湘教版数学九年级上册同步练习(全册)

湘教版九年级数学上册同步练习：5知识点1用样本的百分比(率)估量总体的百分比(率)图5－2－11．某学校为了了解先生的课外阅读状况，随机调查了50名先生，失掉他们在某一天内各自课外阅读所用时间的数据，结果如图5－2－1.依据此条形统计图估量这一天该校先生平均课外阅读时间不低于1.5小时的人数占总体的()A．35% B．24% C．38% D．62%2．永州市农科所在相反条件下经实验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估量永州地域1000千克蚕豆种子中不能发芽的有()A．971千克B．129千克C．97.1千克D．29千克3．2021·南宁某中学共有先生1600人，为了解先生最喜欢的课外体育运动项目的状况，学校随机抽查了200名先生，其中有85名先生表示最喜欢的项目是跳绳，那么可估量该校先生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的先生有________人．图5－2－24．为了解先生课外阅读的喜好，某校从九年级1200名先生中随机抽取50名先生停止问卷调查，整理数据后绘制如图5－2－2所示的统计图．由此可估量该年级喜欢〝科普知识〞的先生有________人．5．为了保证人民群众的身体安康，有关部门增强了对市场的监管力度，在对某医药商店的反省中抽查了5包口罩(每包10个)，5包口罩中合格口罩的个数区分为10，10，9，10，10.试估量该店出售的这批口罩的合格率．知识点2用统计数据停止推断或决策6．教材练习第1依据统计数据，商店进货时A，B，C三种商品的数量最合理的比是()A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1∶3∶2 D．3∶2∶17(1)以海拔高度为x轴，气温为y轴，树立直角坐标系，依据上表提供的数据描点；(2)说明气温随海拔高度变化的开展趋向．8．王大伯为了估量他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们做上标志，然后放回鱼塘．经过一段时间后，再从中随机捕捞300条鱼，其中有标志的鱼有30条，请估量鱼塘里鱼的数量有()A．1500条B．1600条C．1700条D．3000条9．在一个不透明的口袋中有除颜色不同外其他均相反的黑棋子10枚和白棋子假定干枚，10．2021·仙桃近几年，随着电子商务的快速开展，〝电商包裹件〞占〝快递件〞总量的(1)百分比(准确到1%)；(2)假定2021年〝快递件〞总量将到达675亿件，请估量其中〝电商包裹件〞为多少亿件．11．某图书馆为了了解读者的需求状况，某天对读者借阅的一切图书停止了分类统计，结果如下：(1)补全表格，并求当天共借阅了多少本图书；(2)假定用一个统计图描画当天借阅的各类图书所占比例的状况，你以为最好选用什么统计图？作出你所选用的统计图；(3)试依据调查结果，给该图书馆的推销部提一条合理化建议．12．某运动品牌店对第一季度A，B两款运动鞋的销售状况停止统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图5－2－3所示：图5－2－3(1)一月份B款运动鞋的销售量是A款的错误!，那么一月份B款运动鞋销售了多少双？(2)第一季度这两款运动鞋的销售单价坚持不变，求三月份的总销售额(销售额＝销售单价×销售量)；(3)结合第一季度的销售状况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议．详解详析1．C[解析] 从统计图中得知不低于1.5小时的有12＋7＝19(人)，故估量这一天该校先生平均课外阅读时间不低于 1.5小时的人数占总体的1950×100%＝38%.2．D[解析] 由题意可得，永州地域1000千克蚕豆种子中不能发芽的大约有1000×(1－97.1%)＝1000×0.029＝29(千克)．应选D.3．680[解析] ∵样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例为85200，∴估量该校先生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的先生有1600×85200＝680(人)．故答案为680.4．360[解析] 喜欢〝科普知识〞的先生所占的百分比为1－40%－20%－10%＝30%，1200×30%＝360(人)．5．[解析] 假设样本是一个随机样本，那么可以用样本的特征估量总体的特征．解：这五包口罩的合格率为10＋10＋9＋10＋1050×100%＝98%，于是可以估量该商店出售的这批口罩的合格率为98%. 6．C7．解：(1)如下图：(2)气温随海拔高度的添加而逐渐减小． 8．A [解析] 150÷(30÷300)＝1500(条)．应选A.9．40 [解析] 依据题意得：黑棋子所占的比例为(1＋3＋0＋2＋3＋4＋2＋1＋1＋3)÷100×100%＝20%，那么白棋子所占的比例为1－20%＝80%.设白棋子有x 枚，依据题意得x ＝80%(x ＋10)，解得x ＝40，即口袋中大约有40枚白棋子．10．解：(1)2021：98÷140×100%＝70%， 2021：153÷207×100%≈74%， 2021：235÷310×100%≈76%， 2021：351÷450×100%＝78%， 画统计图如下：(2)(答案合理即可)依据统计图，可以预估2021年〝电商包裹件〞占当年〝快递件〞总量的80%，所以估量2021年〝电商包裹件〞为675×80%＝540(亿件)． 答：估量其中〝电商包裹件〞为540亿件． 11．解：(1)∵20÷10%＝200(本)， ∴当天共借阅了200本图书．(2)最好选用扇形统计图，如下图：(3)建议：可多推销些文艺类书籍，其次是科技类书籍(合理即可)． 12． (1)50×45＝40(双)，∴一月份B 款运动鞋销售了40双．(2)设A ，B 两款运动鞋的销售单价区分为x 元/双、y 元/双．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ＝40000，60x ＋52y ＝50000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝500.∴三月份的总销售额为400×65＋500×26＝39000(元)＝3.9万元． (3)答案不独一，只需先生结合数据剖析，言之有理即可．例如：从销售量来看，A 款运动鞋销售量逐月添加，比B 款运动鞋销售量大，建议多进A 款运动鞋，少进或不进B 款运动鞋．从总销售额来看，由于B 款运动鞋销售量增加，招致总销售额增加，建议店里采取一些促销手腕添加B 款运动鞋的销售量．。

1.1～1.2一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．下列函数：①xy ＝－13；②y ＝5－x ；③y ＝－25x ；④y ＝2ax (a 为常数且a ≠0)．其中是反比例函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各点中，在函数y ＝－8x 的图象上的是( )A ．(－2，4)B ．(2，4)C ．(－2，－4)D ．(8，1)3．下列反比例函数的图象一定在第一、三象限的是( ) A ．y ＝mx B ．y ＝m ＋1xC ．y ＝m 2＋1xD ．y ＝－mx4．若反比例函数y ＝(2m －1)xm 2－2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是( ) A ．±1 B ．小于12的实数C ．－1D ．15．关于反比例函数y ＝4x ，下列说法不正确的是( )A ．它的图象在第一、三象限B ．点(－1，－4)在它的图象上C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 6．已知函数y ＝mx ＋n 与y ＝nmx，其中m ≠0，n ≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是( )图1－G －1二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)7．已知反比例函数y ＝kx的图象经过点(1，5)，则k ＝________．8．如果反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而________．(填“增大”或“减小”)9．已知点A (2，1)在反比例函数y ＝kx的图象上，当1＜x ＜4时，y 的取值范围是________．图1－G －210．如图1－G －2，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，若OM ＝4，则k 的值为________．11．已知反比例函数y ＝1－2mx 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是________．12．在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y ＝kx (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共52分)13．(8分)已知变量y 与x 成反比例关系，当x ＝3时，y ＝－6. (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)当y ＝3时，求x 的值．14.(10分)已知反比例函数的图象经过点(－3，2)． (1)求反比例函数的表达式；(2)分别判断点A (2，3)，B (－6，1)，C (－6，6)是否在这个函数的图象上； (3)说明y 随x 变化的增减情况．15．(10分)已知：如图1－G －3，反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (1，4)和点B (m ，－2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．图1－G －316．(12分)如图1－G －4，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上有一点A (m ，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，CD ＝43.求反比例函数的表达式．图1－G －417．(12分)如图1－G －5，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点A (m ，2)，B (2，n )．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使OD ＝12OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC .(1)求m ，k ，n 的值； (2)求△ABC 的面积．图1－G －5详解详析1．C [解析] ①③④是反比例函数． 2．A 3.[全品导学号：46392019]C 4.C5．D [解析] A ．∵k ＝4＞0，∴其图象在第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； B ．当x ＝－1时，y ＝4x＝－4，正确，故本选项不符合题意；C ．∵k ＝4＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D ．∵k ＝4＞0，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D. 6．B7．5 [解析] 依题意，得k ＝1×5＝5.故答案为5.8．减小 [解析] ∵反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，∴k ＝2×3＝6＞0，∴在这个函数图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而减小．9.12＜y ＜2 [解析] 将点A (2，1)的坐标代入反比例函数y ＝kx 的表达式，得k ＝2×1＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝2x .∵在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y ＝2，当x ＝4时，y ＝12，∴12＜y ＜2.10．4 3 [解析] 过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，设M (x ，y )．∵点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，∴M (x ，3x )．在Rt △OMN 中，由勾股定理得x 2＋(3x )2＝42，解得x ＝2(负值已舍去)，∴M (2，2 3)，将其坐标代入y ＝kx ，得k ＝2×2 3＝4 3.故答案为4 3.11．[全品导学号：46392020]m ＜1212.43 [解析] ∵点P (2，3)在双曲线y ＝k x (k ≠0)上，∴k ＝2×3＝6，∴y ＝6x .当y ＝2时，x ＝3，即M (3，2)，∴直线OM 的表达式为y ＝23x .当x ＝2时，y ＝43，即C (2，43)，∴△OAC 的面积为12×2×43＝43.13．(1)y ＝－18x (2)－614．解：(1)y ＝－6x.(2)点A 不在这个函数的图象上，点B 、点C 在这个函数的图象上． (3)在每个象限内，y 随x 的增大而增大．15．解：(1)∵点A (1，4)在反比例函数的图象上，∴把点A (1，4)的坐标代入反比例函数的表达式y ＝k x ，得4＝k1，解得k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.又∵点B (m ，－2)在反比例函数的图象上，∴把点B (m ，－2)的坐标代入反比例函数的表达式y ＝4x ，得－2＝4m ，解得m ＝－2，即B (－2，－2)．把A (1，4)和B (－2，－2)的坐标代入一次函数的表达式y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，－2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝2x ＋2. (2)－2＜x ＜0或x ＞1.16．解：由题意知点D 的横坐标为m ＋2.∵CD ＝43，∴点D 的坐标为(m ＋2，43)．∵点A (m ，4)，点D (m ＋2，43)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴4m ＝43(m ＋2)，∴m ＝1，∴k ＝4m ＝4×1＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.17．解：(1)∵点A 的坐标为(m ，2)，AC 平行于x 轴，∴OC ＝2，AC ⊥y 轴．∵OD ＝12OC ，∴OD ＝1，∴CD ＝3.∵△ACD 的面积为6，∴12CD ·AC ＝6，∴AC ＝4，即m ＝4，则点A 的坐标为(4，2)，将其代入y ＝kx 可得k ＝8.∵点B (2，n )在y ＝8x 的图象上，∴n ＝4.(2)如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则BE ＝2， ∴S △ABC ＝12AC ·BE ＝12×4×2＝4，即△ABC 的面积为4.。

2.5 一元二次方程的应用第1课时增长(降低)率问题01 基础题知识点增长(降低)率问题1．(随州中考)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(C) A．20(1＋2x)＝28.8B．28.8(1＋x)2＝20C．20(1＋x)2＝28.8D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.82．(衡阳中考)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)A．168(1＋x)2＝128B．168(1－x)2＝128C．168(1－2x)＝128D．168(1－x2)＝1283．某县政府2014年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2016年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2014年到2016年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是(B)A．30% B．40%C．50% D．60%4．(天水中考)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．5．(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.02中档题6．股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停．已知一只股票某天涨停，之后两天时间又跌回原价，若这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，则x满足的方程是(B)A．1－2x＝1011B．(1－x)2＝1011C．1－2x＝910D．(1－x)2＝9107．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是(A)A．10% B．11.5%C．12% D．21%8．(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 120元．第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意，得400(1－x)2＝324，解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(不合题意，舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，根据题意，得[400(1－10%)－300]m＋(324－300)(100－m)≥3 120，解得m≥20.答：第一次降价后至少要售出该种商品20件．10．(沈阳中考)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品的利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)．答：这个增长率是20%.11．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年的春季都上山植树，已知这些学生在初一时植树400棵，设植树数的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示这些学生在初三时的植树数；(2)若树木成活率为90%，三年来共成活了1 800棵，求x的值．(精确到1%)解：(1)这些学生在初三时的植树数为400(1＋x)2.(2)由题意，得90%×[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]＝1 800，解得x1≈56%，x2≈－356%(不合题意，舍去)．答：x的值约为56%.03综合题12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0＜x＜0.5)．注：步数×平均步长＝距离．(1)根据题意完成表格填空；(2)求x；(3)王老师发现好友中步数排名第一为24 000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24 000步，求王老师这500米的平均步长．解：(2)由题意，得10 000(1＋3x)·0.6(1－x)＝7 020，解得x1＝1730＞0.5(舍去)，x2＝0.1.答：x的值为0.1.(3)两次锻炼结束的步数为10 000＋10 000×(1＋0.1×3)＝23 000(步)，500÷(24 000－23 000)＝0.5(米)．答：王老师这500米的平均步长为0.5米．第2课时利润问题01 基础题知识点利润问题1．(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．(武陵区校级期末)经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为L＝－x2＋2 000x－10 000(0<x<1 900)，若要使总利润达到99万元，则这种产品应生产(A)A．1 000件 B．1 200件C．2 000件 D．10 000件3．某超市购进某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件，设每件商品提高x元出售，平均每天利润为1 210元，根据题意可列方程为(200－10x)(x ＋2)＝1__210．4．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少？解：由题意，得(170－5x)(x－16)＝280，解得x1＝20，x2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%，∴x＝30不合题意，舍去．答：每件商品的售价应定为20元．5．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？解：由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达到2 100元．6．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．(1)设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；(2)若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？解：(1)每天的销售量为(200＋400x)千克．(2)设应将每千克小型西瓜的售价降低y元，根据题意，得(3－y－2)(200＋400y)－24＝200，整理，得50y2－25y＋3＝0，解得y1＝0.2，y2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．02中档题7．某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为M(元)，售价为每只N元，且M、N与x的关系式为M＝500＋30x，N ＝170－2x，当日产量为多少时，每日获得的利润为1 750元？依题意列方程得(170－2x)x－(500＋30x)＝1__750．8．某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1 000个，市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个．已知进价为每个20元，当鼠标垫的售价为32或28元/个时，这星期利润为9 600元．9．(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意，得[80－2(x－10)]x＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．∴x＝20.答：她购买了20件这种服装．10．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少元？ 解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 根据题意，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝90.解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝150.故y 关于x 的函数表达式为y ＝－x ＋150(20＜x ≤90)． (2)根据题意，得(－x ＋150)(x －20)＝4 000， 解得x 1＝70，x 2＝100＞90(不合题意，舍去)．答：该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元．11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但日产量减少5件，若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次． 解：设该产品的质量档次为x ，根据题意，得 [6＋2(x －1)]×[95－5(x －1)]＝1 120， 整理，得x 2－18x ＋72＝0，解得x 1＝6，x 2＝12(不合题意，舍去)． 答：该产品为第6档次的产品．03综合题12．某文具店去年8月底购进了一批文具1 160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元．销售量就减少2件．(1)该文具店在9月份销售量不低于1 100件，则售价应不高于多少元？(2)由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少215m%.结果10月份利润达到3 388元，求m的值(m＞10)．解：(1)设售价应为x元，依题意，得1 160－2（x－12）0.1≥1 100，解得x≤15.答：售价应不高于15元．(2)10月份的进价：10(1＋20%)＝12(元)，由题意，得1 100(1＋m%)[15(1－215m%)－12]＝3 388，设m%＝t，化简得50t2－25t＋2＝0，解得t1＝25，t2＝110，∴m1＝40，m2＝10.∴m＞10，∴m＝40.答：m的值为40.第3课时面积问题01 基础题知识点1 面积问题1．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为(A)A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米3．如图，在长70 m，宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x应满足的方程是(B)A．(40－x)(70－x)＝350B．(40－2x)(70－3x)＝2 450C．(40－2x)(70－3x)＝350D．(40－x)(70－x)＝2 4504．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：x(x＋1)＝3．5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为20米，宽为16米．6．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．知识点2 动点问题7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．若点Q运动t s时，△PBQ的面积为15 cm2，则t的值为(B)A．2B．3C．4D．58．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?解：设x s后△DPQ的面积等于28 cm2，根据题意，得6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.02中档题9．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2米．10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求AE的长(用x的代数式表示)；(2)当y＝108时，求x的值．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，∴8a＋2x＝80.∴a＝－14x＋10.∴AE＝2a＝－12x＋20.(2)∵S矩形ABCD＝AB·BC，∴3(－14x＋10)·x＝108.整理，得x2－40x＋144＝0.解得x＝36或4.故当y＝108时，x的值为36或4.11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．(1)当通道宽a为10米时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40，解得a1＝5，a2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．12．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?解：设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE＝12QB＝t.根据题意，得12·(6－t)·t＝4.即t2－6t＋8＝0.解得t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意，舍去，∴t＝2.答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.03综合题13．某小区有一长100 m，宽80 m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m，不大于60 m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：3≈1.732)解：由题意可得4x(x－10)×50＋[80×100－4x(x－10)]×60＝469 000，整理，得x2－10x－275＝0.∴x＝5±103(负值舍去)．∴x＝5＋103≈22.32.∵50≤100－2x≤60，∴20≤x≤25.∴投资46.9万元能完成工程任务．又∵小区投资46.9万元，x取整数，∴x≥23且x为整数．∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m，宽为13 m；方案二：一块矩形绿地的长为24 m，宽为14 m；方案三：一块矩形绿地的长为25 m，宽为15 m.。

第一章 反比例函数§1.1反比例函数（1）一.自学导航：1.如果1xy =，那么x y 和成 关系。

2.一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成 （ ） 的形式，那么称y 是x 的 函数。

3. 也可以写成1(0)y kx x -=≠。

二、问题探究：问题一：正确理解反比例函数的表达式。

例1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A ．3x y =- B ． 12y x = C ．23y x =+ D ．2y x =三、综合运用：1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A ．3y x =B ． 2x y =- C ．2y x=- D ．122=+y x 2．如果反比例函数m y x=经过点（3，﹣2），那么m 的值是（ ） A ．6 B ．﹣6C ．23- D ．1 3．函数11+=x y 中自变量x 的取值范围是. A ．x ≠﹣1 B ．x ＞﹣1C ．x ≠1D ．x ≠04. 已知函数13m y x +=是反比例函数，那么m 的值是 。

5． 点（－3，5）在反比例函数xk y =的图象上，则k 的值是 。

6. 反比例函数xy 23=中，常数k 的值应该是 。

7．从下列式子中写出y 关于x 的函数的解析式，并且指出其中哪些是一次函数，哪些是反比例函数？⑴．3x y += ⑵. 3xy =⑶.15xy =- ⑷.15x y -=-8.若3231m y x n -=-+-是反比例函数，那么，试求35n y m x =-+的表达式。

§1.1 反比例函数（2）一.自学导航：一般地，如果两个变量y与x 的关系可以表示成 （ ）的形式，那么称y 是x 的 函数。

二、问题探究：问题一：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。

例1. 当矩形的面积2100cm 的为时，它的相邻两条边长()y cm 和()x cm 有什么关系？y 是x 的反比例函数吗？问题二：根据实际问题中反比例函数两个变量的实际意义，求出自变量的取值范围。

湘教版九年级数学上册同步练习：3一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分)1．以下各组线段中，不是成比例线段的是( )A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝1，b ＝2，d ＝3，c ＝ 6C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝2，b ＝5，d ＝2 3，c ＝152．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实践长度约为( )A ．320 cmB ．320 mC ．2021 cmD ．2021 m3．如图3－G －1，在△ABC 中，点D ，E 区分在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，假定BD ＝2AD ，那么( )A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝12图3－G －1图3－G －2.如图3－G －2，点P 在△ABC 的边AC 上，要判定△ABP ∽△ACB ，需添加一个条件，不正确的选项是( )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB5．如图3－G －3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB ，CD 交于点O ，关于各图中的两个三角形而言，以下说法正确的选项是( )图3－G －3A ．都相似B ．都不相似C ．只要①相似D ．只要②相似图3－G －46．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，那么DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延伸线于点E ，那么图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对图3－G －5图3－G －68．如图3－G －6，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共6小题，每题4分，共24分)9．x y ＝34，那么x －y y＝________． 10．如图3－G －7，假定△ABC ∽△DEF ，那么∠D ＝________°.11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时辰，测得旗杆的影长为17.6米，那么旗杆高________米．图3－G －7图3－G －812．如图3－G －8，△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，假定以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么需求添加的一个条件是________．(写出一个即可)13．如图3－G －9，E 为▱ABCD 的边AB 延伸线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，衔接DE 交BC 于点F ，那么CF ∶AD ＝________．图3－G －9图3－G －1014．如图3－G －10，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延伸线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图3－G －11，在▱ABCD 中，M ，N 为BD 的三等分点，衔接CM 并延伸交AB 于点E ，衔接EN 并延伸交CD 于点F ，求DF ∶AB 的值．图3－G －1116．(10分)如图3－G －12，AB AD ＝BC DE ＝AC AE. 求证：∠BAD ＝∠CAE .图3－G －1217．(12分)如图3－G －13，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 区分在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC .图3－G －1318．(12分)如图3－G －14，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，衔接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，失掉线段PE ，且PE 交BC 于点F ，衔接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 交AB 的延伸线于点Q .(1)求线段PQ 的长；(2)当点P 在何处时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．图3－G －14详解详析1．C 2.D 3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝13，那么AE EC＝12.应选B. 4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只要选项D 无法失掉△ABP ∽△ACB ，应选D.5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ；图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，∴OA OD ＝OC OB. 又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.应选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．应选D.8． C [解析] 如图，区分过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时区分构成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．9．－1410.30 11．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时辰物高与影长成正比，∴x 17.6＝21.6，∴x ＝22.12．答案不独一，如AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 等 13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝CF AD ＝35. 14 43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ， ∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种状况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝AC CD，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝AC CE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3. 15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2.又∵AB ＝DC ，∴DF ∶AB ＝1∶4＝14. 16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻觅相似三角形，应用相似三角形的对应角相等证明．证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .17．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，又∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝CF EF. 又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC .18． (1)依据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE .∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A .在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS)，∴PQ ＝AD ＝1.(2)假定△PFD ∽△BFP ，那么有PB BF ＝PD PF. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF. ∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝12. 即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。

3.5相像三角形的应用知识点 1利用相像三角形丈量宽度1．如图 3－5－1，丈量小玻璃管口径的量具ABC，AB 的长为 10 cm，AC 被分为 60 等份．假如小玻璃管口 DE 正好对着量具上20 等份处 (DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE 的长是 ()2019A. 3cmB. 3cm C．7 cm D．6 cm图 3－5－1图 3－5－22．如图 3－5－2，为估量某条河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，而且点 A，E，D 在同一条直线上，若测得 BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 为()A．60 m B． 40 m C．30 m D．20 m3．教材习题 3.5 第 3 题变式如图 3－5－ 3，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在河的北岸边每隔 50 米有一根电线杆，小丽站在离南岸 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰巧被南岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．图 3－5－3知识点 2利用相像三角形丈量高度(深度 )4．如图 3－5－4，某学生用长为 2.8 m 的竹竿 AB 丈量学校旗杆CD 的高度，挪动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰巧落在地面上的同一点 O 处，此时竹竿与这一点的距离OB＝8 m，与旗杆的距离BD ＝22 m，则旗杆 CD 的高为 ()A．105 m B．77 m C．10.5 m D．7.7 m图3－5－4图 3－5－55．2019·眉山“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意能够由图3－5－5 获取，则井深为()A．1.25 尺B．57.5 尺C．6.25 尺D．56.5 尺6．如图 3－5－ 6 是小孔成像实验，火焰 AC 经过小孔 O 照耀到屏幕上，形成倒立的实像，像长 BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝10 cm，求火焰 AC 的长．图 3－5－67．如图 3－5－7(表示图 )，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 丈量树的高度AB，他调整自己的地点，想法使斜边DF 保持水平，而且边 DE 与点 B 在同向来线上，已知纸板的两条直角边 DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边 DF 离地面的高度 AC＝ 1.5 m，CD＝8 m，求树高 AB.图 3－5－78．2019·绵阳为丈量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学第2页/共9页中平面镜成像的原理．她取出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，而后退后，直到她站直身子恰巧能从镜子里看到旗杆的顶端E，标志好脚掌中心地点为B，测得脚掌中心地点B 到镜面中心C 的距离是 50 cm，镜面中心 C 距离旗杆底部D 的距离为 4 m，如图 3－5－8 所示．已知小丽同学的身高是 1.54 m，眼睛地点 A 距离小丽头顶的距离是 4 cm，则旗杆 DE 的高度等于 ()A．10 m B． 12 m C．12.4 m D．12.32 m图 3－5－8图 3－5－99．如图 3－5－9 所示，某一时辰，一电线杆 AB 的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起1 米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR) 为0.5 米，此时，他又量得电线杆 AB 落在地面上的影子长为 3 米，墙壁上的影子 CD 高为 2 米．小明利用这些数据很快算出了电线杆 AB的高为()A．5 米B．6 米C．7 米D．8 米10．如图 3－5－10(表示图 )，M，N 为山双侧的两个乡村，为了两村交通方便，依据国家的惠民政策，政府决定打向来线涵洞，工程人员为计算工程量，一定计算 M ，N 两点之间的距离，选择丈量点 A，B，C，点 B，C 分别在 AM ，AN 上，现测得 AM ＝1 千米， AN ＝1.8千米， AB ＝54 米， BC＝45 米， AC＝30 米，求 M ，N 两点之间的距离．图 3－5－10第3页/共9页11．教材复习题第 17 题变式如图 3－5－11(表示图 )，某水平川面上建筑物的高度为AB ，在点 D 和点 F 处罚别直立高是 2 m 的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 m，而且建筑物 AB 、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 退后 2 m 到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆 FE 退后 4 m 到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，求建筑物的高．图 3－5－1112．某校九年级 (1)班的一节数学活动课安排了丈量操场上旗杆AB 的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的丈量方案如图3－ 5－12(示企图 )所示，甲组测得图中BO＝20 米， OD＝3.4 米， CD＝1.7 米；乙组测得图中 CD＝ 1.5 米，同一时辰影长FD＝0.9 米，EB＝6 米；丙组测得图中 EF∥AB ，FH∥BD，BD ＝30 米，EF＝0.2 米，人的臂长 (FH)为 0.6 米．请你任选一种方案，利用试验数据求出该校旗杆的高度．图 3－5－121． A [ 分析 ] ∵DE∥AB ，∴△ CDE∽△ CAB，∴ DE∶AB＝20CD∶AC，∴ DE∶10＝40∶60，解得DE＝3 (cm)，∴小玻璃管口径20DE 的长是3cm.应选 A.2．B[分析 ] ∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ ABE＝∠ DCE＝90°.又∵∠ AEB＝∠ DEC，AB BE∴△ BAE∽△ CDE，∴CD＝CE.∵B E＝20 m，CE＝10 m， CD＝20 m，AB 20∴20＝10，解得 AB＝40(m)．应选 B.3．解：过点 P 作 PF⊥AB 于点 F，交 CD 于点 E，如下图．设河宽为 x 米．∵A B∥ CD，∴∠ PDC＝∠ PBF，∠ PCD＝∠ PAB，PF AB∴△PDC∽△ PBA，∴PE＝CD，15＋x AB∴＝.15CD依题意知 CD＝25 米， AB＝50 米，15＋x50∴15 ＝25，解得x＝15.答：河的宽度为15 米．4 ． C[ 解析 ]∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，OB AB∴△ AOB∽△ COD，∴OD＝CD.若设旗杆的高为x m，则8＝2.8，解得x＝10.5.应选C. 8＋22 x5．B [分析 ] 依题意有△ABF∽△ ADE，∴ AB∶AD＝BF∶DE，即 5∶AD＝0.4∶5，解得 AD＝62.5，∴B D＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．应选 B.6．解：∵ AC∥BD，∴△ OBD∽△ OAC，BD OB210∴＝，即＝，AC OA AC60∴ A C ＝12(cm)．答：火焰 AC 的长为 12 cm.7．解：∵∠ D ＝∠ D ，∠ DEF ＝∠ DCB ，∴△ DEF ∽△ DCB ，DE CD 40 8 ∴ EF ＝BC ，即 20＝BC ，解得 BC ＝4(m)．∵AC ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)，答：树高 AB 为 5.5 m.8．B[分析 ] 由题意可得 AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ， △∽△EDC ，则 AB ＝ BC ，即 1.5＝0.5，解得 DE ＝12(m)．应选 ABCEDDCDE4B.9． D [分析] 延伸 AC 交 BD 的延伸线于点 E ，易知△CDE ∽△ PQR ，CD DE 2 DE ∴PQ ＝QR ，即 1＝ 0.5，∴DE ＝1(米)，∴ BE ＝3＋1＝4(米)．又易知 △ABE ∽△ PQR ，AB BEAB 4 ∴PQ ＝QR ，即 1 ＝0.5，∴AB ＝8(米)．10．连结 MN ，AC30 3 AB 54 3 ∵AM ＝1000＝100，AN ＝1800＝100， AC AB ∴AM ＝AN .又∵∠ BAC ＝∠ NAM ，∴△ BAC ∽△ NAM ，BC3 ∴MN ＝100， 453 即MN ＝100，∴ MN ＝ 1500(米 )．答： M ， N 两点之间的距离为 1500 米．11．解：∵ AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴ A B ∥ CD ∥EF ，∴△ CDG ∽△ ABG ，△EFH ∽△ ABH ，CD DG EF FH ∴ AB ＝DG ＋BD ，AB ＝FH ＋DF ＋BD .∵ C D ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝52 m ，FH ＝4 m ，22 ∴AB ＝2＋BD ，24 AB＝4＋52＋BD ，24 ∴2＋BD ＝4＋52＋BD ， 解得 BD ＝52(m)，22 ∴ AB ＝2＋52，解得AB ＝54(m)．答：建筑物的高为54 m.12．解：选择甲组方案计算：在△ABO 和△CDO 中，由于∠ ABO＝∠ CDO＝90°，∠ AOB＝∠ COD，因此△ABO∽△ CDO，AB BO BO·CD因此CD＝OD，因此 AB＝OD.又BO＝20 米，OD＝3.4 米，CD＝1.7 米，因此 AB＝10 米，即该校旗杆的高度为 10米．选择乙组方案计算：在△ABE 和△CDF 中，由于∠ ABE＝∠ CDF ＝ 90°，∠ AEB＝∠C FD，AB EB因此△ABE∽△ CDF，因此CD＝FD.又CD＝1.5 米，FD＝0.9 米，EB＝6 米，因此 AB＝10 米，即该校旗杆的高度为 10米．选择丙组方案计算：由 FH∥BD，可得△CFH∽△ CBD，CF FH因此CB＝BD.由 EF∥AB，可得△CFE∽△ CBA，CF EF FH EF因此CB＝AB，因此BD＝AB.又 BD＝30 米， EF＝0.2 米， FH＝0.6 米，因此 AB＝10 米，即该校旗杆的高度为 10 米．。

湘教版九年级数学上册同步练习 44.3 解直角三角形知识点1 一边一角解直角三角形1．如图4－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)∠A 和c ，那么a ＝________，b ＝________；(2)∠B 和b ，那么a ＝________，c ＝________．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，那么AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°图4－3－1图4－3－23．如图4－3－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，那么BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 3 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°，求∠A ，b ，c .知识点2 两边解直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝6，那么AB ＝________，∠A ＝______°，∠B ＝________°.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 区分是∠A ，∠B ，∠C 的对边，假设a ＝2，b ＝2 3，求c 及∠B .知识点3 一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，BC ＝5，那么∠B ＝________°，AB ＝________． 8．2021·岳阳如图4－3－3是教学用三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，那么边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm9．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，那么AC 边的长是( ) A ．6 B ．2 5C ．3 5D ．2 13图4－3－3图4－3－4知识点4 〝双直角三角形〞效果10．如图4－3－4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，那么BC 的长为( )A ．4 3B ．4 3＋4C ．4 3－4D ．411．教材习题4.3第3题变式如图4－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，AB ＝20，求∠A 的度数．图4－3－512．如图4－3－6所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．AB ＝10，tan B＝34，那么BC 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．16图4－3－6图4－3－713．如图4－3－7，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，AB ＝8 cm ，BC ＝10 cm ，那么tan ∠EAF ＝________．14．如图4－3－8，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4.求BC 的长．(结果保管根号)图4－3－815．如图4－3－9，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝1，OA 与x 轴的正方向的夹角为30°，求A ，B 两点的坐标．图4－3－916．如图4－3－10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝45°，点E 在BC 上，且∠AEB ＝60°，假定AB ＝2 3，AD ＝1，求CD 和CE 的长．(结果保管根号)图4－3－1017．如图4－3－11，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 与CD ，CB 区分相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)假设CD ＝5，求BE 的长．图4－3－11详解详析1．(1)c ·sin A c ·cos A(2)b tan B b sin B2．D [解析] ∵∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.又∵tan B ＝AC BC，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°. 应选D.3．D [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cos B ＝BC AB，即cos30°＝BC 8， ∴BC ＝8×32＝4 3.应选D. 4．解：∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a sin A＝16，b ＝a ·tan B ＝8 3. 5．2 2 30 606．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝22＋(2 3)2＝42，∴c ＝4.∵sin B ＝b c ＝2 34＝32，∴∠B ＝60°.7．60 108．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AC. 又∵AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝33， ∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×33＝10 3(cm)． 应选C.9．B [解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sin A ＝23＝BC AB ＝4AB，∴AB ＝6，∴AC ＝36－16＝2 5.10．B [解析] 首先解Rt △ABD ，求出AD ，BD 的长，再解Rt △ADC ，求出DC 的长，然后由BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×22＝10. ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，∴sin A ＝BC AB ＝1020＝12， ∴∠A ＝30°.12．D [解析] ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2， ∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.应选D. 13.12[解析] ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝8 cm ，AD ＝BC ＝10 cm. ∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，∴AF ＝AD ＝10 cm ，DE ＝EF ，∠AFE ＝∠D ＝90°.在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝6 cm ，∴FC ＝BC －BF ＝4 cm.设EF ＝x cm ，那么DE ＝x cm ，CE ＝CD －DE ＝(8－x )cm.在Rt △CEF 中，∵CF 2＋CE 2＝EF 2，∴42＋()8－x 2＝x 2，解得x ＝5，即EF ＝5 cm.在Rt △AEF 中，tan ∠EAF ＝EF AF ＝510＝12. 14．解： 设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x . ∵AD ＝4，∴AB ＝4＋x .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝x ，AB ＝4＋x .∵tan A ＝BC AB ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2 3＋2， ∴BC 的长为2 3＋2.15．解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .在Rt △AOC 中，AC ＝2sin30°＝1，OC ＝2cos30°＝3， 所以点A 的坐标为(3，1)．由于∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，所以∠BOC ＝60°.同理，BD ＝OB ·sin60°＝32，OD ＝OB ·cos60°＝12. 由于点B 在第四象限，所以点B 的坐标为(12，－32)． 16．解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F .∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠DFB ＝90°，∴四边形ABFD 为矩形，∴DF ＝AB ＝2 3，BF ＝AD ＝1.∵在Rt △DFC 中，∠C ＝45°，∴DF ＝FC ＝2 3，CD ＝2DF ＝2 6，∴BC ＝FC ＋BF ＝AB ＋AD ＝2 3＋1.在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan60°＝2， ∴CE ＝BC －BE ＝2 3＋1－2＝2 3－1.即CD ＝2 6，CE ＝2 3－1.17．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∵CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴∠B ＝∠CAH ，∴sin B ＝sin ∠CAH .又∵AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55. (2)∵CD ＝5，∴AB ＝2 5.∵sin B ＝55， ∴AC ＝2，∴BC ＝4.又∵sin B ＝sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，AC ＝2， ∴CE ＝1，∴BE ＝BC －CE ＝4－1＝3.。

第一章 反比例函数 1.1 反比例函数（一）1．反比例函数 xm y 1+=的图象经过点（2，1），则m 的值是 ． 2．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．答： ． 4．已知反比例函数y ＝xa 2-的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是 （二）1.反比例函数xky =)0(<k 的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点坐标为)1,2(-，那么B 点的坐标为 .2．P 是反比例函数(0)k y k x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则k=3．如图，已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 ． （三）1.点A (2，1)在反比例函数y kx=的图像上，当1﹤x ﹤4时，y 的取值范围是2.直线5y x b =-+与双曲线 2y x=- 相交于点P (2,)m -，则 b =3．反比例函数xy 1-=的图象位于（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限（四）1．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )x y A 2.=2.B y x =- x y C 21.= xy D 21.-=2.如果点（3，－4）在反比例函数ky x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）A .（3,4）B . （－2，－6）C .（－2，6）D .（－3，－4） 3、已知y 是x 的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式。

（2）求y=2时x 的值。

（五）1指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与y=kx （k ≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）2．如图13-24，在函数x y 1=的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为1S、2S 、3S ，则（ ）（A ）321S S S >> （B ）321S S S <<（C ）231S S S << （D ）321S S S ==3.函数23)2(m x m y --=是反比例函数，则m=______1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数xk y =（k >0）的图象与性质1.（对比练习）（1）已知正比例函数3)1(--=m x m y 中，y 随x 的增大而增大，求m 的值；（2）已知反比例函数3)1(--=m x m y 在每一象限内，y 随x 的增大而增大，求m 的值。

湘教版数学九年级上册 全册复习练习题1. 已知直角三角形一锐角是60°，斜边长是1，那么这个三角形的周长是( D )A.52 B ．3 C.3＋22 D.3＋322．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1 B. 2 C ．1和 2 D ．－1和 23．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( C )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．在反比例函数y ＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y 1)，(－14，y 2)，则y 1－y 2的值是( A )A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定5. A ，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x ＋a ，y ＋b)，B(x ，y)，下列结论正确的是( B )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．b ＝0D ．ab ＜06．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确的有( C )个．A ．1B ．2C ．3D ．47．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( B )A ．2.8小时B ．2.3小时C ．1.7小时D ．0.8小时8．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( D )A ．∠B ＝60° B ．a ＝5C ．b ＝5 3D ．tanB ＝3310．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶111．如图，AB ∥CD ，AC ，BD ，EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对12．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或213．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( C )A ．AD ＝BC ′B ．∠EBD ＝∠EDBC ．△ABE ∽△CBD D ．sin ∠ABE ＝AE ED14．若代数式(x －4)2与代数式9(4－x)的值相等，则x ＝__4或－5__．15．若a a －b ＝12，则a b＝__－1__． 16．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件__∠ACD ＝∠ABC 或∠ADC ＝∠ACB 或AC ∶AB ＝AD ∶AC 等__，使△ABC ∽△ACD.(只填一个即可)17．某学校为了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有800名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有__200__人．18．如图，以O 为位似中心，把五边形ABCDE 的面积扩大为原来的4倍，得五边形A 1B 1C 1D 1E 1，则OD ∶OD 1＝__1∶2__．19．如图，点A 是反比例函数y ＝6x的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y ＝2x的图象于点C ，则△OAC 的面积为__2__．20．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 等于海里．21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△ECF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF.其中正确结论是__②③__．(填序号)22. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点(－1，－2)，“馬”位于点(2，－2)，则“兵”位于点_(－3，1)__.23. 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__13__．24．解方程或计算：(1)x 2－2x ＝5;(2)|－1|－128－(5－π)0＋4cos45°. 解：(1)x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6(2) 225．已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k 的值．解：(1)∵b 2－4ac ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2＋8>0，即b 2－4ac>0.∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根(2)令原方程的另一个根为x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1·x 2＝－12，－1＋x 2＝－k 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，k ＝1.即另一个根为12，k 的值是1 1=26．游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2019名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：(1)这次抽样调查中，共调查了__400__名学生；(2)补全两个统计图；(3)根据抽样调查的结果，估算该校2019名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？解：(2)“一定不会”的人数为400×25%＝100(名)，“家长陪同时会”的百分率为1－25%－12.5%－5%＝57.5%，图略(3)根据题意得：2019×5%＝100(人)．答：该校2019名学生中大约有100人“一定会下河游泳”27．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过A 作AG ⊥CD 交CD 于点G ，在Rt △ACG 中，tan30°＝CG AG，∴CG ＝AG ·tan30°＝6×33＝23米，CD ＝CG ＋DG ＝(23＋1.5)米，在Rt △CDE中，sin60°＝CD CE ，∴CE ＝CD sin60°＝23＋1.532＝(4＋3)米，即拉线CE 的长为(4＋3)米28．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ＝14DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G. (1)求证：△ABE ∽△DEF ； (2)若正方形的边长为4，求BG 的长．解：(1)∵DF DE ＝AE AB ＝12，即AB DE ＝AE DF，又∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEF (2)∵∠D ＝∠FCG ＝90°，∠DFE ＝∠CFG ，∴△DEF ∽△CGF ，∴DE CG ＝DF CF ＝13，∴CG ＝3DE ＝3×42＝6，∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10 29．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22019平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设原计划每天完成x 米2，则有46000－22000x －46000－220001.5x ＝4，解得x ＝2019，经检验x ＝2019是原方程的解，即：原计划每天完成2019平方米(2)设人行通道宽度是y 米，则有(20－3y)(8－2y)＝56，解得y 1＝2，y 2＝263.当y ＝263时，8－2y<0，所以舍去，∴y ＝2，即人行通道的宽度是2米30．如图，一次函数y ＝－x ＋2的图象与反比例函数y ＝－3x的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于D 点，且C ，D 两点关于y 轴对称．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积．解：(1)把y ＝－x ＋2与y ＝－3x 联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝－3x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，∴A(－1，3)，B(3，－1)(2)D(2，0)，∴C(－2，0)，S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×4×3＋12×4×1＝8。

湘教版九年级数学上册同步练习3知识点 1 平行线分线段成比例1．2021·湘潭如图3－2－1，直线a ∥b ∥c ，B 是线段AC 的中点，假定DE ＝2，那么EF ＝________．图3－2－1图3－2－22．如图3－2－2，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，那么EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．如图3－2－3，直线AB ∥CD ∥EF ，假定AC ＝3，CE ＝4，那么BD BF的值是( ) A.34 B.43 C.37 D.47图3－2－3图3－2－44．如图3－2－4，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，AB BC ＝23，DE ＝6，那么EF ＝________． 5．如图3－2－5，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 依次交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 三点，直线DF依次交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F 三点，假定AB AC ＝47，DE ＝2，求EF 的长． 图3－2－5知识点 2 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例6．2021·常德期中如图3－2－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，假定AD DB ＝23，那么AE EC等于( ) A.13 B.25 C.23 D.35图3－2－6图3－2－77．如图3－2－7，假定BC ∥DE ，那么以下比例式不成立的是( )A.AB BD ＝AC CEB.AB AD ＝AC AEC.AB BD ＝BC DED.AD BD ＝AE CE8．如图3－2－8，在△ABC 中，DE ∥BC ，假设AD ＝2，BD ＝1，那么AE AC的值为( ) A.12 B.14 C.13 D.23图3－2－8图3－2－9.如图3－2－9，在△ABC 中，点D 在AB 边上，且AD ＝2BD ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .假定AE ＝2，那么AC 的长是( )A ．4B ．3C ．2D ．110．教材习题3.2第1题变式如图3－2－10，DE ∥BC ，EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ，求BD 的长．图3－2－10图3－2－1111．如图3－2－11，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 区分交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF区分交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，那么DE EF的值为( )A.12 B ．2 C.25 D.3512．线段a ，b ，求作线段x ，使x ＝2b 2a，正确的作法是( ) 图3－2－12图3－2－1313．如图3－2－13，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．假定线段AB ＝4 cm ，那么线段BC ＝________ cm.14．在四边形ABCD 中，AD ∥MN ∥BC ，MN 与边AB ，DC 区分交于点M ，N ，AM ∶MB ＝2∶3，CD ＝15，求DN 的长．15．如图3－2－14，直线ED ∥GH ∥BC .(1)假定AE ＝4，AC ＝6，AD ＝5，求BD 的长；(2)假定EC ＝5，HC ＝2，DG ＝4，求BG 的长．图3－2－1416．如图3－2－15，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC .求证：AF ∶FD ＝AD ∶DB .图3－2－1517．：如图3－2－16，在△ABC 中，点D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延伸线交BC 于点F .求证：BF ∶FC ＝1∶3.图3－2－161．2 [解析] ∵a ∥b ∥c ，∴AB BC ＝DE EF .又∵B 是线段AC 的中点，DE ＝2，∴11＝2EF，解得EF ＝2.2．C [解析] ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF .∵AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，∴13＝2EF，解得EF ＝6.3．C4． 9 [解析] ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即23＝6EF，∴EF ＝9. 5．解：∵l 1∥l 2∥l 3，直线AC 依次交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 三点，直线DF 依次交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F 三点，∴AB AC ＝DE DF. ∵AB AC ＝47，DE ＝2，∴47＝2DF ， 解得DF ＝3.5，∴EF ＝DF －DE ＝3.5－2＝1.5.6．C [解析] 在△ABC 中，由于DE ∥BC ，所以AD DB ＝AE EC .又AD DB ＝23，所以AE EC ＝23. 7．C 8.D9．B [解析] ∵DE ∥BC ，AD ＝2BD ，∴AE CE ＝AD BD ＝2，∴CE ＝12AE ＝1，∴AC ＝AE ＋CE ＝3.应选B.10．解：∵DE ∥BC ，∴BD AB ＝EC AC. 设BD ＝x cm ，∵EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ，∴x 7.5＝7.5－x 2＋7.5－x， 解得x 1＝4.5，x 2＝12.5(不合题意，舍去)，∴BD ＝4.5 cm.11．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35. 12．C13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥CE 于点E ，交BD 于点D ，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．故答案为12.14．解：如图，∵AD ∥MN ∥BC ，∴AM AB ＝DN CD. ∵AM ∶MB ＝2∶3，∴AM AB ＝25，∴DN CD ＝25， ∴DN 15＝25，∴DN ＝6. 15．解：(1)∵直线ED ∥GH ∥BC ，AE ＝4，AC ＝6，AD ＝5， ∴AE AC ＝AD AB ，即46＝5AB ，解得AB ＝152， ∴BD ＝AB ＋AD ＝152＋5＝252. (2)∵直线ED ∥GH ∥BC ，且EC ＝5，HC ＝2，DG ＝4，∴CH CE ＝BG BD ，即25＝BG BG ＋4， 解得BG ＝83. 16．证明：∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF FD ＝AE EC ，AD DB ＝AE EC ，∴AF FD ＝AD DB， 即AF ∶FD ＝AD ∶DB .17．证明：∵AD ∶DC ＝1∶2，∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG∥AF交BC于点G，∴ADAC＝FGFC＝13.又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF＝FG，∴BFFC＝13，即BF∶FC＝1∶3.。