2015太原一模 山西省太原市2015届高三模拟考试(一)数学(文)试题 扫描版含答案

2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。

（山西省）2015年高考前质量监测试题·语文第1卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面文字，完成1-3题。

商周时期的异族婚姻王进锋商周时期，在今天的中国境内生活着很多不同族群。

人们用华夏族与蛮、夷、戎、狄来区分他们。

异族婚姻就是华夏族与蛮、夷、戎、狄之间的通婚。

商朝的开国君主成汤通过与戎狄的有莘氏通婚，取得了“有莘氏媵臣”伊尹的辅佐，从而实现了灭夏的大业。

实际上，早在商族始祖契的时候，就已经与戎狄女子通婚。

根据《史记·殷本纪》，“殷契，母曰简狄，有娀氏之女，为帝喾次妃”。

末代商纣王屡次与外族女子婚配。

商纣曾以“西伯昌、九侯、鄂侯”担任商朝的三个重要官职，九侯就是鬼侯，为蛮狄之人。

鬼侯为了讨好商纣，将自已的女儿进献给他，然而这位女士“不喜淫”，纣非常生气，就把她杀害了。

汉晋学者皇甫谧在其著作《帝王世纪》中也记载了此事。

商朝末年，周族的首领姬昌遵祖宗之法，各方贤能之士都前往投靠。

看到这点，商朝另外一位方国首领崇侯虎甚是紧张，担心周族强大后会危及自己的方国利益，就对商纣说到姬昌将不利于商朝的统治。

商纣果然听信谗言，把西伯囚禁了起来，关押在羑里。

周族人十分担忧，千方百计营救，大臣闳夭多方搜求美女奇珍，终于得到“有莘氏美女，骊戎之文马，有熊九驷，他奇怪物”，通过商朝宠臣费仲进献给商王。

商纣看到后非常高兴，就把西伯释放了。

可以想见，周族进献的有莘氏美女，应与商纣结成了婚姻。

商王之子也与异族女子通婚。

商王武丁时期有这样一条甲骨卜辞，内容为“己亥卜，王：子白羌毓，不其白”。

这条卜辞是占问商王之子宠幸的白皮肤羌族女子将要生育，所生之子的皮肤是否为白色。

在西周君王和他们的祖先中，有多人与夷狄女子结婚。

根据《诗经·鲁颂·閟宫》，周族始祖后稷是姜螈所生，而“西羌之本，……姜姓之别也”，所以姜塬是羌族女子。

另外，周人祖先古公亶父娶的太姜、太王娶的周姜、周武王娶的邑姜也都是羌族女子。

（山西省）2015年高考前质量监测试题·语文第1卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面文字，完成1-3题。

商周时期的异族婚姻王进锋商周时期，在今天的中国境内生活着很多不同族群。

人们用华夏族与蛮、夷、戎、狄来区分他们。

异族婚姻就是华夏族与蛮、夷、戎、狄之间的通婚。

商朝的开国君主成汤通过与戎狄的有莘氏通婚，取得了“有莘氏媵臣”伊尹的辅佐，从而实现了灭夏的大业。

实际上，早在商族始祖契的时候，就已经与戎狄女子通婚。

根据《史记·殷本纪》，“殷契，母曰简狄，有娀氏之女，为帝喾次妃”。

末代商纣王屡次与外族女子婚配。

商纣曾以“西伯昌、九侯、鄂侯”担任商朝的三个重要官职，九侯就是鬼侯，为蛮狄之人。

鬼侯为了讨好商纣，将自已的女儿进献给他，然而这位女士“不喜淫”，纣非常生气，就把她杀害了。

汉晋学者皇甫谧在其著作《帝王世纪》中也记载了此事。

商朝末年，周族的首领姬昌遵祖宗之法，各方贤能之士都前往投靠。

看到这点，商朝另外一位方国首领崇侯虎甚是紧张，担心周族强大后会危及自己的方国利益，就对商纣说到姬昌将不利于商朝的统治。

商纣果然听信谗言，把西伯囚禁了起来，关押在羑里。

周族人十分担忧，千方百计营救，大臣闳夭多方搜求美女奇珍，终于得到“有莘氏美女，骊戎之文马，有熊九驷，他奇怪物”，通过商朝宠臣费仲进献给商王。

商纣看到后非常高兴，就把西伯释放了。

可以想见，周族进献的有莘氏美女，应与商纣结成了婚姻。

商王之子也与异族女子通婚。

商王武丁时期有这样一条甲骨卜辞，内容为“己亥卜，王：子白羌毓，不其白”。

这条卜辞是占问商王之子宠幸的白皮肤羌族女子将要生育，所生之子的皮肤是否为白色。

在西周君王和他们的祖先中，有多人与夷狄女子结婚。

根据《诗经·鲁颂·閟宫》，周族始祖后稷是姜螈所生，而“西羌之本，……姜姓之别也”，所以姜塬是羌族女子。

另外，周人祖先古公亶父娶的太姜、太王娶的周姜、周武王娶的邑姜也都是羌族女子。

山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )A．[﹣1，1）B．（﹣3，1] C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）3．在单调递减等比数列{a n}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=( )A．2 B．4 C．D．24．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是( )A．B．C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出a=( )A．20 B．14 C．10 D．76．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象( )A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．B．6C．D．28．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A．16 B．32 C．32 D．489．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为( )A．10 B．12 C．14 D．1511．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60°，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是( )A．（，2] B．[，2）C．（，+∞）D．[，+∞）12．已知数列{a n}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为S n，则S60=( )A．﹣30 B．﹣60 C．90 D．120二、填空题13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为__________．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（m∈N*），则f（a5）+f（a6）=__________．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC的所成角为60°，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．四.选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；（Ⅱ）求线段EB的长．五.选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．五.选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：（1+i）z=2i，可得z===1+i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )A．[﹣1，1）B．（﹣3，1] C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：先确定阴影部分对应的集合为（∁U N）∩M，然后利用集合关系确定集合元素即可．解答：解：阴影部分对应的集合为（∁U N）∩M，∵M={x|﹣3＜x＜1}，N={ x|﹣1≤x≤1}，∴∁U N={x|x＞1或x＜﹣1}，∴（∁U N）∩M={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．3．在单调递减等比数列{a n}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=( )A．2 B．4 C．D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项，得到+q=，进利用数列{a n}为递减数列，求出公比q的值，即可求出a1的值．解答：解：∵a3=1，a2+a4=，∴+q=，∵数列{a n}为递减数列，∴q=∴a1=4，故选：B．点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．．4．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．解答：解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是；故选C．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．5．执行如图所示程序框图，则输出a=( )A．20 B．14 C．10 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=1满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8…观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观察规律可知a的取值以5为周期从而解得退出循环时a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象( )A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．B．6C．D．2考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD的面积．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径为2，∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+×BD×EC=×BD×（EA+EC）=×BD×AC==2．故选：D点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A．16 B．32 C．32 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，结合题目中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V四棱锥=××（2+6）×6×6=48．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数的零点；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．解答：解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．点评：本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为( )A．10 B．12 C．14 D．15考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出k的值．解答：解：目标函数z=3x+y的最小值为5，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B截距最小，由，解得，即B（2，﹣1），同时B也在直线﹣2x+y+c=0，即﹣4﹣1+c=0，解得c=5，此时直线方程为﹣2x+y+5=0，当直线z=3x+y经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=3×3+1=10，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60°，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是( )A．（，2] B．[，2）C．（，+∞）D．[，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．解答：解：不妨设双曲线的方程是=1（a＞0，b＞0），由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，且不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°＜≤tan60°，则，即，∵b2=c2﹣a2，∴，则，解得，即，∴双曲线离心率的范围是（]，故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．12．已知数列{a n}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为S n，则S60=( )A．﹣30 B．﹣60 C．90 D．120考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得S60的值．解答：解：由a n=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1，得，a2=3cosπ+1=﹣2，，a4=7cos2π+1=8，，a6=11cos3π+1=﹣10，，a8=15cos4π+1=16，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．点评：本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题．二、填空题13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于向量夹角的等式解之．解答：解：由（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，得，即8﹣1+2cos＜＞=6，所以cos＜＞=，所以与的夹角为120°；故答案为：120°．点评：本题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法；关键是熟练利用数量积公式．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是60．考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．解答：解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x﹣）6的展开式为为T r+1=C66﹣r•（2x）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•26﹣r•C66﹣r•，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．点评：本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（m∈N*），则f（a5）+f（a6）=3．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），{a n﹣1}以﹣2为首项，2为公比的等比数列．a n=1﹣2n．∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故答案为：3．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．解答：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（ I）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X的所有可能取值为 0，1，2求出概率，得到随机变量X的分布列．（Ⅱ）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出Y～B（5，0.3）．然后求解所求概率．解答：解：（ I）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[（0.001+0.005）×5]×40=12．由题意得随机变量X的所有可能取值为 0，1，2=，，．∴随机变量X的分布列为X 0 1 2P（Ⅱ）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B（5，0.3）．故所求概率为P（Y=2）=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列，以及概率的求法，考查计算能力．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC的所成角为60°，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接B1E，并延长交BC于点F，连接AB1，AF，证明GE∥AB1，然后证明GE∥平面AA1B1B；（2）过点A1作A1O⊥AB，垂足为O，连接OC，以O为原点，分别以OC，OB，OA为x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，平面B1GE的一个法向量，平面ABC 的一个法向量，即可求解二面角的余弦函数值．解答：解：（1）证明：连接B1E，并延长交BC于点F，连接AB1，AF，∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱，∴BC∥B1C1，∴△EFB～△EB1C1，，∴，∴，∴F是BC的中点．∵点G是△ABC的重心，∴，∴GE∥AB1，∴GE∥平面AA1B1B；（2）证明：过点A1作A1O⊥AB，垂足为O，连接OC，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴A1O⊥底面ABC，∴∠A1AB=60°，∵AA1=2，∴AO=1，∵AB=2，∴点O是AB 的中点，又∵点G是正三角形ABC的重心∴点G在OC上，∴OC⊥AB，∵A1O⊥底面ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC，以O为原点，分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，由题意可得：A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），A1（0，0，），B1（0，2，），C1（），，∴，∴，∴，设=（x，y，z）是平面B1GE的一个法向量，则令，则，∴，由（1）知是平面ABC的一个法向量，设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角为θ，则有：．点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，利用==bc=r，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a，c，b即可得出．（2）由满足∥，∥，•=0，可得直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．利用根与系数的关系可得：==，把﹣代入上述可得：可得=，可得||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．即可得出．解答：解：（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，∵，∴．==bc=r=，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a=4，c=2，b=2．（2）∵满足∥，∥，•=0，∴直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=6+8=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴==，把﹣代入上述可得：可得=，∴||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．∴||+||=，∵t＞1，∴，∴||+||∈．指数可得：||+||的取值范围是．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣1时，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通过求导，根据导数符号即可判断出f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论a的取值：a=0时，容易得出满足题意；a＞0时，会发现函数x2+ax在（0，+∞）上单调递增，让＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx，从而这种情况不存在；当a＜0时，通过求导，容易判断出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，从而判断出f（x）的最小值f （x0），再由条件f（x）便可得到x0∈（0，e），并根据f′（x0）=0，可求出，从而求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得x∈（0，+∞）；当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）；（II）①当a=0时，f（x）=x2＞0，显然符合题意；②当a＞0时，当时；f（x）＜1+a+alnx，不符合题意；③当a＜0时，则；对于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x0∈（0，+∞），使得；即f′（x0）=0；∴0＜x＜x0时，f′（x）＜0，x＞x0时，f′（x）＞0；∴f（x）min=f（x0）===；∵，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；∴0＜x0＜e；由得，；设y=，y′=；∴函数在（0，e）上单调递减；∴；综上所述，实数a的取值范围．点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，判别式的取值和一元二次方程根的关系，由韦达定理判断一元二次方程根的符号，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，函数单调性定义的运用．四.选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；（Ⅱ）求线段EB的长．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．（Ⅱ）由BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．解答：（Ⅰ）证明：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．（Ⅱ）解：BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD⇒⇒BC==⇒=⇒=⇒=⇒BE=．点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．五.选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x′，y′），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入，消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度．解答：解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′，并且，消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3，所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2=12；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB|=4﹣2=2．点评：本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线．五.选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，画出直线y=4，数形结合求得不等式f（x）≤4的解集．（Ⅱ）由条件求得（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：由于直线y=4和函数f（x）的图象交于点（0，4）、（2，4），故不等式不等式f（x）≤4的解集为[0，2]．（Ⅱ）由 f（x）=|x﹣1+a|，可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|．由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|，当且仅当（2x﹣1）•（x﹣a）≤0时，取等号．故有（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0．当a=时，可得x=，故x的范围为{}；当a＞时，可得≤x≤a，故x的范围为[，a]；当a＜时，可得a≤x≤，故x的范围为[a，]．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

山西省太原市2015年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文史
类）
一、选择题1、复数
i
i 12i
A 1i
B
1i
C
1i
D
1考点：复数的运算答案：A 2、已知集合B
A x y y
B x y
x A
则,,12
（）
]1,(A )
,
0[B
)
1,0(C
]
1,0[D 考点：集和答案：D
3、在单调递增的等差数列
n a 中，若14
23
,43,1a a a a 则（）
1A 0
B
4
1C
2
1D
考点：等差数列答案：B
4、某袋中有编号为654321、、、、、的6个小球（小球除编号外完全相同）
，甲先从袋中摸出一
个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，则甲、乙两人所摸出的球的编号不同的概
率是（
）
5
1A
6
1B
6
5C
D
36
35考点：概率答案：C
5、某程序框图如右图所示，若输出的
57S ，则判断框内应为（
）
?6k A ?5k B ?
4k
C ?
3k
D 考点：程序算法答案：C
开始
1,1
S k 输出S
结束
1
k k 2S
S k
否
是。

山西省2015年中考模拟考试一模名校联考数学试题考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分共18分） 2015、2、101．13-的倒数是A ．13B ．3-C ．3D ． 13-2． 下列计算正确的是 A ．()623a a -=- B ．222()ab a b -=- C ．235325a a a += D ．336a a a =÷3．地球与月球的平均距离大约为384000千米．将数384000用科学记数法表示为 A ．60.38410⨯B ．63.8410⨯C ．53.8410⨯D ．338410⨯4．已知一元二次方程的两根分别是3和－5，则这个一元二次方程是A ．x 2－2x+15=0B ．x 2+2x －15=0C ．x 2－x －6=0D ．x 2－2x －15=0 5．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=32，那么tanB 的值是 A ．25B ．35 C ．552 D ．326．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，且关于x一元二次方程20ax bx c m ++-=有实数根，下列结论： ①abc ＞0；②24b ac -＞0；③m ＞2- 其中，正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（每小题3分共30分）：7．使式子有意义的x 的取值范围是 ．8．一组数据3、－4、1、－2的极差为 ． 9．因式分解：a 3－a ＝_____________．10．一个圆锥的侧面积是6π，母线长为3，则此圆锥的底面半径为 ． 11．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，如果∠AOC +∠ABC =90°，那么∠ADC 的度数为 ．（第11题）（第12题） （第13题）(第5题)(第6题)12．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为等腰三角形的概率是 ．13．如图，AB 为半圆的直径，且AB=3，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．14．Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=9，点G 是△ABC 的重心，则CG 的长为 ． 15．抛物线2y x =-沿y 轴向上平移若干个单位长度后，新抛物线与x 轴的两个交点和顶点构成等腰直角三角形，则新抛物线的解析式为 ． 16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE∥AC，若S △DEC ：S △ADC =1：3，则S △BDE ：S △ACD = .三、解答题（共72分）17．(本题12分)计算： (1)21()4sin 60tan 452--- 21)218．(本题8分)先化简，再求值：22111121x x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--+⎝⎭，其中1x =19．(本题8分)作为某市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对2014年九月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；(2)用(1)中的平均数估计九月份(30天)共租车多少万车次； (3)市政府在公共自行车建设项目中共投入7650万元，若 2014年 各月份的租车量与九月份的租车量基本相同，每车次平均收入租 车费0．1元，请估计2014年租车费收入占总投入的百分率．20．(本题8分)(1)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．(2)在你所作的图中，①AB与⊙O的位置关系是______；(直接写出答案)②若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．21．(本题10分)在一个不透明的箱子里，装有2个红球和2个黄球，它们除了颜色外均相同．(1)随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？(2)小明、小亮都想去观看足球比赛，但是只有一张门票，他们决定通过摸球游戏确定谁去．规则如下：随机地从该箱子里同时取出2个球，若两球颜色相同，小明去；若两球颜色不同，小亮去．这个游戏公平吗？请你用树状图或列表的方法，帮小明和小亮进行分析．22．(本题10分)我国深潜器目前最大的深潜极限为7062.68m，某天深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C 的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B 点，此时测得海底沉船C 的俯角为60°。

山西省太原市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项巾，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1﹣2i）z=5（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在象限为( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∃x0∈R，sinx0＜0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞03．已知=（1，﹣2），=（x，2），且∥，则||=( )A．B．C．10 D．54．已知sina+cosa=，a．则tana=( )A．﹣1 B．﹣C．D．15．执行如图所示的程序框图，若a=7．则输出的S=( )A．B．C．D．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为( )A．4 πB．2 πC．D．7．已知△ABC中，cosA=，BC=4，则AB=( )A．5 B．4 C．3 D．28．已知点A（﹣1.0），B（1，0），若圆（x﹣2）2+y2=r2上存在点P．使得∠APB=90°，则实数r的取值范围为( )A．（1，3）B．C．（1，2]D．9．已知函数f（x）的导函数在（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在上的图象可能是( )A．B．C．D．10．已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d 的直线共有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条11．下列不等式正确的是( )A．sin1＜2sin B．3sin＜sin1C．sin1＜3sin D．2sin12．已知F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F1，的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF2|，∠F1AF2=90°，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=__________．14．已知实数x，y满足条件，则最小值为__________．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=na n a n+1（n∈N*），则a n=__________．16．已知是函数f（x）的导函数，若f（x）在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．巳知公比q＞0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=7．数列{b n}中b1=0，b3=1 （Ⅰ）若数列{a n+b n}是等差数列，求a n，b n（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求数列{b n}的前n项和T n．18．某网络广告A公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站拓展广告业务，为此A公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量n（单位：万次），整理后得到如图茎叶图，已知A公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考量选择．（I）请说明A公司应选择哪个网站；（Ⅱ）现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下：选定网站的日访问量n（单位：万次）A公司的付费标准（单位：元/日）n＜25 50025≤n≤35 700n＞35 1000求A公司每月（按30天计）应付给选定网站的费用S．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若BD与平面PBC的所成角为30°，求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．20．已知动点A在椭圆C：（a＞b＞0）上，动点B在直线x=﹣2上，且满足（O为坐标原点），椭圆C上点到两焦点距离之和为4（I）求椭圆C方程．（Ⅱ）求|AB|取最小值时点A的坐标．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2）（I）求a的取值范围；（Ⅱ）判断与a的大小关系，并证明你的结论．选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：AB+AC=．&lt;FONT size=3&gt;&lt;SPAN style=&quot;FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri&quot;&gt;选修&lt;/SPAN&gt;&lt;SPANlang=EN-US&gt;4-4&lt;/SPAN&gt;&lt;SPAN style=&quot;FONT-FAMILY: 宋体;mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri&quot;&gt;；坐标系与参数方程&lt;/SPAN&gt;&lt;/FONT&gt;23．已知平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣1，﹣2）的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M．N（I）求曲线C和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求实数a的值．选修4-5;不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．山西省太原市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项巾，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1﹣2i）z=5（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在象限为( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．解答：解：由（1﹣2i）z=5，则．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，2）．位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∃x0∈R，sinx0＜0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．取，则=﹣1＜0，即可判断出真假；B．取x0=，则=﹣＜0，即可判断出真假；C．取x≤0，则x3≤0，即可判断出真假；D．∀x∈R，2x＞0，即可判断出真假．解答：解：A．取，则=﹣1＜0，因此是真命题；B．取x0=，则=﹣＜0，因此是真命题；C．取x≤0，则x3≤0，因此是假命题；D．∀x∈R，2x＞0，是真命题．故选：C．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知=（1，﹣2），=（x，2），且∥，则||=( )A．B．C．10 D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量平行的坐标关系求出x，然后求模．解答：解：因为=（1，﹣2），=（x，2），且∥，所以﹣2x+2=0，解得x=1；所以=（1，2），则||=；故选：B．点评：本题考查了向量平行的坐标关系以及由向量的坐标求模；属于基础题．4．已知sina+cosa=，a．则tana=( )A．﹣1 B．﹣C．D．1考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα=0，联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．解答：解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=2，即1+2sinαcosα=2，∴2sinαcosα=1，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=0，即sinα﹣cosα=0②，①+②得：2sinα=，即sinα=cosα=，则tanα=1，故选：D．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．执行如图所示的程序框图，若a=7．则输出的S=( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当满足条件8＞7，退出循环，即可求出S的值．解答：解：若a=7，模拟执行程序框图，可得第一次循环：1＞7不成立，S=1+，k=2，第二次循环：2＞7不成立，S=1++，k=3，第三次循环：3＞7不成立，S=1+++，k=4，第四次循环：4＞7不成立，S=1++++，k=5，第五次循环：5＞7不成立，S=1+++++，k=6，第六次循环：6＞7不成立，S=1+++++，k=7，第七次循环：7＞7不成立，S=1+++++，k=8，满足条件8＞7，退出循环，输出S=1+++++=1+1﹣=2﹣=，故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为( )A．4πB．2 πC．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是由圆柱切割得到，其底面为半径为2，圆心角为的扇形，高为3；从而求体积．解答：解：由三视图可知，该几何体是由圆柱切割得到，其底面为半径为2，圆心角为的扇形，高为3；故其体积V=××22×3=2π；故选B．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．已知△ABC中，cosA=，BC=4，则AB=( )A．5 B．4 C．3 D．2考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先求得sinA和sinB的值，利用两角和公式求得sinC的值，最后利用正弦定理求得AB．解答：解：∵cosA=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=1，由正弦定理得=，即=，∴AB=5，故选A．点评：本题主要考查了正弦定理的运用和两角和公式的应用．注重了对学生基础公式灵活运用的考查．8．已知点A（﹣1.0），B（1，0），若圆（x﹣2）2+y2=r2上存在点P．使得∠APB=90°，则实数r的取值范围为( )A．（1，3）B．C．（1，2]D．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为2，由两圆相交的性质可得|r﹣1|＜2＜|r+1|，由此求得r的范围．解答：解：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆（x﹣2）2+y2=r2有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为2，故|r﹣1|＜2＜|r+1|，求得1＜r＜3，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知函数f（x）的导函数在（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在上的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：对于A、B、C，由图象得出在a处与b处切线的斜率不等，即可排除答案；对于D，由图象得出是中心对称图形，对称中心是直线x=与原函数的交点，由此判断命题成立．解答：解：函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，∴导函数的图象无增减性，或在直线x=的两侧单调性相反；对于A，由图知，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，∴导函数图象不关于直线x=对称，A不成立；对于B，由图知，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，∴导函数图象不关于直线x=对称，B不成立；对于C，由图知，在a处切线的斜率最小，在b处切线的斜率最大，其导函数图象不关于直线x=对称，C不成立；对于D，由图知，原函数是中心对称函数，对称中心在直线x=与原函数图象的交点处，∴导函数图象关于直线x=对称，D成立．故选D．点评：本题考查了利用函数的导数判断函数增减性的应用问题，也考查了函数导数的几何意义的应用问题，是基础题目．10．已知平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d 的直线共有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据面面平行的性质定理以及直线与直线的距离解答．解答：解：因为平面α∥β，且α与β的距离为d（d＞0）．m⊂α．则在β内与直线m的距离为2d的直线是过直线m与平面β相交的平面得到的交线，而距离m为2d的有两条，故在β内与直线m的距离为2d的直线共有2条；故选C．点评：本题考查了面面平行的性质定理的运用；关键是将问题转化为线线距离问题．11．下列不等式正确的是( )A．sin1＜2sin B．3sin＜sin1C．sin1＜3sin D．2sin考点：利用导数研究函数的单调性；任意角的三角函数的定义．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：构造函数y=xsinx，利用导数判断函数的单调性，然后判断选项．解答：解：设y=xsinx，x∈（0，），则y′=sinx+xcosx，∵x∈（0，），y′＞0恒成立，所以函数y=xsinx，x∈（0，），是增函数．所以sin1＜2sin．故选：A．点评：本题考查函数的单调性的应用，构造法前解本题，是解题的关键．12．已知F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F1，的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF2|，∠F1AF2=90°，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设|AF2|=t，利用勾股定理及双曲线的定义可得t=c，利用离心率的计算公式计算即可．解答：解：设|AF2|=t，由题可知：|AB|=t，|BF2|=t，则|AF1|==，由双曲线的定义可知：t﹣=t+﹣t，解得：t=c，∴|AF1|=c，∵|AF2|﹣|AF1|=2a，即（﹣）c=2a，∴e===，故选：B．点评：本题考查考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14．已知实数x，y满足条件，则最小值为1．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由的几何意义结合两点求斜率得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，=，由图可知，可行域中只有A（1，0）与（0，﹣1）连线的斜率最小为1．故答案为：1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=na n a n+1（n∈N*），则a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过a n﹣a n+1=na n a n+1（n∈N*），可得﹣=n，并项相加可得=，进而可得结论．解答：解：∵a n﹣a n+1=na n a n+1（n∈N*），∴=﹣=n，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+=（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1+=+1=，∴a n=，故答案为：．点评：本题考查求数列的通项，利用并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知是函数f（x）的导函数，若f（x）在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由函数f（x）的导函数f′（x）=，且f（x）在x=a处取到极大值，在x=a的左右两边左增右减，即左侧导数为正，右侧导数为负，将其转化为不等式，解不等式求a解答：解：由f（x）在x=a处取得极大值可知，当x＜a时，f′（x）＞0，即f′（x）=＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，即f′（x）=＜0，即存在x∈（b，a），使得a（x+1）（x﹣a）＞0，且存在x∈（a，c），使得a（x+1）（x﹣a）＜0 若a＞0时，a（x+1）（x﹣a）＞0的解集为（a，+∞）或者（﹣∞，﹣1），故不合题意若a＜0时，故有（x+1）（x﹣a）＜0，当a＞﹣1，其解集为（﹣1，a），此时b=﹣1，且（x+1）（x﹣a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（﹣∞，﹣1），此时c∈R，故﹣1＜a＜0符合题意若a＜﹣1，显然不合题意，综上讨论知，符合条件的a的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查知道函数单调性与极值，由极值判断方法将条件转化为不等式求解出参数了值范围的能力，本题思维量与运算量都比较大，综合性强，需要分类讨论，综合判断，请多分析此题的逻辑结构．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．巳知公比q＞0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=7．数列{b n}中b1=0，b3=1 （Ⅰ）若数列{a n+b n}是等差数列，求a n，b n（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过S3=7可得q=2，从而a n=2n﹣1，利用a1+b1=1、a3+b3=5可得数列{a n+b n}的公差d=2，计算即得结论；（Ⅱ）通过结合法、利用等差、等比数列的求和公式，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意可知：S3=1+q+q2=7，解得：q=﹣3或q=2，∵公比q＞0，∴q=2，∴a n=2n﹣1，∴a1+b1=1，a3+b3=5，∴数列{a n+b n}的公差d=2，∴a n+b n=2n﹣1，∴b n=2n﹣1﹣a n=（2n﹣1）﹣2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=（2n﹣1）﹣2n﹣1，∴T n=（1﹣20）+（3﹣21）+（5﹣22）+…+=﹣=n2﹣2n+1．点评：本题考查求数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某网络广告A公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站拓展广告业务，为此A公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量n（单位：万次），整理后得到如图茎叶图，已知A公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考量选择．（I）请说明A公司应选择哪个网站；（Ⅱ）现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下：选定网站的日访问量n（单位：万次）A公司的付费标准（单位：元/日）n＜25 50025≤n≤35 700n＞35 1000求A公司每月（按30天计）应付给选定网站的费用S．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，由此判断A公司应选择的网站；（Ⅱ）根据茎叶图计算乙网站的日访问量对应的概率，利用表中数据计算公司每月应支付的费用．解答：解：（I）根据茎叶图，得；=（15+24+28+25+30+36+30+32+35+45）÷10=30，==58；=（18+25+22+24+32+38+30+36+35+40）÷10=30，==49.8；∵=，＞，∴A公司应选择乙网站；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A公司应选择乙网站，根据题意得，乙网站日访问量n＜25的概率为0.3，日访问量25≤n≤35的概率为0.4，日访问量n＞35的概率为0.3，∴A公司每月应付给乙网站的费用为S=30×（00×0.3+700×0.4+1000×0.3）=21900元．点评：本题考查了求平均数与方差的应用问题，也考查了统计数表的应用问题，是基础题目．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若BD与平面PBC的所成角为30°，求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥PB．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角P﹣BC﹣D的余弦值解答：证明：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠DAB=3AD2，从而BD2+AD2=AB2，∴∠ADB=90°，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AD，∴AD⊥平面PBD．故AD⊥PB．（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥BD，∵AD⊥BD，∴以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=a，DP=b，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），P（0，0，b）．∴=（0，a，0），=（﹣a，0，0），=（0，a，﹣b），设=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量，则，令y=，则x=0，z=，则=（0，，），∵BD与平面PBC的所成角为30°，∴与的夹角为60°，∴cos＜，＞===cos60°=，整理得b=a，∴=（0，，1），设=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，则，令y=，则x=1，z=1，即=（1，，1）∴cos＜，＞==，即二面角P﹣BC﹣D的余弦值是﹣．点评：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20．已知动点A在椭圆C：（a＞b＞0）上，动点B在直线x=﹣2上，且满足（O为坐标原点），椭圆C上点到两焦点距离之和为4（I）求椭圆C方程．（Ⅱ）求|AB|取最小值时点A的坐标．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）通过，计算即得结论；（Ⅱ）通过设A（x0，y0），B（﹣2，t）（t∈R），利用可得t=，利用两点间距离公式及基本不等式计算即得结论．解答：解：（I）根据题意可得，解得：a2=12，b2=3，∴椭圆C方程为：；（Ⅱ）由题意可设A（x0，y0），B（﹣2，t）（t∈R），∵，∴=﹣2x0+ty0=0，即t=，∵动点A在椭圆C上，∴，∴=3﹣，∴|AB|====，当且仅当=，即y0=±2时，|AB|取最小值，∵=3﹣，∴x0=±，∴点A的坐标为（，﹣2），（，2），（﹣，﹣2）或（﹣，2）．点评：本题考查求椭圆的方程，考查求线段的最小值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2）（I）求a的取值范围；（Ⅱ）判断与a的大小关系，并证明你的结论．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性、极值情况，利用数形结合可知，只需极大值为正即可；（Ⅱ）结论是＜a，转化为ln＞，令t=，t＞1，转化为证明lnt﹣1+＞0在（1，+∞）恒成立，构造函数，求出函数小值即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由题意得x1，x2是方程lnx=ax两个不相等正实数根．令g（x）=lnx，h（x）=ax（x＞0），①当a≤0时，g（x）和h（x）最多只有一个交点，所以a≤0不合题意，②a＞0时，设y=kx（k＞0）是g（x）=lnx的切线，切点为（x0，y0），则k=．所以，所以x0=e，k==所以0＜a＜，综上可得a的取值范围是（0，）．（Ⅱ）结论是＜a，证明如下；由题意可得，则a=，只需要证明＞，即证明ln＞=令t=，t＞1，则需要证明lnt＞，则需要证明lnt﹣1+＞0，令k（t）=lnt﹣1+，t＞1，则k′（t）=﹣=＞0，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，∴k（t）＞k（1）=0，∴＜a．点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：AB+AC=．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=BC，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=AB和DO=AC，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立，即可证明结论．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=AB，OD为△ABC的中位线，得DO=AC，∴DE2=DM•AC+DM•AB，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB，∴AB+AC=．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．&lt;FONT size=3&gt;&lt;SPAN style=&quot;FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri&quot;&gt;选修&lt;/SPAN&gt;&lt;SPANlang=EN-US&gt;4-4&lt;/SPAN&gt;&lt;SPAN style=&quot;FONT-FAMILY: 宋体;mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri&quot;&gt;；坐标系与参数方程&lt;/SPAN&gt;&lt;/FONT&gt;23．已知平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣1，﹣2）的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M．N（I）求曲线C和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求实数a的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（Ⅱ）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．解答：解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程：x﹣y﹣1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），∴曲线C的普通方程：y2=2ax；（Ⅱ）∵y2=2ax；∴x≥0，设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），则|PM|=t1，|PN|=t2，∵|PM|=|MN|，∴|PM|=|PN|，∴t2=2t1，将（t为参数），代人y2=2ax得t2﹣2（a+2）t+4（a+2）=0，∴t1+t2=2（a+2），t1t2=4（a+2），∵t2=2t1，∴a=．点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．选修4-5;不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=2时，求不等式即|x+2|+|x+|＞3，再利用对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+|＞3．而|x+2|+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣2、﹣对应点的距离之和，而0和﹣3对应点到﹣、对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣，或x＞}．（Ⅱ）证明：∵f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a||﹣+|=（|m+a|+|﹣+a|）+（|m+|+|﹣+|）≥2（|m+|）=2（|m|+||）≥4，∴要证得结论成立．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．。

太 原 五 中2014—2015学年度第一学期月考(12月)高 三 数 学（理）一、选择题：本大题共12题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（ ） A ．MN R = B ．R N C M R = C ．R M C N R = D ．M N M =2、已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q 且),,2,1(0n i b i =>,若111111,b a b a ==，则（ ）A.66b a >B.66b a =C.66b a <D.66b a <或66b a >3、函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是 图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= （ ）A ．10B ． 8C ．87D ．474、设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 5、已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A ．0 B ．4π-C ．2πD ．π6、已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．767、△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0O A A B A C ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )A B ． 3 C ． D ．-3 8、已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．19、函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有，则a 的取值范围( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B. )1,21[C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,8510、现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②① 11、已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,1]-B ．[5,0]-C ．[5,1]-D ．[2,0]-12、 若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为（ ）A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、填空题：本大题共4个小题,每小题4分，共16分 13、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 14、已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 15、当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为16、ABC D OE F已知=++，且与的夹角为︒60=，则〉〈,cos 等于 三、解答题：本大题共4小题,共48分。