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湘教版数学九年级上册 1.2.3 公式法 公开课课件

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湘教版九年级数学上册课件：一元二次方程的解法3

湘教版九年级数学上册课件：一元二次方程的解法3

(2) m2 1 1 m2 0 m 0 m 0 (m 1) (m 2) 2m 1 1≠0 m 0 m2 1 0 m m 1 0 m 1 m 2 3≠0 m 1 m 0 x 2x 1 0 x 1 m 1 3x 1 0
五、小结 本节课通过配方法求解一般形式的一元二 次方程的根，推出了一元二次方程的求根 公式，并掌握利用根的判别式判断一元二 次方程根的情况
(1)x2 3x 2 0 (2)2x2 3x 5 0
❖ ❖ ax2 bx c 0(a≠0) a b c
ax2 bx c a≠0 a
ax2 bx c 0(a≠0) a b c
(1) ax2 bx c 0 b2 4ac≥0 a b c
(2) (3)
湘教版九年级数学上册 课件：一元二次方程的
解法3
2020/9/22
教学目标 1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能 的训练． 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．
教学重难点 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式法的推导．
一、课预习 阅读课本P35－37页内容，了解本节主要内容 ．
(2) m
解析：能． (1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还 要满足(m＋1)≠0. (2)要使它为一元一次方程，必须满足：
解：(1) m2 1 2 m2 1 m ±1 m 1 m 1 1 1 2≠0 m 1 m 1 1 1 0(不合题意，舍去) ∴m 1 2x2 1 x 0 a2b 1c 1 b2 4ac ( 1)2 42( 1) 1 8 9
四、点点对接 例1： 2x2 3 7x 解析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、 c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解 ．

[+初+中数学]一元二次方程根的判别式++课件+湘教版数学九年级上册+

[+初+中数学]一元二次方程根的判别式++课件+湘教版数学九年级上册+

综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0) 的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
要点归纳
判别式的情况 Δ>0 Δ=0 Δ< 0 Δ≥0
根．
即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根.
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
当 b2 - 4ac＞0 时，x1=
， x2=
当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 =
当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以原方程没有实数根.
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a≠0)的 根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2-4ac .
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
x2-x+1=0 因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1
所以，=1原-4=方-3程<0没, 有实数根.
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
解：(1)因为Δ = b2-4ac =32-4×1×( -1 ) =9+ 4 =13>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.

湘教版九年级数学上册2.2.2-公式法ppt课件

湘教版九年级数学上册2.2.2-公式法ppt课件
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解: 移项，得 ax bx c，
2
方程两边都除以a 配方，得 即
b c x x ， a a
2
2 2
b c b b 2 x x . a a 2a 2a
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b -2 3、 c 3.
2 Q b2 4ac （ 2 3） 4 1 3 0，
（-2 3） 0 2 3 x 3. 2 1 2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x 2a
b b 2 4ac x 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
b b2 4ac x 2a

( 4) 256 4 16 2 8 = 25 10 5
6 x1 2, x2 5
2 解方程：
x 3 2 3x
2
这里的a、b、c的 值是什么？
b b2 4ac x 2a 4a 2 .
2
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 即

b x 2a b 2 4ac . 2a
特别提醒பைடு நூலகம்
x
b
b 2 4ac . 2a
一元二次方程
的求根公式
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
例 2 ：解方程：9x2+12x+4=0 解：这里a=9,b=12,c=4 因而 b2-4ac=122-4×9×4=0

湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件

湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3

2022年湘教版九上《公式法》立体课件(公开课版) (2)

2022年湘教版九上《公式法》立体课件(公开课版) (2)

15
15
5 5 _____5 _5 _ ______
24
24
你发现了什么规律?请用字母表示规律,并任意 选几个数验证你所发现的规律.
探究二
第一章 二次根式复习
比较 6 1和 4 7 1的3大小
解：∵ (6)1)426284 14 2 0284 (71)322 029 1
又 6 140 7 130
614 713
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
56;x2
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
例题讲解
w 例2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解 :整 ,得 理 :4 x 2 1x 2 9 0
a4 ,b 1,c 29 公式法
b 2 4 a 1 c2 2 4 4 9 0 .
a a （a ≥0 ， b＞0）
b
b
例4 化简下列各式：
第一章 二次根式复习
(1) (6)2 ;
(2)( ) 5 ;
8
(5) 45 10 811 75 ; 3
( 6 )2 ( 3 ) 2 (3 2 )3 (2 ) ;
第一章 二次根式复习
(7) a2b22a(b ab);
值为： （ ） A 、0 B、1 C、 －1 D、 2
3、求下列二次根式中字母x的取值范围：
⑴ 2x 1 ⑵ x2 3 ⑶ 2x 2x
⑷2
x5
⑸ x1 x 1
第一章 二次根式复习
4.若2<x<5化简 (x1)2 (x5)2
4 9
18 6

湘教版九年级数学上册课件ppt《一元二次方程的解法-公式法》

湘教版九年级数学上册课件ppt《一元二次方程的解法-公式法》

X=
=
Х1=
Х2=
湖南教育出版社九年级 | 上册
（2）x2+2x+2=0
解： a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4× 1× 2=-4<0
∴此方程无实数解
湖南教育出版社九年级 | 上册
（3）2x2-7x=0
解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
五、总结提高
湖南教育出版社九年级 | 上册
1、解一元二次方程有通法——公式法 2、解一元二次方程各式各法湖南教育出版社九 Nhomakorabea级 | 上册
作业布置
课本P．18练习，第(1)~(4)题。
湖南教育出版社九年级 | 上册
板书设计
公式法
1、公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.
2、公式法解一元二次方程的基本步骤.
x


b 2a
2


c a


b 2a
2

x

b 2a
2

b2 4ac 4a 2
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
湖南教育出版社九年级 | 上册
一元二次方程的求根 公式
b b2 4ac x
2a
3、公式法的特点
(a≠0, b2-4ac≥0)
你有什么不同的看法或补充？
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0
湖南教育出版社九年级 | 上册
（2）x2+2x+2=0

2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;

初中数学湘教版九年级上册《一元二次方程的解法公式法》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

初中数学湘教版九年级上册《一元二次方程的解法公式法》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
回顾与复习
用配方法解方程
2
9 17 x . 4 16 9 17 x . 4 4 9 17 x . 4 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
初中数学湘教版九年级上册 《一元二次方程的解法公式法》 优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
2.2 一元二次方程的解法
2.2.2 公式法
回顾与复习
配方法
配方法解方程的步骤是怎样的呢?
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
0

2 2
3

3 ,
即：x1= x2=
3
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化为一般式：-3x2+7x-8=0 ∵a= - 3, b= 7, c= - 8.
b2 - 4ac=72 - 4×(-3)×(-8)=49 - 96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
用公式法解方程 2x2-9x=-8
a 2, b 9, c 8.
2
b 2 4 ac 9 4 2 8 =17 0
b b 2 4ac x 2a 9 17 2 2
4.代入:把有关数值代入公式计算；
（结果能开方和化简的要彻底）
C
b b 2 4 ac . x 2 2a 4a
2
3.配方:方程两边都加上一次项系 数一半的平方;

最全最新湘教版初中数学九年级上册数学知识点大全 ppt课件

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7. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
8. 位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
3. 黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC ABBC AC Nhomakorabea那么称线段AB被点C 黄金分割
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比
黄金比
5 1 ≈0.618 2
4. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)

公式法PPT课件

公式法PPT课件
解得x1＝2m＋n，x2＝m－n.
14．在欧几里得的《几何原本》中，形如 x2＋ax＝b2(a>0，b>0)
的方程的图解法是：如图，以a2和 b 为两直角边长作 Rt△ABC， 再在斜边上截取 BD＝a2，则 AD 的长就是所求方程的解． (1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
解：∵∠C＝90°，BC＝a2，
AC＝b，∴AB＝ b2＋a42，
∴AD＝
b2＋a42－a2＝
4b2＋a2－a
2
.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这 种解法的遗憾之处．
解：用求根公式求得：
－ x1＝
4b22＋a2－a，x2＝
4b2＋a2－a
2
.
正确性：AD 的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
4．用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值 为( C ) A．52 B．32 C．20 D．－12
5．若在实数范围内定义一种运算“﹡”，使a﹡b＝(a＋1)2－
10．当 x＝－b＋ 2ba2－4ac(a≠0，b2－4ac>0)时，代数式 ax2＋bx
＋c 的值是( A )
A．0
－b－ b2－4ac
B.
2a
C．－ba
c D. a
11.用公式法解下列方程．
(1)2x2＝9x－8；
解：移项，得2x2－9x＋8＝0.
∴a＝2，b＝－9，c＝8，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17，

湘教版数学九年级上册精品课件第一章 一元二次方程1.2 解一元二次方程的算法

湘教版数学九年级上册精品课件第一章 一元二次方程1.2 解一元二次方程的算法

直接开平方，得
x
25 4
或
x
25 4
,
即
x1

5 2
,
x2


5 2
.
例2 解方程：
(x+1)2 -2=0. 解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
(x 1)2 ( 2)2 0
把方程左边因式分解，得
(x1 2)(x1 2) =0. 由此得出
x1 2 0 或 x1 2 0 . 解得 x1= 1 2，x2= 1 2 .
(x+1)2 -2=0. 解:(解法二) 原方程可以写成
我们可以用直接开平方 法解这个方程。
(x+1)2 = 直接开平方，得
( 2 )2 .
x+1 = 2 ，
或 x+1 = - 2 .
解得 x1= -1+ 2 ，x2= -1- 2 .
小提示
在解方程时，只要写出一种解法就行．
请同学自己小结这 两种解法，并应用 你的小结去解下面 的练习题．
例4 解下列方程： （1）x(x-5)=3x； （2）2x(5x-1)=3(5x-1).
（1） x(x-5)=3x
解: 原方程可以写成
x(x-5)-3x = 0. 把方程左边因式分解，得
x(x-5-3)= 0. 由此得出
x =0 或 x-5-3 = 0.
解得 x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x(5x-1)=3(5x-1)
解: 原方程可以写成
2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得
(5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出
5x-1 = 0 或 2x-3 = 0. 解得 x115 , x2 32 .

湘教版九年级数学课件-公式法

湘教版九年级数学课件-公式法

解 9x2+12x+4=0
a= 9 ，b= 12 ，c= 4 ，
b2-4ac = 因此 x= 從而 x1=
0
12 29
2 3
，x2=
，
.
2 3
.
小結：
1.回顧一元二次方程的求根公式是什麼？它是 如何推導的？ 2.怎樣通過一元二次方程的根的判別式 Δ=b2-4ac 判斷根的情況？ 3.應用公式法解一元二次方程的基本步驟有 哪些？
一元二次
方程 第2章
第2章 一元二次方程
一元二 次方程
2.2
一元二次方程的解法
2.2.2 一元二次 方程的解法
公式法
返回
探究 利用配方法解方程：
x2 x 2 0
配方法解一元二次方程的步驟:
1.二次項係數化為1； 2.移項； 3.方程兩邊都加上一次項係數的一半的平方； 4.原方程變形為(x+m)2 =n 的形式； 5.如果右邊是非負數，就可以直接開平方求出方程
1±
9 1 ±3 =
2×1 2
4.代入:把有關數值 代入公式計算;
因此， 原方程的根為x1＝ 2，x2＝ -1.
5.定根:寫出原方程 的根.
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
1.把方程化成一般形式,並寫出a，b，c的值。 2.求出b2-4ac的值。 3.代入求根公式 : x=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4.寫出方程的解：
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:寫出原方程的解.
結論
一元二次方程 ax2 bx c 0（a≠0）
在b2-4ac≥0時，它的根為
x b
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
我們通常把這個式子叫作一元二次方程

九年级数学上册教学课件《公式法》

九年级数学上册教学课件《公式法》
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
21.2 解一元二次方程
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
2
2

由此可得
x
2
1
2.
2
x1
1

2
2， x2
1
2.
2
导入新知
21.2 解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
p 2
p 2
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3
（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
b2 −4ac= − m−1 2 −4 −3 m+3
解：
=m2 +10m+37
=m2 +10m+52 −52 +37
= m+5 2 +12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
数学 九年级 上册
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新知
21.2 解一元二次方程
7
x x 0.
4
利用配方法解一元二次方程

湘教九年级数学上册《公式法》课件

湘教九年级数学上册《公式法》课件
2．2 一元二次方程的解法
2．2.2 公式法
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac__≥__0__时， －b± b2－4ac
它 的 根 是 x ＝ _______2_a________ ，这 个 式 子 称 为 一 元 二 次 方 程 的 _求__根__公__解的方法，叫作__公__式__法____．
解：(1)根据题意有 2x2＋1＋4x2－2x－5＝0，即：3x2－x－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝－23
(2)根据题意有 4x2－2x－5－(2x2＋1)＝2，即：x2－x－4＝0，
1＋ 17
1－ 17
1＋ 17
1－ 17
解得 x1＝ 2 ，x2＝ 2 ，即 x＝ 2 或 x＝ 2 时，A
的值比 B 的值小 2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
12．方程 2x2－ 2x－1＝0 的根是_x_1_＝_____4_____，__x_2_＝_____4___．
13．用公式法解下列方程： (1)2x2－5x－7＝0； 解：x1＝－1，x2＝72 (2)x2－2 3x＋3＝0；
解：x1＝x2＝ 3 (3)(x＋1)(x－1)＝2 2x.
解：x1＝ 2＋ 3，x2＝ 2－ 3
16．阅读下面的例题：分解因式 x2＋2x－1. 解：令 x2＋2x－1＝0, 得到一个关于 x 的一元二次方程． ∵a＝1，b＝2，c＝－1， ∴x＝－b± 2ba2－4ac＝－2±22 2＝－1± 2. 解得 x1＝－1＋ 2，x2＝－1－ 2. ∴x2＋2x－1＝(x－x1)(x－x2) ＝[x－(－1＋ 2)][x－(－1－ 2)] ＝(x＋1－ 2)(x＋1＋ 2)． 这种分解因式的方法叫作求根法，请你利用这种方法分解因式：x2－3x ＋1.

湘教版九年级数学上册第2章教学课件：2.2.2 公式法(共14张PPT)

湘教版九年级数学上册第2章教学课件：2.2.2 公式法(共14张PPT)
解：将原方程转化为一般形式，得(b+c)x2-2max+(c-b)m2 =0. ∵原方程有两个相等的实数根， ∴(-2ma)2-4(b+c)(c-b)m=0， 即4m2 (a2+b2-c2)=0. 又∵m>0，∴a2+b2-c2=0，即a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.
解： a 1,b 3,c 1 4
b2 4ac 31 4 0
x( 3) 4 32
2
2
解：x2 3 0 a 1,b 0,c 3 b2 4ac 012 12 0
x0 122 3
2
2
x1
32 2 ,x2
32. 2
x1 3,x23.
2.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关 于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两 个相等的实数根，请判断△ABC的形状.
课堂小结
求根 公式
x b b2 4ac 2a
公式法
步骤
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
x 1 9 13, 21 2
即：x1=2, x2= -1.
例 2 ：解方程：9x2+12x+4=0
解：这里a=9,b=12,c=4
因而 b2-4ac=122-4×9×4=0
所以 x12 0 2
29 因此，原方程的根为
3
x1
x2
2 3
要点归纳 公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;

九年级数学上册 1.2.3 公式法 湘教版

九年级数学上册 1.2.3 公式法 湘教版

1.2.3 公式法(1)教学目标1、理解求根公式法与配方法的联系.2、会用求根公式法解一元二次方程.3、注意培养学生良好的运算习惯.重点难点重点：会运用求根公式法解一元二次方程.难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式.教学过程（一）创设情境由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．（二）探究新知按课本P．16的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：x=2b b4ac±-－(b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.（三）讲解例题1、展示课本P．16~P．17例10(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.2、引导学生完成P．17例10(3)的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.（四）应用新知课本P．18练习，第(1)~(4)题.（五）课堂小结1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程. 布置作业教学后记：1.2.3 公式法(2)教学目标1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。

2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。

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，
.
23
.
例11 9x2+12x+4=0.
从例11看到，当b2-4ac = 0时，一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 有两个相等的实数解(或者说有 两个相等的实数根).
此例中的方程可以直接用因式分解法求解吗？ 试着做一做．
动脑筋
x
b 2a
2
b24a42ac
0.
观察第16页中的方程 ，当b2-4ac <0时， 一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)有实数解吗？
本节内容
1.2 解一元二次方程的算法
——1.2.3 公式法
探究
例6 （1）x2+10x+9=0；（2）x2-12x-13=0. 例7 x2+ x -1=0. 例8 2x2 -4x -6 = 0.
例9
3x2
+9x
+
3 4
=
0.
从例6至例9的解法，以及从解一元二次方程的
算法框图看到：
我们对于每一个具体的一元二次方程，都重复 使用了同一些计算步骤；
a=2，b=4，c=-5， b2-4ac =16+40=56，
因此
x
3 56 22
32 4
14
.
从而
x1=
-3+2 4
14，x2=
-3-2 4
14.
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根.
答：k=±4， 当 k=4 时，x=2； 当 k=-4 时，x=-2.
例2 下列方程中，没有实数根的是（ D ）.
A.
x -1 2x
=
1
B. y2+1=2y
C. x2-x-6=0
D. 2x2 - 2x+2=0
解 A为分式方程，有解. B中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，有实数根. C中b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0，有实数根. D中b2-4ac=(- 2 )2-4× 2×2=2- 8 2 <0，无实数根. 故应选择D.
试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解.
x
b 2a
2
b24a42ac
0.
当b2-4ac<0时，ax2+bx+c 恒
大于0，故无实数解.
∵ x2+x+1=0 中b2-4ac <0，
∴ x2+x+1=0无实数解.
结论
由上述可知，根据b2-4ac的值的符号，可 以判定一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的情况， 所以我们把 b2-4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根的判别式.
所以，原方程有两个相等的实数根.
2. 解下列方程：
（1）x2-3x+2=0；
（2）2x2 +5x+2 =0 ；
（3）3x2=4x-1；
（4）x2-3x+1=0；
（5）4x2-12x+9=0；
（6）x2-
3
x-
1 4
=0；
（7）x2+4x+8=4x+11； （8）x(2x-4)= 5-8x.
解 （1） x2-3x+2=0
结论
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的 情况可由b2-4ac来判定：
当b2-4ac > 0时，有两个不相等的实数根，
其根为 x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当b2-4ac = 0时，有两个相等的实数根，
其根为
x1
x2
b 2a
；
当b2-4ac < 0时，没有实数根.
x2
b a
x
c a
0.
把方程的左边配方，得
即
x
b 2a
2
x2
b a
x
b 2a
b24a42ac 0.
2
b 2a
2
c a
0.
当b2-4ac≥0时，方程 可以写成
b
x
2a
2
b2 4ac 2a
2
0.
把方程左边因式分解，得
x
b 2a
b2 4ac 2a
x
b 2a
b2 4ac 2a
5
.
x1=
3+ 2
5
，x2=
3- 5 . 2
解 （5） 4x2-12x+9=0
a=4，b=-12，c=9， b2-4ac =(-12)2-4×4×9=144-144=0，
因此
x
12 24
3 2
.
从而
x1=x2=
3 2
.
解
（6） x2-
3x-
1 4
=0
a=1，b=- 3 ，c= b2-4ac =3+1=4，
练习
1. 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）x2+3x-1=0； （2）x2 -6x+9 =0 .
（3）2y2-3y+4=0； （4）x2+5= 2 5x .
解 （1） x2+3x-1=0
因为 b2-4ac = 9-4×1×(-1) = 13 > 0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
解 （2） x2 -6x+9 =0
a=1，b=-3，c=2，
b2-4ac =(-3)2-4×1×2=9-8=1，
因此 从而
x
3 1 21
31 2
.
x1=2，x2=1.
解 （2） 2x2 +5x+2 =0
a=2，b=5，c=2， b2-4ac =52-4×2×2=25-16=9，
因此
x
5 9 22
5 3 4
.
从而 x1= 12 ，x2= -2 .
例12 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）3x2+4x-3=0； （2）7y=5(y2+1)； （3）4x2=12x-9.
解 （1） 3x2+4x-3=0
因为 b2-4ac = 42-4×3×(-3) = 16+36 =52 > 0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
解 （2） 7y=5(y2+1)
这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二 次方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)使用这些计算步骤，求出 解 x 的公式.
这样做了以后，我们就可以运用这个公式来求
每一个具体的一元二次方程的解，取得事半功倍的
效果．
解一元二次方程：ax2+bx+c = 0(a≠0)， ⑩
由于a≠0，⑩的两边同除以a，得
-1 4
，
因此 从而
x
3 4 21
32 2
.
x1=
3+2 2
，x2=
3-2 . 2
解 （7） x2+4x+8=4x+11
a=1，b=0，c=-3， b2-4ac = 0-4×1×(-3)=12，
因此
x
12 21
2 2
3
.
从而 x1= 3 ，x2= - 3 .
解 （8） x(2x-4)= 5-8x
中考 试题
例1 用公式法解方程 3x2-6x+1= 0.
解 3x2-6x+1=0，这里a=3，b=-6,c=1.
∵△=b2-4ac=36-12=24>0,
∴ x = b±
b2 2a
+4ac
=
6± 2×
24 3
=
3±
3
6
即
x1 =
3+ 3
6
,
x2
=
33
6(或x1
=1+
6, 3
x2
=1-
6）. 3
中考 试题
解 （3） 3x2=4x-1
a=3，b=-4，c=1， b2-4ac =(-4)2-4×3×1=16-12=4，
因此 从而
x
4 4 23
4 6
2
.
x1=1，x2=
1 3
.
解 （4） x2-3x+1=0
a=1，b=-3，c=1， b2-4ac =9-4×1×1=9-4=5，
因此 从而
x
3 5 21
3 2
移项，得 5y2-7y+5 = 0. 因为 b2-4ac = (-7)2-4×5×5
= 49-100 = -51 < 0， 所以，原方程没有实数根.
解 （3） 4x2 = 12x -9
移项，得 4x2-12x+9=0. 因为 b2-4ac = (-12)2-4×4×9
= 144-144 = 0 ， 所以，原方程有两个相等的实数根.
0.
由此得出
xb
b2 4ac 2a
0
或
xb
b2 2a
4ac
0.
解得
x1 b
b2 2a
4ac
,Leabharlann x2 bb2 4ac . 2a
结论
于是我们得到了一元二次方程ax2+bc+c = 0(a≠0)，当 b2-4ac≥0 时求解x的公式：
x b
b2 4ac 2a
(b2 4ac≥0).
通常把这个公式叫作一元二次方程的求根公式．
a= 1 ，b= -2 ，c= -1 ，