ．{x|－3<x<－2}C ．RD ．{x |－3<x <－2或0<x <1}3．若a ，b ，c ∈R 且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．ac >bc B ．(a －b )c 2>0C ．1a <1bD ．－2a <－2b4．函数y ＝2x ＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．85．若实数2是不等式3x －a －4<0的一个解，则a 可取的最小正整数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为y ＝－4.9t 2＋14.7t ＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米7．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝3，b ＋c ＝5，则此三角形面积的最大值为( )A ．32B ．3C ．7D ．118．已知两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y ≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值范围( )A ．－2<m <4B ．－2≤m ≤4C ．m <－2或m >4D ．m ≤－2或m ≥4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列表达式的最小值为2的有( )A ．当ab ＝1时，a ＋bB ．当ab ＝1时，b a ＋abC ．a 2－2a ＋3D ．a 2＋2 ＋1a 2＋210．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >3}，则下列正确的是( ) A ．a <0B ．关于x 的不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－6}C ．a ＋b ＋c >0D ．关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x >12 11．若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立”的充要条件是“a >0，b 2－4ac ≤0”D ．“a <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件 12．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( )A ．a ＋b 有最小值2＋22B ．a ＋b 有最大值2＋22C ．ab 有最大值1＋2D ．ab 有最小值3＋22三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．不等式－x 2＋2x ＋8>0的解集是________．14．若正数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则x ＋4y 的最小值等于________．15．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值为________．16．已知关于x 的不等式x 2－5ax ＋2a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)在①一次函数y ＝ax ＋b 的图象过A (0，3)，B (2，7)两点，②关于x 的不等式1<ax ＋b ≤3的解集为{x |3<x ≤4}，③{1，a }⊆{a 2－2a ＋2，a －1，0}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知________，求关于x 的不等式ax 2－3x －a >0的解集．18.(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．19．(本小题满分12分)甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且ab ＝1. (1)求a ＋2b 的最小值；(2)若不等式x 2－2x <14a ＋9b恒成立，求实数x 的取值范围．21．(本小题满分12分)(1)比较a 2＋13与6a ＋3的大小；(2)解关于x 的不等式x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋2m ≤0.22．(本小题满分12分)2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x 元．公司拟投入16()x 2－600 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．1．解析：M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴M >N . 故选A. 答案：A 2．解析：A ＝{x |x 2＋2x >0}＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |x 2＋2x －3<0}＝{x |－3<x <1}，∴A ∩B ＝{x |－3<x <－2或0<x <1}．故选D. 答案：D3．解析：∵a ，b ，c ∈R 且a >b ，∴取c ＝0，可排除A ，B ；取a ＝1，b ＝－1可排除C.由不等式的性质知当a >b 时，－2a <－2b ，故D 正确．答案：D4．解析：因为y ＝2x ＋2x －1(x >1)，＝2(x －1)＋2x －1＋2≥22(x －1)·2x －1＋2＝6，当且仅当2(x －1)＝2x －1即x ＝2时取等号，此时取得最小值6.故选C.答案：C5．解析：∵实数2是不等式3x －a －4<0的一个解， ∴代入得：6－a －4<0，解得a >2， ∴a 可取的最小整数是3.故选C. 答案：C6．解析：∵y ＝－4.9t 2＋14.7t ＋17，∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5，此时y ＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28， 故选B. 答案：B7．解析：由题意p ＝12(3＋5)＝4S ＝4(4－a )(4－b )(4－c )＝4(4－b )(4－c )＝4(bc －4)≤ 4×⎝⎛⎭⎫b ＋c 22－16＝9＝3， 当且仅当4－b ＝4－c ，即b ＝c 时等号成立﹐ ∴此三角形面积的最大值为3. 故选B. 答案：B8．解析：因为x ＋2y ≥m 2－2m 恒成立，则m 2－2m ≤(x ＋2y )min ，x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ×x y ＝4＋2×2＝8， 当且仅当⎩⎨⎧4y x ＝x y 2x ＋1y＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2时等号成立，所以x ＋2y 的最小值为8，所以m 2－2m ≤8，即()m －4()m ＋2≤0， 解得：－2≤m ≤4， 故选B. 答案：B9．解析：对选项A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对选项B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对选项C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；对选项D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.答案：BC10．解析：由已知可得a <0且－2,3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，A 正确，则由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧－2＋3＝－ba－2×3＝ca，解得b ＝－a ，c ＝－6a ，则不等式bx ＋c >0可化为：－ax －6a >0，即x ＋6>0，所以x >－6，B 错误， a ＋b ＋c ＝a －a －6a ＝－6a >0，C 正确，不等式cx 2－bx ＋a >0可化为：－6ax 2＋ax ＋a >0，即6x 2－x －1>0，解得x >12或x <－13，D 正确，故选ACD. 答案：ACD11．解析：A 选项，若a >b ，c ＝0，则ac 2＝bc 2，A 错；B 选项，若a <b <0，则a 2>ab ，ab >b 2，即a 2>ab >b 2，B 正确；C 选项，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0不一定是一元二次不等式，所以不能推出a >0；由a >0，b 2－4ac ≤0，可得出不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，所以“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立”的充要条件不是“a >0，b 2－4ac ≤0”，C 错；D 选项，若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝1－4a >0，即a <0，因此“a <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确．故选BD. 答案：BD12．解析：由ab －(a ＋b )＝1得：ab ＝1＋(a ＋b )≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b >1时取等号)， 即()a ＋b 2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得：a ＋b ≥2＋22， ∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确；由ab －(a ＋b )＝1得：ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)， 即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得：ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知D 正确． 故选AD. 答案：AD13．解析：不等式－x 2＋2x ＋8>0等价于x 2－2x －8<0 由于方程x 2－2x －8＝0的解为：x ＝－2或x ＝4所以－2<x <4.答案：{x |－2<x <4}14．解析：∵x ＋y ＝xy ，∴1x ＋1y ＝1，∴x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x ≥5＋2x y ·4y x＝9.当且仅当x y ＝4yx时取等号．答案：915．解析：由2a ＋1b ≥m 2a ＋b 得m ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ()2a ＋b 恒成立，而⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ()2a ＋b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2ba ＝5＋4＝9，故m ≤9，所以m 的最大值为9. 答案：916．解析：由于a >0，故一元二次方程x 2－5ax ＋2a 2＝0的判别式： Δ＝25a 2－4·2a 2＝17a 2>0，由韦达定理有：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5ax 1x 2＝2a 2，则： x 1＋x 2＋a x 1x 2＝5a ＋a 2a 2＝5a ＋12a ≥25a ×12a＝10，当且仅当5a ＝12a ，a ＝1010时等号成立．综上可得：x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是10.答案：1017．解析：若选①，由题得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，2a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.将a ＝2代入所求不等式整理得：(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－12，故原不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >2. 若选②，因为不等式1<ax ＋b ≤3的解集为{x |3<x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1，4a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.将a ＝2代入不等式整理得(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－12，故原不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >2.若选③，若1＝a 2－2a ＋2，解得a ＝1，不符合条件；若1＝a －1，解得a ＝2，则a 2－2a ＋2＝2符合条件．将a ＝2代入不等式整理得(x －2)(2x ＋1)>0，解得x >2或x <－12，故原不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >2. 18．解析：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 19．解析：根据题意，要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，得2×100×⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.20．解析：(1)∵a >0，b >0且ab ＝1， ∴a ＋2b ≥22ab ＝22，当且仅当a ＝2b ＝2时，等号成立，故a ＋2b 的最小值为2 2. (2)∵a >0，b >0且ab ＝1， ∴14a ＋9b ≥294ab ＝3，当且仅当14a ＝9b ，且ab ＝1，即a ＝16，b ＝6时，取等号， 即14a ＋9b的最小值为3， ∴x 2－2x <3，即x 2－2x －3<0，解得－1<x <3， 即实数x 的取值范围是{}x |－1<x <3.21．解析：(1)a 2＋13－()6a ＋3＝a 2－6a ＋10＝()a －32＋1， 因为()a －32≥0，所以()a －32＋1≥1>0， 即a 2＋13>6a ＋3.(2)x 2－()3m ＋1x ＋2m 2＋2m ＝()x －2m ()x －m －1.当2m <m ＋1，即m <1时，解原不等式，可得2m ≤x ≤m ＋1； 当2m ＝m ＋1，即m ＝1时，解原不等式，可得x ＝2；当2m >m ＋1，即m >1时，解原不等式，可得m ＋1≤x ≤2m . 综上所述，当m <1时，原不等式的解集为{}x |2m ≤x ≤m ＋1； 当m ＝1时，原不等式的解集为{2}；当m >1时，原不等式的解集为{}x |m ＋1≤x ≤2m . 22．解析：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1000≤0，解得25≤t ≤40所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意知当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16()x 2－600＋15x 成立等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

新20版练B1数学人教A 版第二章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·成都诊断)若a <1,b >1,则下列命题中正确的是( )。

A.1a >1b B.ba >1C.a 2<b 2D.ab <a +b -1答案：D解析: 由a <1,b >1,得a -1<0,b -1>0,所以(a -1)(b -1)<0,即ab <a +b -1。

故选D 。

2.(2019·重庆第七中学高一期末)已知不等式x 2+x -c <0的解集为(-2,1),则c 的值为( )。

A.-2 B.1 C.2 D.4 答案：C解析: ∵x 2+x -c <0的解集为(-2,1),∵-2和1是方程x 2+x -c =0的两个根,∵-c =-2×1,∵c =2。

3.设集合M ={x |x 2+x -6<0},N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =( )。

A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]答案：A解析: 集合M =(-3,2),M ∩N =(-3,2)∩[1,3]=[1,2)。

4.(2019·湖北八校联考)已知x >0,y >0,a +b =x +y ,,cd =xy ,则(a+b )2cd的最小值是( )。

A.0B.1C.2D.4 答案：D解析: 由题意知a +b =x +y ,cd =xy ,x >0,y >0,则(a+b )2cd=(x+y )2xy≥(2√xy )2xy=4。

当且仅当x =y 时,等号成立,故选D 。

5.(2019·西安调考)当x ∈R 时,不等式kx 2-kx +1>0恒成立,则k 的取值范围是( )。

A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.[0,4) D.(0,4)答案：C解析: 当k =0时,不等式变为1>0,成立;当k ≠0时,不等式kx 2-kx +1>0恒成立,则{k >0,Δ=(-k )2-4k <0,即0<k <4。

第二章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式-x 2-5x+6≥0的解集为( ) A.{x|-6≤x ≤1} B.{x|2≤x ≤3} C.{x|x ≥3,或x ≤2} ≥1,或x ≤-6}-x 2-5x+6≥0可化为x 2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x ≤1, {x|-6≤x ≤1}.2.设y=4x+1x -1(x<0),则y ( ) A.有最大值3 B.有最小值3 -5 D.有最大值-5x<0, .∴y=4x+1x -1=-[(-4x )+1-x ]-1≤-4-1=-5,当且仅当x=-12时,等号成立.-5.a ∈R ,且a 2+a<0,那么a ,a 2,-a 的大小关系为 ( )A.a 2>a>-aB.-a>a 2>a 2 D.a 2>-a>aa 2+a<0,即a (a+1)<0,<a<0,因此-a>a 2>0,即-a>a 2>a. .a>0,b>0,且2a+b=2,则ab 的最大值为( ) A.12B.√22C.1D.√2a>0,b>0,且2a+b=2,∴ab=12×2ab ≤12×(2a+b 2)2=12,当且仅当2a=b ,且2a+b=2,即a=12,b=1时,等号成立,ab 取得最大值12.故选A .a 和b (a<b ),其全程的平均速度为v ,则( ) A.v=a+b2B.v=√abC.a<v<√abD.√ab <v<a+b2S ,往返的速度分别为a=S t 1,b=S t 2(a<b ),则其全程的平均速度为v=2St 1+t 2=S a +S b=21a +1b<√ab ,因为v>a ,所以a<v<√ab .6.已知正实数a ,b 满足4a+b=30,使得1a +1b 取最小值时,实数对(a ,b )是( ) A.(5,10) B.(6,6) D.(7,2)a ,b>0,∴1a +1b=130(4a+b )(1a +1b)=1305+b a +4a b≥130×(5+2√4)=310,当且仅当{ba=4a b,4a +b =30时,取等号.5,b=10.ax 2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx 2-x-a>0的解集是( ) A.{x |-12<x <13}B.{x |x <-13,或x >12}C.{x|x<-3,或x>-2} <x<-2}ax 2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},所以a<0,且方程ax 2+5x+b=0的实数根为x 1=2和x 2=3,得{2+3=-5a ,2×3=ba,解得a=-1,b=-6.则不等式bx 2-x-a>0为-6x 2-x+1>0, 即6x 2+x-1<0,解得-12<x<13.故不等式bx 2-x-a>0的解集是x |-12<x<13. 答案:A8.已知y=x 2-3x+2(x<-2),则y ( )A.有最小值-2B.有最小值2 -2 D.有最大值-6x<-2,<0,令x+2=t ,则t<0.∵y=x 2-3x+2,∴y=(t -2)2-3t=t 2-4t+1t =t+1t-4=-(-t )+(-1t)-4≤-2-4=-6,当且仅当t=1t,且t<0,即t=-1,从而有x=-3时,等号成立,y 取得最大值-6.故选D .:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.若1a <1b <0,则下列不等式中,正确的是( )A.a+b<abB.|a|>|b|C.a<bD.b a +ab >2 ∵1a <1b <0, 0,∴a+b<0<ab ,|a|<|b|.∵b a >0,ab >0,a>b , ∴ba +ab >2√b a ·ab =2.2<x<3,2<y<3,则( ) A.6<2x+y<9 B.2<2x-y<3 1 D.4<xy<92<x<3, x<6,∵2<y<3, ∴-3<-y<-2,x+y<9,1<2x-y<4,-1<x-y<1,4<xy<9.( )A.若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为RB.一元二次不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0,且Δ=b 2-4ac ≤0C.若关于x 的不等式ax 2+x-1≤0的解集为R ,则a ≤-14D.若x ∈R ,则y=2√x 2+4的最小值为2A,当a<0时,解集为⌀,故A 为假命题; 由于a ≠0,故B 为真命题;选项C,因为ax 2+x-1≤0的解集为R ,所以{a <0,Δ=1+4a ≤0,解得a ≤-14,故C 为真命题;选项D,y=2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4≥2中,等号取不到,y 取不到最小值2,故D 为假命题.0,b>0,则下列不等式一定成立的是( ) A.a+b+√ab≥2√2 B.2ab a+b ≥√abC.22√ab≥a+bD.(a+b )(1a +1b )≥4a>0,b>0,∴a+b+√ab ≥2√ab √ab≥2√2,当且仅当a=b ,且2√ab =√ab,即a=b=√22时,取等号,故A 一定成立;∵a+b ≥2√ab >0, ∴2ab a+b ≤2√ab =√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴2aba+b ≥√ab 不一定成立,故B 不一定成立; ∵2ab a+b ≤2√ab =√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴a 2+b 2a+b =(a+b )2-2ab a+b =a+b-2aba+b ≥2√ab −√ab =√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴a 2+b2a+b ≥√ab ,∴22√ab≥a+b ,故C 一定成立; (a+b )(1a +1b )=2+b a +ab ≥4,当且仅当a=b 时,取等号,故D 一定成立.故选ACD .:本题共4小题,每小题5分,共20分.5a 2-a+1,N=4a 2+a-1,则M ,N 的大小关系为 .M-N=5a 2-a+1-(4a 2+a-1)=a 2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,x 的不等式x 2-x+a-1≥0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是 .x 的不等式x 2-x+a-1≥0在R 上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x 轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a ≥54.≥54a>0,b>0,且a+b+3=ab ,则ab 的最小值是 ,a+b 的最小值是 .(本题第一空2分,第二空3分)a>0,b>0,且a+b+3=ab ,a+b=ab-3≥2√ab ,当且仅当a=b 时,取等号, ∴√ab ≥3, ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,取等号, ∴ab 的最小值为9.∵a>0,b>0,且a+b+3=ab ,∴a+b+3=ab ≤(a+b 2)2,当且仅当a=b 时,取等号, ∴a+b ≥6,当且仅当a=b=3时,取等号, 的最小值为6.6<a<1,则关于x 的不等式x 2-3(a+a 2)x+9a 3≤0的解集为 .关于x 的方程x 2-3(a+a 2)x+9a 3=0的两个根为x 1=3a ,x 2=3a 2,且0<a<1, a 2=3a (1-a )>0,∴3a>3a 2. {x|3a 2≤x ≤3a }.x|3a 2≤x ≤3a }:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a>0,b>0,且a ≠b ,比较a 2b +b2a与a+b 的大小.(a 2b +b 2a )-(a+b )=a 2b -b+b2a -a=a -b 2b +b 2-a 2a=(a 2-b 2)(1b -1a )=(a 2-b 2)a -bab=(a -b )2(a+b )ab,且a>0,b>0,a ≠b ,∴(a-b )2>0,a+b>0,ab>0,∴(a 2b +b2a )-(a+b )>0,∴a 2b +b2a >a+b.分)解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2<0.(7x+a )(8x-a )<0, 即(x +a7)(x -a8)<0.①当-a 7<a 8,即a>0时,-a 7<x<a8; ②当-a 7=a 8,即a=0时,原不等式的解集为⌀;③当-a 7>a 8,即a<0时,a 8<x<-a 7.综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x |-a7<x <a8}; 当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0时,原不等式的解集为x |a8<x<-a7.19.(12分)(1)已知式子√13+2x -x 2,求使式子有意义的x 的取值集合;y=x 2-4ax+a 2(a ∈R ),关于x 的不等式y ≥x 的解集为R ,求实数a 的取值范围.由13+2x -x 2≥0,得3+2x-x 2>0,解得-1<x<3,故使式子有意义的x 的取值集合是{x|-1<x<3}.y ≥x 的解集为R ,∴当x ∈R 时,x 2-(4a+1)x+a 2≥0恒成立.∴Δ=(4a+1)2-4a 2≤0,即12a 2+8a+1≤0,即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-12≤a ≤-16,∴a 的取值范围为{a |-12≤a ≤-16}.20.(12分)已知关于x 的不等式ax -5x 2-a<0的解集为M.(1)若3∈M ,且5∉M ,求实数a 的取值范围. a=4时,求集合M.由3∈M ,知3a -59-a <0,解得a<53或a>9; 若5∈M ,则5a -525-a <0,解得a<1或a>25. 则由5∉M ,知1≤a ≤25,因此所求a 的取值范围是1≤a<53或9<a ≤25.(2)当a=4时,4x -5x 2-4<0. 4x -5x 2-4<0⇔{4x -5>0,x 2-4<0或{4x -5<0,x 2-4>0⇔{x >54,-2<x <2或{x <54,x <-2或x >2⇔54<x<2或x<-2.故M={x |x <-2,或54<x <2}.分)证明不等式:a ,b ,c ∈R ,a 4+b 4+c 4≥abc (a+b+c ).a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2c 2a 2, +b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2), 即a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2.又a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c ,b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2, c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc ,∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2(ab 2c+abc 2+a 2bc ), 即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a+b+c ). 故a 4+b 4+c 4≥abc (a+b+c ).22.(12分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x 张(x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需运费和保管费共52元,现在每月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月运费和保管费的总费用y ;,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.设题中比例系数为k ,若每批购入x 张,则共需分36x 批,每批价值20x. 由题意,y=36x ·4+k ·20x , 由x=4时,y=52,得k=1680=15.故y=144x +4x (0<x ≤36,x ∈N *).(2)可以使资金够用.理由如下:由(1)知y=144x +4x (0<x ≤36,x ∈N *),则y ≥2√144x ·4x =48(元). 当且仅当144x=4x ,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。

人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.若不等式x2+mx+1>0的解集为R，则m的取值范围是()A．R B．(−2，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．[−2，2]2.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买( )吨．A．20B．30C．40D．153.已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为( )A．14B．4C．52D．34.若关于x的不等式kx2−kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是( )A．(−4,0)B．(−4,0]C．(−∞,−4)∪(0,+∞)D．(−∞,−4)∪[0,+∞)5.在R上定义运算“⊙”: a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙(x−2)<0的实数x则的取值范围为( )A．(0,2)B．(−2,1)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−1,2)6.当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2−8x−4−a>0有解，则实数a的取值范围是( )A．{a∣ a<−4}B．{a∣ a>−4}C．{a∣ a>−12}D．{a∣ a<−12}7.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为( )A ． 20 mB ． 50 mC ． 10√10 mD ． 100 m8. 已知 x >0，y >0，满足 x 2+2xy −1=0，则 2x +y 的最小值是 ( ) A ．√22B ． √2C ．√32D ． √39. 不等式组 {−2(x −3)>10,x 2+7x +12≤0 的解集为 ( )A ． [−4,−3]B ． [−4,−2]C ． [−3,−2]D ． ∅10. 已知 x ，y 为正实数，则 4xx+3y +3y x的最小值为 ( )A ． 53B ．103C ． 32D ． 3二、填空题（共6题） 11. 已知 m =a +1a−2(a >2)，n =22−b 2(b ≠0)，则 m n ．12. 已知 a <b ，若二次不等式 ax 2+bx +c ≥0 对任意实数 x 恒成立，则 M =a+2b+4c b−a的最小值为 ．13. 已知 a >0，b >−1，且 a +b =1，则 a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14. 已知 a,b,c ∈R +，且 ab +2ac =4，则 2a +2b+2c +8a+b+2c的最小值是 ．15. 已知 a >0，b >0，则 22a+√2b的最小值为 ．16. 若正实数 a ，b 满足 a +b =4，则 1a+1+4b+1 的最小值是 ．三、解答题（共6题）17.已知a>0，b>0，且2a+b=1．求S=2√ab−4a2−b2的最大值．18.(1) 若a∈R，解关于x的不等式：(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0．(2) 若−1≤a≤2时，不等式(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0恒成立，求x的取值范围．19.已知函数f(x)=mx2−mx−1．若对于x∈[1,3]，存在x，使f(x)<5−m成立，如何求m的取值范围？20.已知不等式ax2−3x+b<0的解集为(1,2)，设函数f(x)=ax2+(c−b)x−bc．(1) 求a，b的值；(2) 求f(x)<0的解集．21.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙用砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1) 仓库底面积S的最大允许值是多少？(2) 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？22.解下列关于x的不等式．(1) log2(x2−4x)<5．(2) ax2−(a+1)x+1<0(a∈R)．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．2. 【答案】B【知识点】均值不等式的实际应用问题3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】B【解析】当 k =0 时，0<1 恒成立，当 k ≠0 时，要使 kx 2−kx −1<0 的解集是全体实数， 只需满足 {k <0,Δ=(−k )2+4k <0,解得 −4<k <0．故实数 k 的取值范围是 (−4,0]． 【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】B【解析】根据给出的定义得 x ⊙(x −2)=x (x −2)+2x +(x −2)=x 2+x −2=(x +2)(x −1)，由 x ⊙(x −2)<0 得 (x +2)(x −1)<0，解得 −2<x <1，故该不等式的解集是 (−2,1)． 【知识点】二次不等式的解法6. 【答案】A【解析】原不等式 2x 2−8x −4−a >0 可化为 a <2x 2−8x −4，由题意，可知只需当 1≤x ≤4 时，a 小于 y =2x 2−8x −4 的最大值，易得当 1≤x ≤4 时，y =2x 2−8x −4 的最大值是 −4，所以 a <−4． 【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】设 BC =x ，则 CD =1000x，所以，S平行四边形A1B1C1D1=(x+10)(1000x+4)=1040+(4x+10000x)≥1040+2√4x⋅10000x =1440,当且仅当4x=10000x，即x=50时，取“=”号，所以当x=50时，S平行四边形A1B1C1D1最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题8. 【答案】D【解析】因为正实数x，y满足x2+2xy−1=0，所以y=12x −x2，所以2x+y=2x+12x −x2=32x+12x=12(3x+1x)≥12×2√3x⋅1x=√3,当且仅当x=√33时取等号，所以2x+y的最小值为√3，故选D．【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】A【解析】{−2(x−3)>10,x2+7x+12≤0⇒{x−3<−5,(x+3)(x+4)≤0⇒{x<−2,−4≤x≤−3⇒−4≤x≤−3.【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】D【解析】因为x，y为正实数，所以4xx+3y +3yx=41+3yx+(1+3yx)−1≥2⋅√41+3yx⋅(1+3yx)−1=3，当且仅当41+3yx =1+3yx时，即“x=3y”时“=”成立．【知识点】均值不等式的应用二、填空题（共6题）11. 【答案】>【解析】因为a>2，所以a−2>0，又因为m=a+1a−2=(a−2)+1a−2+2≥2√(a−2)⋅1a−2+2=4,当且仅当a−2=1a−2，即(a−2)2=1，又a−2>0，所以a−2=1，即a=3时取等号．所以m≥4．因为b≠0，所以b2≠0，所以2−b2<2，所以22−b2<4，即n<4，所以m>n．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】8【解析】由条件知a>0，b−a>0．由题意得Δ=b2−4ac≤0，解得c≥b24a，所以M=a+2b+4cb−a≥a+2b+4⋅b2 4ab−a=a2+2ab+b2a(b−a)=[2a+(b−a)]2a(b−a)=(b−a)2+4a(b−a)+4a2a b−a=b−aa +4ab−a+4≥2√b−aa ⋅4ab−a+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立，所以M的最小值为8．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】3+2√22【解析】a2+2a+b2b+1=a+2a+(b+1)2−2(b+1)+1b+1=a+2a+b+1−2+1b+1,又a+b=1，a>0，b+1>0，所以a+2a +b+1−2+1b+1=2a+1b+1=(2a+1b+1)(a2+b+12)=32+b+1a+a2(b+1)≥32+2√b+1a⋅a2(b+1)=3+2√22,当且仅当b+1a =a2(b+1)即a=4−2√2，b=2√2−3时取等号，所以a 2+2a+b2b+1的最小值为3+2√22．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】4【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】2【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 32【解析】因为 a >b ，b >0，且 a +b =4， 则 a +1+b +1=6， 所以 a+16+b+16=1，所以1a+1+4b+1=(1a+1+4b+1)(a+16+b+16)=16+23+2(a+1)3(b+1)+b+16(a+1)≥56+2√2(a+1)3(b+1)⋅(b+1)6(a+1)=32,当且仅当 2(a+1)3(b+1)=b+16(a+1) 时，等号成立， 即 b +1=2(a +1)，即 a =1，b =3 时，1a+1+4b+1取得最小值为 32．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立．因此，当 a =14，b =12 时，S 的最大值为 √2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】(1) 原不等式即：[x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0，方程 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]=0 的二根为 2−a ，4a −2a 2， 令 2−a <4a −2a 2 即 2a 2−5a +2<0，解得 12<a <2，所以当 12<a <2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥4a −2a 2或x ≤2−a}．令 2−a =4a −2a 2 即 2a 2−5a +2=0，解得 a =12 或 a =2， 所以当 a =12 或 a =2 时，原不等式解集为 R ．令 2−a >4a −2a 2 即 2a 2−5a +2>0，解得 a <12或 a >2，所以当 a <12或 a >2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥2−a 或x ≤4a −2a 2}．(2) 因为 −1≤a ≤2， 所以 0≤2−a ≤3，因为 4a −2a 2=−2(a −1)2+2， 所以 −6≤4a −2a 2≤2，所以当 −1≤a ≤2 时，2−a ，4a −2a 2 二式的最小值为 −6，最大值为 3． 所以欲使 −1≤a ≤2 时，不等式 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0 恒成立， 应有 x ≤−6 或 x ≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法19. 【答案】由题意知 f (x )<5−m 有解，即 m <6x 2−x+1有解，则 m <(6x 2−x+1)max，又 x ∈[1,3]，得 m <6，即 m 的取值范围为 (−∞,6)． 【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】(1) 因为不等式 ax 2−3x +b <0 的解集为 (1,2)， 所以 1 和 2 是关于 x 的方程 ax 2−3x +b =0 的两个根， 由根与系数的关系得 {1+2=−−3a,1×2=ba ,所以 a =1，b =2．(2) 由（1）知 f (x )=ax 2+(c −b )x −bc =x 2+(c −2)x −2c ， f (x )=(x −2)(x +c )<0，不等式对应的方程的两根为 2 和 −c ． 当 c >−2，即 −c <2 时，−c <x <2； 当 c =−2，即 −c =2 时，(x −2)2<0 无解； 当 c <−2，即 −c >2 时，2<x <−c ．综上所述，当 c >−2 时，不等式的解集为 {x∣ −c <x <2}； 当 c =−2 时，不等式的解集为 ∅；当 c <−2 时，不等式的解集为 {x∣ 2<x <−c }． 【知识点】二次不等式的解法21. 【答案】(1) 设正面铁栅长 x m ，侧面长为 y m ，总造价为 z 元，则 z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ，仓库底面积 S =yx m 2．由题意知 z ≤3200，即 4x +9y +2xy ≤320． 因为 x >0，y >0，所以 4x +9y ≥2√4x ⋅9y =12√xy ， 当且仅当 4x =9y 时，等号成立，所以 6√S +S ≤160，即 (√S)2+6√S −160≤0， 所以 0<√S ≤10， 所以 0<S ≤100．故 S 的最大允许值为 100 m 2．(2) 当 S =100 m 2 时，4x =9y ，且 xy =100． 解得 x =15，y =203．故正面铁栅长应设计为 15 m ． 【知识点】均值不等式的实际应用问题22. 【答案】(1) 因为 log 2(x 2−4x )<5，所以 {x 2−4x >0,x 2−4x <32 即 {x <0或x >4,−4<x <8,解得 −4<x <0 或 4<x <8，故不等式 log 2(x 2−4x )<5 的解集为 (−4,0)∪(4,8)． (2) ax 2−(a +1)x +1<0 等价于 (ax −1)(x −1)<0， 当 a >0 时，若 0<a <1，则 1a >1，此时 1<x <1a ； 若 a =1，则不等式为 (x −1)2<0，此时无解； 若 a >1，则1a<1，此时1a<x <1，当 a =0 时，不等式为 −x +1<0，此时 x >1； 当 a <0 时，1a<0，此时，x <−1a或 x >1，综上，当 0<a <1 时，解集为 (1,1a )；当 a =1 时，解集为 ∅； 当 a >1 时，解集为 (1a ,1)； 当 a =0 时，解集为 (1,+∞)；)∪(1,+∞)．当a<0时，解集为(−∞,−1a【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、二次不等式的解法11。

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.a∈R，且a2＋a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )A．a2>－a3>－aB．－a>a2>－a3C．－a3>a2>－aD．a2>－a>－a32.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．a>b>－b>－aB．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－aD．a>b>－a>－b3.以下命题正确的是( )A．a>b>0，c<d<0⇒ac>bdB．a>b⇒1a <1 bC．a>b，c<d⇒a－c>b－d D．a>b⇒ac2>bc24.已知a>b，c>d，则下列不等式：①a＋c>b＋d；②a－c>b－d；③ac>bd；④ac >bd中恒成立的个数是()A． 1B． 2C． 3D． 45.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为() A． 1B．－1C．－3D． 36.若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是()A． (－∞，2]B． (1，＋∞)C． (－∞，2)D． [1，＋∞)7.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是() A． 1<x<3B．x<1或x>3C． 1<x<2D．x<1或x>2]恒成立，则a的最小值是()8.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12A． 0B．－2C．－52D．－3>1的解集是()9.当0<a<1时，关于x的不等式a(x−1)x−2A． (2，a−2)a−1B． (2−a，2)a−1C． (－∞，2)∪(a−2，＋∞)a−1D． (－∞，2−a)∪(2，＋∞)a−1≥0，x∈R}，则A∩B等于()10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|xx+3A． (－3，－2]]B． (－3，－2]∪[0，52C． (－∞，－3]∪[5，＋∞)2D． (－∞，－3)∪[5，＋∞)211.不等式x2−2x−2<2的解集为()x2+x+1A． {x|x≠－2}B．RC．∅D ． {x |x <－2或x >2}12.下列不等式中是一元二次不等式的是( )A ．a 2x 2＋2≥0B ．1x 2+x <3C ． －x 2＋x －m ≤0D ．x 3－2x ＋1>0第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．14.设a ＝√2，b ＝√7－√3，c ＝√6－√2，则a ，b ，c 的大小关系是________．15.a ，b ∈R ，a <b 和1a <1b 同时成立的条件是________．16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，不等式|f (x )|≤|2x 2＋4x －30|对任意实数x 恒成立，则f (x )的最小值是________．三、解答题(共6小题, 共70分)17.已知1<a <2,3<b <4，求下列各式的取值范围．(1)2a ＋b ；(2)a －b ；(3)a b .18.设－2<a <7,1<b <2，求a b 的取值范围．19.设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的最大值和最小值．20.解下列不等式：(1)x+12−x ≥3；(2)2x －3x ≥－5. 21.若不等式ax 2＋2ax ＋2－a <0的解集为空集，求实数a 的取值范围．22.已知m ∈[－1,2]时，函数y ＝mx 2－2m ＋1的值恒大于0，求实数x 的取值范围．答案1.【答案】B【解析】因为a 2＋a <0，所以a (a ＋1)<0，所以－1<a <0，根据不等式的性质可知－a >a 2>－a 3，故选B.2.【答案】C【解析】借助数轴：∴a >－b >b >－a .3.【答案】C【解析】a >b >0，c <d <0⇒ac <bd ，所以A 不正确；因为不知道a ，b 的符号，所以B 不正确；c 2≥0，所以D 不正确；根据不等式的性质可以判断出C 是正确的．4.【答案】A【解析】因为a >b ，c >d ，所以由不等式的同向可加性可得①a ＋c >b ＋d 成立；②a －c >b －d 不成立，例如1>0,0>－5，但1－0<0－(－5)；③ac >bd 不成立，例如0>－1,2>－5；④a c >b d不成立，例如2>－5，－1>－5. 5.【答案】C【解析】由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3.6.【答案】A【解析】∵x 2－1>kx －k 对于x ∈(1,2)恒成立，∴k <x ＋1对于x ∈(1,2)恒成立，∴k ≤2.故选A.7.【答案】B【解析】设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔{g (1)=x 2−3x +2>0,g (−1)=x 2−5x +6>0⇔{x <1或x >2,x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8.【答案】C【解析】ax ≥－(x 2＋1)，a ≥－(x ＋1x )对一切x ∈(0，12]恒成立，当0<x ≤12时，－(x ＋1x )≤－52，∴a ≥－52，故选C.9.【答案】A【解析】a (x−1)x−2>1⇒ax−x−a+2x−2>0⇒(a−1)(x−a−2a−1)x−2>0，∵0<a <1，∴a －1<0， a−2a−1－2＝−a a−1>0⇒a−2a−1>2，∴不等式的解集为(2，a−2a−1)． 10.【答案】D【解析】因为A ＝{x |x ≥52或x ≤－2}，B ＝{x |x ≥0或x <－3}，∴A ∩B ＝(－∞，－3)∪[52，＋∞)，故选D. 11.【答案】A【解析】原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2， ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．12.【答案】C【解析】选项A 中，a 2＝0时不符合；选项B 是分式不等式；选项D 中，最高次数为三次；只有选项C 符合．故选C.13.【答案】[－1,6]【解析】∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.14.【答案】a >c >b【解析】∵a 2＝(√2)2＝2，b 2＝(√7−√3)2＝7－2√21＋3＝10－2√21，c 2＝(√6−√2)2＝6－2√12＋2＝8－4√3，∴a 2－c 2＝4√3－6>4×1.5－6＝0，即a 2>c 2；c 2－b 2＝2√21－2－4√3＝2×(√21−√12−1)＝2×(21+121)>2×(25+161)＝2×(95+4−1)＝0，即c 2>b 2.∴a 2>c 2>b 2，又a ，b ，c 都大于零，∴a >c >b .15.【答案】a <0<b【解析】若ab <0，由a <b ，两边同除以ab ，得1b >1a ，即1a <1b ；若ab >0，则1a >1b ，所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b .16.【答案】－16【解析】令2x 2＋4x －30＝0，得x 2＋2x －15＝0，∴x ＝－5或x ＝3.由题意知当x ＝－5或x ＝3时，|f (x )|≤0，∴f (x )＝0，∴{−a =−5+3=−2,b =(−5)×3=−15,∴{a =2,b =−15.经检验，适合题意． ∴f (x )＝x 2＋2x －15＝(x ＋1)2－16，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝－16.17.【答案】(1)∵1<a <2，∴2<2a <4.又3<b <4，∴5<2a ＋b <8.(2)∵3<b <4，∴－4<－b <－3.又1<a <2，∴－3<a －b <－1.(3)∵3<b <4，∴14<1b <13.又1<a <2，∴14<a b <23.18.【答案】由1<b <2，得12<1b <1.①当－2<a <0时，有0<－a <2，∴0<－a b <2，即－2<a b <0；②当0<a <7时，有0<a b <7；③当a ＝0时，有a b ＝0.综上，－2<a b <7.19.【答案】方法一 ∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ，设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a －(m －n )b ，比较两边系数，得{m +n =4,m −n =2,∴{m =3,n =1,∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴3≤3f (－1)≤6，∴5≤f (－2)≤10，∴f (－2)max ＝10，f (－2)min ＝5.方法二 ∵{f (−1)=a −b,f (1)=a +b,∴{a =f (−1)+f (1)2,b =f (1)−f (−1)2,∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 以下同方法一．20.【答案】(1)x+12−x ≥3⇔x+12−x－3≥0⇔(x+1)−3(2−x)2−x ≥0⇔4x−52−x ≥0⇔{(4x −5)(x −2)≤0,x −2≠0⇔{x |54≤x <2}． (2)2x －3x ≥－5⇔2x 2+5x−3x ≥0⇔{2x 2+5x −3≥0,x >0或{2x 2+5x −3≤0,x <0⇔{x ≥12或x ≤−3,x >0或{−3≤x ≤12,x <0⇔{x |x ≥12或－3≤x <0}． 21.【答案】①当a ＝0时，原不等式化为2<0，解集为空集．∴a ＝0符合题意；②当a ≠0时，∵不等式ax 2＋2ax ＋2－a <0的解集为空集，∴二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋2－a 的图象开口向上，且与x 轴最多有一个交点，∴{a >0,Δ=(2a)2−4a(2−a)≤0,解得0<a ≤1.综上可知，实数a 的取值范围是0≤a ≤1.22.【答案】令y ＝f (m )＝mx 2－2m ＋1＝(x 2－2)m ＋1，∵f (m )>0在[－1,2]上恒成立，∴{−(x 2−2)+1>02(x 2−2)+1>0，解得32<x 2<3， ∴－√3<x <－√62或√62<x <√3.。

2020新教材人教A 版高一数学必修一第二章单元测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a >bB ．ab <b C.b a ＋a b <－2D ．a 2>b 2 3．不等式4＋3x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－1<x <4}B ．{x |x >4或x <－1}C ．{x |x >1或x <－4}D ．{x |－4<x <1}4．若关于x 的不等式x 2＋px ＋q <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x的不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0的解集是( ) A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <－1或x >6}C ．{x |－1<x <1或2<x <6}D ．{x |x <－1或1<x <2或x >6}5．若正实数x，y满足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为()A．1 B．2C．3 D．46．已知a>0，b∈R，那么“a＋b>0”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x －a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．0≤a≤2B．－2≤a≤－1或－1<a≤0C．0≤a<1或1<a≤2D．－2≤a≤08．设a是实数，要使得对任意x∈{x|x<1或x>5}，都有x2－2(a －2)x＋a>0，则a的取值范围为()A．a≤5 B．1<a<4C．1<a≤7 D．1<a≤59．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz10．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．411．当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，且关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．－4≤m ≤1C ．m ≤4或m ≥1D ．m ≤－412．设M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A ．8B ．9C ．16D ．18第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为________14．已知函数f (x )＝－1a ＋2x ，若f (x )＋2x ≥0在x >0上恒成立，则a 的取值范围是_________15．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为____m 、宽为_______m.16．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为_______.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．19．(12分)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元．在年产量不足8万件时，C (x )＝13x2＋2x (万元)；在年产量不小于8万件时，C (x )＝7x ＋100x －37(万元)．每年产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．(12分)已知函数y ＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程y －x ＋12＝0的两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求a 、b 的值；(2)设k >1，解关于x 的不等式y (2－x )<(k ＋1)x －k .21．(12分)已知方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根．(1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围；(2)如果两实根都在1<x <3内，求实数m 的取值范围；(3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．22．(12分)设函数y ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1.(1)当a ∈R 时，求关于x 的不等式y <0的解集；(2)若y ≤x 3－x 2＋1在x ≥32上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)1解析：D 由－1<b <0，可得1>b 2>0>b ，由a <0，得ab >ab 2>a .2解析：A 因为1a <1b <0，所以b <a <0.故选A.3解析：B 不等式4＋3x －x 2<0可化为x 2－3x －4>0，即(x ＋1)(x －4)>0，解得x >4或x <－1.故不等式的解集为{x |x >4或x <－1}．4解析：D 由题知x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，故x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0， 同解于(x －1)(x －2)(x ＋1)(x －6)>0，得x <－1，或1<x <2，或x >6.故选D.5解析：A 因为x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，所以2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以xy ≤1，所以1xy ≥1，所以1≥M ，所以M max ＝1.故选A.6解析：B 当a ＝1，b ＝2时，满足a ＋b >0，但是a >|b |不成立，即充分性不成立，当a >|b |时，一定有a ＋b >0成立，∴“a ＋b >0”是“a >|b |”的必要不充分条件，故选B.7解析：D 由题意得，x *(x －a )＝x ×[1－(x －a )]＝x ×[(a ＋1)－x ]，所以x *(x －a )>0等价于x ×[x －(a ＋1)]<0.由题意知该不等式的解集可以是空集，此时a ＝－1.当不等式的解集不是空集时，分两种情况：若a >－1，则不等式的解集为{x |0<x <a ＋1}，所以a ＋1≤1，即a ≤0，故a 的取值范围为－1<a ≤0；若a <－1，则不等式的解集为{x |a ＋1<x <0}，所以a ＋1≥－1，即a ≥－2，故a 的取值范围为－2≤a <－1.综上所述，a 的取值范围为－2≤a ≤0，故选D.8解析：D 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .(1)f (x )与x 轴没有交点．这时f (x )恒大于0，满足要求．由Δ＝4(a －2)2－4a <0，解得1<a <4.(2)f (x )与x 轴有交点．这时，由函数图象可知，f (x )满足要求当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≥0，f (5)≥0，1≤a －2≤5，f (a －2)≤0，解得4≤a ≤5. 综上可知，a 的取值范围是1<a ≤5.9解析：B 方法1：因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .又az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .综上可得，最低的总费用为az ＋by ＋cx .方法2：采用特殊值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .10解析：D 由题意得，1a >0，b 2－4c a ≤0，得c ≥ab 24.所以T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1≥1＋2ab ＋a 2b 22(ab －1). 令ab －1＝m ，则m >0，所以T ≥1＋2(m ＋1)＋(m ＋1)22m＝m 2＋2m ＋2≥4. 当且仅当m 2＝2m ，即m ＝2，ab ＝3时取到等号，则T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为4.故选D. 11解析：B ∵当x >0时，x 2＋mx ＋4≥0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x . ∵x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取等号，∴m ≥－4.∵关于t 的不等式t 2＋2t ＋m ≤0有解，∴Δ＝4－4m ≥0，∴m ≤1.故实数m 的取值范围是－4≤m ≤1.故选B.12解析：D 由△ABC 的面积是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积之和，可知12＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝12，且x >0，y >0，则1x ＋4y ＝(2x ＋2y )·(1x ＋4y )＝10＋8x y ＋2y x ≥10＋28x y ×2y x ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8x y ＝2y x ，x ＋y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝13时等号成立，所以1x ＋4y 的最小值是18.故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13解析：(1)当m 2＋4m －5＝0，即m ＝1或m ＝－5时，显然m ＝1符合条件，m ＝－5不符合条件；(2)当m 2＋4m －5≠0时，由二次函数对一切实数x 恒为正数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5>0，Δ＝16(m －1)2－12(m 2＋4m －5)<0， 解得1<m <19.综合(1)(2)得，实数m 的取值范围为1≤m <19.14解析：因为f (x )＋2x ＝－1a ＋2x ＋2x ≥0在x >0上恒成立，即1a≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在x >0上恒成立，因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝1时等号成立． 所以1a ≤4，解得a <0或a ≥14.15解析：设鱼池的相邻两边长分别为x m ，y m ，则xy ＝432， ∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．16解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12(x y ＋2y x )≥2，当且仅当x y ＝2y x ，即x ＝2y 时等号成立．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17解：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎨⎧ k <0，k >66或k <－66.所以k <－66.即k 的取值范围是k <－66.18解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.故当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈{x |0≤x ≤2}，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在0≤x ≤2上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0≤x ≤2上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34.所以a 的取值范围是a ≥34.19解：(1)因为每件商品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元．依题意得，当0<x <8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x －2＝－13x 2＋4x －2；当x ≥8时，P (x )＝6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋100x －37－2＝35－x －100x . 所以P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋4x －20<x <8，35－x －100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－13(x －6)2＋10，因此，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝10(万元)；当x ≥8时，P (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝15(万元)， 当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，取等号，即x ＝10时，P (x )取得最大值15万元．因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这。

2020-2021学年高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷解析版一．选择题（共8小题）1．已知正实数a ，b 满足a +b ＝2，则√a +1+√b +1的最大值为（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．16解：因为（√a +1+√b +1）2＝（a +1）（b +1）+2√a +1•√b +1≤（a +1）+（b +1）+（a +1）+（b +1）＝2（a +b +2）＝8，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，由：（√a +1+√b +1）2最大值为8，所以√a +1+√b +1的最大值为2√2．故选：A ．2．已知m ＝a +1a−2（a ＞2），n ＝4﹣b 2（b ≠0），则m ，n 之间的大小关系是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定 解：∵a ＞2，∴a ﹣2＞0，∴m =a +1a−2=(a −2)+1a−2+2≥2√(a −2)⋅1a−2+2=4，由b ≠0得，b 2＞0，∴n ＝4﹣b 2＜4，∴m ＞n ．故选：A ．3．若a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则2a +3a+1b 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．9 解：2a +3a+1b =2a+4b a +3a+a+2b b =4+4b a +4a b ≥4+2√4b a ×4a b =12．（当且仅当a ＝b时取“＝”）．故选：C ．4．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0的解集为（ ）A ．(−43，1)B ．(−1，43)C ．(−∞，−43)∪(1，+∞)D ．(−∞，−1)∪(43，+∞)解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a ＜0；由根与系数的关系知，{−4+1=−b a −4×1=c a ， ∴{b =3a c =−4a， ∴不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0化为3a （x 2+1）﹣a （x +3）﹣4a ＞0，即3（x 2+1）﹣（x +3）﹣4＜0，解得﹣1＜x ＜43，∴该不等式的解集为（﹣1，43）． 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的最小值为0，若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），则实数c 的值为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．4解：f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴4b−a 24=0，∴b =a 24，∵f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），∴f （x ）﹣c ＝0的根为m ，m +4，即x 2+ax +a 24−c ＝0的根为m ，m +4， ∵（m +4﹣m ）2＝（﹣a ）2﹣4（a 24−c ），∴4c ＝16，c ＝4．故选：D ． 6．已知正实数p ，q ，r 满足：（1+p ）（1+q ）＝（1+r ）2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p 2+q 22，则以下不等式正确的是（ ）A ．r ≤aB ．a ≤r ≤bC ．b ≤r ≤cD ．r ≥c。

人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、单选题 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是（ ） 2．A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}2．已知2t a b =+，21s a b =++ ，则t 和s 的大小关系为（ ） A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s <D ．t s ≤3．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则a b +=（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．若不等式组2142x ax a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．已知1230m m m >>>，则使得()()211123i m x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x （x∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ）A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年9．若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-10．若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（） A ．a b > B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-11．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-二、多选题 12．已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． 13．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题 13．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集为{|x x a <或1}x >，则=a _____，t =_____． 14．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．15．当122x ≤≤时，函数2,()y x bx c b c R =++∈与21x x y x++'=在同一点取得相同的最小值，那么当122x ≤≤时，2y x bx c =++的最大值是______． 16．已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．四、解答题 17．已知函数22y x x c =++的图象经过原点．求解不等式220x x c ++<．18．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小.19．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围.20．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．21．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．22．已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C. 2．D 【解析】利用作差法，令s t -，结果配方，判断符号后得出结论． 【详解】2221(2)21(1)0s t a b a b b b b -=++-+=-+=-≥，故有s t ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应用．属于基础题. 3．A 【解析】由不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，得到1,2-是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b ，即可得到答案． 【详解】由题意，可得不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<， 所以1,2-是方程220ax bx ++=的两个根， 所以可得12ba-+=-，212a -⨯=，解得1a =-，1b =，所以0a b +=， 故选：A ． 4．A 【解析】分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解． 【详解】由题意124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∈2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ． 【点睛】本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5．A 【解析】对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 【详解】不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，当20a -=，即2a =时，40-<恒成立，满足题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需200a -<⎧⎨∆<⎩，即有()()22421620a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩， 解得22a -<<.综上可得，a 的取值范围为(]2,2-. 故选：A. 6．C 【解析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.∈当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意；………内∈当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ∈当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立. 所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．B 【解析】先解出不等式()()211123i m x i -<=，，的解集，得到当123i =，，时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可. 【详解】因为1230m m m >>>，所以()()()22111230123i im x i x i m -<=⇒<<=，，，，， 因为1230m m m >>>，所以123222m m m <<，要想使得()()211123i m x i -<=，，都成立，所以x 取值范围是120m ⎛⎫⎪⎝⎭，，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力. 8．C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∈7=a(4－6)2+11 ∈a=－1． 即y=－x 2+12x －25，∈=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．9．B 【解析】运用不等式的性质求出-a b 的范围即可.【详解】因为12a <<，13b -<<，所以31b -<< 所以23a b -<-< 故选：B 【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单. 10．D 【解析】将0a <b <，转化为0->->a b ，利用不等式的基本性质判断A ，B 的正误，利用重要不等式判断C 的正误，利用特殊值判断D 的正误. 【详解】因为0a <b <，所以0->->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确. 因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以222a b ab +>故C 正确. 当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．D 【解析】先由基本不等式得到12x x--≥，再转化得到111y x x =++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->， 由基本不等式：1()()2x x -+-≥=，当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.所以12x x--≥，即12x x +≤-，所以111y x x =++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 12．ABC 【解析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． 【详解】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确 由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+222a b =时等号成立），所以选项D 不正确． 故A ，B ，C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 13． 3- 3- 【解析】由不等式的解集可确定对应二次函数图像的开口和对应二次方程的两根，由根与系数关系即可求得a 和t 的值. 【详解】由不等式2260tx x t -+<的解集为{xx a <∣或1}x >， 可知不等式对应二次函数图像开口向下即0t <，且1，a 是方程2260tx x t -+=的两根，由根与系数的关系可得61,,a t a t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2,2a t =⎧⎨=⎩或3,3.a t =-⎧⎨=-⎩ 0t <，3,3a t ∴=-=-， 故答案为：-3，-3 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次函数图像，二次方程之间关系的应用，属于基础题. 14．{x |2≤x <8} 【解析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}． 故答案为：{x |2≤x <8} 【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目. 15．4． 【解析】先利用基本不等式求得21x x y x ++'=图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得b 和c ，最后根据x 的范围求得2y x bx c =++的最大值．【详解】21113x x y x x x '++==++≥(当且仅当1x =时取等号)所以当1x =时，y '取得最小值3，所以函数2,()y x bx c b c R =++∈在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，当1x =时有最小值3. 所以二次函数2y x bx c =++的顶点坐标为()1,3 2(1)3y x ∴=-+．∴当2x =时，max 4y =．故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题. 16．94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值． 【详解】4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是要配凑出定值，“1”的代换是常用方法．用基本不等式求最值时一定要注意等号成立的条件是否能满足． 17．{}20x x -<<. 【解析】待定系数法求c ，再解一元二次不等式即可. 【详解】 解：22y x x c =++的图象经过原点，0c ∴=．即求解220x x +<，解得20x -<<，即不等式的解集为{}20x x -<<．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题. 18．222()px qy px qy +≤+ 【解析】用作差的方法，因式分解，利用1p q +=，化简可得2)0(pq x y --≤，进而得出结果.【详解】22222()(1)(1)2()px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p -=--=-因此222222()()(2)()+-+=-+-=--px qy px qy pq x y xy py x y 因为,p q 为正数，所以2)0(pq x y --≤因此222()()+≤+px qy px qy ，当且仅当x y =时等号成立 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目. 19．(,9]-∞ 【解析】首先解一元二次不等式求出解集M ，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，则函数在()2,3上的最大值不超过0，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：{}22(1)(3)013430|23(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩. 所以{}|23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，只需该函数在{}|23x x <<上的最大值不超过0即可. 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤. 故实数a 的取值范围是(,9]-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.20．()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【解析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果． 【详解】 ()1已知3x >， 则：30x ->， 故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =， 即：当5x =时，y 的最小值为7． ()2已知0x >，0y >，223x y +=， 则：23x y +≥ 解得：6xy ≤， 即：123x y ==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．证明见解析 【解析】 主要考查不等关系与基本不等式． 证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯=． 22．16m . 【解析】要使不等式x y m +≥恒成立，只需求x y +的最小值，将19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式可求解. 【详解】 由191x y +=，则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立，则16m ． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。

第二章 一元二次函数、方程和不等式考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( D ) A ．若a >b ，则1a <1bB ．若a >b >0，c >d ，则a ·c >b ·dC ．若a >b ，则a ·c 2>b ·c 2D ．若a ·c 2>b ·c 2，则a >b[解析] 由题意，对于选项A 中，当a >0>b 时，此时1a >1b ，所以A 是错误的；对于选项B 中，当0>c >d 时，此时不等式不一定成立，所以B 是错误的；对于选项C 中，当c ＝0时，不等式不成立，所以C 是错误的．根据不等式的性质，可得若ac 2>bc 2时，则a >b 是成立的，所以D 是正确的．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －1≤0，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( C ) A ．{x |－2≤x <2} B ．{x |－1<x ≤1} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1<x <2}[解析] 由题意，A ＝{x |x ＋2x －1≤0}＝{x |－2≤x <1}，B ＝{x |－1<x <2}， 则A ∩B ＝{x |－1<x <1}．3．设A ＝b a ＋ab ，其中a ，b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系是( B )A ．A ≥B B ．A >BC ．A <BD ．A ≤B[解析] 因为a ，b 都是正实数，且a ≠b ， 所以A ＝b a ＋ab>2b a ·ab＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2＝－(x －2)2＋2≤2， 即B ≤2，所以A >B ．4．已知2x ＋3y ＝3，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( C )A ．53B ．83C ．8D ．24[解析] 因为2x ＋3y ＝3，x ，y 均为正数， 则3x ＋2y ＝13(3x ＋2y )(2x ＋3y ) ＝13(12＋9y x ＋4x y)≥12＋29y x ·4xy3＝8，当且仅当9y x ＝4xy且2x ＋3y ＝3，即x ＝34，y ＝12时取等号，所以3x ＋2y的最小值是8.5．若不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( D ) A ．{a |－16<a <0} B ．{a |－16<a ≤0} C ．{a |a <0}D ．{a |－8<a <8}[解析] 不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ， 所以Δ＝a 2－4×4×4<0，解得－8<a <8， 所以实数a 的取值范围是{a |－8<a <8}．6．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．{m |m <6} B ．{m |m ≤6} C ．{m |m ≥6}D ．{m |m >6}[解析] 当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立⇔当x >0时，不等式m <x ＋9x 恒成立⇔m <(x＋9x )min ，当x >0时，x ＋9x ≥2x ·9x ＝6(当且仅当x ＝3时取“＝”)，因此(x ＋9x)min ＝6，所以m <6.7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( C )A ．4 5B ．415C ．8 5D ．815[解析] 由题意，p ＝10， S ＝10(10－a )(10－b )(10－c )＝20(10－a )(10－b )≤20·10－a ＋10－b2＝85，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8 5.8．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T ＝12(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最小值为( D )A ． 3B ．2C ．2 3D ．4[解析] 易知a >0，则原不等式的解集为空集等价于x 2＋abx ＋ac <0的解集为空集，所以Δ＝a 2b 2－4ac ≤0⇒4ac ≥a 2b 2，所以T ＝1＋2ab ＋4ac 2(ab －1)≥1＋2ab ＋a 2b 22(ab －1)＝(ab －1)2＋4(ab －1)＋42(ab －1)＝12[(ab －1)＋4ab －1＋4]≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当ab －1＝4ab －1，即ab ＝3时，等号成立．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，则下列结论正确的是( BCD ) A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0[解析] 因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，故D 正确，故选BCD ．10．使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件是( AC ) A ．－2<x <0 B ．－3<x <2 C ．0<x <3D ．－2<x <4[解析] 由x 2－x －6<0得－2<x <3，若使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x |－2<x <3}的真子集，故选AC ．11．设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式恒成立的是( CD ) A ．a 2>ab B ．a 2<b 2 C ．1ab 2<1a 2bD ．a 3<b 3 [解析] 对于A ，当a ＝2，b ＝3时，a <b ，但22<2×3，故A 中不等式不恒成立； 对于B ，当a ＝－2，b ＝1时，a <b ，但(－2)2>12，故B 中不等式不恒成立； 对于C ，1ab 2－1a 2b ＝a －b(ab )2<0恒成立，故C 中不等式恒成立；对于D ，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )[(a ＋12b )2＋34b 2]，∵a <b ，∴a －b <0，又(a ＋12b )2＋34b 2>0，∴a 3<b 3，故D 中不等式恒成立，故选CD ． 12．设a 、b 是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) A ．ab >2aba ＋bB ．a >|a －b |－bC ．a 2＋b 2>4ab －3b 2D ．ab ＋2ab>2[解析] 对于A ，ab >2ab a ＋b ⇒1>2ab a ＋b ⇒a ＋b2>ab ，当a ＝b >0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B ，a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b ，故B 中不等式正确；对于C ，a 2＋b 2>4ab －3b 2⇒a 2＋4b 2－4ab >0⇒(a －2b )2>0，当a ＝2b 时，不等式不成立，故C 中不等式错误；对于D ，ab ＋2ab≥22>2，故D 中不等式正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若x ∈{x |x >1}，则y ＝3x ＋1x －1的最小值是[解析] ∵x >1，∴x －1>0，因此y ＝3x ＋1x －1＝3(x －1)＋1x －1＋3≥23(x －1)·1x －1＋3＝3＋23，当且仅当3(x －1)＝1x －1，即x ＝33＋1时取等号，因此y ＝3x ＋1x －1的最小值是3＋2 3.14．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ＝__－6__，c ＝__－1__. [解析] 由题意知a <0，且不等式对应方程的两个根分别为13，12，根据根与系数的关系得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝13×12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.15．已知a >b >0，且m ＝1a (a －b )，n ＝a 2＋1ab ，则m ＋n 的最小值是__4__.[解析] 由已知可得，a >b >0，所以m ＋n ＝1a 2－ab＋a 2＋1ab ＝1a 2－ab ＋(a 2－ab )＋1ab ＋ab ≥4，当且仅当a ＝2，b ＝22时，等号成立． 16．已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为[解析] 已知不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立， 当a ＝0时，2x ＋b ≥0，不符合题意；当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－4ab ≤0⇒⎩⎨⎧a >0，ab ≥1.又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立， ∴4－4ab ≥0⇒ab ≤1，因此ab ＝1，且a >0，从而b >0，又a －b >0， ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b≥22，当且仅当a －b ＝2，即a ＝6＋22，b ＝6－22时，等号成立．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知关于x 的不等式(k 2＋4k －5)·x 2＋4(1－k )x ＋3>0的解集为R ，求实数k 的取值范围．[解析] 当k 2＋4k －5＝0时，k ＝1或k ＝－5.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－5，原不等式为24x ＋3>0，不恒成立，不符合题意．当k 2＋4k －5≠0时，依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5>0，16(1－k )2－4(k 2＋4k －5)×3<0，解得1<k <19.因此，1≤k <19. 故实数k 的取值范围为{k |1≤k <19}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3mx 2＋mx －2(m ∈R )． (1)当m ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的不等式f (x )<0的解集为R ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝1时，f (x )＝3x 2＋x －2. 由f (x )>0可得3x 2＋x －2>0， 解可得x >23或x <－1，故不等式的解集为{x |x >23或x <－1}．(2)因为不等式f (x )<0的解集为R ， 所以3mx 2＋mx －2<0恒成立．①m ＝0时，－2<0恒成立，符合题意， ②m ≠0时，根据二次函数的性质可知，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋24m <0， 解得－24<m <0，综上可得，实数m 的取值范围为{m |－24<m ≤0}．19．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. [解析] (1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}． (2)由x 2－x －a 2＋a <0得(x －a )[x －(1－a )]<0. 因为0≤a ≤1， 所以①当1－a >a ， 即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，(x －12)2<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上所述，当0≤a <12时，解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，解集为∅，当12<a ≤1时，解集为{x |1－a <x <a }．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0，所以－2<x <4， 所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． 因为对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤2}．21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x (x ≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R (x )万元，且R (x )＝74 000x －400 000x 2.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数关系式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解析] (1)由题意，可得年利润W 关于年产量x 的函数关系式为W ＝xR (x )－(160x ＋400) ＝x (74 000x －400 000x 2)－(160x ＋400)＝74 000－400 000x －160x －400＝73 600－400 000x －160x (x ≥40)．(2)由(1)可得W ＝73 600－400 000x －160x≤73 600－2400 000x·160x ＝73 600－16 000＝57 600，当且仅当400 000x ＝160x ，即x ＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中取得最大值57 600万元．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝0，解关于x 的不等式f (x )≥x (结果用含m 式子表示)；(2)若存在实数m ，使得当x ∈{x |1≤x ≤2}时，不等式x ≤f (x )≤4x 恒成立，求负数n 的最小值．[解析] (1)由题得：x ≤x 2＋mx －m ，即(x ＋m )(x －1)≥0； ①m ＝－1时可得x ∈R ；②m <－1时，－m >1，可得不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥－m }； ③m >－1时，－m <1，可得不等式的解集为{x |x ≤－m 或x ≥1}． (2)x ∈{x |1≤x ≤2}时，x ≤x 2＋mx ＋n ≤4x 恒成立， 即为1≤x ＋nx＋m ≤4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，即存在实数m ，使得－x －n x ＋1≤m ≤－x －nx ＋4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，所以(－x －n x ＋1)max ≤m ≤(－x －nx ＋4)min ，即(－x －n x ＋1)max ≤(－x －nx ＋4)min .由y ＝－x －nx(n <0)在[1,2]上递减，所以－n ≤2－n2，即n ≥－4，所以负数n 的最小值为－4.。

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（ ）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（ ）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（ ）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（ ）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（ ）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x<b c10．已知a>0，b>0，且a+b=ab，则（ ）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（ ）A．6B．315C．132D．5212． 现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（ ）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为　　．14． 已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是　　.15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为　　.16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.≥0},则A∩(∁R B)=()2.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={x|x+1x-2A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-1,2]D.(-1,1]x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.∴A=[-2,1],由x+1≥0,得x≤-1或x>2.∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则x-2∁R B=(-1,2],∴A∩(∁R B)=(-1,1].3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.t>sB.t≥sC.t<sD.t≤s4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.4.下列命题中,正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若√x<√x,则a<ba=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc ,但a<b ,故A 错;取a=3,b=-1,c=5,d=0,则a>b ,c>d ,但a-c=-2,b-d=-1,a-c<b-d ,故B 错;取a=3,b=-1,c=0,d=-2,则a>b ,c>d ,但ac=0,bd=2,ac<bd ,故C 错;因为0≤√x <√x ,故(√x )2<(√x )2,即a<b ,故D 正确.5.不等式2x +2<x+1的解集是( )A.(-3,-2)∪(0,+∞)B.(-∞,-3)∪(-2,0)C.(-3,0)D.(-∞,-3)∪(0,+∞)解析不等式2x +2<x+1等价于x (x +3)x +2>0,即等价于x (x+3)(x+2)>0,得它的解集为(-3,-2)∪(0,+∞).6.若不等式x 2-(a+1)x+a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是( ) A.[-4,1] B.[-4,3] C.[1,3]D.[-1,3]x 2-(a+1)x+a ≤0得(x-a )(x-1)≤0,若a=1,不等式解集为{1},满足{1}⊆[-4,3];若a<1,有a ≤x ≤1,即解集为[a ,1],若满足[a ,1]⊆[-4,3],则-4≤a<1;若a>1,有1≤x ≤a ,即解集为[1,a ],若满足[1,a ]⊆[-4,3],则1<a ≤3,综上-4≤a ≤3,即实数a 的取值范围是[-4,3].7.若两个正实数x ,y 满足1x+4x=1,且不等式x+x4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是( )A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)解析1x+4x x+x4=2+x4x +4xx≥2+2√x 4x ·4xx =4,则x+x 4≥4,不等式x+x4<m 2-3m 有解,则m 2-3m>4,解得m<-1或m>4,故选C .8.某工厂年产量第二年增长率为a ,第三年增长率为b ,这两年年产量的平均增长率为x ,则( ) A.x ≥x +x 2B.x>x +x 2C.x ≤x +x 2D.x<x +x 21,由题意得(1+a )(1+b )=(1+x )2,∴x=√(1+x )(1+x )-1≤(1+x )+(1+x )2-1=x +x 2,当且仅当1+a=1+b 即a=b 时取等号.9.当x>0时,不等式x 2-mx+9>0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,6) B.(-∞,6] C.[6,+∞)D.(6,+∞)解析当x>0时,不等式x 2-mx+9>0恒成立,即不等式m<x+9x 恒成立,即m<x+9xmin.x+9x ≥2√x ·9x =6(当且仅当x=3时取“=”),因此x+9xmin=6,所以m<6.10.已知实数a ,b 满足1≤a+b ≤3,-1≤a-b ≤1,则4a+2b 的取值范围是( ) A.[0,10] B.[2,10] C.[0,12]D.[2,12]4a+2b=3(a+b )+(a-b ),所以3×1-1≤4a+2b ≤3×3+1,即2≤4a+2b ≤10,选B .11.若正实数x ,y 满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y 的最小值为( ) A.4B.92C.5D.112解析∵正实数x ,y 满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+x +2x 22-8≥0,当且仅当x=2y 时取等号.设x+2y=t>0,∴t+14t 2-8≥0,∴t 2+4t-32≥0,即(t+8)(t-4)≥0,∴t ≥4,故x+2y 的最小值为4.12.对实数a 和b ,定义运算“x”:a x b={x ,x -x ≤1,x ,x -x >1.设函数y=(x 2-2)x (x-x 2),x ∈R .若函数y=c 的图象与x 轴恰有两个交点,则实数c 的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪-1,32B.(-∞,-2]∪-1,-34C.-1,14∪14,+∞D.-1,-34∪14,+∞解析由题可知y={x 2-2,-1≤x ≤32,x -x 2,x <-1或x >32,作出函数图象,如图所示,由图象可知,y=c 与上述图象有两个交点时,c 的取值范围为(-∞,-2]∪-1,-34.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.要使关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a 的取值范围是 .,设y=x 2+(a 2-1)x+a-2,要使得关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,根据二次函数的图象与性质,则满足x=1时,y<0,即a 2+a-2<0,即(a-1)(a+2)<0,解得-2<a<1,即实数a 的取值范围是-2<a<1.2<a<114.已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0(a ,b ,c ∈R )的解集为{x|3<x<4},则x 2+5x +x 的最小值为 .a<0,由根与系数的关系知{-xx =3+4=7,x x=3×4=12,∴b=-7a ,c=12a ,则x 2+5x +x =144x 2+5-6x =-24a+5-6x ≥2√(-24x )×5-6x =4√5,当且仅当-24a=5-6x ,即a=-√512时取等号.√515.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是.解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t万亩,则税收收入为20-52t×24000×t%.由题意20-52t×24000×t%≥9000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.∴t的范围是[3,5].16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x +4x的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x +4x=2+4xx+4xx+8≥18,乙:z=(x+2y)2x +4x≥2√2xx·2√8xx=16.①你认为甲、乙两人解法正确的是.②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确..甲②答案不唯一.如:已知x>0,y>0,求z=(a+b)1x +1x的最小值.甲:z=(a+b)1x +1x=1+xx+xx+1≥4,乙:z=(a+b)1x +1x≥2√xx·2√1x·1x=4.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)=a 3+b 3-a 2b-ab 2=a 2(a-b )-b 2(a-b )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b )2(a+b ), ∵a>0,b>0且a ≠b , ∴(a-b )2>0,a+b>0,∴(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)>0,即a 3+b 3>a 2b+ab 2.18.(12分)若bc-ad ≥0,bd>0,求证:x +x x≤x +xx.bc-ad ≥0,bd>0,∴bc ≥ad ,1xx >0,∴bc ·1xx ≥ad ·1xx ,即x x ≥xx , ∴xx +1≥x x +1, ∴x +xx ≥x +x x ,即x +xx≤x +xx. 19.(12分)已知不等式ax 2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b }. (1)求a ,b ;(2)解不等式x -xxx -x >0.由题意可知1,b 为方程ax 2-3x+2=0的两根,据根与系数的关系有1+b=3x,1×b=2x,可得a=1,b=2.(2)由(1)可知,不等式x -xx -2>0,当c<2时,原不等式的解集为{x|x<c 或x>2}; 当c=2时,原不等式的解集为{x|x ≠2}; 当c>2时,原不等式的解集为{x|x<2或x>c }. 20.(12分)已知函数f (x )=(m+1)x 2-mx+1. (1)当m=5时,求不等式f (x )>0的解集;(2)若不等式f (x )>0的解集为R ,求实数m 的取值范围.当m=5时,f (x )=6x 2-5x+1,不等式f (x )>0即为6x 2-5x+1>0,解得该不等式的解集为{x |x <13或x >12}. (2)由题意得(m+1)x 2-mx+1>0的解集为R .当m=-1时,该不等式的解集为(-1,+∞),不符合题意,舍去; 当m<-1时,不符合题意,舍去;当m>-1时,Δ=(-m )2-4(m+1)<0,解得2-2√2<m<2+2√2. 综上所述,实数m 的取值范围是(2-2√2,2+2√2).21.(12分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住2022年冬奥会契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革,并提高定价到x 元.公司拟投入16(x 2-600)万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x5万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价. 解(1)设每件定价为t 元,依题意得8-x -251×0.2t ≥25×8,整理得t 2-65t+1000≤0,解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意知当x>25时,不等式ax ≥25×8+50+16(x 2-600)+15x 有解,等价于x>25时,a ≥150x+16x+15有解,由于150x+16x ≥2√150x×16x =10,当且仅当150x=x6,即x=30时等号成立,所以a ≥10.2.当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 22.(12分)已知函数y=x 2-2ax-1+a ,a ∈R . (1)若a=2,试求函数xx (x>0)的最小值;(2)对于任意的x ∈[0,2],不等式y ≤a 成立,试求a 的取值范围.依题意得x x=x 2-4x +1x =x+1x -4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x ,即x=1时,等号成立. 所以x x≥-2.故当x=1时,x x的最小值为-2.(2)因为y-a=x 2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x ∈[0,2],不等式y ≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设z=x 2-2ax-1,则只要z ≤0在[0,2]上恒成立. 所以{0-0-1≤0,4-4x -1≤0,解得a ≥34.所以a 的取值范围是[34,+∞).。

章末质量评估(二)(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.不等式x 2+5x -6>0的解集是 ( ) A .{x |x <-2,或x >3} B .{x |-2<x <3} C .{x |x <-6,或x >1} D .{x |-6<x <1}解析:因为x 2+5x -6>0,所以(x -1)(x +6)>0,所以x >1或x <-6. 答案:C2.若实数a ,b 满足ab >0,则a 2+4b 2+1ab 的最小值为 ( )A.8B.6C.4D.2解析:实数a ,b 满足ab >0, 则a 2+4b 2+1ab≥4ab +1ab≥4,当且仅当a 2=1,b 2=14时等号成立.答案:C3.某产品的总成本y (单位:万元)与产量x (单位:台)之间的函数解析式为y =3 000+20x -0.1x 2(0<x <240,x ∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A.100台B.120台C.150台D.180台解析:由题意,得3 000+20x -0.1x 2≤25x ,即x 2+50x -30 000≥0,解得x ≥150或x ≤-200(舍去).故选C .答案:C4.若集合A ={x |x 2-10x +21≤0},B ={x |-7≤5-2x ≤4},则A ∩B = ( )A .x 12≤x ≤3 B .{x |3≤x ≤6}C.{x |-2≤x ≤7} D .{x |6≤x ≤7}解析:因为A ={x |3≤x ≤7},B ={x|12≤x ≤6} ,所以A ∩B ={x |3≤x ≤6}.答案:B5.若a ,b 都为正实数,2a +b =1,则ab 的最大值是 ( ) A.29B.18C.14D.12解析:因为a ,b 都为正实数,2a +b =1, 所以ab =2ab 2≤12(2a+b 2)2=18,当且仅当2a =b ,即a =14,b =12时,ab 取得最大值18.答案:B6.若关于x 的不等式x 2+x +m 2<0的解集不是空集,则实数m 的取值范围为 ( )A .m <12B .-12<m <12C .-12≤m ≤12 D .m ≥12解析:因为关于x 的不等式x 2+x +m 2<0的解集不是空集,所以Δ>0,即1-4m 2>0,所以-12<m <12.答案:B7.如图所示,在锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位:m)的取值范围是 ( )A .15≤x ≤20B .12≤x ≤25C .10≤x ≤30D .20≤x ≤30解析:设矩形花园的宽为y m,由三角形相似,得x40=40-y 40,且0<x <40,0<y <40,xy ≥300.整理,得y +x =40,将y =40-x 代入xy ≥300整理,得x 2-40x +300≤0, 解得10≤x ≤30. 答案:C8.若两个正实数x ,y 满足2x +1y =1,且不等式x +2y -m 2-2m <0恒成立,则实数m 的取值范围为 ( )A .m <-2 或m >4B .m <-4或m >2C .-2<m <4D .-4<m <2解析:由题意,得x +2y <m 2+2m 恒成立, 且x +2y =(x +2y )（2x +1y ）=4+4y x +xy≥4+2√4=8,当且仅当y =2,x =4时等号成立,则m 2+2m >8,解得m <-4或m >2. 答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若关于x 的一元二次方程(x -2)(x -3)=m 有实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则下列结论中正确的说法是 ( )A.当m =0时,x 1=2,x 2=3B.m >-14C.当m >0时,2<x 1<x 2<3D.当m >0时,x 1<2<3<x 2 答案:ABD10.若a >0,b >0,a +b =2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是 ( )A.ab ≤1B.√a +√b ≤√2C.a 2+b 2≥2D.1a +1b ≥2答案:ACD11.若关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a 的取值可以是 ( )A.6B.7C.8D.9 答案:ABC12.对于给定的实数a ,关于实数x 的一元二次不等式a · (x -a )(x +1)>0的解集可能为 ( ) A.⌀ B.(-1,a ) C.(a ,-1) D.R 答案:ABC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.设x ∈R,使不等式3x 2+x -2<0成立的x 的取值范围为-1<x <23.解析:由3x 2+x -2<0,得(x +1)(3x -2)<0, 所以-1<x <23.14.(本题第一空2分,第二空3分)已知正数x ,y 满足x 2+y 2=1,则当x =√22时,1x +1y 取得最小值,最小值为2√2.15.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x 件与售价P 元/件之间的关系为P =150-2x ,生产x 件风衣所需成本为C =50+30x 元,要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量x 的范围为{x |15≤x ≤45,x ∈N *}(日产量=日销售量).解析:由题意,得(150-2x )x -(50+30x )≥1 300,化简,得x 2-60x +675≤0,解得15≤x ≤45,且x 为正整数.16.若x >0,y >0,x +2y =4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为92.解析:由x +2y =4,得x +2y =4≥2√2xy , 所以xy ≤2.所以(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92,当且仅当x =2y ,即x =2,y =1时等号成立. 故所求的最小值为92.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)已知不等式x 2-3x -4<0的解集为A ,不等式x 2-x -6<0的解集为B.(1)求A ∩B ;(2)若关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ,求a ,b 的值. 解:(1)由x 2-3x -4<0,得(x -4)(x +1)<0, 解得-1<x <4,所以A ={x |-1<x <4}. 由x 2-x -6<0,得(x -3)(x +2)<0, 解得-2<x <3,所以B ={x |-2<x <3}. 所以A ∩B ={x |-1<x <3}.(2)因为关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集为{x |-1<x <3}, 所以-1,3为方程x 2+ax +b =0的两根,所以{1-a +b =0,9+3a +b =0,所以{a =-2,b =-3.18.(12分)已知a >0,b >0.(1)若1a +4b =1,求证:a +b ≥9;(2)求证:a +b +1≥√ab +√a +√b . 证明:(1)因为a >0,b >0,且1a +4b =1,所以a +b =(a +b )（1a +4b）=1+4+b a+4ab≥5+2√b a·4ab=9,当且仅当2a =b =6时取等号,所以a +b ≥9. (2)因为a +b ≥2√ab ,a +1≥2√a ,b +1≥2√b , 上面三式相加,得2(a +b +1)≥2√ab +2√a +2√b , 所以a +b +1≥√ab +√a +√b (当a =b =1时取等号).19.(12分)某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价降低到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h),而用户期望电价为0.4元/(kW·h),经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ),即新增用电量=k实际电价-期望电价,该地区电力的成本价为0.3元/(kW·h).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y (单位:元)与实际电价x (单位:元/(kW·h))的函数解析式.(2)设k =0.2a ,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?解:(1)由题知,下调后的实际电价为x 元/(kW·h).用电量增至k x -0.4+a ,电力部门的收益为y =（k x -0.4+a ）(x -0.3)(0.55≤x ≤0.75).(2)由已知,得{(0.2a+a)(x -0.3)≥[a ×(0.8-0.3)](1+20%),0.55≤x ≤0.75,解得0.60≤x ≤0.75,所以当电价最低定为0.60元/(kW·h)时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.20.(12分)已知a >0,b >0,且a 2+b22=1,求a √1+b 2的最大值.解:因为a >0,b >0,a 2+b22=1,所以a √1+b 2=√a 22=√2a 2·1+b22=√2√a 2·1+b 22≤√2√(a 2+12+b 222)2=√2√(1+122)2=3√24, 当且仅当正数a ,b 满足a 2=1+b22,且a 2+b22=1,即a =√32,b =√22时等号成立.所以a 2的最大值为3√24.21.(12分)已知关于x 的不等式x 2+2x +1-a 2≤0.(1)当a =2时,求不等式的解集; (2)当a 为常数时,求不等式的解集. 解:(1)当a =2时,不等式为x 2+2x -3≤0, 即(x -1)(x +3)≤0,解得-3≤x ≤1.所以不等式的解集为{x |-3≤x ≤1}.(2)当a 为常数时,由题意,得原不等式为 [x +(1-a )]·[x +(1+a )]≤0,不等式对应的方程的两根为x 1=-a -1,x 2=a -1. ①当a >0时,则-a -1<a -1,解得-a -1≤x ≤a -1;②当a =0时,不等式为x 2+2x +1=(x +1)2≤0,解得x =-1; ③当a <0时,则a -1<-a -1,解得a -1≤x ≤-a -1.综上可得,当a >0时,不等式的解集为{x |-a -1≤x ≤a -1}; 当a =0时,不等式的解集为{-1};当a <0时,不等式的解集为{x |a -1≤x ≤-a -1}.22.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为52v 2;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为v2(米/单位时间),每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y.(1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最小,并求y 的最小值.解:(1)潜入水底用时30v ,用氧量为30v ·52v 2=75v.水底作业时用氧量为5×0.4=2, 返回水面用时60v,用氧量为60v·0.2=12v,所以总用氧量y =75v +2+12v(v >0).(2)由(1)可知y =75v +2+12v≥2+2√75v ·12v=62,当且仅当75v =12v,即v =25时,等号成立.故当下潜速度v =0.4(米/单位时间)时,总的用氧量最小,最小值为62.。

新人教A 版必修第一册单元测试卷第二章 一元二次函数、方程和不等式本试卷共6页，22小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}(1)0A x x x =+≤，集合{}11B x x =-＜＜，则A B =A. {}11x x -≤≤B. {}11x x -≤＜C. {}10x x -＜≤D. {}01x x ＜＜2. 若实数a ，b ，x ，y 满足a b ＞，x y ＞，则下列不等式正确的是A. a x b y ++＞B. a x b y --＞C. ax by ＞D. x y a b＞ 3. 已知三角形的两条边长分别是2和9，第三条边的长是方程214480x x -+=一个根，则这个三角形的周长为A. 11B. 17C. 17或19D. 194. 已知不等式20ax bx c ++＞的解集为{}32x x -＜＜，则不等式20cx bx a ++＞的解集为A. 1132x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭＜＜B. 11,32x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭＜＞或 C. {}32x x -＜＜ D. {}3,2x x x -＜＞或5. 若不等式2(1)0x a x a -++≤的解集是{}43x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是A. {}41a a -≤≤B. {}43a a -≤≤C. {}13a a ≤≤D. {}13a a -≤≤6. 若不等式22430x ax a -+＜(0)a ＞的解集为{}12x x x x ＜＜，则1212a x x x x ++的最小值是A.B.C.D. 7. 已知二次函数2()f x x x a =++(0)a ＞，若()0f m ＜，则(1)f m +的值为A. 正数B. 负数C. 0D. 符号与a 有关8. 在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若对任意2x ＞，不等式()2x a x a -⊗+≤恒成立，则实数a 的取值范围是A. (,7]-∞B. [1,7]-C. (,3]-∞D. (,1][7,)-∞-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年新教材人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试题2020材人教A版高一数学必修一第二章单元测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题 (每小题5分，共60分)1.若a<0，-1<b<0，则有()A。

a>ab>ab2B。

ab2>ab>aC。

ab>a>ab2D。

ab>ab2>a2.若a<b<0，则下列结论正确的是()A。

a>bB。

ab<bC。

a+b<-2D。

a2>b23.不等式4+3x-x2<0的解集为()A。

{x|-1<x<4}B。

{x|x>4或x<-1}C。

{x|x>1或x<-4}D。

{x|-4<x<1}4.若关于x的不等式x2+px+q0的解集是()A。

{x|1<x<2}B。

{x|x6}C。

{x|-1<x<1或2<x<6}D。

{x|x6}5.若正实数x，y满足x+y=2，且xy≥XXX成立，则M的最大值为()A。

1B。

2C。

3D。

46.已知a>0，b∈R，那么"a+b>0"是"a>|b|"的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件7.在R上定义运算*:x*y=x·(1-y)。

若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A。

≤a≤2B。

-2≤a≤-1或-1<a≤1C。

≤a<1或1<a≤2D。

-2≤a≤1或a>18.设a是实数，要使得对任意x∈{x|x5}，都有x2-2(a-2)x+a>0，则a的取值范围为()A。

a≤5B。

1<a<4C。

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知集合A ={x‖x ―2|<1}， B ={x |x 2―2x ―3<0}.则A ∩B =A ．{x |1<x <3}B ．{x |―1<x <3}C ．{x |―1<x <2}D ．{x |x >3}2．下列结论成立的是（ ）A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c3．已知关于 x 的不等式 a x 2―2x +3a <0 在 (0,2] 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,33)B ．(―∞,47)C ．(33,+∞)D ．(47,+∞)4．当x ＞3时，不等式x+1x ―1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[3，+∞）C ．[ 72，+∞）D ．（﹣∞， 72]5．下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2≤2abB ．a +b ≥―2|ab |C ．a 2+b 2≥―2abD ．a +b ≤2|ab |6．已知 x >2 ，函数 y =4x ―2+x 的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．67．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xy z取得最大值时，2x +1y ―2z 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．94D ．38．已知正数x ，y 满足x+y ＝1，且 x 2y +1+y 2x +1≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．4二、多选题9．设正实数a ，b 满足a +b =1，则（ ）A ．a 2b +b 2a ≥14B ．1a +2b +12a +b ≥43C ．a 2+b 2≥12D ．a 3+b 3≥1410．若a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则下列说法正确的有（ ）A ．(a +1a)(b +1b )的最小值为4B ．1+a +1+b 的最大值为6C．1a +2b的最小值为3+22D．2aa2+b+ba+b2的最大值是3+23311．已知a，b是正实数，若2a+b=2，则（ ）A．ab的最大值是12B．12a+1b的最小值是2C．a2+b2的最小值是54D．14a+b+2a+b的最小值是3212．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）A．若a c2<bc2，则a<b B．若ac>bc，则a>bC．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a<b<0，则1a >1 b三、填空题13．不等式﹣2x（x﹣3）（3x+1）＞0的解集为 ．14．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 . 15．已知a，b均为正数，且ab―a―2b=0，则a24+b2的最小值为 ．16．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max{1c +ba,1ac+b,ab+c}的最小值为 四、解答题17．已知U=R且A={x∣x2―5x―6<0}，B={x∣―4≤x≤4}，求：（1）A∪B；（2）(C U A)∩(C U B)．18．解下列关于x的不等式:（1）x2―2x―3≤0;（2）―x2+4x―5>0;（3）x2―ax+a―1≤019．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B,C,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B12．【答案】A,C,D13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，3）314．【答案】3+2215．【答案】816．【答案】217．【答案】（1）解：因为A={x∣x2―5x―6<0}=(―1，6)，且B={x∣―4≤x≤4}=[―4，4]，则A ∪B=[―4，6)．（2）解：由（1）可知，A=(―1，6)，B=[―4，4]，则C U A=(―∞，―1]∪[6，+∞)，C U B=(―∞，―4)∪(4，+∞)，所以(C U A)∩(C U B)=(―∞，―4)∪[6，+∞)．18．【答案】（1）解：x2―2x―3≤0,(x―3)(x+1)≤0⇒x≤―1或x≥3,故解集为: (―∞,―1]∪[3,+∞).（2）解：―x2+4x―5>0,∴x2―4x+5<0⇒(x―2)2+1<0⇒x无解,故解集为: ∅（3）解：x2―ax+a―1≤0,∴[x―(a―1)](x―1)≤0,当a―1<1,即a<2时,解集为[a―1,1],当a―1=1,即a=2时,解集为x=1,当 a ―1>1 ,即 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .所以:当 a <2 时,解集为 [a ―1,1] ,当 a =2 时,解集为 x =1 ,当 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .19．【答案】（1）解：2x 2+x >2ax +a ，∴x (2x +1)>a (2x +1)，∴(x ―a )(2x +1)>0，当a =1时，可得解集为{x |x >1或x <―12}.（2）对应方程的两个根为a ，―12，当a =―12时，原不等式的解集为{x |x ≠―12}，当a >―12时，原不等式的解集为{x |x >a 或x <―12}，当a <―12时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >―12}.20．【答案】（1）解：∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x≤20，S △ADE = 12S △ABC ，∴12 x•AEsin60°= 12 • 34 •（20）2，故AE= 200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y= x 2+4⋅104x 2―200 ，（10≤x≤20）；（2）解：若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y= x 2+4⋅104x 2―200 ≥ 400―200 =10 2 ，当且仅当x 2= 4⋅104x 2即x=10 2 时“=”成立．。

人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.不等式x2−x≤0的解集为( )A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)2.设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2的最小值是( )A．2B．4C．2√5D．5 3.设a，b是非零实数，c∈R，若a<b，则下列不等式成立的是( )A．a2<b2B．1a >1bC．ac<bc D．a−c<b−c4.若关于x的不等式kx2−kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是( )A．(−4,0)B．(−4,0]C．(−∞,−4)∪(0,+∞)D．(−∞,−4)∪[0,+∞)5.已知关于x的不等式1a x2+bx+c<0(ab>1)的解集为∅，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )A．√3B．2C．2√3D．46.已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是( )A．ab>bc B．ac>bcC．ab>ac D．a∣b∣>∣b∣c7.在R上定义运算a⋇b=(a+1)b，若存在1≤x≤2使不等式(m−x)⋇(m+x)<4成立，则实数m的取值范围为( )A．{m∣ −3<m<2}B．{m∣ −1<m<2}C．{m∣ −2<m<2}D．{m∣ 1<m<2}8.已知a>0，b>0，且ab=a+b+3，则a+b的最小值为( )A．4B．8C．7D．69.设m，n为正数，且m+n=2，则1m+1+n+3n+2的最小值为( )A．32B．53C．74D．9510.若a,b∈R，且a>∣b∣，则( )A．a<−b B．a>b C．a2<b2D．1a >1b二、填空题（共6题）11.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则x+yxy的最小值是．12.若0<a<1，则关于x的不等式ax2−1≤x(a−1)的解集是．13.已知集合M=(1,3)，试写出一个一元二次不等式的解集是M的不等式．14.若关于x的不等式ax2+bx−2>0的解集为(−2,−14)，则实数a+b=．15.设x>0，y>0，且x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为．16.已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1的最小值为．三、解答题（共6题）17.请回答下列问题：(1) 若关于x的不等式ax2−3x+2>0（a∈R）的解集为{x∣∣x<1或x>b}，求a，b的值．(2) 解关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax（a∈R）．18.已知a+b+c=3，且a，b，c都是正数．(1) 求证：1a+b +1b+c+1c+a≥32；(2) 是否存在实数m，使得关于x的不等式−x2+mx+2≤a2+b2+c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．19.一元二次不等式求解时应注意什么？20.已知不等式x2−(a+1)x+a<0的解集为M．(1) 若2∈M，求实数a的取值范围；(2) 若M为空集时，求不等式1x−a<2的解集．21.若a>0，b>0，且1a +1b=√ab．(1) 求a3+b3的最小值；(2) 是否存在a，b，使得2a+3b=6成立，并说明理由．22.已知−12<a<0，A=1+a2，B=1−a2，C=11+a，D=11−a，试猜测A，B，C，D的大小关系，并证明．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】由 x 2−x ≤0 得 x (x −1)≤0 解得 0≤x ≤1． 【知识点】二次不等式的解法2. 【答案】B【解析】因为 a >b >c >0，所以原式=a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2+a 2=a 2−ab +1a (a−b )+ab +1ab +(a −5c )2=[a (a −b )+1a (a−b )]+(ab +1ab)+(a −5c )2≥2+2+0=4,当且仅当 a (a −b )=1，ab =1，a −5c =0 时取等号， 即当 a =√2，b =√22，c =√25时，所求代数式的最小值为 4．【知识点】均值不等式的应用3. 【答案】D【知识点】不等式的性质4. 【答案】B【解析】当 k =0 时，0<1 恒成立，当 k ≠0 时，要使 kx 2−kx −1<0 的解集是全体实数， 只需满足 {k <0,Δ=(−k )2+4k <0,解得 −4<k <0．故实数 k 的取值范围是 (−4,0]． 【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】D【解析】因为由题意得 1a >0，b 2−4c a≤0，即 4c ≥ab 2，利用此式进行代换，T =1+2ab+4ca 2(ab−1)≥1+2ab+a 2b 22(ab−1)， 令 ab −1=m ，则 m >0， 所以 T ≥1+2(m+1)+(m+1)22m=m 2+2m +2≥4，当且仅当 m =2 时取等号，即 T 的最小值为 4． 【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】C【解析】因为 a >b >c ，且 a +b +c =0，所以 a >0，c <0，所以 ab >ac ． 【知识点】不等式的性质7. 【答案】A【解析】由题意知，不等式 (m −x )⋇(m +x )<4 可化为 (m −x +1)(m +x )<4， 即 m 2+m −4<x 2−x ； 设 y =x 2−x ，1≤x ≤2， 则当 x =2 时，y 有最大值 2； 令 m 2+m −4<2，即 m 2+m −6<0，解得 −3<m <2， 所以实数 m 的取值范围为 {m∣ −3<m <2}． 故选A ．【知识点】二次不等式的解法8. 【答案】D【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】D【解析】当 m +n =2 时，因为1m+1+n+3n+2=1m+1+1n+2+1=m+n+3(m+1)⋅(n+2)+1=5(m+1)⋅(n+2)+1,因为 (m +1)⋅(n +2)≤(m+1+n+22)2=254，当且仅当 m +1=n +2，即 m =32，n =12时取等号， 所以 1m+1+n+3n+2≥95． 【知识点】均值不等式的应用10. 【答案】B【解析】由 a >∣b ∣ 得，当 b ≥0 时，a >b ，当 b <0 时，a >−b ， 综上可知，当 a >∣b ∣ 时，则 a >b 成立． 【知识点】不等式的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】2√3+4【解析】由x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，可得x+3y=1．x+y xy =(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=x2+3y2xy +4≥2√x2⋅3y2xy+4=2√3+4.当且仅当x=√3y，x+3y=1，即y=3+√3=3−√36，x=√33+√3=√3−12时取等号．所以x+yxy的最小值是2√3+4．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】{x∣ −1a≤x≤1}【解析】原不等式可化为(ax+1)⋅(x−1)≤0．方程(ax+1)(x−1)=0的两根为−1a，1．因为0<a<1，所以解集为{x∣ −1a≤x≤1}．【知识点】二次不等式的解法13. 【答案】x2−4x+3<0（答案不唯一）【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】−13【解析】因为不等式ax2+bx−2>0的解集为(−2,−14)，所以−2，−14是方程ax2+bx−2=0的根，所以有{4a−2b−2=0, a16−b4−2=0,解得{a=−4, b=−9,所以a+b=−13．【知识点】二次不等式的解法15. 【答案】92【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 2+√3【解析】x 2+3x+y 2y+1=(x +3x )+(y −1+1y+1)，结合 x +y =1 可知 原式=3x +1y+1，且3x+1y+1=(3x +1y+1)×x+(y+1)2=12[4+3(y+1)x+xy+1]≥12[4+2√3(y+1)x ×x y+1]=2+√3.当且仅当 x =3−√3，y =−2+√3 时等号成立． 即x 2+3x+y 2y+1 的最小值为 2+√3．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意可知方程 ax 2−3x +2=0 的两个不相等的实根分别为 x 1=1，x 2=b ， 于是有 {9−8a >0,b +1=3a ,b ⋅1=2a ,解得 {a =1,b =2.故 a 的值为 1，b 的值为 2．(2) 原不等式等价于 ax 2+(a −3)x −3>0，即 (x +1)(ax −3)>0． ①当 a =0 时，原不等式的解集为 {x∣ x <−1}．②当 a ≠0 时，方程 (x +1)(ax −3)=0 的两根分别为 x 1=−1，x 2=3a ．当 a >0 时，原不等式的解集为 {x ∣∣x <−1或x >3a}．当 a <0 时，若 3a >−1，即 a <−3，则原不等式的解集为 {x ∣∣−1<x <3a }；若3a <−1，即 −3<a <0，则原不等式的解集为 {x ∣∣3a<x <−1}；若 3a =−1，即 a =−3，则原不等式的解集为 ∅．当a<−3时，原不等式的解集为{x∣∣−1<x<3a}；当a=−3时，原不等式的解集为∅；当−3<a<0时，原不等式的解集为{x∣∣3a<x<−1}；当a=0时，原不等式的解集为{x∣ x<−1}．当a>0时，原不等式的解集为{x∣∣x<−1或x>3a}．【知识点】二次不等式的解法18. 【答案】(1) 因为a+b+c=3，且a，b，c都是正数，所以1 a+b +1b+c+1c+a=16[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1a+b+1b+c+1c+a)=16[3+(b+ca+b+a+bb+c)+(b+cc+a+c+ab+c)+(a+bc+a+a+ca+b)]≥16(3+2+2+2)=32,当且仅当a=b=c=1时，取等号，所以1a+b +1b+c+1c+a≥32得证．(2) 因为a+b+c=3，所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2)，因此a2+b2+c2≥3（当且仅当a=b=c=1时，取等号），所以(a2+b2+c2)min=3，由题意得−x2+mx+2≤3恒成立，即得x2−mx+1≥0恒成立，因此Δ=m2−4≤0⇒−2≤m≤2．故存在实数m∈[−2,2]使不等式成立．【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】首先判断对应的方程是否有根，若有根，则将二次项系数化为正，然后作图求解集，若无根，则直接作图或配方法求解．【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】(1) 由2∈M可得4−2(a+1)+a<0，(2) 当 M 为空集时，(x −a )(x −1)<0 的解集为空集， 所以 a =1， 所以 1x−a<2 即为 1x−1<2，所以2x−3x−1>0，即 (2x −3)(x −1)>0，解得 x >32 或 x <1． 所以此不等式的解集为 {x∣ x >32或x <1}． 【知识点】二次不等式的解法、分式不等式的解法21. 【答案】(1) 由 √ab =1a+1b ≥√ab，得 ab ≥2，当且仅当 a =b =√2 时等号成立．故 a 3+b 3≥2√a 3b 3≥4√2，当且仅当 a =b =√2 时等号成立． 所以 a 3+b 3 的最小值为 4√2．(2) 2a +3b ≥2√6ab ≥4√3，因为 4√3>6，从而不存在 a ，b ，使得 2a +3b =6． 【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】因为 −12<a <0，所以取 a =−14，则 A =1716，B =1516，C =43，D =45．由此猜测：C >A >B >D ． 证明如下：C −A =11+a−(1+a 2)=−a (a 2+a+1)1+a=−a[(a+12)2+34]1+a.因为 1+a >0，−a >0，(a +12)2+34>0， 所以 C >A ，因为 A −B =(1+a 2)−(1−a 2)=2a 2>0， 所以 A >B ，B −D =1−a 2−11−a =a (a 2−a−1)1−a=a[(a−12)2−54]1−a,因为 −12<a <0， 所以 1−a >0，又因为 (a −12)2−54<(−12−12)2−54<0， 所以 B >D ．综上所述，C >A >B >D ． 【知识点】不等式的性质。