2019_2020学年新教材高中数学专题强化训练三函数的概念与性质含解析新人教

第三章函数的概念与性质单元测试题1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.2．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选B.由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为x ∈R ，则x 2＋1≥1，所以y ≥1. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( )A ．15B ．7C ．31D ．17解析：选C.令x2－1＝t ，则x ＝2t ＋2.将x ＝2t ＋2代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，得f (t )＝2(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.所以f (x )＝4x ＋7，所以f (6)＝4×6＋7＝31.4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数的定义域为[－2，2]．因为函数图象的对称轴为x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2＋1，所以x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18解析：选C.由题意得f (3)＝32－3－3＝3，那么1f （3）＝13，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.6．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(0,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.9．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(C)A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为()A．0 B．1或2C．1 D．2解析：二次函数y＝x2－2ax＋a＋2的图象开口向上，且对称轴为x＝a，所以该函数在[0，a]上为减函数，因此有a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，得a＝1.11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2) 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.12. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，故④正确．13. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________．解析：根据已知条件，得g (－2)＝f (－2)＋9，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＝－f (2)，则3＝－f (2)＋9，解得f (2)＝6.14．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋ax 为奇函数，则实数a ＝________．解析：f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x ＝x ＋ax ＋a ＋1，因此有f (－x )＝－x ＋a－x＋a ＋1， 因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0， 即2a ＋2＝0，所以a ＝－1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 所以a 的取值范围是(－∞，－3)．16.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f－xx<0的解集为.解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f－xx<0化为fxx <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．17．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 . 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.18．具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．解析：对于①：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，所以①满足；对于②：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ≠－f (x )，所以②不满足；对于③：当0<x <1时，1x >1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，当x ＝1时，显然满足， 当x >1时，0<1x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )，所以③满足．答案：①③19. 已知函数f (x )＝2x －a x ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3.(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明． 解：(1)因为f (x )＝2x －ax ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－2a ＝3，解得a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝2x ＋1x ，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 证明如下： 设x 1＞x 2＞1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1－2x 2－1x 2＝(x 1－x 2)2x 1x 2－1x 1x 2.因为x 1＞x 2＞1，所以x 1－x 2＞0，2x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0， 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈（2，4].(1)在图中画出函数f (x )的大致图象； (2)写出函数f (x )的最大值和单调递减区间． 解：(1)函数f (x )的大致图象如图所示．(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2，函数f (x )的单调递减区间为[2，4]． 21.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1. 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1（x ＞0），0（x ＝0），－x 2－x ＋1（x ＜0）.(2)作出函数图象，如图所示．由函数图象易得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.22.已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0， ∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.23.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求： (1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值． 解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1 ＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1，由2≤x 1<x 2≤6可得2x 2－x 1x 2＋1x 1＋1>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减．故当x＝2时，f(x)取得最大值－43；当x＝6时，f(x)取得最小值－127.24.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝x＋mx2＋nx＋1.(1)求m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)若f(x)≤a3对x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13恒成立，求a的取值范围．解：(1)因为奇函数f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.故有f(0)＝0＋m02＋n×0＋1＝0，解得m＝0.所以f(x)＝xx2＋nx＋1.由f(－1)＝－f(1)．即－1－12＋n×－1＋1＝－112＋n×1＋1，解得n＝0.所以m＝n＝0.(2)证明：由(1)知f(x)＝xx2＋1，任取－1<x1<x2<1.则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2 x22＋1＝x1x22＋1－x2x21＋1 x21＋1x22＋1＝x 1x 22－x 2x 21＋x 1－x 2x 21＋1x 22＋1＝x 1－x 21－x 1x 2x 21＋1x 22＋1. 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1，所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310. 由题意可得a 3≥310，解得a ≥910.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫910，＋∞.。

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结单选题1、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．f(16)<f(−17)<f(18)B．f(18)<f(16)<f(−17)C．f(16)<f(18)<f(−17)D．f(−17)<f(16)<f(18)答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f (x +8)=−f (x +4)=f (x )，故函数f (x )是周期函数，且周期为8，则f (16)=f (0)，f (−17)=f (−1)，f (18)=f (2)，因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f (x )在区间[−2,2]上为增函数，所以f (−1)<f (0)<f (2)，即f (−17)<f (16)<f (18).故选：D.3、定义在R 上的函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2.若f (x )的图象关于直线x =4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．f (−2)=1B ．f (0)=0C ．f (4)=2D ．f (6)=−1答案：A分析：根据f (4−x )+f (x )=2，令x =2，可求得f (2)，再根据函数的对称性可得f (6)及f (4+x )+f (x )=2，再令x =−2，可求得f (−2)，即可得出答案.解：因为函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (2)=2f (2)=2，所以f (2)=1，又f (x )的图象关于直线x =4对称，所以f (6)=f (2)=1，且f (4−x )=f (4+x )，则f (4+x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (−2)=2，所以f (−2)=−1，无法求出f (0),f (4).故选：A.4、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（ ）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值.由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、函数的y =√−x 2−6x −5值域为（ ）A ．[0,+∞)B ．[0,2]C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)答案：B分析：令u =−x 2−6x −5，则u ≥0，再根据二次函数的性质求出u 的最大值，进而可得u 的范围，再计算y =√u 的范围即可求解.令u =−x 2−6x −5，则u ≥0且y =√u又因为u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，所以0≤u ≤4，所以y =√u ∈[0,2]，即函数的y =√−x 2−6x −5值域为[0,2]，故选：B.7、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C8、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B.9、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞)答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)，∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4； 综上所述：a 的取值范围为[0,4].故选：C.10、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3 答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.填空题11、不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021的解为______．答案：(−∞,2)∪(3,4)分析：根据幂函数的性质，分类讨论即可将不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021转化成(14−x )2021>(1x−2)2021（Ⅰ）{14−x>0 1x−2>0 14−x >1x−2，解得3<x<4；（Ⅱ）{14−x >01 x−2<0，解得x<2；（Ⅲ）{14−x<0 1x−2<0 14−x >1x−2，此时无解；综上，不等式的解集为：(−∞,2)∪(3,4)所以答案是：(−∞,2)∪(3,4)12、已知函数f(x)=|x+ax|在区间(0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为___________.答案：(−∞,−1]∪[1,+∞)分析：分类讨论a，根据函数解析式得到函数在(0,+∞)上的单调性，再根据已知列式可得结果.当a=0时，f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增，故在区间(0,1]上单调递增，不合题意；当a>0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√a]上单调递减，在区间[√a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√a≥1，∴a≥1；当a<0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√−a]上单调递减，在区间[√−a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√−a≥1，∴a≤−1；综上，实数a的取值范围为(−∞,1]∪[1,+∞).所以答案是：(−∞,1]∪[1,+∞).13、设幂函数f(x)同时具有以下两个性质：①函数f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=___________.都有f(a)−f(b)a−b（答案不唯一）答案：1x2分析：利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.由题意可得，幂函数f(x)=x a需满足在第二象限内有图象且在(0,+∞)上是单调递减即可，所以a=−2k(k∈N∗)，故满足上述条件的可以为f(x)=1.x2所以答案是：1（答案不唯一）.x214、已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;或1答案：−32分析：根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，或m=1.即2m2+m−3=0，解得m=−32所以答案是：−3或1.215、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.解答题16、已知函数f(x)=2x−ax ，且f(2)=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f(2)=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）∵f(x)=2x−ax ，且f(2)=92,∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x =−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明：任取x1,x2∈(1,+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.17、已知f(x)为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，求f(x)的表达式．答案：f(x)=x 2−2x −1分析：设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解.由题意可设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c =ax 2+(2a +b)x +a +b +c ，f(x −1)=a(x −1)2+b(x −1)+c =ax 2−(2a −b)x +a −b +c ，于是f(x +1)+f(x −1)=2ax 2+2bx +2a +2c ，又f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，所以{2a =2,2b =−4,2a +2c =0,解得{a =1,b =−2,c =−1,所以f(x)=x 2−2x −1．18、已知幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，且f (x )=x2−m 2m （m ∈Z ）. (1)求m 的值；(2)解不等式：f (|x |−2)<f (3x ).答案：(1)m =1(2)[2,3)分析：（1）由条件结合幂函数的性质可得2−m 2m >0，再验证可得答案.（2）由函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得{3x ≥0|x |−2≥0|x |−2<3x，从而解出答案.（1）幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，则2−m 2m >0 ，即0<m <2又m ∈Z ，则m =1，此时f (x )=x 12f (x )=x 12满足在定义域[0,+∞)上是严格增函数.所以m =1（2）由（1）函数y=f(x)在其定义域上是严格增函数根据f(|x|−2)<f(3x )，则{3x≥0|x|−2≥0|x|−2<3x，则{x≥2|x|−2<3x所以{x≥2x2−2x<3，解得2≤x<3所以不等式f(|x|−2)<f(3x)的解集为[2,3)19、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数. （2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数. （3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。

3.4 函数的应用(一)常见的几类函数模型1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为( ) A ．y ＝20－x,0<x <10 B ．y ＝20－2x,0<x <20 C ．y ＝40－x,0<x <10 D ．y ＝40－2x,0<x <20[答案] A2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．分段函数模型D ．无法确定C [由s 与t 的图象，可知t 分4段，则函数模型为分段函数模型．]3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．60[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]一次函数模型的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套D[因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：①通话2分钟，需要付电话费________元；②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．①3.6②6③y＝1.2t(t≥3)[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．[解] (1)由题意设甲城的月供电费用为y 1，则y 1＝λ×20x 2. 设乙城的月供电费用为y 2，则y 2＝λ×10×(100－x )2， ∴甲、乙两城月供电总费用y ＝λ×20x 2＋λ×10×(100－x )2. ∵λ＝0.25，∴y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(2)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，则当x ＝1003时，y 最小．故当核电站建在距A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小．分段函数模型的应用【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t (单位：百件)时，销售所得的收入约为5t －12t 2(万元)．(1)若该公司的年产量为x (单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解] (1)当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )，(0<x ≤5)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－12×52－(0.5＋0.25x )，(x >5)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5，(0<x ≤5)，12－0.25x ，(x >5).(2)当0<x ≤5时，f (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5，所以当x ＝4.75(百件)时，f (x )有最大值，f (x )max ＝10.781 25(万元)．当x >5时，f (x )<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大．1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．3．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (小时)的函数； (2)求汽车行驶5小时与A 地的距离．[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A 地到B 地需2.5小时，这时x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；汽车以50千米/时的速度返回A 地需3小时，这时x ＝150－50(t －3.5)．所求函数的解析式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，－50t ＋325， 3.5<t ≤6.5.(2)当t ＝5时，x ＝－50×5＋325＝75， 即汽车行驶5小时离A 地75千米．1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．2．数学建模的过程图示如下：1．思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．(1)甲比乙先出发．( )(2)乙比甲跑的路程多．( ) (3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )A B C DB [图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]3．某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B 地，在B 地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y (单位：千米)是时间t (单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80t ，0≤t ≤2，160，2<t ≤44. 某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？[解] (1)由图象知，可设y ＝kx ＋b (k ≠0)，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000得，x>7003，故每天至少需要卖出234张门票．。

函数及其性质(强化练)一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝－2x 3为同一个函数的是( ) A ．y ＝x －2x B ．y ＝－x －2x C ．y ＝－2x 3D ．y ＝x2－2x解析：选B.函数y ＝－2x 3的定义域为(－∞，0]，值域为[0，＋∞)，而y ＝－2x 3的定义域为[0，＋∞)，y ＝x2－2x的定义域为(－∞，0)，所以排除C ，D.又y ＝x －2x 中，x ≤0，所以y ≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y ＝－2x 3的值域不同，所以排除A.故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (α)＋f (1)＝0，则实数α的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A.因为f (1)＝2， 所以f (α)＝－f (1)＝－2，当α>0时，2α>0，所以α∉(0，＋∞)． 所以α≤0，α＋1＝－2，得α＝－3.3．(2019·抚顺检测)已知函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则函数f (x －3)的图象恒过点( )A ．(4，1)B ．(－3，1)C ．(1，－3)D ．(1，4)解析：选A.函数f (x －3)的图象看作函数f (x )的图象向右平移3个单位，函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则函数f (x －3)的图象恒过点(4，1)．4．如果函数y ＝x 2＋(1－a )x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．[9，＋∞)D ．(－∞，－7]解析：选C.由题得－1－a2≥4，a ≥9.故选C.5．下列函数中，既是偶函数又在(－3，0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝x解析：选C.A 项为奇函数；B 项为偶函数，但在(－3，0)上单调递增，不合题意；C 项，函数是偶函数，当x ∈(－3，0)时，y ＝－x ＋1单调递减，符合题意；D 项，函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合题意．故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A.当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A.7．(2019·河北辛集中学月考)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x (x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1 B.14 C.34D.32解析：选C.令1＋x x ＝12，可得x ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋（－2）2（－2）2＋1－2＝34. 故选C.8．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数解析：选D.根据题意有f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|，所以f (x )＋|g (x )|是偶函数．同理，易知选项A ，B 中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C 中的函数是偶函数. 9．已知函数f (x )为偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是( )A ．(0，2)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(1，2)解析：选A.当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝f (－x )＝－x －1.由f (x －1)＜0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜0，－（x －1）－1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，（x －1）－1＜0， 解得0＜x ＜1或1≤x ＜2， 即0＜x ＜2.故选A.10．已知函数f (x )是R 上的增函数，对任意实数a ，b ，若a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )－f (－b ) 解析：选A.因为a ＋b ＞0， 所以a ＞－b ，b ＞－a ，所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，所以f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．故选A. 二、填空题11．已知f (x )在[－3，3]上为奇函数，且f (3)＝－2，则f (－3)＋f (0)＝________． 解析：因为f (x )在[－3，3]上为奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )． 因为f (3)＝－2，所以f (－3)＝2， 所以f (－3)＋f (0)＝2，故填2. 答案：212．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________． 解析：由函数y ＝f (x )＋x 是偶函数， 则f (－2)－2＝f (2)＋2＝3， 所以f (－2)＝5. 答案：513．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.答案：－614．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为________．解析：因为函数f (x )为奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，不等式xf (x )＞0化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f （x ）＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f （x ）＜0，结合函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f （x ）＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12，⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f （x ）＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12或－12＜x ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 三、解答题15．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2.(1)若f (x )的单调区间为(－∞，4)，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意知1－a a ＝4，解得a ＝15.(2)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a ＝0满足；当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a a≥4，解得0＜a ≤15.综上，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0≤a ≤15.16．已知函数f (x )＝2xx ＋1，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2x 1（x 2＋1）－2x 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.由于－3≤x 1<x 2≤－2，则x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )＝2xx ＋1在[－3，－2]上是增函数． (2)因为f (－2)＝4，f (－3)＝3， 且f (x )在[－3，－2]上是增函数， 所以函数f (x )的最大值是4，最小值是3.17．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，求m －n 的最小值．解：因为当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，所以当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14， f (x )max ＝f (－3)＝2.因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈[1，3]时函数的最小值和最大值分别为－2，14，所以m 的最小值为14，n 的最大值为－2.所以(m －n )min ＝14－(－2)＝94，即m －n 的最小值为94.18．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c，若函数f (x )是奇函数，且f (1)＝3，f (2)＝5.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝3f (x )＋5x，试证明函数g (x )在(0，1)上是减函数；(3)若不等式g (x )≤m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以a （－x ）2＋1b （－x ）＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c.即ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c. 所以－bx ＋c ＝－(bx ＋c )．所以c ＝－c .所以c ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1bx.因为f (1)＝3，f (2)＝5，所以a ＋1b ＝3，4a ＋12b ＝5.所以a ＝72，b ＝32. 所以f (x )＝7x 2＋23x.(2)证明：g (x )＝3f (x )＋5x ＝7x 2＋7x＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .设x 1，x 2∈(0，1)且x 1＜x 2.g (x 2)－g (x 1)＝7⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－x 1－1x 1＝7(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝7（x 2－x 1）（x 1x 2－1）x 1x 2.因为0＜x 1＜x 2＜1，所以0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0. 所以g (x 2)－g (x 1)＜0，g (x 2)＜g (x 1)． 因此函数g (x )在(0，1)上是减函数．(3)由(2)知g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数． 所以g (x )在x ＝14处取最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1194.所以m ≥1194.。

章末综合测评(三) 函数的概念与性质(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 D [A 、B 中两函数的定义域不同；C 中两函数的解析式不同．] 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．RC [要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.] 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1， x ≤1，x 2＋3， x >1，则f (3)＝( )A ．7B ．2C ．10D ．12D [∵3>1，∴f (3)＝32＋3＝12.] 4．已知f (x )＝x 3＋2x ，则f (a )＋f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．2 A [f (x )＝x 3＋2x 是R 上的奇函数，故f (－a )＝－f (a )，∴f (a )＋f (－a )＝0.]5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 3C ．y ＝－1xD ．y ＝x 4B [对于A ，y ＝x ＋1为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除A ；对于C ，y ＝－1x为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C ；对于D ，y ＝x 4为偶函数，排除D ，选B.]6．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5]C [由f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，当x ＝2时，f (x )取到最小值－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值5，故值域为[－4,5]．]7．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于( )A ．－10B ．－2C ．－6D ．14B [∵f (5)＝125a ＋5b ＋4＝10，∴125a ＋5b ＝6，∴f (－5)＝－125a －5b ＋4＝－(125a ＋5b )＋4＝－6＋4＝－2.]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a的取值范围是() A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，由函数图象(图略)知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴由f (2－a 2)>f (a )，得a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.]9．函数y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．[6＋3，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．[3，＋∞)B [∵y ＝3x ＋2x －1在[2，＋∞)上是增函数，∴y min ＝3×2＋2×2－1＝6＋ 3.∴y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域为[6＋3，＋∞)．]10．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 A [y ＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，由已知得，a ≤2或a ≥3.]11．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (4)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (4)<f (1) A [由f (2＋t )＝f (2－t )，可知抛物线的对称轴是直线x ＝2，再由二次函数的单调性，可得f (2)<f (1)<f (4)．]12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( )A ．－6B ．6C ．－8D ．8C [由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )⇒函数图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f (x )在[2,4)上大于0，同理推知f (x )在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f (x )＝m (m >0)的两根关于直线x ＝2对称，故此两根之和等于4.f (－6＋x )＝f [(x －2)－4]＝－f (x －2)＝－f [(x ＋2)－4]＝f (x ＋2)＝f [(6＋x )－4]＝－f (6＋x )＝f (－6－x )．∴f (x )关于直线x ＝－6对称．此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.3 [∵－3<0，∴f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，∵1>0，∴f (1)＝2×1＋1＝3，∴f (－3)＝3.]14．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f (1)的实数x 的取值范围为________． (－∞，0)∪(1，＋∞) [∵f (x )在R 上是减函数，。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

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章末复习提升课函数的定义域和值域（1）函数f（x)＝错误!＋（3x－1)0的定义域是（）A。

错误!B.错误!C.错误!D.错误!∪错误!(2）已知函数y＝f(x＋1)的定义域是［－2，3］,则y＝f(2x－1)的定义域是( ）A.错误!B．[－1，4］C．［－5，5］D．[－3，7］(3）求下列函数的值域：①y＝错误!;②y＝x＋4错误!；③y＝错误!－2x，x∈错误!。

【解】(1)选D。

由题意得,错误!解得x<1且x≠错误!。

(2)选A.设u＝x＋1，由－2≤x≤3,得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u）的定义域为［－1,4］．再由－1≤2x－1≤4,解得0≤x≤错误!，即函数y＝f(2x－1)的定义域是错误!.（3）①y＝错误!＝错误!＝2＋错误!，显然错误!≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞,2)∪(2,＋∞)．②设t＝错误!≥0,则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－（t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5］．③因为y＝错误!－2x在错误!上为减函数，所以y min＝错误!－2×错误!＝－1.y＝错误!－2×(－2)＝错误!.max所以函数的值域为错误!。

高中数学函数的性质及相关题目解析函数是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。

理解函数的性质对于学生来说至关重要，不仅可以帮助他们掌握基本的数学知识，还能提高解题的能力。

在本文中，我将重点讨论函数的性质，并通过具体题目的解析来说明相关考点和解题技巧。

一、函数的定义和性质函数可以理解为两个集合之间的对应关系，即每一个自变量都对应唯一的因变量。

函数的定义通常以符号表示，例如：$y=f(x)$，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$f$为函数名。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指因变量的取值范围。

例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，其定义域为$x\geq 0$，值域为$y\geq 0$。

理解函数的定义域和值域有助于解决函数的合法性问题和确定函数的取值范围。

2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。

如果对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；如果对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数。

例如，函数$y=x^2$为偶函数，函数$y=x^3$为奇函数。

理解函数的奇偶性可以简化函数的计算和图像的绘制。

3. 单调性函数的单调性是指函数图像在定义域上的增减性。

如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数为增函数；如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数为减函数。

例如，函数$y=x^2$在定义域$x\geq 0$上为增函数，函数$y=-x^2$在定义域上为减函数。

理解函数的单调性有助于解决不等式和优化问题。

二、相关题目解析1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的定义域和值域。

解析：首先，我们需要确定函数的定义域。

由于函数中存在平方项，所以$2x^2-3x+1$的值不会小于0。

专题强化训练(三) 函数的概念与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题 1．函数f (x )＝1x ＋1＋4－2x 的定义域为( ) A ．[－1,2] B ．(－1,2] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，4－2x ≥0，得－1<x ≤2，故选B.]2．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7B [∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.] 3．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋1B [由题意可知f (x )是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选B.] 4．函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数A [由幂函数的性质知，当α＞0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，所以y ＝x 35在(0,1]上是增函数．令y ＝f (x )＝x 35，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )35＝－x 35＝－f (x )，所以f (x )＝x 35是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x ∈[－1,0)时，y ＝x 35也是增函数． 当x ＝0时，y ＝0，又当x ＜0时，y ＝x 35＜0，当x ＞0时，y ＝x 35＞0，所以y ＝x35在[－1,1]上是增函数．故y＝x35在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是()A．1B．2 C．3D．4C[f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．]二、填空题6．函数y＝1x＋1的单调区间是________．(－∞，－1)和(－1，＋∞)[因为y＝1x＋1可由y＝1x向左平移1个单位得到，画出函数的图象，如图，结合图象可知该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．]7．函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1,2]上的最小值是f(2)，则a的取值范围是________．[2，＋∞)[由题意可知f(x)在[－1,2]上单调递减，故a≥2.]8．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.3[由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]三、解答题9．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.[解]令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at ＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.(1)因为f(x)图象的对称轴为x＝－a，由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝145(舍去)；当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±3；当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－145(舍去)．综上，a＝±3.10．定义在R上的偶函数f(x)在y轴左方(含原点)的图象如图所示，且解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≤0)．(1)补全函数f(x)的图象；(2)求出函数f(x)的解析式；(3)讨论方程f(x)＝d的根的个数；(4)作出y＝|f(x)|的图象．[解](1)f(x)的图象如图1所示．图1(2)由图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，－b 2a ＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＝b ，14a －12b ＋c ＝14.解之得a ＝－1，b ＝－1，c ＝0.所以当x ≤0时，f (x )＝－x 2－x .当x >0时，－x <0. 所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )＝－x 2＋x . 又f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝－x 2＋x .所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.也可以写成f (x )＝－x 2＋|x |.(3)由y ＝d 的图象(图略)，y ＝f (x )的图象知(如图1)， 当d >14时，方程f (x )＝d 无实根；当d ＝14或d <0时，方程f (x )＝d 有两个实根；当d ＝0时，方程f (x )＝d 有三个实根； 当0<d <14时，方程f (x )＝d 有四个实根． (4)y ＝|f (x )|的图象如图2所示．图2 [等级过关练]1．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．－1 D ．－3A [∵f (x )＝x ＋1x －1，∴f (a )＝a ＋1a －1＝2，∴a ＋1a ＝3，∴f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.]2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B [由题意知f (－2)＝f (2)＝0，当x ∈(－2,0)时，f (x )<f (－2)＝0，由对称性知，x ∈[0,2)时，f (x )为增函数，f (x )<f (2)＝0，故x ∈(－2,2)时，f (x )<0，因此选B.]3．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为________．f (x )＝x ＋2 [由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x ＋2.]4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．13或－5 [f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1， 当a >0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为 f (3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13；当a <0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为 f (－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5. 综上，a 的值为13或－5.]5．已知奇函数f (x )＝px ＋q x ＋r (p ，q ，r 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求函数f (x )的解析式；(2)试判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；(3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴r ＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝52，f (2)＝174，即⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝52，2p ＋q 2＝174，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝12，∴f (x )＝2x ＋12x .(2)f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减．证明如下：设任意的两个实数x 1，x 2，且满足0<x 1<x 2≤12，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－4x 1x 2)2x 1x 2.∵0<x 1<x 2≤12，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<14，1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减．(3)由(2)知f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2.要使当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，只需当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )min ≥2－m ， 即2≥2－m ，解得m ≥0， 即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

质量检测 (三)本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分．满分 150分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1．函数 y ＝ 2x ＋1＋ 3－4x 的定义域为()A. －1，3B. －1，32 4 2 4C. －∞，1D. －1，0 ∪(0，＋∞ )221[分析]2x ＋1≥0， x ≥－2，1 3 由得3即－ ≤x ≤ ，所以函3－4x ≥0 24x ≤4，13数的定义域为 －2，4 .[答案 ]B2．函数 f(x)＝x 3＋1的图象 ( )xA ．对于 y 轴对称B ．对于直线 y ＝x 对称C ．对于坐标原点对称D ．对于直线 y ＝－ x 对称[ 分析 ] 由 x ≠0，且 f(－x)＝(－x)3＋ 1＝－ x 3－1＝－ f(x)，知 f(x)－x x是 R 上的奇函数，所以图象对于坐标原点对称．[答案] C1－x 2，x ≤1，则 f 1 ＝( )3．设函数 f(x)＝x 2＋ x －2，x>1，f 21527A. 16B ．－ 168C.9D ．18[分析 ] f(2)＝221 1 ，故 f1 ＝f 1 ＝1－ 1 15 ＋2－2＝4， ＝ f2 4 4 2＝ .f 2 4 16[答案 ] A4 ．已知f(x) 是偶函数，g(x) 是奇函数，且＋ g(x) ＝2－2x ＋1，f(x) 2x则 f(－1)＝( )A ．3B ．－ 3C ．2D ．－ 2[分析 ]令 x ＝1，得 f(1)＋g(1)＝1，令 x ＝－ 1，得 f(－1)＋g(－1)＝5，两式相加得： f(1)＋f(－1)＋g(1)＋g(－1)＝6.又∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－ g(1)．∴2f(－1)＝6，∴f(－1)＝3，应选 A.[答案]A5.一高为 H 、满缸水量为 V 的鱼缸截面如下图，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数 v ＝f(h)的大概图象可能是图中的()[ 分析 ]由鱼缸的形状可知，水的体积跟着h 的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．[答案]Bxf －26．若函数 y＝f(x)的定义域是 [0,2]，则函数 g(x)＝x＋1的定义域是()A ．[－4,0]B．[－4,0)C．[－4，－ 1)∪(－1,0]D．(－4,0)x[ 分析 ] ∵y＝f(x)的定义域是 [0,2] ，∴要使 g(x)＝f －2存心义，需x＋1xf －x0≤ －2≤2，2且 x≠－1.∴g(x)＝∴－4≤x≤0的定义域为 [－x＋1≠0，x＋14，－ 1)∪(－1,0]．[答案] C7．二次函数 f(x)＝ax2＋2a是区间 [－a，a2]上的偶函数，又 g(x)＝f(x－1)，则 g(0)，g 3，g(3)的大小关系为 () 233A ．g 2 <g(0)<g(3)B．g(0)<g 2<g(3)33 C．g 2 <g(3)<g(0)D．g(3)<g 2<g(0)[分析 ]由题意得a≠0，a ＝，解得－a＝－ a2，1∴f(x)＝x2＋ 2，∴g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.∵函数 g(x)的图象对于直线x＝1 对称，∴g(0)＝g(2)．又∵函数 g(x)＝(x－1)2＋2 在区间 [1，＋∞)上单一递加，33∴g 2 <g(2)<g(3)，∴g 2 <g(0)<g(3)．[答案]A8．某商场对顾客推行购物优惠活动，规定一次购物付款总数：①假如不超出200 元，则不赐予优惠；②假如超出 200 元但不超出 500 元，则按标价赐予 9 折优惠；③假如超出 500 元，其 500 元内的按第 (2)条赐予优惠，超出 500元的部分赐予 7 折优惠．某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假定他去一次购置上述相同的商品，则对付款是()A ．413.7 元C．548.7 元[ 分析 ]购物超出B．513.7 元D．546.6 元200 元，起码付款 200×0.9＝180(元)，超出500元，起码付款500×0.9＝450(元)，可知这人第一次购物不超出200元，第二次购物不超出500 元，则这人两次购物总金额是423 168＋ 0.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，对付500×0.9＋ 138×0.7＝546.6(元)．[答案 ]D．已知函数＝x2＋1，x≤0，9若 f(x－4)>f(2x－3)，则实数f(x)1，x>0，x 的取值范围是 ()A ．(－1，＋∞ )B．(－∞，－ 1)C．(－1,4)D．(－∞， 1)[分析 ]f(x) 的图象如图．由图知，若f(x － 4)>f(2x － 3)，则x－4<0，x－4<2x－3，解得－ 1<x<4.故实数 x 的取值范围是 (－1,4)．[答案]C10．甲、乙二人从 A 地沿同一方向去 B 地，途中都使用两种不一样的速度 v1与 v2(v1<v2)，甲前一半的行程使用速度 v1，后一半的行程使用速度 v2；乙前一半的时间使用速度 v1，后一半的时间使用速度v2，对于甲、乙二人从 A 地抵达 B 地的行程与时间的函数图象及关系，犹如下图的四个不一样的图示剖析 (此中横轴 t 表示时间，纵轴 s 表示行程， C 是 AB 的中点 )，则此中可能正确的图示剖析为()[ 分析 ]由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此清除C，D.再依据 v1<v2可知两人的运动状况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A剖析正确．[答案 ]A11．定义在 R 上的偶函数 f(x)对随意 x1，x2∈[0 ，＋∞ )(x1≠x2)，有f x2－f x1<0，则 ()x2－x1A ．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－ 2)[分析 ]f x2－f x1由已知<0，得 f(x)在 x∈[0，＋∞)上单一递减，x2－x1由偶函数的性质得 f(3)<f(2)＝f(－2)<f(1)．应选 A.[答案 ]A12．在实数集 R 中定义一种运算“*，”使其拥有以下性质：①对随意 a，b∈R，a* b＝ b*a；②对随意 a∈R，a*0 ＝a；③对随意 a，b，c∈R，(a*b)* c＝c*( ab)＋(a* c)＋(b* c)－2c.x则实数 f(x)＝x* 2的单一递减区间是 ()A. －∞， 1B. －3，＋∞22C. －∞， 3D. －∞，－ 322x x23x[分析 ]在③中，令 c ＝0，则 a* b ＝ab ＋a ＋b? f(x)＝x* 2＝ 2 ＋ 2＝1x ＋32－ 9 ，易知函数 f(x)的单一递减区间为 －∞，－3，应选2 2 82D.[答案 ] D第Ⅱ卷 (非选择题共 90分)二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上 )2x ，x>0，若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a13．已知函数 f(x)＝x ＋ 1，x ≤0，的值等于 ________．[分析 ] 若 a>0，则 2a ＋2＝ 0，得 a ＝－ 1，与 a>0 矛盾，舍去；若 a ≤0，则 a ＋1＋2＝0，得 a ＝－ 3，所以实数 a 的值等于－ 3.[答案 ] －314．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增添 x ，宽减少 x2时，面积达到最大，此时 x 的值为 ________．[分析 ]x12，∴当由题意， S ＝(4＋x) 3－ ，即 ＝－x ＋ ＋x2S2x12＝1 时， S 最大．[答案 ] 115．我国股市中对股票的股价推行涨、跌停制度，即每日的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每日涨停，后两日每日跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌状况是________(用数字作答 )．[分析 ](1＋10%)2·(1－10%)2＝，而－＝－，0.98010.980110.0199即跌了 1.99%.[答案 ]跌了 1.99%x2－2x＋a，x>1，是 R 上的单一递加函数，则16．已知 f(x)＝3－2a x－1，x≤1实数 a 的取值范围为 ________．x－1 2＋a－1，x>1，[分析 ]f(x)＝3－2a x－1，x≤1明显函数 f(x)在(1，＋∞)上单一递加．3－2a>0，故由已知可得a－1≥ 3－2a ×1－1，3解得 1≤a<2.[答案 ]1，32三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )x＋217．(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)＝x－6.(1)判断点 (3,14)能否在 f(x)的图象上；(2)当 x＝4 时，求 f(x)的值；(3)当 f(x)＝2 时，求 x 的值．[ 解](1)因为 f(x)＝x＋23＋25，所以 f(3)＝＝－3，x－63－6所以点 (3,14)不在 f(x)的图象上．4＋2(2)f(4)＝＝－3.4－6x＋2(3)令＝2，即x＋2＝2x－12，x－6解得 x＝14.1 18．(本小题满分 12 分)已知 f(x)＝x－1，x∈[2,6] ．(1)证明 f(x)是定义域上的减函数；(2)求 f(x)的最大值和最小值．(1)证明：设 2≤x1<x2≤6，则 f(x1)－ f(x2)＝1－1＝x1－1x2－1x2－x1.x1－1 x2－1因为 x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．所以 f(x)是定义域上的减函数．1(2)由(1)的结论可得， f(x)min＝f(6)＝5，f(x)max＝f(2)＝1.19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2.(1)务实数 a 的取值范围，使y＝f(x)是区间 [ －5,5]上的单一函数；(2)求 a 的值，使 f(x)在区间 [－5,5]上的最小值为－ 1.[ 解] (1)∵y＝f(x)是[ －5,5]上的单一函数，∴－a≤－5或－a≥5，即 a≥5 或 a≤－5.(2)当－ a<－5，即 a>5 时， f(x)在[ －5,5]上是增函数，∴f(x)min＝ f(－5)＝25－10a＋2＝－ 1，∴ ＝1414∵a>5，∴a＝不合要求，舍去．a55当－ 5≤－a≤5，即－ 5≤a≤5 时，f(x)min＝f(－a)＝2－a2＝－ 1，∴a2＝3，即 a＝± 3.当－ a>5，即 a<－5 时， f(x)在[ －5,5]上是减函数，∴f(x)min＝ f(5)＝25＋10a＋2＝－ 1，14∴a＝－5 .14∵a<－5，∴a＝－ 5 不合要求，舍去，∴a＝±3.20．(本小题满分12 分)如下图，A、B 两城相距100 km，某天然气企业计划在两地之间建一天然气站 D 给 A、B 两城供气．已知D 地距 A 城 x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设花费 y(万元 )与 A、B 两地的供气距离 (km)的平方和成正比，当日然气站 D 距 A 城的距离为 40 km 时，建设花费为 1300 万元． (供气距离指天然气站到城市的距离 )(1)把建设花费y(万元 )表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距 A 城多远，才能使建设花费最小，最小花费是多少？[ 解] (1)由题意知 D 地距 B 城(100－x)km，100－x≥10，则∴10≤x≤90.x≥10，设比率系数为k，则 y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)．又 x＝40 时， y＝1300，1所以 1300＝k(402＋602)，即 k＝4，所以 y＝14[x2＋(100－x)2]＝12(x2－100x＋5000)(10≤x≤90)．(2)因为 y＝21(x2－100x＋5000)＝12(x－50)2＋1250，所以当 x＝50 时， y 有最小值为 1250 万元．所以当供气站建在距 A 城 50 km 时，能使建设花费最小，最小费用是 1250 万元．21．(本小题满分 12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－ (x－2)2＋2.(1)求函数 f(x)在 R 上的分析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程 f(x)－k＝0 有四个解，务实数k 的取值范围．[ 解] (1)若 x<0，则－ x>0，f(x)＝f(－x)＝－ (－x－2)2＋2＝－ (x＋2)2＋2，－x－2 2＋2，x≥0，则 f(x)＝－x＋2 2＋2， x<0.(2)图象如下图，(3)因为方程f(x)－k＝0 的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，察看函数 y＝f(x)图象与直线 y＝k 的交点状况可知，当－2<k<2 时，函数 y＝f(x)图象与直线 y＝ k 有四个交点，即方程 f(x) －k ＝0 有四个解．22．(本小题满分 12 分)已知 f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，且知足 f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当 x2>x1>0 时， f(x2)>f(x1)．(1)求 f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)如有 f(x)＋f(x－2)≤3 建立，求 x 的取值范围．[ 解] (1)f(1)＝f(1)＋f(1)，所以 f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.(2)因为 f(x)＋f(x－2)≤3，所以 f[x(x－2)] ≤f(8)，又因为对于函数f(x)，当 x2>x1>0 时，f(x2)>f(x1)，所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，x>0，所以x－2>0，解得2<x≤4.x x－2 ≤8，故 x 的取值范围为 (2,4]．。

新教材高中数学章末综合测评三函数的概念与性质含解析新人教A 版必修第一册10151章末综合测评(三) 函数的概念与性质(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2D [A 、B 中两函数的定义域不同；C 中两函数的解析式不同．] 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．RC [要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0.]3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤1，x 2＋3， x >1，则f (3)＝( )A ．7B ．2C ．10D ．12D [∵3>1， ∴f (3)＝32＋3＝12.]4．已知f (x )＝x 3＋2x ，则f (a )＋f (－a )＝( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．2A [f (x )＝x 3＋2x 是R 上的奇函数，故f (－a )＝－f (a )，∴f (a )＋f (－a )＝0.] 5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 3C ．y ＝－1xD ．y ＝x 4B [对于A ，y ＝x ＋1为其定义域上的增函数，但不是奇函数，排除A ；对于C ，y ＝－1x为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，排除C ；对于D ，y ＝x 4为偶函数，排除D ，选B.]6．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5]D ．(－4,5]C [由f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4， 当x ＝2时，f (x )取到最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取得最大值5， 故值域为[－4,5]．]7．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于( ) A ．－10 B ．－2 C ．－6D ．14B [∵f (5)＝125a ＋5b ＋4＝10， ∴125a ＋5b ＝6， ∴f (－5)＝－125a －5b ＋4 ＝－(125a ＋5b )＋4 ＝－6＋4＝－2.]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，由函数图象(图略)知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴由f (2－a 2)>f (a )，得a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.] 9．函数y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．[6＋3，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．[3，＋∞)B [∵y ＝3x ＋2x －1在[2，＋∞)上是增函数， ∴y min ＝3×2＋2×2－1 ＝6＋ 3.∴y ＝3x ＋2x －1(x ≥2)的值域为[6＋3，＋∞)．]10．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2A [y ＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2， 由已知得，a ≤2或a ≥3.]11．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (4)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (4)<f (1)A [由f (2＋t )＝f (2－t )，可知抛物线的对称轴是直线x ＝2，再由二次函数的单调性，可得f (2)<f (1)<f (4)．]12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( )A ．－6B ．6C ．－8D ．8C [由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )⇒函数图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f (x )在[2,4)上大于0，同理推知f (x )在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f (x )＝m (m >0)的两根关于直线x ＝2对称，故此两根之和等于4.f (－6＋x )＝f [(x －2)－4]＝－f (x－2)＝－f [(x ＋2)－4]＝f (x ＋2)＝f [(6＋x )－4]＝－f (6＋x )＝f (－6－x )．∴f (x )关于直线x ＝－6对称．此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.3 [∵－3<0，∴f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)， ∵1>0，∴f (1)＝2×1＋1＝3， ∴f (－3)＝3.]14．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f (1)的实数x 的取值范围为________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [∵f (x )在R 上是减函数， ∴1x<1，解得x >1或x <0.]15．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1 [设函数解析式为y ＝ax ＋b ，利用待定系数法求解．]16．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －3)x ＋3，x ∈[a 2－2，a ]是偶函数，则a ＋b ＝________. 4 [因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－a (a >0)，b ＝3，∴a ＝1，b ＝3， ∴a ＋b ＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC 的面积是y ，AB ⊥AC 且|AB |＝x －1，|AC |＝x ＋1，求y 关于x 的函数解析式，并求出函数的定义域．[解] 由于△ABC 是直角三角形，则有y ＝12|AB |·|AC |＝12(x －1)(x ＋1)＝12x 2－12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|AB |＝x －1>0，|AC |＝x ＋1>0，解得x >1.所以函数的定义域是(1，＋∞)．18．(本小题满分12分)若f (x )对x ∈R 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，求f (x )． [解] 2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，①将①中的x 换为－x ，得2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，②①②联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，把f (x )与f (－x )看成未知数解得f (x )＝x ＋1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )， (1)证明：函数f (x )是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； (3)写出函数的值域．[解] (1)由于函数定义域是R ，且f (－x )＝|－x －1|＋|－x ＋1|＝|x ＋1|＋|x －1|＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，图象如图所示：(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．[解] (1)f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数．最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 21．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55 ℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a 、x 、y 间的函数关系式；(2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km 上空的温度是多少？[解] (1)由题设知，可设y －a ＝kx (0≤x ≤12，k ＜0)，即y ＝a ＋kx . 依题意，当x ＝12时，y ＝－55， ∴－55＝a ＋12k ， 解得k ＝－55＋a12.∴当0≤x ≤12时，y ＝a －x12(55＋a )(0≤x ≤12)．又当x ＞12时，y ＝－55. ∴所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 12(55＋a )，(0≤x ≤12)，－55，(x ＞12).(2)当a ＝29，x ＝3时，y ＝29－312(55＋29)＝8，即3 km 上空的温度为8 ℃.22．(本小题满分12分)设函数f (x )的定义域为U ＝{x |x ∈R 且x >0}，且满足条件f (4)＝1.对任意的x 1，x 2∈U ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.(1)求f (1)的值；(2)如果f (x ＋6)＋f (x )>2，求x 的取值范围．[解] (1)因为对任意的x 1，x 2∈U ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)设0<x 1<x 2，则x 2－x 1>0. 又因为当x 1≠x 2时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， 所以f (x )在定义域内为增函数．令x 1＝x 2＝4，得f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝1＋1＝2， 即f (16)＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>0，x >0，即x >0时，原不等式可化为f [x (x ＋6)]>f (16)． 又因为f (x )在定义域上为增函数， 所以x (x ＋6)>16，解得x >2或x <－8.又因为x>0，所以x>2.所以x的取值范围为(2，＋∞)．。

3.1 函数的概念【题组一 区间】1．(2020·三亚华侨学校高一月考)不等式0213x <-≤的解集用区间可表示为( ) A ．1(,2)2B ．(0,2]C ．1[,2)2D ．1(,2]22．(2020·全国高一课时练习)集合{|342}x x -<可以表示为( ) A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞3．(2020·全国高一课时练习)不等式20x -≥的所有解组成的集合表示成区间是( ) A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞4．(2019·贵州省铜仁第一中学高一期中)集合{0x x >且}2x ≠用区间表示出来( ) A ．()0,2 B ．()0,∞+C ．()()0,22,+∞ D ．()2,+∞5．(2019·吉林辽源高一期中(理))下列四个区间能表示数集{|05A x x =≤<或}10x >的是( ) A ．((0,5)1)0,∞＋B ．[)0,51()0,∞＋C ．(]0,51[)0,∞＋D ．[]0,51()0,∞＋6．(2020·全国高一课时练习)若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．7．(2020·全国高一课时练习)已知(]2,31a a -为一个确定的区间，则a 的取值范围是________.【题组二 函数的判断】1．(2020·三亚华侨学校高一月考)下列图象表示函数图象的是( )A ．B．C ．D ．2．(2020·全国高一)在下列图象中，函数()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．3．(2020·全国高一课时练习)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是________.【题组三 定义域】1．(2020·浙江高一课时练习)函数22()44f x x x =-+-的定义域是( )A ．[2,2]-B ．{2,2}-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-2．(2020·贵州高二学业考试)函数()1f x x =-的定义域是( )A ．{}|1x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{}|1x x >D ．{}|1x x <3．(2020·朝阳.吉林省实验高二期末(文))函数()12x f x =-的定义域是 ( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞4．(2020·汪清县汪清第六中学高二月考(文))函数42()xf x x-=的定义域为 A ．(,2]-∞ B ．[0,2]C ．(0,2]D ．[2,)+∞5．(2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文))已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 ( ) A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)-D ．1(,1)26．(2020·嫩江市高级中学高一月考)已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是( ) A ．[2,3)-B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6)7．(2020·全国高一)若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()22f x g x x=的定义域是( ) A ．[]0,4B ．](0,4C ．](0,1D ．](0,28(2020·广西兴宁.南宁三中高二月考(文))已知函数(1)f x +的定义域为[－2，1]，则函数()(2)g x f x =-的定义域为( ) A ．[－2，1] B ．[0，3]C ．[1，4]D ．[1，3]9．(2019·内蒙古集宁一中高一期中(文))已知函数()y f x =定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域是( )A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．[]2,3-D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题组四 解析式】1．(2020·云南会泽。

2020-2021学年高一数学期末复习专题强化卷（人教A版2019必修第一册）专题3 函数概念与性质一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.函数f(x)=ln2−x2+x的图象关于（）对称．A.x轴B.y轴C.原点D.y=x【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则2−x2+x>0，即（x﹣2）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜2，则定义域关于原点对称．又f（﹣x）=ln 2+x2−x =﹣ln 2−x2+x=−f(x)，∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故选：C．2.设函数f(x)={2x,x<0g(x),x>0若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（）A.−14B.﹣4 C.14D.4【答案】A【解析】解：∴f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2x，∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x= −12x，即g(x)=−12x ，g(2)=−14．故选A．3.下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A.f（x）=x|x|B.f（x）=﹣x3C.f（x）= sinx(x∈[0,π2]) D.f（x）= lnxx【答案】A【解析】解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|= {x2(x>0)−x2(x<0)当x＞0时，f（x）=x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f （x）=﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A 正确．∴2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）=x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∴ x∈[0,π2]不关于原点对称，∴f（x）=sinx (x∈[0,π2])在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∴f（x）= lnxx 的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）= lnxx在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选A．4.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A.f（x）=﹣x（x+2）B.f（x）=x（x﹣2）C.f（x）=﹣x（x﹣2）D.f（x）=x（x+2）【答案】A【解析】解：任取x＜0则﹣x＞0，∴x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）故选A5.若幂函数y=f(x)的图象过点(3,13)，则f(1)为（）A.13B.12C.1D.2【答案】C【解析】设,因为幂函数的图象过点,所以所以,所以.选C。

第2课时　分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数．2．给出分段函数，能研究有关性质．3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝Error!其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？[答案]　(1)有函数关系(2)y＝Error!(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝Error!是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝Error!是同一函数．( )[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√题型一分段函数求值【典例1】　已知函数f (x )＝Error!(1)求f (f (f (－2)))的值；(2)若f (a )＝，求a .32[思路导引]　根据自变量取值范围代入对应解析式求值．[解]　(1)∵－2<－1，∴f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋＝.1232(2)当a >1时，f (a )＝1＋＝，∴a ＝2>1；1a 32当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝，32∴a ＝±∈[－1,1]；22当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝，32∴a ＝－>－1(舍去)．34综上，a ＝2或a ＝±.22(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f (x )＝Error!则f [f (3)]＝( )A. B ．3 C. D.1523139[解析]　∵f (3)＝<1，23∴f [f (3)]＝2＋1＝.(23)139[答案]　D2．已知函数f (x )＝Error!若f (x )＝－3，则x ＝________.[解析]　若x ≤1，由x ＋1＝－3得x ＝－4.若x >1，由1－x 2＝－3得x 2＝4，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．综上可得，所求x 的值为－4或2.[答案]　－4或2题型二分段函数的图象【典例2】　(1)作出下列分段函数的图象：①y ＝Error! ②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，求：①y 与x 之间的函数关系式；②画出y ＝f (x )的图象．[思路导引]　(1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式．[解]　(1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝Error!，其图象如图2所示．(2)①y ＝Error!②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．[解]　由于f(x)的图象由两条线段组成，因此可设f(x)＝Error!将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，点(1，－1)代入f(x)＝cx可得f(x)＝Error!由图象可得f(x)的值域为(－1,1).题型三分段函数的综合问题【典例3】　已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．[思路导引]　去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．[解]　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝Error!(1)－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f(x)>0，即Error!①或Error!②或Error!③解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅.所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f(x)的图象如图：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．[变式]　若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．[解]　由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a 与y＝f(x)有无数个交点；当－4<a<4时，y＝a与y＝f(x)有且仅有一个交点；当a<－4或a>4时，y＝a与y＝f(x)没有交点．综上可知：当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．当－4<a<4时，方程f(x)＝a有一个解．当a<－4或a>4时，方程f(x)＝a无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．[针对训练]4．已知f (x )＝Error!(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥，求x 的取值范围；14(3)求f (x )的值域．[解]　(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ＝，结合此函数图象可知，使f (x )≥的x 的取值范围是(±12)1414∪.(－∞，－12][12，＋∞)(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】　某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y (℃)随时间x (h)变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝的一部分，请根据图k x 中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引]　利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式，再分段研究．[解]　(1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点A (2,20)，D (0,10)代入，得Error!，解得Error!，∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)．∵双曲线y ＝经过B (12,20)，k x ∴20＝，解得k ＝240，k 12∴BC 段的解析式为y ＝(12≤x ≤24)．240x 综上所述，y 与x 的函数解析式为：y ＝Error!.(2)当x ＝18时，y ＝＝，由于<15，24018403403∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y ＝15，当0≤x ≤2时，解5x ＋10＝15，得x ＝1，当12≤x ≤24时，解＝15，得x ＝16.240x 由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．[解]　(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为＝3(小时)．15050(2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时＝2.5(小时)．15060综上可得，该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为s ＝Error!函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．2．与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f (x )＝Error!则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析]　∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.[答案]　A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析]　∵f (x )＝Error!分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案]　D3．函数f (x )＝Error!的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析]　当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案]　B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝|x －1|(0≤x ≤2)32B ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)3232C ．y ＝－|x －1|(0≤x ≤2)32D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析]　可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点代入，排除D 项．(1，32)[答案]　B5．设函数f (x )＝Error!若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析]　当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±或a ＝0，故a ＝.22[答案]　2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f (x )＝Error!则f (－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4[解析]　f (－2)＝－(－2)＝2，选A.[答案]　A2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )[解析]　f (x )＝|x －1|＝Error!选B.[答案]　B3．已知函数y ＝Error!使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52[解析]　当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－，不合题意，舍去．52[答案]　A4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于( )[f (13)]A ．－ B.1313C ．－ D.2323[解析]　由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝Error!∴f ＝－1＝－，(13)1323∴f ＝f ＝－＋1＝.[f (13)](－23)2313[答案]　B5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[解析]　该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝Error!由y ＝16m ，可知x >10，令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.[答案]　A二、填空题6．已知函数f (x )＝Error!，则不等式xf (x －1)≤1的解集为________．[解析]　原不等式转化为Error!或Error!解得－1≤x ≤1.[答案]　[－1,1]7．函数f (x )＝Error!的值域是________．[解析]　当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤1；当1<x ≤2时，0≤f (x )<1.所以0≤f (0)≤1，即f (x )的值域为[0,1]．[答案]　[0,1]8．已知f (x )＝Error!则f (－5)的值等于________．[解析]　f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.[答案]　2三、解答题9．已知函数f (x )＝Error!(1)求f 的值；[f (12)](2)若f (x )＝，求x 的值．13[解]　(1)因为f ＝－2＝－，(12)|12－1|32所以f ＝f ＝＝.[f (12)](－32)11＋(－32)2413(2)f (x )＝，若|x |≤1，则|x －1|－2＝，1313得x ＝或x ＝－.10343因为|x |≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则＝，得x ＝±，符合|x |>1.11＋x 2132所以若f (x )＝，x 的值为±.13210．已知函数f (x )＝1＋(－2<x ≤2)．|x |－x2(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．[解]　(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋＝1，x －x2当－2<x <0时，f (x )＝1＋＝1－x .－x －x2所以f (x )＝Error!(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝Error!则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析]　由已知得，x sgn x＝Error!而|x|＝Error!所以|x|＝x sgn x，故选D.[答案]　D12.如图，抛物线y1＝ax2与直线y2＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2,4)，B(1,1)．记f(x)为max{y1，y2}，则f(x)的解析式为( )[解析]　由y1＝ax2过点B(1,1)得a＝1，∴y＝x2.由y2＝bx＋c过点A(－2,4)，B(1,1)，有Error!解得Error!∴y2＝－x＋2，结合图象可得．f (x )＝Error!，选A.[答案]　A13．已知f (x )＝Error!则f ＋f 等于( )(－43)(43)A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4[解析]　∵f (x )＝Error!∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，f ＝2×＝，(－43)(－43＋1)(－13)(－13＋1)(23)2343(43)4383∴f ＋f ＝＋＝4.(－43)(43)4383[答案]　B 14．设函数f (x )＝Error!若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．[解析]　当a ≥0时，f (a )＝a －1>1，12解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝>1，无解．1a [答案]　(4，＋∞)15．若定义运算a ⊙b ＝Error!则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．[解析]　由题意得f (x )＝Error!画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．[答案]　(－∞，1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16 km ，他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解]　(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝Error!＝Error!(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。