北师大版九年级数学上册教案：2.4 用因式分解法求解一元二次方程

2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。

教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。

解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。

二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题． 对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m ）为210 4.9x x-．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P47随堂练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。

2．4 用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点)2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点)一、情景导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m ，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝0 解析：把(x －3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x －3)(x ＋1)－(x －3)＝0，所以(x －3)(x ＋1－1)＝0，即x －3＝0或x ＝0，所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax 2＝bx 的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x ，得到x＝ba，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x 1＝0，x 2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x －3)，从而得到x ＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程： (1)3x (x ＋5)＝5(x ＋5)；(2)3x 2＝4x ＋1；(3)5x 2＝4x －1. 解：(1)原方程可变形为3x (x ＋5)－5(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3x －5)＝0，∴x ＋5＝0或3x －5＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x 2－4x －1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次 因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.。

2.4 用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1.了解因式分解法的解题步骤；2.能用因式分解法解一元二次方程。

重点：应用因式分解法解一元二次方程难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【预习案】1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？（2）将下列多项式因式分解① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4【探究案】探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点（1）上面两个方程中常数项为0（2）等式左边的各项有共同因式都可以因式分解:象这样的方程又有一种方法解一元二次方程探究点2：用因式分解法解一元二次方程上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 (3)x(x-2)+x—2=0自我测试1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0 (5)（2x－1）2－x2= 0 (6) x＋3－x（x＋3）= 02．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=13．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．14．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．【训练案】1解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）⑵（3x－1）2－4x2= 0 （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0（5）x2+4x-5=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）4已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．。

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4 用因式分解法求解一元二次方程
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this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。

北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》教学设计一. 教材分析《2.4用分解因式法求解一元二次方程》这一节内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的定义、解法以及因式分解的基本方法的基础上进行讲解的。

本节内容主要让学生掌握用分解因式法求解一元二次方程的方法和步骤，从而培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和解法已经有了一定的了解。

但是，对于如何运用分解因式法求解一元二次方程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的知识与新的知识进行联系，从而达到理解并掌握新知识的目的。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用分解因式法求解一元二次方程的方法和步骤。

2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用分解因式法求解一元二次方程的方法和步骤。

2.教学难点：如何引导学生将一元二次方程进行因式分解，以及如何根据因式分解的结果求解方程。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解并掌握用分解因式法求解一元二次方程的方法。

2.自主探究法：鼓励学生自主尝试解题，培养学生的独立思考能力。

3.合作交流法：引导学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生在实际问题中发现一元二次方程。

2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，引导学生发现一元二次方程，并激发学生解决实际问题的兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示一元二次方程的解法，引导学生回顾已学的解法。

然后，引入分解因式法，让学生了解并掌握这种解法。

3.操练（10分钟）让学生自主尝试解一个简单的一元二次方程，引导学生运用分解因式法进行求解。

用因式分解法求解一元二次方程【教学目标】知识与技能会用分解因式（提公因式法、运用公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程.过程与方法灵活选择方程的解法。

体会解决问题方法的多样性情感、态度与价值观会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程【教学重难点】教学重点：应用分解因式法解一元二次方程.教学难点：形如“x2=ax”的解法.【导学过程】【创设情景，引入新课】1.用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为____________的形式.2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________________，再用求根公式__________________求解, 根的判别式：______________.1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个实数根；2）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根.3.分解因式：（1）5 x2－4x （2）x－2－x(2－x) (3) (x+1)2－25 (4) 4x2－12xy+9y2 【自主探究】1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:1）将方程的右边化为_____；2）将方程左边分解成两个_______的乘积；3）令每个因式分别为零，得两个__________方程；4）解这两个____________方程，它们的解就是原方程的解.2.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.【课堂探究案】1.把m²+4m-12分解因式.分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当常数项-12分成-2×6时，才符合本题.解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）(m+6）2.把5x²+6x-8分解因式分析：本题中二次项系数5可分为1×5，常数项-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1.当二次项系数5分为1×5，常数项-8分为-4×2时，才符合本题.解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）3.用分解因式法解下列方程:（1）4x(2x+1)=3(2x+1) （2）(2x+3)2＝4(2x+3)； （3）2(x-3)2＝x 2-9；（4）(x-2)2＝(2x+3)2； （5）2y 2+4y=y+2 (6)6x ²-5x-25=0【当堂训练案】1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2x －2=0或3x －4=0B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x(x+2)=0 ∴x+2=02.一元二次方程（m-1）x 2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值3.方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是（ ）A.x 1=b,x 2=aB.x 1=b,x 2=a 1C.x 1=a,x 2=b 1D.x 1=a 2,x 2=b 24.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分栽种鲜花（如图），原空地一边减少1m ，另一边减少2m ，剩余空地面积为12m 2，求原正方形空地的边长.。

2.4 用因式分解法解一元二次方程一、教学目标1会用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程.2.理解因式分解法解一元二次方程的根据.3.能根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性二、教学重难点重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.三、教学方法：探究法、讲练结合法四、教学过程（一）、新课导入解下列方程.1、5x2=4x2、x-2=x(x-2)想一想怎样才能快速解出来。

我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求(x+3)(x－5)=0的解吗？（二）、新课讲授知识点一：因式分解法解一元二次方程1、观察与思考对于一元二次方程x2+7x=0.用配方法和公式法都可以求出它的解.还有更简便的求解方法吗?思考下面的问题:(1)这个方程的两边有什么特点?它的左边可以分解因式吗?(如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个为0.)(2)小莹的解法是:把方程左边的多项式进行因式分解，得从而，得x =0，或x +7=0.所以x 1=0，x 2=-7.小莹的解法正确吗?她的依据是什么?问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度(单位：m)为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x -4.9x 2 =0①配方法解方程10x -4.9x 2=0.②公式法解方程10x -4.9x 2=0.③解法：解：x (10-4.9x ) =0∴x =0或10-4.9x =0 ∴0,4910021==x x通过上面两个问题归纳总结因式分解法的概念：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解（三）例题讲解例1 解下列方程：()()()22131220; 2522.44x x x x x x x -+-=--=-+1,20)1)(2(0)2()2(21-==∴=+-=-+-x x x x x x x（2） 21,2141142122-==∴==x x x x知识点二：灵活选用方法解方程例2 用适当的方法解方程：(1) 3x （x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；（3）x 2 - 12x = 4 ; （4）3x 2 = 4x + 1；解（1）35,5053)(521=-=∴=-+x x x x ）（（2）2,011511521-==∴-±=±=+x x x x (3)6102,6102102640)6(36436122122+-=+=∴±=-=-+=+-x x x x x x(4)372,3726724028)1(34)4(41,4,301421222-=+=∴±=∴=-⨯⨯--=-∴-=-===--x x x ac b c b a x x解法选择基本思路：1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax 2+c =0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ ax 2+bx =0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax 2+bx +c =0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（四）课堂练习1.填空① x 2-3x +1=0 ； ② 3x 2-1=0 ；③ -3t 2+t=0 ； ④ x 2-4x =2 ；⑤ 2x 2-x =0； ⑥ 5(m+2)2=8；⑦ 3y 2-y-1=0； ⑧ 2x 2+4x -1=0；⑨ (x -2)2=2(x -2).适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法 ；适合运用公式法 ；适合运用配方法 .2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x -5)(x +2)=18.解: 原方程化为：(x -5)(x +2)=18 . ①由x -5=3, 得x =8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4.3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= .4.解方程：()()221363241210.x x x-=--= ； （五）课堂小结利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。

用因式分解法求解一元二次方程教学目标(一)教学知识点1．应用因式分解法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用因式分解法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．Ⅱ．讲授新课下面我们来看一个题．一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?分组进行讨论、交流．解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．然后我用公式法来求解的．解1：由方程x2＝3x，得x2-3x=0．这里a=1，b=-3，c＝0.b2-4ac＝(-3)2-4×1×0＝9>0．所以x=293即x1=3，x2＝0．因此这个数是0或3．解2：x2-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．∴x1=0，x2=3因此这个数是0或3．总结：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗?我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．例：解下列方程：(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．5x2-4x ＝0，x(5x-4)=0，x ＝0或5x-4＝0．∴x1=0，x2=54．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x1＝2，x2=1．巩固练习：因式分解法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?解：x2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x1=-2，x2=2．解：(x+1)2-25＝0，＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x1=-6，x2=4．Ⅲ．课堂练习(一)课本随堂练习1．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。

第二章一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、教学目标1．能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．二、教学重点及难点重点：会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单数字系数的一元二次方程．难点：依据方程的特征，灵活选择方程的解法．三、教学用具多媒体课件.四、相关资《因式分解法解一元二次方程》微课.五、教学过程【复习引入】1．因式分解的方法有哪几种？提公因式法、公式法2．将下列各式在实数范围内因式分解：（1）4x2-12x；（2）4x2-9；（3）(2x-1)2-(x-3)2．3．判断正误：（1）若ab=0，则a=0或b=0．（）．（2）若(x+2)(x-5)=0，则x+2=0或x-5=0．（）．（学生口答，教师点评）4．解下列方程：（1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）．学生独立解方程，教师找学生代表回答．答案：1．提公因式法、公式法．2．（1）4x(x-3)；（2）(2x+3)(2x-3)；（3）(3x-4)(x+2)．3．（1）对；（2）对．4．（1）x1=0，x2=；（2）x1=0，x2=-2．设计意图：回顾与复习因式分解的知识，为下一步学习作好准备，通过观察、讨论发现方程的特征，引导学生思考方程的特殊解法．【探究新知】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？师生活动：教师出示问题，学生倾听、思考，并尝试列方程．教师找有思路的学生讲述解题思路，并向用因式分解法解一元二次方程引导．设计意图：创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲．针对上面的问题，设这个数为x，根据题意，得方程x2=3x，整理得x2-3x=0x（x -3）=0x=0或x -3=0所以x1=0或x2=3像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解法求解．设计意图：通过探究活动，激发学生学习新方法解一元二次方程的积极性和兴趣．教师和学生共同研究因式分解法解一元二次方程的过程，体验因式分解法解一元二次方程的妙用，从而获得成功的喜悦，提高学生学习的热情，体会用因式分解法“降次”的思想．出示题目后可以先让学生各自求解，然后交流，对学生的方法进步比较与评析，如果学生想不到因式分解的方法，再展示用因式分解法解方程。