第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示【知识梳理】1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B A,B是两个_________A,B是两个_________非空数集非空集合函数映射对应关系f:A→B 按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的_____一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应按照某一个确定的对应关系f,对于集合A中的_____一个元素x,在集合B中都有_________的元素任意唯一确定任意唯一确定函数映射名称那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射2.函数的三要素函数由_______、_________和_____三个要素构成,对函数y=f(x),x∈A,其中①定义域:自变量x的取值范围;②值域:函数值的集合____________.定义域对应法则值域{f(x)|x∈A}3.函数的表示法表示函数的常用方法有:_______、_______、_______.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上,因_________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.解析法列表法图象法对应关系【特别提醒】1.判断同一函数的依据(1)两个函数的定义域相同.(2)对应关系相同.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.3.判断函数图象的常用结论与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.【小题快练】链接教材 练一练的1.(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)= 定义域为 ( )A.[0,2)B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)解得x≥0且x≠2.【解析】选C.由题意得2.(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是 ( )【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.感悟考题 试一试3.(2017·石门模拟)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤ y≤2},从M到N有四种对应如图所示:其中能表示为M到N的函数关系的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选B.①中定义域为[0,1],不符合题意;④中对应关系为一对二,不符合题意,②③正确.4.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 ( ) A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y= 【解题提示】对数lgx中x为正数,函数y=10lgx不是最简形式,需化简,化简后再比较.【解析】选D.y=10lgx=x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y= 的定义域与值域均为(0,+∞).的定义域是5.(2016·江苏高考)函数y=________.【解析】由3-2x-x2≥0得x2+2x-3≤0,即(x-1)(x+ 3)≤0,解得-3≤x≤1.答案:[-3,1]考点一 求函数的定义域的定义【典例1】(1)函数f(x)= 域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6](2)若函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数f(x)的定义域为________.【解题导引】(1)根据根式、分式的意义及对数函数的性质构建不等关系求解.(2)根据复合函数的定义域求法求解.【规范解答】(1)选C.由函数y=f(x)的表达式可知,函解得数的定义域应满足条件:16-x2≥0,-4≤x≤4,x>3或2<x<3,即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为0≤x≤3,所以-1≤x2-1≤8,所以f(x)的定义域为[-1,8].答案:[-1,8]【规律方法】函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.易错提醒:1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.2.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间连接.表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”【变式训练】1.(2017·长沙模拟)函数的定义域为 ( )A.{x|x>0}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1或x<0}D.{x|0<x≤1}【解析】选B.要使函数有意义,应满足故x≥1.所以2.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 ( )A.[-3,7]B.[-1,4]C.[-5,5]D.【解析】选D.由x∈[-2,3]得x+1∈[-1,4],由2x-1∈[-1,4],解得【加固训练】的定义域为 ( )1.函数A.(1,+∞)B.(1,2)C.(-∞,2)D.(1,2]【解析】选B.由log(x-1)>0,得0<x-1<1,0.5所以1<x<2,所以定义域为(1,2).2.设函数f(x)= 的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则 ( )A.M∩N=(-1,1]B.M∩N=RC. =[1,+∞)D. =(-∞,-1)【解析】选C.由题意可知1-x>0,解得x<1,所以M=(-∞,1).由1+x>0,解得x>-1,所以N=(-1,+∞),所以M∩N=(-1,1),A,B错;=[1,+∞),C正确;=(-∞,-1],D错.的定义域为________.3.函数f(x)=【解析】要使函数f(x)有意义,必须使解得所以函数f(x)的定义域为答案:考点二 求函数的解析式则f(x)=________.【典例2】(1)已知(2)函数f(x)满足方程2f(x)+ =2x,x∈R且x≠0.则f(x)=________.【解题导引】(1)利用换元法,即设求解.(2)利用解方程组法,将x换成 求解.【规范解答】(1)设t= +1,则x=(t-1)2(t≥1),代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)【一题多解】因为所以即f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)(2)因为2f(x)+ =2x,①将x换成 ,则 换成x,得 +f(x)= ②由①②消去得3f(x)=所以f(x)= (x∈R且x≠0).答案: (x∈R且x≠0)【母题变式】1.若本例题(2)条件变为2f(x)+f(-x)=2x,求f(x).【解析】因为2f(x)+f(-x)=2x,①将x换成-x得2f(-x)+f(x)=-2x,②由①②消去f(-x),得3f(x)=6x,所以f(x)=2x.2.若本例题(2)条件变为f(x)是一次函数,且2f(x)+ f(x+1)=2x,求f(x).【解析】因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0),由2f(x)+f(x+1)=2x得,2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,即3kx+k+3b=2x,解得 因此所以f(x)=【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误:题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数定义域扩大而致误.【规律方法】求函数解析式常用的四种方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法:已知关于f(x)与 或f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).。
