新浙教版八年级上第五章《一次函数》同步练习5.1常量与变量

5.1《常量与变量》同步练习卷一、选择题1.一个长方体的宽为b(定值)，长为x，高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是( )A.xB.hC.VD.x，h，V2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是( )A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器3.对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（）A.π、R是变量，2是常量B.R是变量，π是常量C.C是变量，π、R是常量D.C、R是变量，2、π是常量4.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量.上述判断中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下( )A.定价是常量，销量是变量B.定价是变量，销量是不变量C.定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D.定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量6.人的身高h随时间t的变化而变化，那么下列说法正确的是( )A.h，t都是不变量B.t是自变量，h是因变量C.h，t都是自变量D.h是自变量，t是因变量7.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系：下列说法不正确的是( )A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0cmC.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm8.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各表达式中的( )A.v=2m－2B.v=m2－1C.v=3m－3D.v=m＋19.小军用50元钱买单价为8元的笔记本，他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q=50－8x，则下列说法正确的是( )A.Q和x是变量B.Q是自变量C.50和x是常量D.x是Q的函数10.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)：下列说法错误的是( )A.在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B.温度越高，声速越快C.当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD.当温度每升高10℃，声速增加6m/s二、填空题11.某校自开展建设“美丽校园”活动以来，学校广播室的宣传稿的数量剧增，据统计，每天的投稿数y与星期数n的关系是y=－n2＋12n＋51(1≤n≤5)，在这个问题中，变量是，常量是，变量是随变量的变化而变化的.12.在关系式V=30－2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是________，因变量是________，当t=________时，V=0.13.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。

第5章一次函数5.1常量与变量同步练习1.在圆周长计算公式C＝2πr中,对半径不同的圆，变量有( )A. C，rB. π，rC. πD. C，2π，r【答案】A【解析】【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．【详解】∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的；∴变量是C，r，常量是2π．故选A．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义，解题关键是正确的分辨变化的量和不变的量．2.甲、乙两地相距s千米，某人行完全程所用的时间t(时)与他的速度v(千米/时)满足vt＝s，在这个变化过程中，下列判断错误的是( )A. s是变量B. t是变量C. v是变量D. s是常量【答案】A【解析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解：本题中两地间的距离S是不变的量，故S是常量；所用的时间t、速度v是可以改变的量，故t、v是变量。

故错误的是A3.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．上述判断正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】由题意得：y=3a，此问题中a、y都是变量，3是常量，或a，y都是常量，则③④，故选：B.(m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t (s)之间的4.以固定的速度vt－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为( )关系式是h＝vA. 常量为4.9，变量为t，h，变量为t，hB. 常量为v，变量为t，hC. 常量为－4.9，v，t，hD. 常量为4.9，变量为v【答案】C【解析】试题解析：中的(米/秒)是固定的速度，−4.9是定值，故和−4.9是常量，t、h是变量，故选C.点睛：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．5.下表是某报纸公布的世界人口的数据情况：上表中的变量是( )年份1957 1974 1987 1999 2010 2025人口数 30亿40亿50亿60亿70亿80亿A. 仅有一个是时间(年份)B. 仅有一个是人口数C. 有两个变量，一个是时间(年份)，一个是人口数D. 没有变量【解析】【分析】根据事物的变化过程中发生变化的量是变量，数值不变的量是常量，可得答案．【详解】解；观察表格，得时间在变，人口在变，故C正确；故选；C．【点睛】本题考查的知识点是常量与变量，解题关键是利用常量与变量的定义．6.在一个过程中，__________的量称为常量，可以取__________的量称为变量．【答案】 (1). 固定不变 (2). 不同数值【解析】【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．【详解】在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不数的值的量称为变量，故答案为：固定不变，不同数值【点睛】本题考查了常量与变量的知识，解题关键是熟记变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．7.圆的面积 S与半径 r之间有如下关系：S＝πr2,在这个关系中，常量是_____，变量是________．【答案】(1). π (2). S、r【解析】【分析】根据题意可知S，r是两个变量，π是一个常数（圆周率），是常量．【详解】解：圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S=π．在这关系中，常量是π，变量是S、r；故本题答案为：π；S、r．【点睛】本题主要考查了常量和变量的相关知识点，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是数值始终不变的量，掌握此知识点是解题的关键.8.三角形的面积公式S＝ah中，若底边a保持不变，则常量是_______，变量是________．【答案】 (1). (2). h，S【解析】【分析】根据函数自变量与函数值知识点作答.【详解】∵函数关系式为S＝ah，∴h是自变量.S是因变量是常量.故答案为：，h，S.【点睛】本题考查了常量与变量的知识，解题关键是熟记变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．9.若球的体积为V，半径为R，则V＝πR3，其中变量是________，常量是________．【答案】 (1). V，R (2).【解析】【分析】根据函数自变量与函数值知识点作答.【详解】∵函数关系式为∴R是自变量，V是因变量，是常量.故答案为：V，R，.【点睛】本题考查了常量与变量的知识，解题关键是熟记变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．10.某地区的居民生活用电为0.58元/千瓦时，小亮家用电量为x千瓦时，所用电费为y元，其中常量是_______，变量是_______．【答案】 (1). 0.58 (2). x，y【解析】【分析】根据常量与变量的性质进行作答.【详解】由题知，生活用电0.58元/千瓦时为保持不变的量，即为常量；家用电量x千瓦时和所用电费y元为可以取不同值的量，即为变量.【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.11.设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量．(1)v＝；(2)s＝15t－2t2；(3)vt＝100.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】根据常量与变量的性质进行作答.【详解】(1)常量是60，变量是v，s(2)常量是15，－2，变量是s，t(3)常量是100，变量是v，t【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.12.分析并指出下列关系中的变量与常量．(1)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h＝gt2 (其中g＝9.8 m/s2)；(2)已知苹果每千克的售价是6.8元，则购买数量m千克与所付款y元之间的关系式是y＝6.8m.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据常量与变量的性质进行作答.【详解】(1) 解：变量是h，t，常量是g．(2) 解：变量是m，y，常量是6.8．【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.13.海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐，潮汐与人类的生活有着密切的关系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深.T(时) 0 3 6 9 12h(米) 5 7.4 5.1 2.6 4.5上述问题中，T，h是变量还是常量，简述你的理由．【答案】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量。

5、1 常量与变量1、某居民所在区域电的单价为0、53元/kW·h ，所付电费y (元)与用电量x (kW·h)之间的关系式是y ＝0、53x 、其中常量是0、53，变量是x ，y 、2、球的表面积S 与半径R 之间的关系是S ＝4πR 2、对于各种不同大小的圆，公式S ＝4πR 2中的常量是4和π，变量是S 和R 、3、一辆汽车以50 km/h 的速度行驶，则行驶的路程s (km)与行驶的时间t (h)之间的关系式为s ＝50t ，其中变量为(C )A 、 速度与路程B 、 速度与时间C 、 路程与时间D 、 三者均为变量4、若三角形底边长为a ，底边上的高为h ，则三角形的面积S ＝12ah 、若h 为定长，则此式中(A )A 、S ，a 是变量，12，h 是常量B 、S ，h ，a 是变量，12是常量C 、S ，12是常量，a ，h 是变量 D 、以上答案均不对5、 指出下面事例中的常量与变量：拖拉机油箱中有油50 L ，如果拖拉机工作时每小时耗油5 L ，那么油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)之间的关系式为Q ＝50－5t 、【解】 常量：50，5；变量：Q ，t 、6、一位在读大学生利用假期去一家公司打工，报酬按每小时15元计算，设该学生打工时间为t (h)，应得报酬为w 元、(1)填表：工作时间t (h) 2 5 10 … t 报酬w (元)3075150…15t(2)用t 表示w ；(3)指出(2)中哪些是常量，哪些是变量、【解】 (1)如上表、 (2)w ＝15t 、 (3)常量：15，变量：w ，t 、7、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间有如下关系(其中0≤x≤20)：提出概念所用的时间(x)257101213141720对概念的接受能力(y)47、853、556、35959、859、959、858、355(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？(2)当提出概念所用的时间是10 min时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【解】(1)提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系、(2)当x＝10时，y＝59，所以当提出概念所用的时间是10 min时，学生的接受能力是59、(3)当x＝13时，y的值最大，是59、9，所以提出概念13 min时，学生的接受能力最强、(4)由表中数据可知：当2＜x＜13时，y的值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13＜x＜20时，y的值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低、。

第5章一次函数5．1 常量与变量知识点1.常量与变量1．圆的周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是(B)A．π，R是变量，2是常量B．C，R是变量，2，π是常量C．R是变量，2，π，C是常量D．C，R，π是变量，2是常量2．以固定的速度v0(单位：m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量，变量分别为(C)A．常量为4.9，变量为t，hB．常量为v0，变量为t，hC．常量为－4.9，v0，变量为t，hD．常量为4.9，变量为v0，t，h【解析】依题意v0固定不变，所以是常量，而高度h随时间t的变化而变化，所以t，h是变量，常数－4.9是常量．故选C.3．直角三角形中两锐角的度数分别为x，y，其关系式为y＝90－x，其中变量为__x，y__，常量为__90，－1__．4．加油站的加油器上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值是固定不变的，另外两个量分别表示“数量”，“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中__单价__是常量，__数量，金额__是变量．5．汽车行驶的速度为80 km/h，行驶路程s(单位：km)与时间t(单位：h)的关系式是__s ＝80t__，其中变量是__s，t__，常量是__80__．6．某市出租车起步价为8元，即3 km内收费为8元，以后每增加1 km加收1.5元．某人从该市北站打车去电视塔，设他打车的路程为x(单位：km)(x>3)，那么他应付的车费y(单位：元)与x(单位：km)之间的关系为__y＝1.5x＋3.5__．【解析】y＝8＋1.5(x－3)，即y＝1.5x＋3.5.7．指出下列变化过程中的变量与常量：(1)y＝－2πx＋4；(2)s＝v0t＋12at2(其中v，a为定值)；(3)n边形的对角线的条数l与边数n的关系是l＝n（n－3）2.解：(1)变量是x和y，常量是－2，π，4；(2)变量是s和t，常量是12，v0，a；(3)变量是l和n，常量是12和－32.知识点2.研究一些变量间的变化规律8．买x份报纸的总价为y元，根据下表，用含x的式子表示y，则x与y之间的关系是__y＝0.4x__．份数/份1234…价钱/元0.40.8 1.2 1.6…【解析】∵每份报纸0.4元，则购买x份总价为0.4x，∴x与y之间的关系是y＝0.4x.9．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还将继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速20406080100120(km/h)刹车距离(m) 1.0 3.67.813.621.030.0回答下列问题：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？(2)如果刹车时车速为60 km/h，那么刹车距离是多少米？解：(1)上表反映了刹车时车速和刹车距离之间的关系；(2)根据表格可知，如果刹车时车速为60 km/h，那么刹车距离是7.8 m.【易错点】不会从列表法表示的变量中找出规律．10．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：x 01234 5y 1010.51111.51212.5下列说法不正确的是(C)A．x与y都是变量B．所挂物体质量为4 kg时，弹簧长度为12 cmC．弹簧不挂重物时的长度为0 cmD．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm【解析】A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A正确；B．所挂物体质量为4 kg时，弹簧长度为12 cm，故B正确；C．弹簧不挂重物时的长度为10 cm，故C错误；D．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm，故D正确.。

浙教版八年级数学上册《5.1 常量与变量》同步练习-含参考答案一、选择题1.一个长方体的宽为b(定值)，长为x，高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是( )A.xB.hC.VD.x，h，V2.一个圆柱的高h为10 cm,当圆柱的底面半径r由小到大变化时,圆柱的体积V也发生了变化,在这个变化过程中( )A.r是因变量,V是自变量B.r是自变量,V是因变量C.r是自变量,h是因变量D.h是自变量,V是因变量3.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是( )A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器4.小军用50元钱买单价为8元的笔记本，他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q=50－8x，则下列说法正确的是( )A.Q和x是变量B.Q是自变量C.50和x是常量D.x是Q的函数5.某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)=t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t=0表示12:00，其后t的取值为正，则上午8时的温度为( )A.8℃B.112℃C.58℃D.18℃6.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)：温度/℃－20 －10 0 10 20 30声速/(m/s) 318 324 330 336 342 34下列说法错误的是( )A.在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B.温度越高，声速越快C.当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD.当温度每升高10℃，声速增加6m/s7.根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是( )A.弹簧不挂重物时的长度为0cmB.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量C.随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐边长D.所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm8.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各表达式中的( )m 1 2 3 4v 0.01 2.9 8.03 15.1A.v=2m－2B.v=m2－1C.v=3m－3D.v=m＋19.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量.A.1个B.2个C.3个D.4个10.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下( )A.定价是常量，销量是变量B.定价是变量，销量是不变量C.定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D.定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量二、填空题11.温度随着时间的改变而改变，则自变量是_____(时间，温度)12.直角三角形两锐角的度数分别为x，y，其表达式为y=90－x，其中变量为__________，常量为__________.13.已知3x﹣y=7中，变量是，常量是 .把它写成用x的式子表示y的形式是 .14.明星中学计划投资8万元购买学生用电脑，则所购电脑的台数n(台)与单价x(万元)之间的关系是_______，其中________是常量，_______是变量.15.王老师开车去加油站加油,发现加油表如图所示.加油时,单价其数值固定不变,表示“数量”、“金额”的量一直在变化,在数量 2.45 (升)金额 16.66 (元)单价 6.80 (元/升)这三个量中, 是常量, 是自变量, 是因变量.16.小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数(1)表格中反映的变量是，自变量是，因变量是 .(2)估计小亮家4月份用电量是，若每度电是0.49元，估计他家4月份应交电费是 .三、解答题17.一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用a表示，测得有关数据如下表：(树苗原高100 cm)年数a 高度h/cm1 100+52 100+103 100+154 100+20……(1)试用年数a的代数式表示h；(2)此树苗需多少年就可长到200 cm高?18.一种手机卡的缴费方式为：每月必须缴纳月租费20元，另外每通话1 min要缴费0.2元.(1)如果每月通话时间为x(min)，每月缴费y(元)，请用含x的代数式表示y.(2)在这个问题中，哪些是常量？哪些是变量？(3)当一个月通话时间为200 min时，应缴费多少元？(4)当某月缴费56元时，此人该月通话时间为多少分钟？19.声音在空气中的传播速度y(米/秒)(简称音速)随气温x(℃)的变化而变化.下表列出了一组不同气温时的音速.气温x/℃0 5 10 15 20音速y/(米/331 334 337 340 343秒)(1)当x的值逐渐增大时，y的变化趋势是什么?(2)x每增加5℃，y的变化情况相同吗?(3)估计气温为25℃时音速是多少.20.在烧水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:时间/min 0 2 4 6 8 10 12 14 …温度/℃30 44 58 72 86 100 100 100 …(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?(3)时间每推移2 min,水的温度如何变化?(4)时间为8 min时,水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?(5)根据表格,你认为时间为16 min和18 min时水的温度分别为多少?(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?21.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格. 距离地面高度（千0 1 2 3 4 5米）温度（℃）20 14 8 2 -4 -10根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？(3)你知道距离地面6千米的高空温度是多少吗？22.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定.在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值.所挂重量x（kg）0 1 2 3 4 5弹簧长度y（cm）18 20 22 24 26 28(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？(3)若所挂重物为7千克时(在允许范围内)，你能说出此时的弹簧长度吗？答案1.D2.B3.B4.A5.A6.C7.A8.B9.C10.C11.答案为：时间.12.答案为：x，y,－1，9013.答案为：答案是：x和y；3和7；y=3x﹣7.14.答案为：n=8x－1，x和n15.答案为：单价；数量；金额16.答案为：(1)日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数；(2)58.5(元).17.解：(1)由表可知h=100+5a.(2)当h=200 cm时，有200=100+5a，解得a=20.答：此树苗需20年就可长到200 cm高.18.解：(1)每月缴费y(元)与通话时间x(min)的关系式为y=15x＋20.(2)在这个问题中，月租费20元和每分钟通话费15元是常量，每月通话时间x(min)与每月缴费y(元)是变量.(3)当x=200时，y=15×200＋20=60(元).因此当一个月通话时间为200 min时，应缴费60元.(4)当y=56时，15x＋20=56，解得x=180.因此当某月缴费为56元时，此人该月通话时间为180 min.19.解：(1)x增大时，y也随着增大.(2) x每增加5℃，y的变化情况相同(都增加了3米/秒).(3) x=25℃时，估计y=346米/秒.20.解：(1)上表反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量.(2)水的温度随着时间的增加而增加,到100 ℃时恒定.(3)时间每推移2 min,水的温度增加14 ℃,到10 min时恒定.(4)时间为8 min时,水的温度是86 ℃,时间为9 min时,水的温度是93 ℃.(5)根据表格,时间为16 min和18 min时水的温度均为100 ℃.(6)为了节约能源,应在第10 min后停止烧水.21.解：(1)上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量.(2)由表可知，每上升一千米，温度降低6 ℃，可得解析式为y=20－6x.(3)由表可知，距地面5千米时，温度为零下10 ℃.22.解：(1)弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；(2)２４厘米；18厘米；(3)32厘米.。

第5章 一次函数 5．1 变量与常量01 基础题知识点 常量与变量1．（杭州上城区期末）在圆周长计算公式C ＝2πr 中，对半径不同的圆，变量有（ A ） A ．C ，r B ．C ，π，r C ．C ，πr D ．C ，2π，r2．某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说法正确的是（C ）A ．数100和η，t 都是变量B ．数100和η都是常量C ．η和t 是变量D ．数100和t 都是常量3．钢笔每支m 元，买3支钢笔共支出y 元，在这个问题中，下列说法正确的是（ C ）A ．m 是常量时，y 是变量B ．m 是变量时，y 是常量C ．m 是变量时，y 也是变量D ．m ，y 都是常量 4．在匀速运动公式s ＝3t 中，3表示速度，t 表示时间，s 表示在时间t 内所走的路程，其中3是常量，s 与t 是变量． 5．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中数据近似地呈现了某地儿童入学年份的变化趋势．则上表中的年份x 与入学儿童人数y 是变量． 6．林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“6.46元/升”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中，数量与金额是变量，6.46是常量． 7．球的体积V （cm 3）与球的半径R （cm ）之间的关系式是V ＝43πR 3，这里的变量是V 和R ，常量是43π．8．根据下列情境提出一个实际问题，说出其中的常量与变量．小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米． 解：设小王与爷爷家的距离为s ，骑车的时间为t ，则s ＝10－12t. －12与10是常量，s 与t 是变量．9．运动员在400 m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t （s ）与跑步速度v （m /s ）之间的满足公式t ＝400v .指出其中的常量与变量．解：常量是400 m ，变量是v 、t .10．以固定的速度v 0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式h ＝v 0t －4.9t 2，这个关系式中，常量、变量分别是什么？解：v 0、－4.9是常量，t 、h 是变量．02 中档题11．在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，这个问题中常量是（ D ）A ．水的温度B ．太阳光强弱C ．太阳照射时间D ．热水器的容积12．（杭州六校联考）三角形的面积公式为S ＝12ah.其中底边a 保持不变，则常量是12a ，变量是h 、S ．13．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中的变量是温度与时间．14．直角三角形两锐角的度数分别为x ，y ，其关系式为y ＝90－x ，其中变量为x 与y ，常量为－1与90． 15．如表是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中有几个变量？（2）如果用x 表示年份，用y 表示世界人口总数，那么随着x 的变化，y 的变化趋势是怎样的？ 解：（1）表中有两个变量，分别是年份和人口数． （2）随着x 的增大，y 的变化趋势是增大．16．据科学家研究，10至50岁的人每天所需睡眠时间H （时）可用公式H ＝110－N10（N 是人的年龄）来计算，写出其中的变量和常量．用这个公式算一算，你每天需要多少小时的睡眠时间？解：其中的变量是H 与N ，常量是110、10、－1.如当N ＝14时，H ＝110－N 10＝110－1410＝9.6（小时），即每天需要9.6小时的睡眠时间．03 综合题17．已知，圆柱的高是3 cm ，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化．（1）在这个过程中，常量是3，变量是底面半径，体积；（2）当底面半径由1 cm 变化到10 cm 时，圆柱的体积增加了297πcm 3.5.2函数第1课时函数的概念01基础题知识点1函数的概念1．下列关于变量x，y的关系：①x－y＝1；②y＝2|x|；③4x－y2＝9，其中表示y是x的函数的是（B ）A．①②③B．①②C．①③D．②③2．（嘉兴期末）下列图象中，y不是x函数的是（C ）3．某镇居民生活用水的收费标准如表：（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）小王同学家9月用水10立方米，10月份用水8立方米，两个月合计应付水费多少元？解：（1）是．理由：存在两个变量：月用水量x和收费标准y（单价），对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．（2）1.5×8＋（10－8）×2.5＋1.5×8＝29（元）．答：两个月合计应付水费29元．知识点2函数的表示方法4．据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的函数关系式是（B ）A．y＝0.05x B．y＝5xC．y＝100x D．y＝0.05x＋1005．（嵊州期末）如图是一台自动测温记录仪的图象，它反映了嵊州市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（B ）A．凌晨4时气温最低，为－3 ℃B．从0时至14时，气温随时间增长而上升C．14时气温最高，为8 ℃D．从14时至24时，气温随时间增长而下降6．已知水池中有水10 000立方米，每小时流出0.8立方米，则水池中剩余水量M（立方米）与流出时间t（小时）之间的函数表达式是M＝10_000－0.8t．7．已知等腰三角形的周长等于20，底边为x，那么它的腰长y与x的函数关系式是y＝－12x＋10．知识点3求函数的值8．已知函数y ＝30x －6，当x ＝13时，y 的值为 （ C ）A ．5B ．10C ．4D ．－49．函数y ＝⎩⎨⎧2x 2＋4（x ≤3），3x （x>3），则当函数值x ＝－1时，y ＝6．10．（上海中考）同一温度的华氏度数y （°F ）与摄氏度数x （℃）之间的函数关系是y ＝95x ＋32.如果某一温度的摄氏度数是25 ℃，那么它的华氏度数是77°F .02 中档题 11．（江山期末）小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是（ B ）12．在国内投寄平信应付邮资如下表：35克；③p 是q 的函数；④q 是p 的函数，其中正确的是 （ A ）A ．①④B ．①③C ．③④D ．①②③④13．老师让同学们举一个y 是x 的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x 、y 之间的关系：① ②y ＝kx ＋b （k ≠0） y ＝|x|,③ ④ 其中，y 一定是x 的函数的是③④（填写所有正确的序号）．14．已知函数f （x ）＝6x 2＋2，那么f （2）＝3．15．弹簧挂上物体后在弹性限度内会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系：解：y 可以看成所挂物体质量x （kg ）的函数，y ＝12＋0.5x.16．据测定，海沟扩张的速度是很缓慢的，在太平洋海底，某海沟的某处宽度为100米，其两侧的地壳向外扩张的速度是每年6厘米，假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x 年，海沟的宽度为y 米．（1）两年后，此处海沟的宽度变为100.12米；（2）y 可以看作是x 的函数吗？如果可以，请写出函数表达式，如果不可以，请说明理由；（3）求海沟扩张到130米时需要多少年． 解：（2）可以，y ＝100＋0.06x.（3）130＝100＋0.06x ，解得x ＝500. 所以海沟扩张到130米需要500年．03 综合题17．已知函数f （x ）＝1＋2x ，其中f （a ）表示当x ＝a 时对应的函数值，如f （1）＝1＋21，f （2）＝1＋22，f （a ）＝1＋2a，则f （1）·f （2）·f （3）·…·f （100）＝5_151．习题解析第2课时 函数的表达式01 基础题知识点1 自变量的取值范围1．（无锡中考）函数y ＝x －4中，自变量x 的取值范围是（ B ）A ．x ＞4B ．x ≥4C ．x ≤4D ．x ≠42．（西湖区月考）函数y ＝2－x ＋1x ＋3中，自变量x 的取值范围是x ≤2且x ≠－3． 3．求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y ＝－2x ＋1； （2）y ＝1x －2.解：（1）全体实数． （2）x ≠2.4．今有400本图书借给学生阅读，每人8本，求余下的书数y （本）与学生数x （人）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．解：y ＝400－8x ，因为x ，y 都是非负整数，且0≤y ≤400，所以⎩⎨⎧0≤400－8x ≤400，x ≥0，解得0≤x ≤50且x 为整数． 所以x 取0、1、2、…、49、50.知识点2 求函数的表达式5．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系是（ B ）A ．Q ＝0.2 tB ．Q ＝20－0.2tC ．t ＝0.2QD ．t ＝20－0.2Q6．如果每盒钢笔有10支，每盒售价25元，那么购买钢笔的总价y （元）与支数x （支）之间的关系式为（ D ）A ．y ＝10xB ．y ＝25xC ．y ＝25xD ．y ＝52x7．李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图的长方形ABCD.设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数表达式是y ＝－12x＋12（0<x<24）．8．从大村到黄岛的距离为60千米，一辆摩托车以平均每小时35千米的速度从大村出发到黄岛，则摩托车距黄岛的距离y （千米）与行驶时间t （时）的函数表达式为y ＝60－35t ． 9．如图，长方形ABCD 中，当点P 在边AD （不包括A 、D 两点）上从A 向D 移动，假设长方形的长AD 为10 cm ，宽AB 为4 cm ，线段AP 的长为x cm ，分别写出PD 的长度y ，△PCD 的面积S 与x 之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围．解：根据题意可知：PD ＝AD －AP ，AD ＝10 cm ，AP ＝x cm ， ∴y ＝10－x ，其中0＜x ＜10.根据题意可知：△PCD 的面积为12·DC·PD ，∴S ＝12×4×（10－x ）＝20－2x ，其中0＜x ＜10.02 中档题10．如图，△ABC 中，已知BC ＝16，高AD ＝10，动点C′由点C 沿CB 向点B 移动（不与点B 重合）．设CC′的长为x ，△ABC ′的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为（ A ）A ．S ＝80－5xB ．S ＝5xC ．S ＝10xD ．S ＝5x ＋8011．（广安中考）某油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km ，油箱中剩油量为y L ，那么y 与x 之间的函数表达式和自变量的取值范围分别是（ D ）A ．y ＝0.12x ，x ＞0B ．y ＝60－0.12x ，x ＞0C ．y ＝0.12x ，0≤x ≤500D ．y ＝60－0.12x ，0≤x ≤50012．若等腰三角形的周长为60 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，则y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围是（ D ）A ．y ＝60－2x ，0<x<60B ．y ＝60－2x ，0<x<30C ．y ＝12（60－x ），0<x<60D ．y ＝12（60－x ），0<x<3013．（嘉兴期末）函数y ＝x ＋2x －1中，自变量x 的取值范围是x ≥－2且x ≠1． 14．（绍兴五校联考期末）用n 根火柴可以拼成如图1所示的x 个正方形，还可以拼成如图2所示的2y 个正方形，那么y 关于x 的函数表达式为y ＝0.6x －0.2．15．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层（n 为正整数）圆点的个数，则y 与n 之间的函数关系式为y ＝4n ．16．已知水池中有600 m 3的水，每小时抽出50 m 3.（1）写出剩余水量的体积V （m 3）与时间t （h ）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围；（3）多长时间后，池中还有100 m 3的水？（4）当水深超过2.2 m 时有溺水危险，现假定该水池为长方体，底面积是250 m 2，某学生（不会游泳）不慎掉入水中，是否有溺水危险？解：（1）V ＝600－50t. （2）0≤t ≤12.（3）100＝600－50t ，解得t ＝10.所以10小时后，池中还有100 m 3的水． （4）600÷250＝2.4>2.2，所以有溺水危险．03 综合题17．如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求重叠部分的面积y （cm 2）与时间t （s ）之间的函数表达式．解：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形． ∵AN ＝2t ，∴AM ＝MN －AN ＝20－2t . ∴MH ＝AM ＝20－2t .∴重叠部分的面积y ＝12（20－2t ）2，即y ＝2t 2－40t ＋200（0≤t ≤10）．5.3一次函数第1课时一次函数的概念01基础题知识点1正比例函数及其相关概念1．（上海中考）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（C ）A．y＝x2B．y＝2x C．y＝x2D．y＝x＋122．（江山期末）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则正比例函数的表达式为（B ）A．y＝2x B．y＝－2xC．y＝12x D．y＝－12x3．下列各关系中，符合正比例函数关系的是（A ）A．正方形的周长p和它的一边长aB．距离s一定时，速度v和时间tC．圆的面积S和圆的半径rD．圆柱的体积V和底面半径r4．若y＝x－m＋4是关于x的正比例函数，则m必须满足m＝4．5．一位旅行者在芬兰购买了120欧元的一件商品．按当时国内欧元与人民币的比价，商品的价格折合人民币1 188元，设当时兑换x欧元需人民币y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）兑换500欧元，需要人民币多少元？解：（1）y＝9.9x.（2）当x＝500时，y＝9.9×500＝4 950（元）．所以兑换500欧元，需要人民币4 950元．知识点2一次函数及其相关概念6．下列函数中，属于一次函数的是（A ）A．y＝2x B．y＝x2C．y＝12x D．y＝x－17．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（C ）A．y＝2x B．y＝1x＋2C．y＝13－12x D．y＝2x2－18．（南平中考）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（A ）A．y＝10x＋30 B．y＝40xC．y＝10＋30x D．y＝20x9．（诸暨期末）一次函数y＝x＋1，当x＝1时，则y值为2．10．已知函数y＝2x＋m－1.（1）m为何值时，y是x的正比例函数？（2）m为何值时，y是x的一次函数？解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，y是x的正比例函数．（2）m取任意实数时，y都是x的一次函数．02 中档题11．若函数y ＝（m ＋1）x2－m 2＋m ＋2是一次函数，则常数m 的值是（ B ）A ．0B ．1C ．－1D ．1或－112．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人）每人25元，超过20人，超出部分每人10元．则应收门票费y （元）与浏览人数x （人）（x ≥20）之间的函数关系式是（ D ）A ．y ＝300＋xB ．y ＝300－10xC ．y ＝－300＋10xD ．y ＝300＋10x13．若y ＝（m ＋5）x －2是一次函数，则m 必须满足m ≠－5．14．若3y ＋2与x －3成正比例，且比例系数为3，则y 与x 的函数关系式为y ＝x －113．15．新定义：[a ，b ，c]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为实数）的“关联数”．若“关联数”为[m －2，m ，1]的函数为一次函数，则m 的值为多少？解：因为[a ，b ，c]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为实数）的“关联数”，“关联数”为[m －2，m ，1]的函数为一次函数，所以m －2＝0，且m ≠0，解得m ＝2.16．公路上依次有A 、B 、C 三站，上午8时，甲骑自行车从A 、B 间离A 站18 km 的P 处出发，向C 站匀速前进，15分钟后到达离A 站22 km 处．（1）设x 小时后，甲离A 站y km ，写出y 关于x 的函数关系式，并说出y 是x 的什么函数；（2）若A 、B 间和B 、C 间的距离分别是30 km 和20 km ，问：从什么时间到什么时间甲在B 、C 之间？ 解：（1）根据题意知，甲骑车的速度为16千米/时，得函数关系式y ＝16x ＋18（x>0），y 是x 的一次函数．（2）当y ＝30时，30＝16x ＋18，x ＝34，即8点45分，甲到达B 点；当y ＝50时，50＝16x ＋18，x ＝2，即10点整甲到达C 点．故从8点45分到10点甲在B 、C 之间．03 综合题17．如图，已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3.（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为5？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3， ∴点A 的纵坐标为－2， 即点A 的坐标为（3，－2）． ∵正比例函数y ＝kx 经过点A ， ∴3k ＝－2，即k ＝－23.∴正比例函数的表达式是y ＝－23x.（2）存在．∵△AOP 的面积为5，点A 的坐标为（3，－2）， ∴OP ＝5.∴点P 的坐标为（5，0）或（－5，0）．第2课时 用待定系数法求一次函数的表达式01 基础题知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式1．已知函数y ＝－3x ＋k ，当x ＝－13时，y ＝2，则常数k 等于（ A ）A ．1B ．－1C ．－3D ．2 2．已知直线y ＝kx ＋b 经过点（－5，1）和（3，－3），那么k 、b 的值依次是（ D ）A ．－2、－3B ．1、－6C ．1、6D ．－12、－323．（1）若x ＝－1，y ＝4满足一次函数y ＝kx －4，则k ＝－8；（2）若x ＝－3，y ＝3满足一次函数y ＝x ＋3b ，则b ＝2．4．如图，线段AB 的表达式为y ＝－12x ＋2（0≤x ≤4）．5．（湖州中考）已知y 是x 的一次函数，当x ＝3时，y ＝1；当x ＝－2时，y ＝－4，求这个一次函数的表达式．解：设这个一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，将x ＝3，y ＝1和x ＝－2，y ＝－4分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，－2k ＋b ＝－4. 解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2.∴所求一次函数的表达式为y ＝x －2.知识点2 一次函数的简单应用6．生物学家研究表明，某种蛇的长度y cm 是其尾长x cm 的一次函数，当蛇的尾长为6 cm 时，蛇长45.5 cm ；当尾长为14 cm 时，蛇长105.5 cm .当一条蛇的尾长为10 cm 时，这条蛇的长度是75.5cm . 7．（陕西中考）科学研究发现，空气含氧量y （克/立方米）与海拔x （米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔为2 000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．（1）求出y 与x 的函数表达式；（2）已知某山的海拔为1 200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：（1）设y ＝kx ＋b.则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2 000k ＋b ＝235.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.所以y ＝－4125x ＋299.（2）当x ＝1 200时，y ＝－4125×1 200＋299＝260.6（克/立方米）． 答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米． 8．（上海中考）已知水银体温计的读数y （℃）与水银柱的长度x （cm ）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出x 的取值范围）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm ，求此时体温计的读数． 解：（1）设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35＝4.2k ＋b ，40＝8.2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝54，b ＝29.75. ∴y ＝54x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝54x ＋29.75.（2）当x ＝6.2时，y ＝54×6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5 ℃.02 中档题9．有一列有序数对：（1，2），（4，5），（9，10），（16，17），…，按此规律，第5对有序数对为（25，26）；若在平面直角坐标系xOy 中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为y ＝x ＋1． 10．（广元中考改编）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v （千米/小时）是车流密度x （辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度．解：由题意得：当20≤x ≤220时，v 是x 的一次函数，则可设v ＝kx ＋b （k ≠0）． 由题意得：当x ＝20时，v ＝80，当x ＝220时，v ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝80，220k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x ≤220时，v ＝－25x ＋88.把x ＝100代入v ＝－25x ＋88，得v ＝48，即当大桥上车流密度为100辆/千米时，车流速度为48千米/小时． 11．（滨江区期末）已知y 是关于x 的一次函数，且当x ＝1时，y ＝－4；当x ＝2时，y ＝－6.（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）若－2＜x ＜4，求y 的取值范围；（3）试判断点P （a ，－2a ＋3）是否在函数的图象上，并说明理由． 解：（1）设y 与x 的函数表达式是y ＝kx ＋b ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－4，2k ＋b ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－2.则函数表达式是y ＝－2x －2.（2）当x ＝－2时，y ＝2，当x ＝4时，y ＝－10，则y 的取值范围是－10＜y ＜2. （3）当x ＝a 时，y ＝－2a －2，则点P （a ，－2a ＋3）不在函数的图象上．12．某商店通过调低价格的方式促销n 个不同的玩具，调整后的单价y （元）与调整前的单价x （元）满足一次函数关系，如下表：已知这n 个玩具调整后的单价都大于2元．（1）求y 与x 的函数关系式，并确定x 的取值范围；（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？ 解：（1）设y ＝kx ＋b ，由题意得 x ＝6，y ＝4；x ＝72，y ＝59，∴⎩⎨⎧4＝6k ＋b ，59＝72k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝56，b ＝－1. ∴y 与x 的函数关系式为y ＝56x －1.∵这n 个玩具调整后的单价都大于2元， ∴56x －1>2，解得x>185. ∴x 的取值范围为x>185.（2）将x ＝108代入y ＝56x －1，得y ＝56×108－1＝89，108－89＝19.答：顾客购买这个玩具省了19元．03 综合题13．将长为40 cm ，宽为10 cm 的长方形纸条，按如图的方法黏合起来，黏合部分的宽为3 cm .（1）求5张纸条黏合后的长度；（2）设x 张纸条黏合后的总长度为y cm ，写出y 与x 之间的函数表达式； （3）若黏合后总长度为552 cm ，你认为这可能吗？ 解：（1）5×40－3×4＝188（cm ）． （2）y ＝40x －3（x －1）＝37x ＋3.549（3）当y＝552时，x＝37不是整数，所以黏合后总长度不可能为552 cm.微课堂5．4一次函数的图象第1课时一次函数的图象01基础题知识点1正比例函数的图象1．正比例函数y＝－3x的大致图象是（D ）2．已知正比例函数y＝kx（k≠0），当x＝－1时，y＝－2，则下列各点在这个函数图象上的是（A ）A．（1，2）B．（－1，2）C．（2，－1）D．（－2，－1）3．（湖州中考改编）放学后，杰杰骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则杰杰的骑车速度是0.2千米/分钟．4．在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y＝－5x与y＝3x的图象．解：略．知识点2一次函数的图象5．（成都中考）一次函数y＝2x＋1的图象不经过（D ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（郴州中考）如图为一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则下列正确的是（C ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜07．一次函数y＝kx＋k（k＜0）的图象大致是（D ）8．（天津中考）若一次函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象经过点（1，5），则b 的值为3． 9．（金华金东区期末）一次函数y ＝kx ＋4的图象过点（－1，7）．（1）求k 的值；（2）判断点（a ，－3a ＋4）是否在该函数图象上，并说明理由． 解：（1）把x ＝－1，y ＝7代入y ＝kx ＋4中，得 7＝－k ＋4，解得k ＝－3.（2）把x ＝a 代入y ＝－3x ＋4中，得y ＝－3a ＋4， 所以点（a ，－3a ＋4）在该函数图象上．知识点3 函数图象与坐标轴的交点10．已知点P 是一次函数y ＝－2x ＋8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，求P 点的坐标．解：当y ＝0时，－2x ＋8＝0，解得x ＝4，则Q （4，0）． 设P （x ，－2x ＋8），则12×4×|－2x ＋8|＝6，解得x ＝52或x ＝112. 所以P 点的坐标为（52，3）或（112，－3）．02 中档题11．（绍兴五校联考）一次函数y ＝kx ＋||k －2的图象过点（0，3），且y 随x 的增大而减小，则k 的值为（ A ） A ．－1 B ．5C ．5或－1D ．－512．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ B ）A ．15 kgB ．20 kgC ．23 kgD ．25 kg13．（杭州六校12月月考）复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝－2mx ＋m －1（m ≠0）．学生们在独立思考后，给出了5条关于这个函数的结论：①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数；②函数的值y 随着自变量x 的增大而减小；③该函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上；④若函数图象与x 轴交于A （a ，0），则a ＜0.5；⑤此函数图象与直线y ＝4x －3、y 轴围成的面积必小于0.5.对于以上5个结论，正确的个数为（ C ）A ．4B ．3C ．0D ．1 14．（杭州上城区期末）在平面直角坐标系中，若直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则直线y ＝bx ＋k 不经过的象限是第三象限． 15．（杭州上城区期末）如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象交于点A （m ，2），与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D.（1）m ＝1；（2）若一次函数图象经过点B （－2，－1），求一次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，求△AOD 的面积．解：（2）把（1，2）和（－2，－1）代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝2，－2k ＋b ＝－1， 解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴一次函数的表达式是y ＝x ＋1. （3）令y ＝0，则x ＝－1. ∴S △AOD ＝12×1×2＝1.16．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，月生活用水收费标准如图所示，图中x 表示月生活用水的吨数，y 表示收取的月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：（1）该市月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；（2）请写出y 与x 的函数关系式；（3）若某个家庭五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？解：（2）当x ≤5时，设y ＝kx ，代入（5，8），得8＝5k. 解得k ＝1.6. ∴y ＝1.6x.当x ＞5时，设y ＝kx ＋b ，代入（5，8）、（10，20），得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝8，10k ＋b ＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2.4，b ＝－4. ∴y ＝2.4x －4.（3）把y ＝76代入y ＝2.4x －4，得2．4x －4＝76.解得x ＝1003.答：该家庭这个月用了1003吨生活用水．03 综合题17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．（1）求函数y ＝43x ＋4的坐标三角形的三边长；（2）若函数y ＝43x ＋b （b 为常数）的坐标三角形的周长为24，求此三角形的面积．视频讲解解：（1）因为函数y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴的交点坐标分别为B （－3，0）、A （0，4），则OB ＝3，OA ＝4.由勾股定理，得AB ＝OB 2＋OA 2＝5. 所以此坐标三角形的三边长分别为3，4，5.（2）直线y ＝43x ＋b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为B′（－34b ，0）、A′（0，b ）．可得A′B′＝|54b|.当b ＞0时，34b ＋b ＋54b ＝24，解得b ＝8，此时坐标三角形的面积为24； 当b ＜0时，－34b ＋（－b ）＋（－54b ）＝24，解得b ＝－8，此时坐标三角形的面积为24.综上所述，函数y ＝43x ＋b （b 为常数）的坐标三角形的面积为24.第2课时 一次函数的性质01 基础题知识点1 一次函数的性质1．当自变量x 增大时，下列函数值反而减小的是（ C ）A ．y ＝x3B ．y ＝2xC ．y ＝－x3D ．y ＝76x2．已知正比例函数y ＝kx （k<0）的图象上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1<x 2，则下列不等式中恒成立的是（ C ）A ．y 1＋y 2>0B ．y 1＋y 2<0C ．y 1－y 2>0D ．y 1－y 2<03．已知函数y ＝2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而增大（填“增大”或“减小”）． 4．若函数y ＝kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k>0． 5．（海宁校级月考）已知一个一次函数，过点（2，5）且函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式y ＝－x ＋7（答案不唯一）．（写出一个即可）6．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过第二、三、四象限，求m 的取值范围．解：根据一次函数的性质，函数y 随x 的增大而减小，则1－2m<0，解得m>12.函数的图象经过第二、三、四象限，说明图象与y 轴的交点在x 轴下方，则m －1<0， 解得m<1.所以m 的取值范围为12<m<1.知识点2 一次函数与一次不等式7．已知0≤x ≤1，若x －2y ＝6，则y 的最大值是－52．8．已知y ＝－3x ＋2，当－1≤y ＜1时，求x 的取值范围．解：当y ＝－1时，－3x ＋2＝－1，解得x ＝1；当y ＝1时，－3x ＋2＝1，解得x ＝13.所以当－1≤y ＜1时，x 的取值范围为13＜x ≤1.9．某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少10 kg ，但不超过30 kg 时，单价y （元/ kg ）与进货量x （kg ）的函数关系如图所示．（1）求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）若该商场购进这种商品20～25 kg ，则单价将在什么范围内浮动？解：（1）将（10，10）和（30，8）代入函数表达式y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝10，30k ＋b ＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.1，b ＝11.∴y ＝－0.1x ＋11，其中30≥x ≥10.（2）∵k<0，∴y 随着x 的增大而减小．∴若购进这种商品20～25 kg ，单价范围为8.5≤y ≤9. 10．（滨江区一模）一次函数y ＝ax －a ＋1（a 为常数，且a ≠0）．（1）若点（－12，3）在一次函数y ＝ax －a ＋1的图象上，求a 的值；（2）当－1≤x ≤2时，函数有最大值2，请求出a 的值． 解：（1）把（－12，3）代入y ＝ax －a ＋1，得－12a －a ＋1＝3，解得a ＝－43.（2）①a ＞0时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝2时，y 有最大值2，把x ＝2，y ＝2代入函数关系式，得2＝2a －a ＋1， 解得a ＝1；②a ＜0时，y 随x 的增大而减小，则当x ＝－1时，y 有最大值2，把x ＝－1，y ＝2代入函数关系式，得2＝－a －a ＋1， 解得a ＝－12.所以a ＝－12或a ＝1.02 中档题 11．（嘉兴期末）若一次函数y ＝（1－2m ）x ＋3的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ D ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜12D ．m ＞1212．（海宁校级月考）已知一次函数y ＝－2x ＋1，当－1≤y ＜3时，自变量的取值范围是（ B ）A ．－1≤x ＜1B ．－1＜x ≤1C ．－2＜x ≤2D ．－2≤x ＜2 13．（丽水中考）在平面直角坐标系中，过点（－2，3）的直线l 经过第一、二、三象限．若点（0，a ），（－1，b ），（c ，－1）都在直线l 上，则下列判断正确的是（ D ）A ．a ＜bB ．a ＜3C ．b ＜3D ．c ＜－2 14．（徐州中考）若函数y ＝kx －b 的图象如图所示，则关于x 的不等式k （x －3）－b ＞0的解集为（ C ）习题解析A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜5D ．x ＞515．已知一次函数y ＝kx ＋b 的自变量的取值范围是－3≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是－5≤y ≤－2，求这个一次函数的表达式．解：分两种情况：①当k>0时，把x ＝－3，y ＝－5；x ＝6，y ＝－2代入一次函数的表达式y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝－5，6k ＋b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，b ＝－4.则这个函数的表达式是y ＝13x －4（－3≤x ≤6）；②当k<0时，把x ＝－3，y ＝－2；x ＝6，y ＝－5代入一次函数的表达式y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝－2，6k ＋b ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝－3. 则这个函数的表达式是y ＝－13x －3（－3≤x ≤6）．故这个函数的表达式是y ＝13x －4（－3≤x ≤6）或y ＝－13x －3（－3≤x ≤6）．16．（滨江区期末）某商店销售A 型和B 型两种型号的电脑，销售一台A 型电脑可获利120元，销售一台B 型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的3倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式；（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售利润最大？ 解：（1）由题意可得y ＝120x ＋140（100－x ）＝－20x ＋14 000. （2）根据题意，得100－x ≤3x ，解得x ≥25. ∵y ＝－20x ＋14 000，－20＜0，∴y 随x 的增大而减小． ∵x 为正整数，∴当x ＝25时，y 取最大值，则100－x ＝75，即商店购进25台A 型电脑和75台B 型电脑的销售利润最大．03 综合题 17．（广安中考）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大、小货车共15辆，且恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：（1）求这（2）现安排其中的10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最。