中考数学模拟试卷（3月份）、选择题在-1 , 0,- 2, 1四个数中，最小的数是（若关于x的一元二次方程X2- x - m=0的一个根是x=1,则m的值是（为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（5 4 5 3A. 0.7 X 10B. 7X 10C. 7X 10D. 70X 104.下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（5•下列计算正确的是（S乙2=0.15 , S丙2=0.25 , S丁2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（10 .如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合,为斜边的中点.现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（A.-1 B. 0 C.- 2 D. 12.A. 1B. 0C.- 1D. 23.A. a3- a2=aB. a3?a2=a6 3 2C. a 十a =a 3、2 5D.( a ) =a6.在下列的四个几何体中, 其主视图与俯视图相同的是（M圆柱 B.\圆锥C.三棱柱 D.匸Z .... A1 __ 2）7.在某次射击训练中，甲、4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是— 2S 甲=0.35 ,A. 甲B.乙C.丙D. 丁8. 一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（A. 六边形B.七边形C.八边形D.九边形9. 用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（A. 4B. 3C. 2D. 1)A. 1个B. 2个A.乙、丙、丁球BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）12. 已知二次函数y= （x - h）2+1 （h为常数），在自变量的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A. 1 或-5B.- 1 或5C. 1 或-3D. 1 或3二、填空题13. ___________________________________ 二次根式7—i中，a的取值范围是.14. 计算（「+「）（「-.—）的结果等于__________ .15. 如图，直线AB, CD被直线AE所截，AB// CD, / A=110°，则/ 1= 度.216 .分解因式：ab - 4ab+4a= _____ .17. 如图，△ ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为—（结果保留n ）.(2 一，—2) D. ( 2,—2 T)D是厶ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,连接BE,过点D作DE _ AFBC ^FEx的值满足K x w 3的情况下，与其对应(1，-嘉F C -11.如图，点18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBC［的边0B在x轴上，反比例函数(x>0)的图象经三、解答题(共8小题，满分78分)19. ( 3- n ) 0+4sin45 ° - T+|1 - T|(2)解分式方程：〔-2二"一.20. 如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°,然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°,求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)21•将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：米). A组:5.25 < X V6.25 ; B 组：6.25 < x V7.25 ; C 组：7.25 < x V8.25 ; D组：8.25 < x V9.25 ; E 组：9.25 < x v 10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(不完整).规定x>6.25为合格，x> 9.25为优秀.(1)这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？(2)这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？(3)要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他A的坐标为(4, 2).则点F的坐标是F,点俩至少有1人被选中的概率.频数〔字生人数)22.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球如图，点形ABCD外卜一点，点F是线段AE上一点，△ EBF是等腰直角三角形，其中/ EBF=90，连接(1) 求证：△ ABF^A CBE(2) 判断△ CEF的形状，并说明理由.24 .如图，AB是O O的直径，CD与O O相切于点C,与AB的延长线交于点D, DEL AD且与长线交于点E.(1) 求证：DC=DE(2) 若tan / CAB= , AB=3 求BD的长.(1, 0), B( 2, 0), C (2, 1), D( 1, 1)，那么点0(0, 0)到正方形ABCD勺距离为1 .(1) 如果O P是以(3, 4)为圆心，1为半径的圆，那么点0( 0, 0)到O P的距离为_____ ;(2) 求点M( 3, 0)到直线y=2x+1的距离；(3) 如果点N( 0, a)到直线y=2x+1的距离为3,求a的值.E正方CE CF.AC的延Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A个点的距离的最小值称为点1-------- 、01X226.如图1抛物线y= - x+bx+c经过A (- 1, 0), B( 4, 0)两点，与y轴相交于点C,连结BC, 点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线I，交直线BC于点G交x轴于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF丄直线I , F为垂足，当点P运动到何处时，以P, C, F为顶点的三角形与△ OBC相似？并求出此时点P的坐标；(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC PB,请问△ PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.参考答案与试题解析一、选择题1.在-1，0，- 2，1四个数中，最小的数是( )A.- 1B. 0C.- 2D. 1【考点】有理数大小比较.【分析】根据在有理数中：负数v 0 v正数；两个负数，绝对值大的反而小；据此可求得最小的数.【解答】解：在-1，0. - 2，1四个数中，最小的数是- 2；故选C.【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数v O v正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．22 .若关于x的一元二次方程x - x - m=0的一个根是x=1,则m的值是（）A. 1B. 0C.- 1D. 2【考点】一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可.【解答】解：把x=1代入X2- x - m=0得1 - 1 - m=0解得m=0.故选B.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.3. 为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000 辆，用科学记数法表示70000 是（）A. 0.7 X 105B. 7X 104C. 7X 105D. 70X 103【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a x 10n的形式，其中1 w|a| v 10, n为整数.确定n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.【解答】解：70000=7X 104，故选：B.4下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（）【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a x 10n的形式，其中1 w|a| v 10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】中心对称图形；轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形;第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形.故选：B.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念•轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.5. 下列计算正确的是( )八 3 2 f 3八26_ 3 2 ^/3\25A、a - a =a B. a ?a =a C. a 十a =a D.( a ) =a【考点】同底数幕的除法；合并同类项；同底数幕的乘法；幕的乘方与积的乘方.【分析】根据同底数幕的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变; 同底数幕的乘法，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.【解答】解：A、a3* a2=a,故错误；B、a3?a2=a5，故错误;C、正确；D( a3) 2=a6，故错误;故选：C.【点评】本题考查同底数幕的除法，合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.6. 在下列的四个几何体中，其主视图与俯视图相同的是( )【考点】简单几何体的三视图.【分析】分别找到从上面看和正面看所得到的图形即可.【解答】解：A 、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；B 、 圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；C 、 三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项错误D 球的主视图是圆形，俯视图是圆，故此选项正确； 故选：D.【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置.7 .在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁 4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S 甲2=0.35 ,S 乙2=0.15 , S 丙2=0.25 , S 丁 2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ）A .甲B.乙C.丙D. 丁【考点】方差.【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度 越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可.2 2 2 2【解答】解：••• S 甲=0.35 , S 乙=0.15 , S 丙=0.25 , S 丁 =0.27 , S 乙 2v S 丙 2< S 丁 2< S 甲 2,A .圆锥c.球•••这4人中成绩发挥最稳定的是乙.故选：B.【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练在我，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.& 一个多边形内角和是1080°,则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形【考点】多边形内角与外角.【分析】设这个多边形是n （n》3）边形，则它的内角和是（n-2）180°,得到关于n的方程组, 就可以求出边数n.【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n - 2）x 180°=1080°,• n=8,所以该多边形的边数是八边形.故选C.【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.9.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【考点】圆锥的计算.【专题】计算题.【分析】设圆锥的底面圆的半径为r,禾U用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥120-7T *6底面的周长和弧长公式得到 2 n r= • 「，然后解方程求出r即可.loU【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r,120^*6根据题意得2 n r= 一：，解得r=2 ,即这个圆锥的底面圆的半径是2cm.故选C.【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.10 .如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点.现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A.（1）B.（1 ,-二）C . （2 ",- 2）D. （2,—2 二）【考点】坐标与图形变化-旋转.【专题】计算题.【分析】根据题意画出△ AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△ COD连接OP OQ过Q作QM L y 轴，由旋转的性质得到/ POQ=12° ,根据AP=BP=OP=2得到/ AOP度数，进而求出/ MOG度数为30°, 在直角三角形OMC中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标.【解答】解：根据题意画出△ AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△ COD连接OP, OQ过Q作QM 丄y 轴，•••/ POQ=120 , •/ AP=OP•••/ BAO=Z POA=30 ,:丄 MOQ=30 ,在Rt△ OMC中 , OQ=OP=2• MQ=1 OM==,则P的对应点Q的坐标为（1, - ,_）,故选B【点评】此题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论.【解答】解：••• DE// BC DF// BE.匸 匕 △ABC 匸 匸 匸 工 ---•「-」 ••…-■:，•选项A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段 成比例定理相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.12. 已知二次函数 y= （x - h ） 2+1 （h 为常数），在自变量 x的值满足 K x < 3的情况下, 的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A . 1 或-5 B .- 1 或 5 C. 1 或-3 D. 1 或 3 【考点】二次函数的最值.【分析】由解析式可知该函数在 x=h 时取得最小值1、x > h 时，y 随x 的增大而增大、当 y 随x 的增大而减小，根据 K x < 3时，函数的最小值为 5可分如下两种情况：①若h <x=1时，y 取得最小值5;②若 K x w 3v h ,当x=3时，y 取得最小值5，分别列出关于 解即可. 【解答】解：•当 x > h 时，y 随x 的增大而增大，当x v h 时，y 随x 的增大而减小， •①若h v 1w x w 3, x=1时，y 取得最小值 5,可得：（1 - h ） 2+仁5,11.如图，点 D 是厶ABC 的边AB 上的一点，过点 D 作BC 的平行线交AC 于点E ,连接 过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ,则下列结论错误的是（AF【考点】 相似三角形的判定与性质.与其对应x v h 时， 1w x w 3, h 的方程求【分析】 BDEC解得：h=- 1或h=3 （舍）；②若K x w 3v h,当x=3时，y取得最小值5,2可得：（3-h）+仁5,解得：h=5或h=1 （舍）.综上，h的值为-1或5，故选：B.【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.二、填空题13. 二次根式需二［中，a的取值范围是a》1 .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.【解答】解：由题意得，a- 1> 0,解得，a> 1,故答案为：a> 1.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.14. 计算（"F+二）（.=-「）的结果等于 2 .【考点】二次根式的混合运算.【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得.【解答】解：原式=（C 2-（=）2=5 - 3=2,故答案为：2.【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键.15. 如图，直线AB, CD被直线AE所截，AB// CD, / A=110°，则/ 1= 70 度.【考点】平行线的性质.【分析】根据平行线的性质求出/ AFD,根据对顶角相等得出即可.•••/ A+Z AFD=180 ,•••/ A=110°,•Z AFD=70 ,•Z 1 = Z AFD=70 ,故答案为：70.【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出Z 注意：两直线平行，同旁内角互补.16 .分解因式：ab2- 4ab+4a= a (b - 2) 2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.2 2【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式： a - 2ab+b = (a- b) 2o【解答】解：ab - 4ab+4a=a (b2- 4b+4) — (提取公因式)=a (b - 2) 2.--(完全平方公式)故答案为：a ( b- 2) 2.【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底.AFD的度数是解此题的关键,17.如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 2.5 n （结果保留n ）A n B【考点】扇形面积的计算.【分析】根据等边三角形的性质以及勾股定理得出△COF △ COM4 ABC以及扇形FOM的面积，进而得出答案.【解答】解：过点O作OE! AC于点E,连接FO, MQ•/△ ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，••• CDL AB,Z ACD=/ BCD=30 , AC=BC=AB=4•••/ F0D2 DOM=6° , AD=BD=2• CD=2 二，则CO=DO==,•图中影阴部分的面积为：4二-2乂三丄-n =2.5二-故答案为：2.5 . " - n .【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及三角形面积公式和等边三角形的性质等知识，正确分割图形求出是解题关键.18.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBC［的边0B在x轴上，反比例函数y」(x>0)的图象经xS扇形OFM T过菱形对角线的交点A且与边BC交于点F,点A的坐标为(4, 2).则点F的坐标是 (6,1)_【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质.【分析】将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM L x轴于点M过点C作CN L x轴于点N,首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点坐标即可.【解答】解：•••反比例函数y二二的图象经过点A, A点的坐标为(4, 2),Xk=2X 4=8,•••反比例函数的解析式为y ;x过点A作AM L x轴于点M,过点C作CN!x轴于点N,由题意可知，CN=2AM=4 ON=2OM=8•••点C的坐标为C (8, 4),设OB=x 则BC=x, BN=8- x,在Rt△ CNB中，x2-( 8- x) 2=42,解得：x=5,•••点B的坐标为B (5, 0),设直线BC的函数表达式为y=ax+b,•••直线BC过点B (5, 0), C (8, 4),A 90•直线BC的解析式为y= x-；I 4 20尸EV 根据题意得方程组‘8 I.T•••点F 在第一象限， •••点F的坐标为(6「)故答案为：(6, J)3【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知 识，解题的关键是能够根据点 C 的坐标确定点B 的坐标，从而确定直线的解析式.三、解答题(共8小题，满分78分) 19.( 1)( 3 - n ) °+4sin45 ° - 二+|1 - 二| (2)解分式方程：二-2二"..【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幕；特殊角的三角函数值. 【专题】计算题；实数；分式方程及应用.【分析】(1)原式利用零指数幕法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及绝对值的代数意 义计算即可得到结果；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：(1)原式=1+2 7 -2二+二-仁—； (2)去分母得:x - 2x+6=4, 解得：x=2,经检验：x=2是原分式方程的根.【点评】此题考查了实数的运算，以及解分式方程，解分式方程注意要检验.解此方程组得：或"y=-820.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°,然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°,求楼EF的高度.（结果精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】计算题.【分析】设楼EF的高为x米，由EG=EF- GF表示出EG根据题意得到EF与AF垂直，DC与AF垂直, BA 与AF垂直，BD与EF垂直，在直角三角形EGD中，利用锐角三角函数定义表示出DG在直角三角形EGB 中,禾U用锐角三角函数定义表示出BG根据BG- DG表示出DB,即为CA根据CA的长列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果.【解答】解：设楼EF的高为x米，可得EG=E- GF=（x - 1.5 ）米，依题意得：EF丄AF, DCL AF, BAL AF, BDL EF (设垂足为G),在Rt△ EGD中, DG= 一= (x - 1.5 )米，在Rt △ EGB中, BG=二(x- 1.5 )米,tanZEDG 3 “••• CA=DB=BG DG=(x - 1.5 )米，3•/ CA=12米，(x- 1.5 ) =12,C1解得：x=6 一+1.5 沁 11.9 , 则楼EF的高度约为11.9米.【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.21•将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）. A组:5.25 < X V6.25 ; B 组：6.25 < x V7.25 ; C 组：7.25 < x V8.25 ; D组：8.25 < x V9.25 ; E 组：9.25< x v 10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）.规定x>6.25为合格，x> 9.25为优秀.（1） 这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？ （2） 这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出 2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他 俩至少有1人被选中的概率.频数（学生人数）A15 ................【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数.【分析】（1）根据题意可得：这部分男生共有： 5十10%=50（人）；又由只有 A 组男人成绩不合格，可得：合格人数为：50 - 5=45 （人）； （2）由这50人男生的成绩由低到高分组排序，A 组有5人，B 组有10人，C 组有15人，D 组有15人，E 组有5人，可得：成绩的中位数落在 C 组；又由D 组有15人，占15- 50=30%,即可求得：对 应的圆心角为：360°X 30%=108 ；（3）首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有 1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解：（1 ）••• A 组占10%有5人, •••这部分男生共有：5- 10%=50（人）； •••只有A 组男人成绩不合格， •合格人数为：50 - 5=45 （人）；（2）v C 组占30% 共有人数：50X 30%=15（人），B 组有10人，D 组有15人，•••这50人男生的成绩由低到高分组排序， A 组有5人，B 组有10人，C 组有15人，D 组有15人，E 组有5人，•成绩的中位数落在 C 组； •/ D 组有 15 人，占 15- 50=30%, •对应的圆心角为:360°X 30%=108 ；D 组对应的圆心角是多少度?成绩（米〕(3)成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为画树状图得:/Ax /Ax乙h c a b c甲乙b c甲乙ct £甲乙a I•••共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况，14 7•••他俩至少有1人被选中的概率为：…二..U JL V【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及直方图与扇形统计图的知识•用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.22.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球( 2016?贵阳)如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△ EBF是等腰直角三角形，其中/ EBF=90 , 连接CE CF.(1)求证：△ ABF^A CBE(2)判断△ CEF的形状，并说明理由.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.【分析】(1)由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB / ABC=90，再由△ EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF通过角的计算可得出/ ABF=Z CBE利用全等三角形的判定定理SAS即可证出厶ABF^ △ CBE(2)根据△ EBF是等腰直角三角形可得出/ BFE=Z FEB通过角的计算可得出/ AFB=135，再根据全等三角形的性质可得出/ CEB=/ AFB=135，通过角的计算即可得出/ CEF=90，从而得出△CEF 是直角三角形.【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形,••• AB=CB / ABC=90 ,a，b，c.•••△EBF是等腰直角三角形，其中/ EBF=90 ,•BE=BF•••/ ABC- / CBF=Z EBF- / CBF,•••/ ABF=/ CBEr AB=CB在厶ABF和厶CBE中，有.ZABF=ZCBE，,BF=BE•△ABF^A CBE( SAS .(2)解：△ CEF是直角三角形.理由如下：•••△EBF是等腰直角三角形，•/ BFE=/ FEB=45 ,•/ AFB=180 -/ BFE=135 ,又•••△ABF^A CBE•/ CEB=Z AFB=135 ,•/ CEF=/ CEB- / FEB=135 - 45° =90°,•△ CEF是直角三角形.【点评】本题考查了正方形的性质•全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：(1)根据判定定理SAS证明△ ABF^A CBE (2)通过角的计算得出/ CEF=90 .本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键.24 .如图，AB是O O的直径，CD与O O相切于点C,与AB的延长线交于点D, DEL AD且与AC的延长线交于点E.(1) 求证:DC=DE(2) 若tan / CAB=：, AB=3 求BD的长.【考点】切线的性质；勾股定理；解直角三角形.【分析】（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出/DCE 2 E , （2）设 BD=x 贝U AD=AB+BD=3+，0D=0B+BD=1.5+，利用勾股定理得出 【解答】（1）证明：连接0C ••• CD 是O 0的切线， •••/ OCD=90 , •••/ ACO+/ DCE=90 , 又••• ED 丄 AD, EDA=90 , •••/ EAD+Z E=90° , •/ OC=OA •••/ ACO Z EAD 故/ DCE=Z E, • DC=DE(2)解：设 BD=x 贝U AD=AB+BD=3+x OD=OB+BD=1.5+x 在 Rt △ EAD 中,•/ tan Z CAB= , • ED= AD= ( 3+x ),2 2 2由(1)知，DC 巳(3+x )，在 Rt △ OCD 中, O C+CD =D O , 则 1.52+[ 一 (3+x ) ]2= (1.5+x ) 2, 解得：x i =- 3 (舍去)，X 2=1 , 故 BD=1.【点评】此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线 的性质得出/ OCD=90是解题关键.进而得出答案;BD 的长. E25. 设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A (1, 0), B( 2, 0), C (2, 1), D( 1, 1)，那么点0(0, 0)到正方形ABCD勺距离为 1 .(1)如果O P是以(3, 4)为圆心，1为半径的圆，那么点0( 0, 0)到O P的距离为 4 ;(2)求点M( 3, 0)到直线y=2x+1的距离；(3)如果点N( 0, a)到直线y=2x+1的距离为3,求a的值.1----- »01AX【考点】圆的综合题.【分析】(1)根据勾股定理可得点0( 0, 0)到O P的距离；(2)过点M作MH L I，垂足为点H,通过证明厶EO3A MHE由相似三角形的性质可得MH= ,5从而得到点M到直线y=2x+1的距离；(3)分两种情况：N在F点的上边；N在F点的下边；进行讨论先得到EN的长，进一步即可得到 a 的值.【解答】解：(1) OP=：f"=5,点O( 0, 0)到O P的距离为5 - 1=4；故答案为：4；(2)直线y=2x+1记为I，如图1，过点M作MHLl，垂足为点H,设I与x, y轴的交点分别为E, F,则E ( - 一0),••• EF壬.2•/△EOF^A EHM7_.MH ME 日口HH 2 ••-广」，即厂一•• MH=";5•••点M到直线y=2x+1的距离为—.5(3) N在F点的上边，如图2,过点N作NGL I，垂足为点G,•/△EOF^A NGF3 色—]_,即；=4• a=1+3 三;N在F点的下边,同理可得a=1 - 3 -;故a=1±.图1【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，相似三角形的判定和性质，根与判别式的关系，两点间的距离公式，方程思想，分类思想，综合性较强，有一定的难度.226. 如图1抛物线y= - x+bx+c经过A (- 1, 0), B( 4, 0)两点，与y轴相交于点C,连结BC, 点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线I，交直线BC于点G交x轴于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF丄直线I , F为垂足，当点P运动到何处时，以P, C, F为顶点的三角形与△ OBC相似？并求出此时点P的坐标；(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC PB,请问△ PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.坯 * 抵I图1 图2【考点】二次函数综合题.【分析】(1)将点A (- 1，0)，B (4，0)的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；(2)先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△ OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P, C, F为顶点的三角形与△ OBC相似.2 2设点P的坐标为(a, - a +3a+4).则CF=a PF=- a +3a,接下来列出关于a的方程，从而可求得 a 的值，于是可求得点P的坐标；2, 6 )或(4, 0)..贝U OE=a PE=- a 2+3a+4, EB=4- a .(3) 连接 EC.设点 P 的坐标为(a , - a 2+3a+4).贝U OE=a PE=- a 2+3a+4, EB=4- a .然后依据 S^PB(=S 四边形PCEB _S A CEB 列出△ PBC 的面积与a 的函数关系式，从而可求得二角形的最大面积.【解答】解：(1)将点A (- 1, 0) , B (4, 0)的坐标代入函数的表达式得: 解得：b=3, c=4.抛物线的解析式为 y= - X 2+3X +4 .••• OC=OB •••/ CFP=Z COB=90 ,• FC=PF 时，以P , C, F 为顶点的三角形与△ OBC 相似. 设点 P 的坐标为(a , - a 2+3a+4)( a > 0).22贝y CF=a PF=| - a +3a+4 - 4|=|a - 3a| . 2--|a — 3a|=a .解得：a=2, a=4.r-l-b+c=0 -16+4b+c=0--OC=4•••点P 的坐标为(S四边形PCEB= 丄OB?PE丄x 4 (- a2+3a+4), S^ CE J E B?OC丄x 4X( 4- a),2 2 2 2…S A PB=S四边形PCEB_S^CEE=2 (—a +3a+4) 2 (4 —a) =—2a2+8a.•/ a=—2V 0,•••当a=2时，△ PBC的面积S有最大值.••• P (2, 6),A PBC的面积的最大值为&【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键.。
