2019-2020学年高三数学一轮复习 第7课时 对数函数作业 苏教版.doc

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

§2.7对数函数考情考向分析对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档．同时也有综合性较强的解答题出现，难度为中低档．1．对数函数的定义形如y＝log a x (a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．提示0<c<d<1<a<b.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (2)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(3)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )(4)若a m >a n (a >0，a ≠1)，则m >n .( × )题组二 教材改编2．[P83例2]已知132,a ＝b ＝log 213，121log ,3c 则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，121log 3c ＝log 23>1. ∴c >a >b .3．[P85练习T2]函数23log (21)y x 的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1 解析 由23log (21)0,x≥得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数23log (21)y x 的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠4．函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为________． 答案 (0，＋∞)解析 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0. 故f (x )的值域为(0，＋∞)．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数函数的图象例1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是________． 答案 (10,12)解析 作出函数f (x )的大致图象如下．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设0<a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12， 即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，1242,即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)如图是对数函数y ＝log a x 的底数a 的值分别取3，43，35，110时所对应的图象，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是________．答案3，43，35，110(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．题型二 对数函数的性质命题点1 比较对数值的大小例2 (1)设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接) 答案 a >b >c解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c .(2)已知213311,,34ab c ＝log 3π，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接) 答案 a <b <c解析 由指数函数的性质可得，0<a ＝2313<⎝⎛⎭⎫130＝1,0<b ＝1233111,42∵23yx 递增，∴a <b ，又由对数函数的性质可得c ＝log 3π>log 33＝1， ∴a <b <c .命题点2 解对数方程、不等式例3 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________． 答案 x ＝5 解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2， 即x 2－1＝4，解得x ＝±5， 又x >1，所以x ＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，12解析 原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解．所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12.思维升华 对数函数的性质以定义域作为基础，要注意底数与1的关系和“同底”原则． 跟踪训练2 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 c >a >b解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大． 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________． 答案 (0,1)∪(4，＋∞)解析 ∵二次函数f (x )＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴f (0)＝f (2)．结合二次函数的图象可得log 2x <0或log 2x >2， 解得0<x <1或x >4，∴不等式的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．题型三 对数函数的综合应用例4 已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]． 故函数h (x )的值域为[0,2]．(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x . 令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立． ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．思维升华 解对数函数的综合问题，要搞清题中复合函数的构成，保证变形过程的等价性． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,4)解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．(2)函数f (x )＝log 2x ·2log (2)x 的最小值为______． 答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (1,2]解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a ，要满足f (x )的值域为R ，需⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a >b >c解析 因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0， 所以b >c ，故a >b >c .(2)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＝b >c解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1， 所以a ＝b >c .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号) ①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析 由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c <b <a ；0<a <1<c <b ；0<b <a <1<c ；0<c <b <a <1.故①中关系不可能成立．(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 b >a >c解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |， 且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增， 又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c .1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________． 答案 (0,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x ≥0，解得0<x ≤1，故所求函数的定义域为(0,1]．2．设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 c <a <b解析 ∵0<a ＝0.50.4<0.50＝1， b ＝log 0.40.3>log 0.40.4＝1， c ＝log 80.4<log 81＝0，∴a ，b ，c 的大小关系是c <a <b .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是________． 答案 5解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝331log log 223131213－＋＝＋＝＋＝，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a ＝________. 答案 －14解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，∴要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4＋4a >0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14. 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________． 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.6．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝1 009(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 018e 2 019＝2 018， ∴1 009(a ＋b )＝2 018，∴a ＋b ＝2.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为2.7．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，因为f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．8．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83. 当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点， ∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，12()log .f x x (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则12()log ()f x x －＝－．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，12()log (),f x x所以函数f (x )的解析式为1212log ,0,()0,0,log (),0.x xf x x x x(2)因为12(4)log 42f ，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2，所以－5<x < 5.所以不等式的解集为(－5，5)．13．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①(a －1)(b －1)<0；②(a －1)(a －b )>0；③(b －1)(b －a )<0；④(b －1)(b －a )>0.答案 ④解析 由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，0<b <a <1，代入验证只有④满足题意．14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2解析 令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2. 16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. ∴函数的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1＋x 1－x ＝0， ∴f (x )为奇函数．故f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m (x ＋1)(7－x )恒成立． 即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．。

对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n mlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案 12或2解析 当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A解析 2a ＝5b＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝.答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋()212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选 计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝.答案 1 解析 原式＝ 1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＋b ＝.答案 6解析 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a，所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝. 答案 4解析 原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2) ＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2 ＝3(lg5＋lg2)＋1 ＝4.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln2 B ．e ＋ln2 C ．2 D ．4答案 C解析 根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为函数y ＝e x的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 2，ln x 2)，又由函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，而直线y ＝2－x 也关于直线y ＝x 对称，则点(x 1，1e x )和(x 2，ln x 2)也关于直线y ＝x 对称，则有x 1＝ln x 2，则有1e x ＋ln x 2＝1e x ＋x 1＝2. 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝log a x ＋b 的图象如图所示，那么函数g (x )＝a x＋b 的图象可能为( )答案 D解析 结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意． (2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2ex -＝ln(x 2＋1)，3ex -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析 画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式、对数式大小 例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( ) A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b＝log 612＝1＋log 62， 1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3，log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2 解对数方程不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析 依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减 C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减 答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln－2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析 当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min ＝. 答案 5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2， 设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增， ∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2， 当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7， ∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于( ) A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1， 所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10lgII 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7) B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析 由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩解得a >1或－1<a <0.5.(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1 答案 BC解析 由图象可知函数为减函数，∴0<a <1， 令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－x ，则( ) A ．f (ln2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln2 答案 ACD 解析 f (ln2)＝ln(e 2ln2＋1)－ln2＝ln 52，故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－lne x＝ln e 2x＋1ex＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误； 当x >0时，y ＝e x ＋e －x在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x＋e －x)在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确； 由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数， 所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln2，故D 项正确． 7．(2022·海口模拟)log 327＋lg25＋lg4＋27log 7＋138的值等于．答案152解析 原式＝323log 3＋lg52＋lg22＋2＋1332⨯＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋2 ＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2log 2x 的最小值为．答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．设f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解 (1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2a －b ＝1，log 2a 2－b 2＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x－2x)， 令t ＝4x－2x，则t ＝4x －2x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解 (1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x>0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x＝3y＝log 4z ，则( ) A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y答案 D解析 设2x＝3y＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k>log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83B.809C.154D.25516 答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |， ∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1， 又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2， 易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83.14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2)解析 令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a24，则u 有最小值12－a24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a ＝lg a ＋1lg a －lg alg a ＋1＝lg 2a ＋1－lg 2a lg a lg a ＋1＝[lg a ＋1－lg a ][lg a ＋1＋lg a ]lg a lg a ＋1当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0， ∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意； 当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lga ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>0， 由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1，综上有a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1.16．已知函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )． (1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围．解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x－4)． 由f (x )>2， 得log 2(2x－4)>2， 得2x－4>4， 得2x >8， 解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)， 所以f (0)＝1， 即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根， 即log 2(2x＋1)＝x －2m 有实根． 所以方程－2m ＝log 2(2x＋1)－x 有实根． 令g (x )＝log 2(2x＋1)－x ， 则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ＝log 2(2x＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0， 所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0， 解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

第7课时 对数函数1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．(2018·某某某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.3．若log a 23<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值X 围是(0，23)∪(1，＋∞)． 4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0} B ．{x|－1≤x≤1} C ．{x|－1<x≤1} D ．{x|－1<x≤2}答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·某某，理)函数f(x)＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 答案 D解析 函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t 与t ＝g(x)＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.9．(2018·某某金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<a<b D ．c<b<a答案 C解析 因为f(x)＝2|x －m|－1为偶函数，所以m ＝0.因为a ＝f(log 123)＝f(log 23)，b ＝f(log 25)，c ＝f(0)，log 25>log 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x＋1)－(－x)2＋1]＝x[ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)]－2x 2＋2＝xln e 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x－2x 2＋2 ＝2x 2－2x 2＋2＝2， 所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln2x＝ln3y＝ln5z， ∴xln2＝yln3＝zln5.∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析 原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________． 答案 (1，＋∞)(1，＋∞)17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值X 围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b ＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.1．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则ab ＋2＝________．答案 1解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b 2)b＝bb 2，∴b 2b＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4，∴ab ＋2＝1. 2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值X 围是________．答案 [1e，e]解析 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1e ≤t ≤e.3．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，某某数a 的取值X 围； (2)若f(x)的值域为R ，某某数a 的取值X 围． 答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.。

第7讲对数与对数函数最新考纲考向预测1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0且a≠1).命题趋势对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.核心素养数学运算、直观想象1．对数概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论①log a b ＝1logba ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数图象的特点(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 常见误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意M >0的条件，当n ∈N *，且n 为偶数时，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |.2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a >1及0<a <1进行分类讨论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是相等函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．log 29·log 34＝( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析：选D.原式＝log 232×log 322＝4log 23×log 32＝4×lg 3lg 2×lg 2lg 3＝4. 3．函数y ＝log 2(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C.函数y ＝log 2(x ＋1)的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.4．(易错题)函数f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x 的定义域为________．解析：由f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x ，得⎩⎨⎧x ＋1>0，lg （x ＋1）≠0，2－x≥0，得x ∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]5．(易错题)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或a ＝12.答案：2或12对数式的化简与求值[题组练透]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B. 2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12. 答案：12 3．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12；(2)（1－log63）2＋log6 2·log618log64.解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．对数函数的图象及应用(1)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ， 当a >1时不满足条件， 当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，只需两图象在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选 C.函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.选C.对数函数的性质及应用 角度一 比较对数值的大小(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【解析】 因为23<32，所以2<323，所以log 32<log 3323＝23，所以a <c .因为33>52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c <b ，故选A.【答案】 A比较对数值的大小的方法角度二 解简单的对数不等式或方程(1)已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3x ，则满足不等式f (x )>0的x的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f (a )<f (－a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，所以满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．(2)由f (a )<f (－a )得⎩⎨⎧a>0，log2a<log 12a 或⎩⎨⎧a<0，log2（－a ）>log 12（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a<－log2a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log2（－a ）>－log2（－a ），解得0<a <1或a <－1. 【答案】 (1)(－1，0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0，1)解对数不等式的函数及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 角度三 对数型函数的综合问题(1)(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】 (1)f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)BD (2)A解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．已知函数f (x )＝log 2(1＋2－x )，则函数f (x )的值域是( ) A ．[0，2) B ．(0，＋∞) C ．(0，2)D ．[0，＋∞)解析：选B.f (x )＝log 2(1＋2－x )，因为1＋2－x >1，所以log 2(1＋2－x )>0，所以函数f (x )的值域是(0，＋∞)，故选B.2．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，所以a ＋1>2.因为f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．答案：<3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上单调递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎨⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞思想方法系列5 换元法的应用换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝12z ，x ＋yz ∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 设3x ＝4y ＝12z ＝t (t >1)， 则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ， 所以x ＋y z ＝log3t ＋log4t log12t ＝log3t log12t ＋log4t log12t ＝log 312＋log 412 ＝2＋log 34＋log 43.因为1<log 34<2，0<log 43<1， 所以1<log 34＋log 43<3.又log 34＋log 43>2log34·log43＝2， 所以4<2＋log 34＋log 43<5， 即x ＋yz ∈(4，5)． 所以n ＝4. 【答案】 C换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何中计算等．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－14[A 级 基础练]1．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n ＝( ) A ．3 B ．34 C ．9D ．92解析：选D.因为log a 12＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ·a 2n ＝a m ·(a n )2＝12×32＝92.2．函数y ＝log3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）≥log 313，x>12，解得x ≥23.故选C.3．(2021·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B.a ＝4－12＝1412＝12，b ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0解析：选ABC.由直线方程可知，k ＞0，0＜b ＜1，故A ，B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；而当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0.所以D 正确．5．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1，1)上单调递增解析：选BC.函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， 所以A 错误，B 正确； 根据偶函数性质可知D 错误；因为1－|x |≤1，所以h (x )≤log 21＝0，故C 正确． 6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10， 所以m ＝10. 答案：107．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log 32－1＝2－1＝1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89 18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x>1，ex －2，x≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x>1，ex －2，x≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞) 9．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)f (x )是奇函数，理由如下：因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级 综合练]11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log2（x －1），x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x≤1，则()A ．若f (a )＝1，则a ＝0B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝2 019C ．若f (f (a ))＝2－f (a )，则0≤a ≤3D ．若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k ≥1解析：选BC.由f (a )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）＝1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝1，解得a ＝3或a ＝0，故选项A 不正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log212 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log212 019＝2log 22 019＝2 019，选项B 正确；f (f (a ))＝2－f (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f （a ），所以f (a )≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）≤1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ≤1，解得0≤a ≤3，选项C 正确；作出函数f (x )的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f (x )＝k 有两个不同的实数根时，k ≥12，选项D 不正确．13．已知函数f (x )＝－log 2x ，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①函数f (|x |)为偶函数；②若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1，3)上单调递增．解析：对于①，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故①正确；对于②，若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，即－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得到ab ＝1，故②正确；对于③，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②14．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，求得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数． 所以a ＝0为所求．(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数， 所以12x ＋a >0恒成立．即a >－12x 恒成立， 由于－12x ∈(－∞，0)， 故只要a ≥0即可．(3)由已知得函数f (x )是减函数．故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎨⎧a ＋12>0，a ＋1≥4a ＋2.故－12<a ≤－13.[C 级 创新练]15．形如y ＝1|x|－1的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f (x )＝log a (x 2＋x ＋1)(a >0，a ≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y ＝log a |x |的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选 C.令u ＝x 2＋x ＋1，则函数f (x )＝log a u (a >0，a ≠1)有最小值．因为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以当函数f (x )是增函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上有最小值；当函数f (x )是减函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上无最小值．所以a >1，此时“囧函数”y ＝1|x|－1与函数y ＝log a |x |在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称；而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝kx (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f (x )＝kx (k ≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k >0时，f (x )＝k x 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k <0时，f (x )＝kx 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f (x )＝kx (k ≠0)是奇函数，但不是周期函数．。

课题：函数的定义域考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域教材复习1.函数定义域是指若函数是由一些函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的；3.实际问题中的函数的定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑基本知识方法1.函数定义域的求法：①自然型；②限制型；③实际型2.求函数定义域一般有三类问题：()1给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；()2实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；()3已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出； ②若复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域．典例分析：求具体函数的定义域问题1．()1（06广东）函数)13lg(13)(2++-=x x xx f 的定义域是.A ),31(+∞- .B )1,31(- .C )31,31(- .D )31,(--∞()2已知函数1()1xf x x +=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 .A A B B = .B A B Ü .C A B = .D A B B =涉及含参数的定义域问题2．函数()f x =()1若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；()2若()f x 的定义域为[]2,1-，求实数a 的取值范围抽象函数的定义域问题3．()1若函数)23(x f -的定义域为[]1,2-，则函数)(x f 的定义域是.A ]1,25[-- .B []1,2- .C []1,5- .D ]2,21[()2已知函数(21)f x +的定义域为()0,1，则函数()f x 的定义域是()3已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，则()21f x -的定义域是.A 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B []1,4- .C []5,5- .D []3,7-巩固练习：1.（2013全国大纲）已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则()21f x +的定义域是.A ()1,1- .B 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .C ()1,0- .D 1,12⎛⎫⎪⎝⎭2.已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为3.函数1sin 21sin 2xy x+=-的定义域为4.求定义域： ①()1()x f x x x +=-②()lgcos f x x =③2(0)()2(01)(14)x x f x x x x ⎧-<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩ ④ 1122---=x x y5.已知f 的定义域为[]2,3，求(5)f x +的定义域6.已知函数()fx =的定义域为R ，求实数k 的范围7.周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部分为半圆形的框架，，若矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数关系式，并求定义域8.函数32()f x ax bx cx d =+++的部分数值如下表：则函数lg ()y f x =的定义域为走向高考：1. （07陕西文）函数()f x =.A []0,1.B ()1,1- .C []1,1- .D ()(),11,-∞-+∞2.（06湖北文）设2()lg 2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为 .A ()()4,00,4- .B ()()4,11,4-- .C ()()2,11,2-- .D ()()4,22,4--3. （07江西文）函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为.A (14)， .B [14)， .C (1)(4)-∞+∞，， .D (1](4)-∞+∞，，4. （05江西）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为.A ()()1,22,3 .B (,1)(3,)-∞+∞ .C ()1,3 .D []1,35.(2012山东文)函数()()1ln 1f x x =++.A [)(]2,00,2- .B ()(]1,00,2- .C []2,2- .D (]1,2-6.（07上海）函数()lg 43x y x -=-的定义域为7. (07重庆)若函数()1222-=--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的范围8.（05湖北）函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域是9.（07陕西理）设函数2()xe f x x ax a =++，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．。

课时作业(七) 第7讲 指数与对数的运算时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2011·南充高中月考 化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－22．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 3＝x 43＋y ； ④3－5＝6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．33．下列等式能够成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝m 17n 7 B.12(－2)4＝3－2 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33 4．2011·沈阳模拟 下列四个数中最大的是( )A ．lg2B ．lg 2C ．(lg2)2D ．lg(lg2)能力提升5．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <46．2011·济南调研 设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a8．2010·辽宁卷 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10C ．20D ．1009．2011·南阳测试 作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )的表达式为________．10．2010·上海卷 已知0<x <π2，则lg ⎝⎛⎭⎫cos x tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－lg(1＋sin2x )＝________.11．定义a b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12，若M ＝94 8125，N ＝2*125M ＋N ＝________.12．(13分)计算：(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (2)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1.难点突破13．(12分)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z； (2)比较3x,4y,6z 的大小．课时作业(七)【基础热身】1．B 解析 (log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝|log 23－2|＝2－log 23，而log 213＝－log 23，则两者相加即为B.2．B 解析 只有②正确．注意运算的限制条件．3．D 解析 ⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7·m －7，12()－24＝32，4x 3＋y 3＝()x 3＋y 314≠(x ＋y )34. 4．A 解析 由对数函数的增减性可知lg 2<lg2<1，∴(lg2)2<lg2，lg(lg2)<lg1＝0，lg2>lg1＝0，∴lg2最大．【能力提升】5．C 解析 要使对数式有意义，只要a －2≠1且a －2>0且5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.6．B 解析 ∵a >1，a 2＋1>2a ，∴m >p ；∵2a >a －1，∴p >n .故选B.7．C 解析 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，所以a －b ＝－ln x >0⇒a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c .8．A 解析 在2a ＝m 的两边取以m 为底的对数，得a log m 2＝1，∴1a ＝log m 2，同理，有1b＝log m 5，∴log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，∴m ＝10.9．a ＝b b －1(b >1) 解析 ∵lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴lg(a ＋b )＝lg(ab )，∴a ＋b ＝ab ，∴a ＝bb －1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，bb －1>0，解得b >1，∴a ＝b b －1(b >1)．10．0 解析 ∵cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＝cos x ·sin x cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫2×x 2＝sin x ＋cos x ， 2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ＝sin x ＋cos x ，1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2， ∴原式＝lg (sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )2＝lg1＝0. 11．5 解析 由题意，M ＝⎝⎛⎭⎫9412＋⎝⎛⎭⎫8125－13＝32＋52＝4， N ＝lg(2)2－lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12512＝lg2＋lg5＝1， 所以M ＋N ＝4＋1＝5.12．解答 (1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3， 分母＝(lg6＋2)－lg 361000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4， 所以原式＝34. 【难点突破】13．解答 设3x ＝4y ＝6z ＝k ，∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴k >1，取对数得x ＝lg k lg3，y ＝lg k lg4，z ＝lg k lg6.(1)证明：1x ＋12y ＝lg3lg k ＋lg42lg k ＝2lg3＋lg42lg k ＝2lg3＋2lg22lg k ＝lg6lg k ＝1z. (2)3x －4y ＝lg k ⎝⎛⎭⎫3lg3－4lg4＝lg k ·lg64－lg81lg3·lg4＝lg k ·lg 6481lg3·lg4<0，∴3x <4y . 又∵4y －6z ＝lg k ⎝⎛⎭⎫4lg4－6lg6＝lg k ·lg36－lg64lg2·lg6＝lg k ·lg 916lg2·lg6<0， ∴4y <6z .∴3x <4y <6z .。

第七节　对数与对数函数课时作业练1.函数f(x)=的定义域为 . 1-lg x 答案　(0,10]解析　要使函数f(x)=有意义,则即解得0<x≤10,故其定义域1-lg x {x >0,1-lg x ≥0,{x >0,lg x ≤1,为(0,10].2.(2019江苏泰州模拟)函数f(x)=lo (x 2-4)的单调增区间是 .g 12答案　(-∞,-2)3.已知函数f(x)=ln 为奇函数,则实数a 的值为 . 1+ax1-3x 答案　±3解析　由f(x)是奇函数可得f(-x)+ f(x)=ln =0,解得a=±3.(1-ax 1+3x ·1+ax1-3x )4.(2017江苏扬州中学阶段性测试)函数y=2log a (x-2)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点的坐标为 . 答案　(3,3)5.已知a=log 36,b=log 510,c=log 714,则a,b,c 的大小关系为 .(用“>”连接) 答案　a>b>c解析　a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数的性质知log 32>log 52>log 72,所以a>b>c.6.(2018江苏无锡调研)函数f(x)=lg 的大致图象为 .(填序号)1|x +1|答案　④解析　f(x)=lg =-lg|x+1|的图象可由偶函数y=-lg|x|的图象向左平移1个单位得到.由1|x +1|y=-lg|x|的图象可知④正确.7.(2018江苏泰州中学月考)如图,矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y=lo x,y=,y=g 22x 12的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标(22)x为 .答案　(12,14)解析　由2=lo x 得A点的横坐标是,即A,由=2得B 点的横坐标是4,即B(4,2),则点Cg 212(12,2)x 12的横坐标是4,纵坐标y==,故点D 的坐标为.(22)414(12,14)8.(2018常州教育学会学业水平检测)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,若f(1)=0,则不等式f(ln x)<0的解集为 . 答案　(1e ,e)解析　由偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(ln x)<0⇔ f(|ln x|)< f(1)⇔|ln x|<1则-1<ln x<1⇒<x<e,故原不等式的解集为.1e (1e ,e )9.(2019江苏宿迁模拟)已知函数y=lo (x 2-ax+a)在区间(-∞,]上是单调增函数,则实数a 的g 122取值范围是 . 答案　[2,2+2)22解析　令t=x 2-ax+a,由题意知t=x 2-ax+a 在区间(-∞,]上是单调减函数,且t=x 2-ax+a>0在区2间(-∞,]上恒成立,则解得2≤a<2+2.2{a 2≥2,2-2a +a >0,2210.(2018盐城模拟)若∃x∈R,a 3x-4≥(a>0,且a≠1)成立,则实数a 的取值范围2x2-x是 . 答案　(0,1)∪(1,]∪[2,+∞)92解析　由a 3x-4≥得log 2a 3x-4≥log2,所以(3x-4)log 2a≥x 2-x,2x2-x2x 2-x当3x-4=0,即x=时,(3x-4)log 2a≥x 2-x 不成立,故舍去.43当3x-4>0,即x>时,log 2a≥,令t=3x-4,t>0,43x 2-x 3x -4则=≥1(当且仅当t=2时取等号),x 2-x 3x -419(t +4t +5)所以log 2a≥1,解得a≥2.当3x-4<0,即x<时,令t=3x-4,t<0,易得log 2a≤,结合a>0,且a≠1得0<a<1或1<a≤.431992综上,a 的取值范围是(0,1)∪(1,]∪[2,+∞).9211.(2018江苏兴化中学第一学期期中)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1.(1)解不等式:log a (3x+2)<log a (8-5x);(2)若函数f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)在区间[2,4]上有最小值-1,求实数a 的值.解析　(1)由题意得 3a+2>4a+1,∴0<a<1,∴解得x∈.{3x +2>8-5x ,3x +2>0,8-5x >0,(34,85)(2)f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)=log a =log a ,令t=1+,当x∈[2,4]时,x +2x -1(1+3x -1)3x -13x -1∈[1,3],∴t=1+∈[2,4].∵0<a<1,∴y=log a t 在定义域内递减,∴f(x)min =log a 4=-1,∴a=.3x -11412.(2019盐城中学模拟)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;(2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;(3)若不等式f(x)>m 有解,求实数m 的取值范围.解析　(1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x),∴解得-2<x<2.{2+x >0,2-x >0,∴函数f(x)的定义域为(-2,2).∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x 2).∵g(x)=10f(x)+3x,∴g(x)=-x 2+3x+4=-+(-2<x<2),(x -32)2254∴g(x)max =g =,g(x)min =g(-2)=-6.(32)254∴函数g(x)的值域是.(-6,254](3)∵不等式f(x)>m 有解,∴m<f(x)max ,令t=4-x 2,由于-2<x<2,∴0<t≤4,∴m<lg 4.∴实数m 的取值范围是{m|m<lg 4}.13.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x 2)>k·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围.x解析　(1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log 2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x 2)·f()>k·g(x)得x (3-4log 2x)(3-log 2x)>k·log 2x.令t=log 2x,因为x∈[1,4],所以t=log 2x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k·t 对一切t∈[0,2]恒成立.当t=0时,k∈R;当t∈(0,2]时,k<恒成立,(3-4t )(3-t )t即k<4t+-15恒成立,9t 因为4t+≥12,9t 当且仅当4t=,即t=时取等号,9t 32所以4t+-15的最小值为-3,则k<-3.9t 综上,k∈(-∞,-3).基础滚动练(滚动循环　夯实基础)1.(2018宿迁第一学期期末)函数的定义域为 . 3-x 答案　(2,3]2.不等式<4的解集为 .2x 2-x答案　{x|-1<x<2}解析　不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x 的性质可得,x 2-x<2,解得-1<x<2,2x 2-x2x 2-x故所求解集为{x|-1<x<2}.3. (2018江苏苏州中学第一学期月考)已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m 的值为 . 答案　0或1或-1解析　由A∪B=A 得B ⊆A.当m=0时,B=⌀,符合题意;当m≠0时,=1或-1,所以m=1或-1,综1m 上,m=0或1或-1.4.(2019江苏泰兴第一高级中学高三模拟)已知a>0且a≠1,函数y=log a (x-1)+2的图象恒过定2点P,若P 在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= . 答案　9解析　由题意知定点P 的坐标为(,2),设f(x)=x α,则2=()α, α=2,即f(x)=x 2,∴f(3)=32=9.225.定义在R 上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(-π),f(3), f(-4)由小到大的顺序是 . 答案　f(3)< f(-π)< f(-4)解析　因为f(x)是偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(3)< f(π)< f(4),即f(3)< f(-π)< f(-4).6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则命题:①p∧q;②(¬p)∧(¬q);③(¬p)∨q;④p∧(¬q)中为真命题的是 .(只填序号) 答案　④解析　由指数函数的图象可知命题p 是真命题,所以¬p 是假命题;“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以命题q 是假命题,所以¬q 是真命题.所以p∧q、(¬p)∧(¬q)和(¬p)∨q 都是假命题,p∧(¬q)是真命题,故真命题的序号是④.7.(2018江苏泰兴第一高级中学期中)函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m],值域是,则[-254,-4]实数m 的取值范围是 . 答案　[32,3]解析　作出二次函数的图象(图略),结合函数图象可知≤m≤3.328.计算:(1)2log 23-log 2+log 27-;6387log 72(2)e ln 2++lg 20-lg 2;813(3)(lg 2)2+(lg 5)2+2lg 2·lg 5+log 89·log 2732++.πlog π2(338)-23解析　(1)原式=log 29-log 2+log 27-2 =log 2-2 =3-2=1.638(9×863×7)(2)原式=2+2+lg 10=5.(3)原式=(lg 2+lg 5)2+·+2+lg9lg8lg32lg27(278)-23=1+·+2+=3++=.2lg33lg25lg23lg3(32)-210949419。

专题2.7 对数与对数函数一、填空题1．函数f (x )＝12x 2－1的定义域为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，2x 2>1，解得x >2或0<x <12. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.【答案】log 2x3． lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【答案】－1【解析】lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 4x ，x >0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________. 【答案】8【解析】f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，因为log 216<0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2－log 216＝2log 26＝6， 即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8. 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)7．设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________． 【答案】(－1,0)【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 8若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是 [4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1,2]【解析】当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞13＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．二、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝(－x )， 所以函数f (x )的解析式为(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．能力提升题组11．(2017·扬州质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p ，q ，r 的大小关系为________．【答案】p ＝r <q【解析】∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r <q .12．如图所示，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．【答案】{x |－1<x ≤1}【解析】令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．13．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 【答案】4 214．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·lo g a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

第七讲 对数与对数函数知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 对数与对数运算 1．对数的概念(1)对数的定义：如果a x＝N(a ＞0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x ＝log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数．(2)几种常见对数2.(1)对数的性质： ①log a 1＝0；②log a a ＝1(其中a>0且a≠1)． (2)对数恒等式： alog a N＝N ．(其中a>0且a≠1,N>0)(3)对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a,b 均大于零且不等于1,N>0)．(4)对数的运算法则：如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝nlog a M (n∈R)．知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质性质定义域：(0,＋∞) 值域：(－∞,＋∞) 当x ＝1时,y ＝0,即过定点(1,0)当0＜x ＜1时,y<0； 当x ＞1时,y ＞0 当0＜x ＜1时,y ＞0； 当x ＞1时,y ＜0 在(0,＋∞)上为 增函数在(0,＋∞)上为 减函数2．反函数指数函数y ＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．重要结论1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b.其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y ＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N,则log a M ＝log a N(a>0,a≠1)．( × ) (2)若MN>0,则log a (MN)＝log a M ＋log a N.( × )(3)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( × ) (4)y ＝log 2x 2不是对数函数,而y ＝log 2(－x)是对数函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )(6)2lg 3≠3lg 2.( × )[解析] (4)y ＝log 2(－x)不是对数函数． (6)设2lg 3＝M,3lg 2＝N,则lg M ＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N,∴M＝N.题组二 走进教材2．(必修1P 75T11改编)写出下列各式的值： (1)log 222＝－12； (2)log 53＋log 513＝0；(3)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1；(4)(log 29)·(log 34)＝4．[解析] (1)log 222＝log 22－12 ＝－12；(2)log 53＋log 513＝log 51＝0；(3)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 10－2＝－1；(4)解法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.解法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.3．(必修1P 74AT4改编)若lg 2＝a,lg 3＝b,则lg 12的值为( C ) A ．a B ．b C ．2a ＋bD ．2ab[解析] 因为lg 2＝a,lg 3＝b,所以lg 12＝lg (4×3)＝2lg 2＋lg 3＝2a ＋b.故选C ． 4．(必修1P 74AT7改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. [解析] log 23(2x －1)≥0,即0<2x －1≤1,解得12<x ≤1,定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 5．(必修1P 75AT10改编)已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4是函数y ＝log a x 的图象,则曲线C 1,C 2,C 3,C 4对应的a 的值依次为( B )A ．3,2,13,12B ．2,3,13,12C ．2,3,12,13D ．3,2,12,13[解析] 解法一：因为C 1,C 2为增函数,可知它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x 轴,其底数越大,故C 1,C 2对应的a 值分虽为2,3.又因为C 3,C 4为减函数,可知它们的底数都小于1,此时x>1时,图象越靠近x 轴,其底数越小,所以C 3,C 4对应的a 分别13,12.综上可得C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为2,3,13,12.解法二：可以画直线y ＝1,看交点的位置自左向右,底数由小到大． 题组三 走向高考6．(2020·课标Ⅲ,10,5分) 设a ＝log 32,b ＝log 53,c ＝23,则( A )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b[解析] 因为a ＝log 32＝log 338<log 339＝23＝c,b＝log53＝log5327>log5325＝23＝c,所以a<c<b.故选A．7．(2017·全国卷Ⅱ,5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )A．(－∞,－2) B．(－∞,1)C．(1,＋∞) D．(4,＋∞)[解析]由x2－2x－8>0,得x<－2或x>4.因此,函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4,＋∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4,＋∞),选D．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 对数与对数运算——自主练透例1 (1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝32．(2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝54．(3)(2021·保定模拟)设2a ＝5b＝m,且1a ＋1b ＝2,则m ＝10．(4)若log a 2＝m,log a 3＝n,则a2m ＋n＝12,用m,n 表示log 46为m ＋n2m．[解析] (1)解法一：原式＝lg （33）12＋lg 23－3lg 1012lg3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32.解法二：原式＝32lg 3＋32lg 4－32lg 1.2＝32lg 1.2lg 1.2＝32.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. (3)因为2a＝5b＝m,所以a ＝log 2m,b ＝log 5m,所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2,所以m 2＝10,m ＝10.(4)因为log a 2＝m,log a 3＝n,所以a m＝2,a n＝3,a 2m ＋n＝(a m )2×a n ＝22×3＝12,log 46＝log a 6log a 4＝log a 2＋log a 32log a 2＝m ＋n 2m .故填12；m ＋n2m.考点二 对数函数的图象与性质考向1 对数函数的图象及其应用——师生共研例2 (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y ＝1a x ,y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )(2)(2020·合肥月考)当0<x≤12时,4x<log a x(a>0且a ≠1),则实数a 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1,2)D ．(2,2)[解析] (1)解法一：当a>1时,函数y ＝a x的图象过定点(0,1),在R 上单调递增, 于是函数y ＝1ax 的图象过定点(0,1),在R 上单调递减,函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增． 显然A 、B 、C 、D 四个选项都不符合．当0<a<1时,函数y ＝a x的图象过定点(0,1),在R 上单调递减． 于是函数y ＝1ax 的图象过定点(0,1),在R 上单调递增,函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减． 因此,选项D 中的两个图象符合,故选D ．解法二：易知a 与1a 必有一个大于1,一个小于1,则f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 与g(x)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域内单调性相反,可排除B ；由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0可排除A 、C ．故选D ．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象,可知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,即2<log a 12,则a>22,所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 本题还有以下解法：因为0<x≤12,所以1<4x≤2,所以log a x>4x>1,所以0<a<1,排除选项C,D ；取a ＝12,x ＝12,则有412＝2,log 1212＝1,显然4x<log a x 不成立,排除选项A ．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解． 〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( A )(2)若不等式x 2－log a x<0对x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立,则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1．[解析] (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称．设g(x)＝log a |x|,先画出x>0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A ．(2)由x 2－log a x<0 得x 2<log a x,设f 1(x)＝x 2,f 2(x)＝log a x,要使x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时,不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x)＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x)＝log a x 图象的下方即可．当a>1时,显然不成立；当0<a<1时,如图所示,要使x 2<log a x 在x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立,需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12, 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12,解得a≥116,所以116≤a<1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较对数值的大小例3 (2020·课标Ⅲ,12,5分)已知55<84,134<85.设a ＝log 53,b ＝log 85,c ＝log 138,则( A ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．b<c<aD ．c<a<b[解析] a ＝log 53∈(0,1),b ＝log 85∈(0,1),则a b ＝log 53log 85＝log 53·log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422<1,∴a<b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45,∴c>45.又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885,即log 85<45,∴b<45.综上所述,c>b>a,故选A ．角度2 利用对数函数单调性求参数的取值范围例4 (2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞,4]B ．[4,＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4][分析] 函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减,说明在[2,＋∞)上,函数t ＝x 2－ax ＋3a>0成立,且为增函数．[解析] 函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减⇒函数t ＝x 2－ax ＋3a 在[2,＋∞)上单调递增,且t>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋3a>0，a 2≤2⇒－4<a≤4.故选D ．角度3 简单对数不等式的解法例5 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( C )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－log 2（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C ．另解：令a ＝2,由f(2)＝1>f(－2)＝－1,排除A 、D ． 令a ＝－2,由f(－2)＝－1<f(2)＝1,排除B,∴选C ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较；(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·天津,6,5分)设a ＝30.7,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8,c ＝log 0.70.8,则a,b,c 的大小关系为( D )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b(2)(角度2)若函数f(x)＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,则实数m 的取值范围为( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (3)(角度3)(2021·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 4a)＋f(log 0.25a )≤2f(1),则a 的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 [解析] (1)由函数y ＝3x 单调递增,函数y ＝log 0.7x(x>0)单调递减,可知a ＝30.7>30＝1,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8>30.7＝a,c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1,即c<1<a<b,故选D ．(2)由题意得：y ＝log 12(－x 2＋4x ＋5)增区间为(2,5),所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2m ＋2≤53m －2<m ＋2,解得m∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2,故选C ． (3)∵log 0.25a ＝log 14a ＝－log 4a 且f(x)为偶函数,∴f(log 4a)＋f(log 0.25a )≤2f(1)可化为f(log 4a )≤f(1),又f(x)在[0,＋∞)内单调递增,∴|log 4a|≤1,∴log 414＝－1≤log 4a ≤1≤log 44,∴14≤a ≤4,故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG有关对数运算的创新应用问题例6 (2020·全国新高考Ⅰ,6)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I(t)＝e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 ＝1＋rT 有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28,T ＝6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( B )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 [解析] 因为R 0＝3.28,T ＝6,T 0＝1＋rT,所以r ＝3.28－16＝0.38, 所以I(t)＝e rt ＝e 0.38t ,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天,则e0.38(t ＋t 1)＝2e0.38t ,所以e0.38t 1＝2,所以0.38t 1＝ln 2,所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO在解决对数的化简与求值问题时,要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式,同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化,有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．〔变式训练3〕里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍．[解析] 根据题意,由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A 9,则lg A 9－lg 0.001＝9,解得A 9＝106,同理5级地震的最大振幅A 5＝102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．。

对数与对数函数分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析 由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝23，所以a ＝2.答案 22．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ f (－2)＝3－2＝19.答案 193．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .答案 b >a >c4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析 由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③. 答案 ③5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________． 解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x ＝8. 答案 86．(2012·南京师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．解析 画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a >0，所以a <32，所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围． 解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数， 可知f (x )＝f (－x )．所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ， 即log 44x＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x＝－2kx .所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－12.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x ，所以m ＝log 44x＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .因为2x＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．解析 设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)． 答案 (－∞，－1)2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x3 5 6 8 9 lg x2a －ba ＋c －11＋a －b －c3(1－a －c )2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________．解析 由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )＜12的集合为________． 解析 画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝12，得x ＝2；由3－x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52.答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1；④(a 2,2b )． 解析 由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于①，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上． 答案 ④5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． 解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.。