八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试含解析新版北师大版

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》一、选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．132．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2 B．C．D．4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．27．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED二、填空题（共7小题）9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为cm．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝cm．12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是．15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为cm．三、解答题（共1小题）16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF＝AC．（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．故选：C．2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MC＝AB＝AM＝1.2km．故选：D．3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）A．2 B．C．D．【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，则AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，则BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故选：D．4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，∴BC＝6，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED ＝60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，∴△ACE是等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠B＝∠CED＝30°．故选：C．6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD ﹣MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故选：C．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD ＝2CD即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．二、填空题（共7小题）9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝ 5 ．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB又∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝AC＝5，故答案是：5．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 5 cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝×10＝5cm．故答案为：5．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝ 5 cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD＝AC．【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝×10＝5cm．故答案为：5．12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于8 ．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB＝2DE＝2×5＝10，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝8．故答案为：8．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 2 ．【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．故答案是：2．14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 5 ．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝10，所以，斜边上的中线长＝×10＝5．故答案为：5．15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【解答】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝20cm，∴OP＝10cm，故答案为：10．三、解答题（共1小题）16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF＝AC．（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝AC；（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM＝CM，然后求出CD＝AM+DM，再等量代换即可得解．【解答】（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF＝AC；（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，∴BC＝AM+DM．。

三角形的证明等腰三角形的性质与判定专题一.ABCAB=ACDBCDA=DCBD=BAB ) (,为则∠上一点,且1B(2017·山东滨州中考)如图,在△,中,,的大小为A.40°B.36°C.30°D.25°.DEABCBCADAE. ,,上在△,的边2如图所示,点连接①AB=AC②AD=AE; ;③BD=CE.①②③①③②②③;构成三个命题:;??,以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论①.?; (直接作答)(1)以上三个命题是真命题的为. ),然后证明(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题①②③①③②②③①.?(1)解,??,①②③?(2)证明∵AB=AC,方法一:∴B=C.∠∠AD=AE,又∴ADG=AEG.∠∠∵ADG=B+BADAEG=C+CAE∴BAD=CAE.∠∠∠∠∠∠,,∠∠ABDACEAB=ACBAD=CAEAD=AEABDACE.,,,∠则△∠(SAS),在△≌△与△中∴BD=CE.AABCAG,作△方法二:过点的高∵AB=ACAGBC∴BG=CG.,⊥,AD=AEAGDE∴DG=EG.⊥又,,∵BD=BG-DGCE=CG-GE,,∴BD=CE.等边三角形的性质与判定专题二1 .ABCDABAD=DC=DBB=.ADC△:,在△∠中,求证是30°边上的一点3,且导学号99804031如图,.是等边三角形∵DC=DB,证明∴B=DCB=.)∠30°(等边对等角∠∴ADC=DCB+B=.∠∠∠60°AD=DC∴ADC.60°的等腰三角形是等边三角形)是等边三角形(又有一个角等于,△.ABC==BEC.的度数∠3,是等边三角形,∠1求∠∠4△导学号99804032如图,2∵ABC是等边三角形,解△∴AB=BC=CAABC=BCA=CAB=.∠60°,∠∠∵==∴BAC-=ABC-=BCA-CAF=ABD=BCE.∠∠∠∠3,∠∠∠13,∠即∠∠2∠1∠2ABDBCECAF中,和△在△和△∴ABDBCECAF.△≌△≌△(ASA)∴AD=BE=CFBD=CE=AF.,∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,FD=DE=EF.即∴DEF.∴FED=.是等边三角形∠60°△∴BEC=-FED=-=.180°∠1180°60°∠20°.ABCDCEBCEAECDPBD,和等边△交在直线于点的同一侧5等边△导学号99804033如图所示,,ACQPQC. :交△于点为等边三角形,求证证明ABCDCEBC=ACDC=ECACB=DCE=60°,∠,在等边△,和等边△∠中,ACB+ACD=DCE+ACDBCD=ACE.所以∠,∠即∠∠∠∠BCDACE中,和△在△BCDACE.(SAS)所以△≌△=.2所以∠1∠ACB=DCE=60°∠因为∠ACD=-ACB-DCE=.所以∠180°∠∠60° 2BCQ=ACP.所以∠∠ACPBCQ,和△在△中BCQACP.CQ=CP.≌△所以所以△QCP=PQC.60°,所以△为等边三角形又因为∠直角三角形的性质与判定专题三2.ABCCDABCD=ADBD.ABC. :△,在△·中,是直角三角形是求证边上的高,6且如图所示222ACDAC=AD+CD.中△,由勾股定理得证明在Rt222BCDBC=BD+CD.中△,由勾股定理得在Rt222222222.AD+BDAD+CDBD+BD+BD=AB=AD∴AC=+BC+=AD·2)(2∴ABC.是直角三角形△.PABCPAPBPCBP为边作,,是等边三角形,内的一点,连接以7034导学号99804如图所示,点PBQ=PB=BQCQPA∶PB∶PC=∶∶PQ.PQC.∠是直角三角形60°,且求证,连接4,若:5,连接△3∵PA∶PB∶PC=∶∶5,34证明∴PA=aPB=aPC=a.3,,5设4PBQ∵PB=BQ=aPBQ=60°,,,4且∠在△中∴PBQ.∴PQ=a.是等边三角形△4222222PQC∵PQ+QC=a+a=a=PC∴PQC.9,在△,中16是直角三角形25△线段垂直平分线与角平分线性质的应用专题四. ) D顶点的距离都相等的点是这个三角形的)到三角形三个8((2016·贵州毕节中考 A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点.ABCAB=ACBAC=DEACBE=aAE=b,,的垂直平分线中,∠,,36°,若是线段,9(2017·湖南益阳中考)如图在△abABC a+b . 含,2的代数式表示△3的周长为则用.ABCACB=ABDEACEBCF,的延长线于点交于点交,若∠,Rt,10如图所示在△中∠90°,的垂直平分线F=DE=BE.求30°,1,的长 3ABFD∵ACB=解⊥∠,90°,.FDB=∴ACB=∠90°∠.F=∴A=∵F=∠30°,30°∠∠EACABDE的垂直平分线于点交又,.EBA=A=∴∠∠30°.BE=DE=∴DBE22Rt△,中ADF.EDFACABC.ADDEAB:,于点导学号99804035如图,已知是△于点的角平分线,⊥⊥求证11EF.垂直平分DE=DF.AC∴DF∵ADBACDEAB平分∠,,证明,⊥⊥.DEF∴在的垂直平分线上点.ADE∴ADFAD=ADADEADFDE=DF≌Rt和Rt△中,△,,△Rt(HL)△在Rt AE=AF.∴.EF∴A点的垂直平分线上在.AD∵∴EF的垂直平分线两点确定一条直线是线段,直线 420XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

第一章三角形的证明回顾与思考（2）习题含答案一、选择题：1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或125.如图，已知∠E=∠F,∠B=∠C，AE=AF,结论:(1)EM=FN;(2)CD=DN;(3)∠FAN=∠EAM;(4) △CAN≌△ABM.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题:6.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .7.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.8.如图，已知∠BAC=120°,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB= °.9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠C AB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_____.第6题图第5题图第3题图第2题图第8题图第9题图10.在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是. 三、解答题:11.如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合），MD ⊥BC ，且交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MA=MD .12.如图所示，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连接DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B ，E 在C ，D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°, AC =2AB ,点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．第11题图第12题图第13题图14.如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.第14题图15.已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．第15题图答案1.B 解析：只有②④正确.2.A 解析：∵∠BAC =90°，AB =3，AC =4， ∴2222 34 5BC AB AC =+=+=，∴ BC 边上的高=123455⨯÷=. ∵ AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB ，AC 的距离相等，设为h ， 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =， 1121123 2725ABDS BD ∆=⨯⨯=⨯，解得157BD =．故选A ． 3.B 解析：因为，所以. 因为，所以.又因为，所以，所以所以4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C 解析：因为， 所以△≌△（），所以，所以， 即故③正确. 又因为，所以△≌△（ASA ）， 所以，故①正确. 由△≌△，知， 又因为， 所以△≌△，故④正确.由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：①③④.6.100° 解析:如图所示，由AB =AC ，AO 平分∠BAC ，得AO 所在直线是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB=OA=OC ，所以∠OAB =∠OBA =×50°=25°，得∠BOA=∠COA=1802525130,︒-︒-︒=︒∠BOC=360°-∠BOA -∠COA =100°.所以∠OBC=∠OCB=1801002︒-︒ =40°. 由于EO=EC ，故∠OEC =180°-2×40°=100°.7.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.8. 60︒ 解析:∵ ∠BAC=120︒，AB=AC ，∴ ∠B=∠C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒ ∵ AC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴ AD=CD .∴ 30,C DAC ∠=∠=︒∴ 303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒9.20 cm10.4∶3 解析：如图所示，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， 垂足分别为点M 和点N .∵ AD 平分∠BAC ，∴ DM ＝DN .∵ AB ×DM ，AC ×DN ，∴ .11.证明：∵MD ⊥BC ,∠B =90°，∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D.又∵ AD 为∠BAC 的平分线，∴ ∠BAD =∠MAD .∴ ∠D =∠BAD .∴ MA =MD .12.解：因为△ABD 和△CDE 都是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠， 即∠∠.在△和△中，因为所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，2，故.13.解：，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.14.证明：∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠EAC＝∠B.又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD＝CE.15.证明：∵，∴∠∠．∵于点，∴∠∠．∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.。

北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是【】A．15° B．25° C．30° D．10°2.如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A. 35°B. 65°C. 55°D. 25°3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长是( )A. 6cmB. 4cmC. 10cmD. 以上都不对4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A. 30°B. 36°C. 50°D. 60°5.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2.5cmD. 2cm8.如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A. 1cmB. 2cmC. √3cmD. 3cm9.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）（A）30°（B）60°（C）30°或150°（D）60°或120°10.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（）A. 21B. 18C. 13D. 1511.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1612.如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A. 1B. √2C. √3D. 213.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD、BD与BC14.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A. 20B. 12C. 14D. 1315.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）∠B=2∠C，且AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD，17.如图，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD、CE三等分∠ACB.（1）求∠B的度数.（2）求证：CE是AB边上的中线，且12CE AB．18.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：(1) AD的长；(2) 四边形ABCD的周长．19.已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．三、填空题C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.21.如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2√2，△ABC的面积为7，则AB=__．22.如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则AC= ．23.如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=__ cm．24.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为__．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝________．26.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC,则△ABC的底角的度数为________.27.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为____．参考答案1.A。

第一章三角形的证明专项测试题(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知，的平分线交于点．若，则点到的距离是（）.A.B.C.D.2、在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则为（）.A.B.C.D. 无法确定3、下列说法中，不正确的是（）.A. 线段有1条对称轴B. 等边三角形有条对称轴C. 角只有1条对称轴D. 底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴4、如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（）A.B. 平分C.D. 垂直平分5、若点在线段的垂直平分线上，，则( ).A.B. 无法确定C.D.6、如图，是内一点，且点到的距离，则的依据是（）A.B.C.D.7、如图，中，，，则（）A.B.C.D.8、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点9、如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A.B.C.D.10、某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为，下方是一个直径为，高为的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A.B.C.D.11、如图，若要用“”证明，则还需补充条件（）A.B. 或C. 且D. 以上都不对12、使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等13、已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为．则直角三角形的面积为（）A.B.C.D.14、如图，在中，，平分，于．如果，那么等于（）A.B.C.D.15、如图，中、平分、，过作直线平行于，交、于、，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系是（）A. 不能确定B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_________________________，这个逆命题是________命题.17、如图，已知PE⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF，则点P的位置在________上.18、如图，在中，于，点为的中点，，则线段的长等于．19、如图，在中，，平分，交于点，若，则．20、如图，点在直线上，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点；③作直线，连结，，若，则的大小为度．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点.求证：.22、如图，在中，，是边上的中线，于点，求证：．23、如图，中，，是的高，，求的长．第一章三角形的证明专项测试题(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知，的平分线交于点．若，则点到的距离是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：过点作，交于点，则的长度即为点到直线的距离.，，是的平分线，且，，，已知，.即点到的距离为.故正确答案应选：.2、在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则为（）.A.B.C.D. 无法确定【答案】B【解析】解：如图所示.，且平分，，是等腰三角形，，，，，而，且，，解得.故正确答案是：.3、下列说法中，不正确的是（）.A. 线段有1条对称轴B. 等边三角形有条对称轴C. 角只有1条对称轴D. 底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴【答案】A【解析】解：线段本身所在的直线为线段的条对称轴，线段的垂直平分线为线段的另1条对称轴，所以线段有条对称轴，本说法错误；等边三角形的条高线（或条角平分线）为等边三角形的条对称轴，本说法正确；角的平分线把角一分为二，故角的平分线只有条，本说法正确；底与腰不相等的三角形，顶角的平分线把三角形一分为二，所以底与腰不相等的三角形只有条对称轴，本说法正确.故正确的答案是：线段有1条对称轴.4、如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（）A.B. 平分C.D. 垂直平分【答案】D【解析】解：平分，，，，第一选项正确；在和中，，，，，故第二、三选项正确；由等腰三角形三线合一的性质，垂直平分，不一定垂直平分，故本选项错误5、若点在线段的垂直平分线上，，则( ).A.B. 无法确定C.D.【答案】C【解析】解：因为线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等，所以，所以.故答案为：.6、如图，是内一点，且点到的距离，则的依据是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，又，为公共边，．7、如图，中，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，．8、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点【答案】D【解析】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．9、如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，，为的中点，．10、某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为，下方是一个直径为，高为的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图，圆桶放置的角度与水平线的夹角为，依题意得是一个斜边为的等腰直角三角形，此三角形中斜边上的高为斜边的一半，即，水深至少应为．11、如图，若要用“”证明，则还需补充条件（）A.B. 或C. 且D. 以上都不对【答案】B【解析】解：从图中可知为和的斜边，也是公共边．根据“”定理，证明，还需补充一对直角边相等，即或．12、使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等【答案】D【解析】解：一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故错误；两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故错误；一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故错误；两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故正确．13、已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为．则直角三角形的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，是斜边上的中线，，，，由勾股定理得：，，，．14、如图，在中，，平分，于．如果，那么等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，，平分，，．15、如图，中、平分、，过作直线平行于，交、于、，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系是（）A. 不能确定B.C.D.【答案】D【解析】解：由平分得，，，，，，是等腰三角形，，同理可得，，（是等腰三角形），．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_________________________，这个逆命题是________命题.【答案】如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真. 【解析】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”．它是真命题，可用证明，得到两角相等．17、如图，已知PE⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF，则点P的位置在________上.【答案】的平分线【解析】解：由题意知，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故答案为：的平分线.18、如图，在中，于，点为的中点，，则线段的长等于．【答案】8【解析】解：于，点为的中点，，在中，．19、如图，在中，，平分，交于点，若，则．【答案】14【解析】解：，，平分，，．20、如图，点在直线上，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点；③作直线，连结，，若，则的大小为度．【答案】40【解析】解：由题意可得：垂直平分，则，，故．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点.求证：.【解析】证明：...在和中.，，..，.（三线合一）.22、如图，在中，，是边上的中线，于点，求证：．【解析】证明：，是边上的中线，，，，．23、如图，中，，是的高，，求的长．【解析】解：如图，在中，，是高，，，在直角中，，在直角中，．的长为．。

2019-2020学年八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试含解析新版北师大版一、选择题（每小题3分，共30分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm【答案】C【解析】根据勾股定理可以得出：斜边长==10cm.故选：C．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是灵活应用勾股定理的公式计算.2. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选D．考点：作图—复杂作图3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°【答案】A【解析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．“点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．4. 如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为（）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm【答案】C【解析】试题分析：根据中垂线的性质可得：BN=AN，则△BCN的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC=7cm，根据AC=4cm可得：BC=7－4=3cm.考点：中垂线的性质5. 如图，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m【答案】D【解析】如图所示，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8，设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17．所以旗杆的高度为17m．6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（）A. 若a＝b，则a2＝b2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等【答案】C【解析】根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.故选：C.7. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】试题解析：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B．8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为（）A. 10B. 7C. 5D. 4【答案】C【解析】作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC⋅EF=×5×2=5，故选C.9. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A. 18B. 3C. 12D. 2【答案】D【解析】过点D作DF⊥EC于点F，利用正三角形的性质得出CF=1，BF=3，再利用勾股定理求出DF==，则可得BD=．故选：D.点睛：此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出DF的长是解题关键．10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5【答案】A【解析】试题分析：作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=CF=4，然后根据勾股定理求得AF=3，连接AP，根据△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积解出答案即可.考点：轴对称问题二、填空题（每小题4分，共32分）11. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_________.【答案】面积相等的三角形全等【解析】试题分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形．考点：互逆命题12. 若一个三角形的三边长分别为3 m，4 m，5 m，那么这个三角形的面积为___.【答案】6 m2【解析】根据勾股定理的逆定理，可由三边的长判断出此三角形是直角三角形，3cm、4cm是三角形的两直角边，所以根据三角形的面积公式可得面积为3×4÷2=6m2.故答案为：6m2.13. 如图，点D，C，A在同一条直线上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE的度数为＿.【答案】20°【解析】利用三角形的三角的比∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°，根据三角形的内角和为180°得3x+5x+10x=180，解得x=10，求出三角的度数∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°，可得∠BCN=180°-100°=80°，再由△MNC≌△ABC得到∠ACB=∠MCN=100°，因此可求得∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°.故答案为：20°.点睛：本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝＿.【答案】2【解析】试题分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质视频15. 如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】2.9【解析】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.考点：解直角三角形.17. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是＿.【答案】4∶3【解析】试题分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．考点：角平分线的性质．18. 如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……依次画下去，直到得到第n条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n＝__.【答案】9【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故选B．考点：等腰三角形的性质．视频三、解答题（共58分）19. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E，那么△ACE是等腰三角形吗？请证明你的结论.【答案】△ACE是等腰三角形，证明见解析.【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠BAD =∠E，∠CAD=∠ACE；然后结合角平分线的性质和等量代换推知∠E=∠ACE，故△ACE是等腰三角形．试题解析：△ACE是等腰三角形．证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.所以AE=AC，即△ACE是等腰三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定．判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.【答案】CD的长为3.4.试题解析：因为DE是AC的垂直平分线，所以CD＝AD.所以AB＝BD+AD＝BD+CD.设CD＝x，则BD＝5－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+(5－x)2，解得x＝3.4.故CD的长为3.4.21. 如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，求CD的长．【答案】CD的长是5 cm．【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出∠CAD的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质可求解.试题解析：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD是AB边上的高，所以∠D=90°.所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．22. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．试题解析：证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=BD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）OE＝2.【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OC，根利用勾股定理求出AB的长，据三角形的面积公式即可得出结论．试题解析：（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M.因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.因为S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.点睛：本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．24. 按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC. 思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿，且CE＝CD，可知＿；（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＝＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿.请写出完整的证明过程.【答案】（1）等边，60°，△DCE是等边三角形；（2）AC，BE；（3）△BED≌△ACD，证明见解析.【解析】试题分析：（1）连接BD，根据等边三角形判定推出即可；求出∠DCE=60°，得到等边三角形DCE 即可；（3）根据等边三角形性质推出AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，推出∠ADC=∠BDE，证△ADC≌△BDE即可；（4）由（3）即可得出答案．试题解析：（1）（1）解：连接BD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵∠BCD=120°，∴∠DCE=180°-∠BCD=180°-120°=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，故答案为：等边，60°，△DCE是等边三角形．（2）证明：∵等边三角形ABD和DCE，∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，∴△ADC≌△BDE，∴AC=BE=BC+CE，故答案为：BE，AC．（3）△BED≌△ACD证明过程如下：连接AC，BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.附加题（15分，不计入总分）25. 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；（2）利用（1）的图形，分别求得每一个等腰三角形的周长．试题解析：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AD 是△AAA 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ．下列结论：①AF DF =；②::ABD ACD SS AB AC =；③BAF ACF ∠=∠；④BF AC ⊥．其中命题一定成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，在等腰Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，DE BC ⊥，若10BC =cm ，则DEC 的周长为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3、如图，在△AAA 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点P 在边AC 上，则PDB △周长的最小值等于（ ）．A ．AC AB + B ．ABC ．AC BC +D ．AC4、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（ ）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°5、如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣B ． 5CD ．20﹣6、如图，在ABC 中，AC BC =，30B ∠=︒，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，E 为BC 延长线上一点，且.PA PE =有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒；②PAE △为等边三角形；③PD CE CP =-；④.ABC AECP S S =四边形其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②C ．①②④D ．③④7、如图，在△AAA 中， ∠AAA 和∠AAA 的平分线相交于点A ，过点A 作AA ∥AA 交AA 于A ，交AA 于A ，过点A 作AA ⊥AA 于A ，下列四个结论：①AA =AA +AA ；② 1902BOC A ∠=+∠； ③点A 到△AAA 各边的距离相等；④设AA =A ， AE AF n +=，则A AAAA =AA ．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．69、下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长的是（）A．5，13，12 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，610、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．19第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则∠EDF＝_____度．2、如图1，△AA1A1是边长为2的等边三角形；如图2，取AA1的中点A2，画等边△AA2A2，连接A1A2；如图3，取AA2的中点3C，画等边△AA3A3，连接A2A3；如图4，取AA3的中点A4，画等边△AA4A4，连接A3A4，则A3A4的长为________．按照此规律一直画下去，则A A A A+1的长为________（用含A的式子表示）．……3、若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm．4、△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F且DF＝CD，则∠ABC＝______．5、如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，已知AD=4，则D到BC边的距离为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．已知：如图1，射线OA．求作：∠AOB，使∠AOB＝30°．作法：如图2，①在射线OA上任取一点C；②分别以O，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；∴ ∠AOB就是所求的角．根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD＝30°．∴∠AOB就是所求的角．2、如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得√A−4+√4−A有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．（1）求点B的坐标；（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；②当OD最小时，求△ACD的边长．3、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．4、“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P 旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝13∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝13∠AOB．5、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据垂直平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可判断①②；根据∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，即可判断③；根据∠BAF不一定为90°，则∠ACF不一定为90°，即可判断④．【详解】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，∴AF=DF，故①正确；∴∠ADF=∠DAF，过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，∴DH=DG，∠BAD=∠CAD∵1=2ABDS AB DH⋅△，1=2ACDS AC DG⋅△，∴12=12ABDACDAB DHS ABS ACAC DG⋅=⋅△△，故②正确；∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，∴∠BAF=∠ACF，故③正确；∵∠BAF不一定为90°，∴∠ACF不一定为90°，∴AF与BC不一定垂直，故④错误，故选C．【点睛】本题主要考擦了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．2、B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE AD=，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵BD BDAD DE=⎧⎨=⎩，()Rt ABD Rt EBD HL∴∆∆≌，∴AB=BE，∴△DEC的周长=DE+CD+CE =AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周长是10cm．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC 的周长=BC 是解题的关键．3、C【分析】作点B 关于AC 的对称点H ，连接HP 、HD ，由轴对称的性质可知BP HP =，由题意易得2AB BC BH ==，2AB BD =，则有BC BD =，然后由三角形周长公式可知PBD C BP PD BD HP PD BD =++=++，要使其最小，则需满足H 、P 、D 三点共线即可，进而问题可求解．【详解】解：作点B 关于AC 的对称点H ，连接HP 、HD ，如图所示：∴BP HP =，BC HC =，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴2AB BC BH ==，∵点D 为边AB 的中点，∴2AB BD =，∴BC BD =，∵ABC HBD ∠=∠，∴ABC HBD ≌（SAS ），∴AC HD =，∵PBDC BP PD BD HP PD BD =++=++，要使其最小，则需满足H 、P 、D 三点共线，即BP PD +的最小值为HD 的长，∴PBD △的周长最小值为AC BC +；故选C ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．4、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5、A【分析】过点A 作AF ⊥BC 于点F ，由题意易得2BF CF ==，再根据点D ，E 是边BC 的两个黄金分割点，可得2BE CD ===，根据勾股定理可得AF =28DE DF ==，然后根据三角形的面积计算公式进行求解．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图所示：∵3AB AC ==，4BC =，∴2BF CF ==，∴在Rt △AFB 中，AF∵点D ，E 是边BC 的两个黄金分割点，∴2BE CD BC ===，∵4EF BE BF =-=，4DF CD CF =-=，∴DF =EF ，∴28DE DF ==，∴()1181022ADE S DE AF ===-△ 故选：A【点睛】 本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．6、C【分析】连接BP ，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA +∠PAE ＝120°，可得60,APE 可判断②；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，由“SAS ”可证△P ′AC ≌△∠EAC ，延长PD 至P '，使,PD P D 则点P 关于AB 的对称点P ′，连接P ′A ，根据对称性质即可判断③；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，由三角形的面积的和差关系可判断④．【详解】解：如图，连接BP ，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂线，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正确；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝18060120,APE而,60=PA PE∴△PAE是等边三角形，故②正确；PD P D则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，如图，延长PD至P'，使,∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE 是等边三角形，∴AE ＝AP ，∴AE ＝AP ′，∵∠CAD ＝∠CAP +∠PAD ＝30°，∴2∠CAP +2∠PAD ＝60°，∴∠CAP +∠PAD +∠P ′AD ＝60°﹣∠PAC ，60,EAC PAC∴∠P ′AC ＝∠EAC ，∵AC ＝AC ，∴△P ′AC ≌△∠EAC （SAS ），∴CP ′＝CE ，∴CE ＝CP ′＝CP +PD +DP ′＝CP +2PD ， ∴2CE CP PD ． 故③错误；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等边三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝12AB＝AD，∵S△ACB＝12CB×AF＝12（EC+CP）×AF＝12EC×AF+12CP×AD＝S四边形AECP，∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．所以其中正确的结论是①②④．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．7、C【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和三角形的内角和等于180°，可得1902BOC A∠=+∠；再由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O和EF∥BC，可得∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到EF BE CF=+；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点O到ABC各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=12mn，即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=90°-12∠A∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A，故②正确；在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，又∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，即点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；∵AE+AF=n，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE×OM+12AF×OD=12OD×（AE+AF）=12mn，故④错误；综上所述，正确的结论有3个．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．8、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有3个点，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．9、D【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A、22251213+=，故A不符合题意．B、222+=，故B不符合题意．6810C、222+=，故C不符合题意．91215D、222+≠，故D符合题意．346故选：D．【点睛】本题主要是考查了勾股定理的逆定理，熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形，是解决本题的关键．10、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．二、填空题1、68【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，FD＝FC，则∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，从而可以得到∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，再由∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），即可得到∠EDF＝∠A＝68°．【详解】解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，∴EB＝ED，FD＝FC，∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∴∠EDF＝∠A＝68°．故答案为：68．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．2【分析】过点C2作C2D⊥B1B2于点D，根据锐角三角函数的定义得出B1D的长，进而得出B1B2的长，同理可得出B2B3的长，找出规律即可得出结论．【详解】解：如图（2），过点C2作C2D⊥B1B2于点D，∵△AB1C1是边长为1的等边三角形，C2是AB1的中点，∴B1C2=B2C2=1．2∵△AB2C2是等边三角形，∴∠B1C2B2=120°，B1C2=B2C2，∴∠DB1C1=∠DB2C2=30°，∴B1D=B1C2•cos30°=12∴B1B2=2B1D同理可得，B2B3，B3B4∴B n B n+1【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B1B2的长，找出规律是解答此题的关键．3、9或7.5或9【分析】分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．【详解】解：若9cm为底时，腰长应该是12（24-9）=7.5cm，故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，∵7.5+7.5=15＞9，故能围成等腰三角形；若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，∵6+9=15＞9，∴以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，综上所述，腰长是9cm或7.5cm，故答案为：9或7.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．4、45°或135°【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当ABC ∆为锐角三角形时；②当ABC ∆为钝角三角形时；作出相应图形，然后利用全等三角形的判定证明三角形全等，根据其性质及各角直角的等量关系即可得．【详解】解：①如图所示：当ABC ∆为锐角三角形时，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C CBE ∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，∴CBE CAD ∠=∠，在AAAA 与ADC ∆中，CBE CAD BDF ADC DF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AAAA ≅AAAA ，∴BD AD =，∵90ADB ∠=︒，∴45ABC DAB ∠=∠=︒；②如图所示：当ABC ∆为钝角三角形时，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C CAD ∠+∠=︒，90C CBE ∠+∠=︒，∴CBE CAD ∠=∠，∵DBF CBE ∠=∠，∴DBF CAD ∠=∠，在AAAA 与ADC ∆中，DBF CAD BDF ADC DF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AAAA ≅AAAA ，∴BD AD =，∵90ADB ∠=︒，∴45ABD DAB ∠=∠=︒，18045135ABC ∠=︒-︒=︒，综合①②可得：ABC ∠为45︒或135︒，故答案为：45︒或135︒．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据题意进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．5、4【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据BD平分∠ABC性质得出AD=DE=4即可．【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查点到直线的距离，角平分线性质，掌握点到直线的距离，角平分线性质是解题关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）60°，SSS，全等三角形对应角相等【分析】（1）根据题意，③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；则∠AOB就是所求的角．（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可【详解】（1）补全作图如下，（2）证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD∠＝30°．∴∠AOB就是所求的角．故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．2、（1）B的坐标为2)；（2）①见解析，120ABD︒∠=；②△ACD的边长为【详解】（1）利用非负数的性质求解即可．（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上．【解答】解：（1有意义∴40 40nn-≥⎧⎨-≥⎩，∴n＝4，∴等边△OAB的边长为4，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，∵∠BOC＝30°，∴122BC OB==，∴AA=√AA2−AA2=2√3，点B的坐标为2)．（2）①△ACD如图所画：∵△AOB与△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．②∵∠ABD＝120°，∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，∴点B的坐标为2)，∴OD=在Rt△AOD中，根据勾股定理AD=∴等边△ACD的边长为【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3、见解析．【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD =12∠BAC ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E =12∠BAC ，从而得到∠BAD =∠E ，即可证明AD ∥CE ．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC ，∵AE =AC ，∴∠E =∠ACE ，∵∠E +∠ACE =∠BAC ，∴∠E =12∠BAC ，∴∠BAD =∠E ，∴AD ∥CE ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．4、见解析【分析】由OA OC PC ==，得出,POC AOC 为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得2CAO APB ∠=∠，再次利用外角的性质及等量代换得3AOB APB ∠=∠，即可证明．【详解】解：OA OC PC ==，,POC AOC ∴为等腰三角形，,APB COP ACO CAO ∴∠=∠∠=∠，由外角的性质得：2ACO APB COP APB ∠=∠+∠=∠，2CAO APB ∠=∠，再由外角的性质得：AOB APB CAO ∠=∠+∠，3AOB APB ∴∠=∠，13APB AOB ∴∠=∠． 【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．5、见解析【分析】过A 作AF ⊥BC 于F ，根据等腰三角形的性质得出BF =CF ，DF =EF ，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴BF =CF ，DF =EF ，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．。

第一章三角形的证明1.2直角三角形1. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是()A. 一组边对应相等B. 两组直角边对应相等C. 两组锐角对应相等D. 一组锐角对应相等【答案】B【解析】A、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，现已知一组边对应相等，要判定两直角三角形全等，还需要一组角对应相等地或是另一组边对应相等才能进行判定，故选项错误；B、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误，故选B．2. 如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()A. AC＝ADB. AB＝ABC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD【答案】A【解析】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；C答案符合AAS，证明两三角形全等，故不正确；D答案是符合AAS，能证明两三角形全等，故不正确.故选：A.3. 如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是()A. OA＝OBB. E是AC的中点C. △AOE≌△BODD. AE＝BD【解析】∵∠C=∠C=90°，∴△ACD和△BCE是直角三角形，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），∴∠B=∠A，CB=CA，∵CD=CE，∴AE=BD，故D正确，在△AOE和△BOD中，∴△AOE≌△BOD（AAS），故C正确，∴AO=OB，故A正确，AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，故B错误，故选B．4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是_____.【答案】45°【解析】试题分析：根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，再根据等腰直角三角形的性质可求∠ABC=∠BAD=45°．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°,∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE(对顶角相等)∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF(AAS)，又∵∠ADB＝90°∴∠ABC=∠BAD=45°.故答案为：45.5. 如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A、C作a的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_____.【答案】【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠ABE，∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE=BF，BE=CF，∴AB=．故答案是2．考点：1.正方形的性质2.全等三角形的判定与性质3.勾股定理．6. 如图，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A 且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝_____时，才能使△ABC≌△PQA.【答案】5或10【解析】试题分析：要使△ABC≌△PQA，根据全等三角形的性质可得AP=CA，则说明当P运动到C时，利用直角三角形全等的判定HL可证△ABC≌△PQA．∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，又∵AP=CB=5，PQ=AB，∴△ABC≌△PQA．点P运动到C点时，△ABC≌△PQA．∵AX⊥AC，∠C=90°，∴∠BCA=∠QAP =90°，又∵AP=CA=10，PQA=AB，∴△ABC≌△PQA．考点：直角三角形全等的判定点评：直角三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件HL，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故选：B．点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．8. 在两个直角三角形中，若有一对角(非直角)相等，一对边相等，则两个直角三角形()A. 一定全等B. 一定不全等C. 不一定全等D. 以上都不是【答案】C【解析】如果有一对角(非直角)对应相等，一对边对应相等，题中还隐含着一对直角相等，则这两个三角形一定全等，若不是对应相等，则不一定全等，故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，两角一边如果对应相等可以判定两个三角形全等，否则则不一定全等，解题的关键一定要看是否对应.9. 如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为_____.【答案】110°【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且CA=CA，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA，∵∠BAC=35°，∠ABC=90°，∴∠BCA=55°，∴∠BCD=2∠BCA=110°，故答案为：110．10. 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.【答案】见解析【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．试题解析：证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.【答案】见解析【解析】试题分析：证明Rt△ACD≌Rt△AED，利用全等三角形的性质即可得.试题解析：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠BAC.12. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相匀于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．【答案】20(米)【解析】试题分析：已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，再由垂直的定义可得∠CDO=90°，可得OB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，即可根据ASA定理判定△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质即可得CD=AB=20m．试题解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD=OB，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD=AB=20（m）考点：全等三角形的判定及性质.13. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．考点：全等三角形的判定与性质．14. 如图，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF＝EF.【答案】见解析【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定，结合图形得出即可；试题解析：(1) 图中有3对全等三角形有Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；(2)连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，∴BC＝DE，在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质的应用，结合图形选择恰当的方法以及适当添加辅助线是解题的关键.。

北师大新版八年级下册数学第1章三角形的证明单元测试卷一．选择题1．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条2．下列说法不正确的是（）A．有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．二条直角边对应相等的两个直角三角形全等D．有斜边对应相等的两个直角三角形全等3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（）A．∠A＞∠1+∠2B．∠A＝∠1+∠2C．∠A＜∠1+∠2D．无法确定4．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（）A．AB＝AC B．AB＝BC C．AC＝BC D．∠B＝∠C5．点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A．BC的中线上B．BC边的垂直平分线上C．BC边的高线上D．∠A的平分线所在的直线上6．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，则图中的等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．57．如图，AB＝AC，∠A＝36°，∠1＝∠2，∠ADE＝∠EDB，则图中等腰三角形有（）A．3B．4C．5D．68．等边三角形的三条高把这个三角形分成（）个直角三角形．A．8B．10C．11D．129．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．下列命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．﹣4是有理数C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为线段BC延长线上一点，过P点分别作AB，AC的垂线段PD，PE，过B点作AC的垂线段BF，若PE＝3，PD＝9，则BF＝．12．已知OC是∠AOB的平分线，直线MN∥OB，分别交OA，OC于M，N，则△MON是三角形．13．如图，已知等边△ABC，AC＝AD，且AC⊥AD，垂足为点A，则∠BEC的度数为．。

第一章 三角形的证明 回顾与思考（1）习题含答案一、填空题：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米. 2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D .若DC =7，则D 到AB 的距离是 .4. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；二、选择题：6. 等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A. 60°;B. 90°;C.120°;D.150°7. 如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（ ）A. B. C. D.前面A,B,C 三个答案都对 8.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形第18题图 CBA 第7题图第4题图第5题图 第1题图D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形9. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点10. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于点D若BC=a，则AD等于（）A.21aB.23a C.23a D.3a三、解答题11. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC的度数（2）AD和CD的长.12.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.13. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．答案1.40米。

2022-2023学年八年级数学下册第一章《三角形的证明》试卷一、单选题1．在ABC 中，AB c =，AC b =，BC a =，下列不能判定ABC 为直角三角形的是（）A ．A B C∠∠=∠+B ．()()2c b c b a +-=C ．23a =，24b =，25c =D ．::5:12:13a b c =2．如图，AD 是BAC 的平分线，DE AB ⊥于点E ，32ABC S =△，4DE =，9AB =，则AC 的长是（）A ．5B ．6C ．7D ．83．如图所示，若AB CD ∥，AP CP 、分别平分BAC ∠和ACD PE AC ∠⊥，于E ，且3cm PE =，则AB 与CD 之间的距离为（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm4．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠为（）A ．60︒B ．50︒C ．80︒D ．70︒5．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点,A E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC 和等边CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．则下列结论：①AD BE =；②PQ AE ∥；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒．其中正确的是（）A ．①②③④⑤B ．①②③C ．①②③④D ．①②③⑤6．如图，在ABC 中，已知ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于D ，交AC 于E ，若8AB AC +=，则ADE V 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．127．如图，在第一个1ABA △中，120B AB A B ∠=︒=，，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C △；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是（）A ．11802n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭︒B ．11202n -⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭C ．1802n ⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭D ．1202n ⎛⎫⋅︒ ⎪⎝⎭8．如图，在ABC 中，AB AC =，AD AB ⊥交BC 于点D ，120BAC ∠=︒，5AD =，则BC 的长为（）A ．7.5B ．10C ．15D ．209．如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，点E 是AC 边的中点，点P 是AD 上的一个动点，当PC PE +最小时，CPE ∠的度数是（）A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图，ABC 中，AC BC =，点M ，N 分别在AC ，AB 上，将AMN 沿直线MN 翻折，点A 的对应点D 恰好落在BC 边上（不含端点B ，C ），下列结论：①直线MN 垂直平分AD ；②CDM BND ∠=∠；③AD CD =；④若M 是AC 中点，则AD BC ⊥．其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题11．在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，DE BC ⊥于点E ，如果1DE =，ABC 的面积是6，则ABC 周长是__________．12．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，4AB =，3AC =，则BD 的长是______．13．如图，DE 是ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8 5.AC BC ==，则BEC 的周长是___________．14．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，40B ∠=︒，将其折叠使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为CD ，则A DB '∠=______度．15．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于点E ，DF DE ⊥，已知1DE =，则AE =______．16．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过点B 、C 作经过点A 的直线的垂线段BD 、CE ，若5BD =厘米，8CE =厘米，则DE 的长为______．17．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =，ABC 的面积是___________．18．如图ABC 中，60BAC ∠=︒，分别作ABC 的两个内角平分线BE 和CD ，BE 、CD 相交于点P ，连接AP ，有以下结论：①120BPC ∠=︒；②AP 平分BAC ∠；③PD PE =；④BD CE BC +=，其中正确的结论有______．三、解答题19．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．(1)若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；(2)若3AE CBD =，△的周长为10，求BC 的长．20．在AOB 中，已知90AOB ∠=︒，OA OB =，点P 、D 分别在AB OB 、上．(1)如图1，若45PO PD OPD =∠=︒，，则POB ∠=______°（直接写答案）(2)如图1，在（1）的条件下，求证：BOP △是等腰三角形．(3)如图2中，若12AB =，点P 在AB 上移动，且满足PO PD =，DE AB ⊥于点E ，试问：此时PE 的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．21．如图，在ABC 中，DE 垂直平分线段BC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥于点F ，EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ．(1)求证：BF CG =．(2)若8AB =，6AC =，求AF 的长．22．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =．(1)求证：CF BE =；(2)若6,10AC AB ==，求AF 的长．23．如图（1），已知△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 的一条直线，且BC 在AE 、的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E(1)试说明：BD DE CE =+．(2)若直线AE 绕A 点旋转到图2位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE CE 、的关系如何？请直接写出结果；(3)若直线AE 绕A 点旋转到图：位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明．24．已知：如图，AD BC ∥，=90A ∠︒，E 是AB 上的一点，且=AD BE ，1=2∠∠．(1)求证：ADE BEC ≅ ；(2)若=10DE ，试求CDE 的面积．25．在ABC 中，90B Ð=°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当40BAC ∠︒=时，则AED =∠______︒；(2)当60BAC ∠=︒时，①如图2，连接AD ，判断AED △的形状，并说明理由；②如图3，F 是CDE 内一点，连接CF ，DF ，EF ．若CDF 是等边三角形，试猜想EF 与AB 之间的数量关系，并说明理由．26．如图1，P ，Q 分别是边长为6cm 的等边ABC 的边AB ，BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，运动的时间为s t ，直线AQ ，CP 交于点M ．(1)求CMQ ∠的度数．(2)当t 为何值时，PBQ 是直角三角形？(3)如图2，若点P ，Q 在运动到终点后继续在射线AB ，BC 上运动，求CMQ ∠的度数参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．B7．C8．C9．C10．C11．1212．20713．1314．1015．233216．13厘米17．4818．①②③④19．（1）解：在ABC 中，∵AB AC =，40A ∠=︒，∴180180407022A ABC C -∠︒-∠=∠=︒==︒︒，∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，40DBA A Ð=Ð=°，∴704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）解：∵MN 是AB 的垂直平分线，3AE =，∴2236AB AC AE ===⨯=，DA DB =，∴10CBD C BC CD DB BC CD DA BC AC =++=++=+=△，∴101064BC AC =-=-=．20．（1）解：∵45PO PD OPD =∠=︒，，∴()118067.52POD PDO OPD ∠=∠=︒-∠=︒；（2）证明：90AOB OA OB ∠=︒=，，∴45B A ∠=∠=︒在BPO △中，180BPO BOP B ∠∠∠=︒＋＋由（1）可知，067.5BOP P D ∠=∠=︒∴18067.5BPO BPO B ∠=︒-∠-∠=︒，∴BOP BPO ∠=∠，∴BP BO =，即BOP △是等腰三角形；（3）解：PE 的值不变，6PE =，理由如下：如图，过点O 作OM AB ⊥于M ，则90OMP ∠=︒∵90AOB AO BO ∠=︒=，，∴BOM 是等腰直角三角形，45MOB B ∠=∠=︒，点M 为AB 的中点，∴162OM AB ==，∵PO PD =，∴POD PDO ∠=∠，又∵45POD MOB POM POM ∠=+=︒+∠，45PDO B DPE DPE ∠=∠+∠=︒+∠，∴POM DPE ∠=∠，∵DE AB ⊥，∴90PED OMP ∠=∠=︒∵PO PD =，∴()AAS POM DPE ≌ ，∴6OM PE ==，∴PE 的值不变，PE 的值为6．21．（1）证明：连接BE 、EC，BD DC = ，DE BC ⊥，EB EC ∴=，EA 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=，在Rt EFB △和Rt EGC 中，EF EG BE EC =⎧⎨=⎩，EFB EGC ∴ ≌()HL ，BF CG ∴=．（2）证明：在Rt AEF 和Rt AEG △中，AE AE EF EG =⎧⎨=⎩，AEF AEG ∴ ≌()HL ，，AF AG ∴=，EFB EGC ≌，BF CG ∴=，2AB AC AF BF AG CG AF ∴+=++-=．即2AF AB AC =+，8AB = ，6AC =，7AF ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．22．（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，90︒∠=C ，∴CD DE =，90BED C ∠=∠=︒．在Rt CDF △和Rt EDB 中DF BD CD DE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt CDF EDB △≌△，∴CF BE =．（2）在Rt ACD △和Rt AED △中,AD AD CD DE =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ACD AED ≌△△．∴AC AE =．∵6,10AC AB ==，∴4BE AB AE AB AC =-=-=．∴2AF AC CF AC BE =-=-=．23（1）证明：∵90BAC ∠=︒，CE 垂直AB ，BD 垂直AE ，∴90BAD EAC ∠+∠=︒，90ACE EAC ∠+∠=︒，∴BAD ACE ∠=∠，90ADB CEA ∠=∠=︒，在ABD △与CAE V 中，∵BAD ACE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABD CAE △≌△，∴AD CE =，BD AE =，∴BD DE CE =+；（2）解：DE BD CE =+，理由如下，∵90BAC ∠=︒，CE 垂直AB ，BD 垂直AE ，∴BAD ACE ∠=∠，90ADB CEA ∠=∠=︒，在ABD △与CAE V 中，∵BAD ACEADB CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABD CAE △≌△，∴AD CE =，BD AE =，∴DE BD CE =+；（3）解：DE BD CE =+，理由如下，∵90BAC ∠=︒，CE 垂直AB ，BD 垂直AE ，∴BAD ACE ∠=∠，90ADB CEA ∠=∠=︒，在ABD △与CAE V 中，∵BAD ACEADB CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABD CAE △≌△，∴AD CE =，BD AE =，∴DE BD CE =+．24．（1） AD BC ∥，=90A ∠︒，1=2∠∠，∴==90A B ∠∠︒，=DE CE ，在Rt ADE △、Rt BEC △中，=AD BE ，=DE CE ，==90A B ∠∠︒，∴ADE BEC ≅ ．（2）由ADE BEC ≅ 得=AED BCE ∠∠，∴==90AED BEC BCE BEC ∠+∠∠+∠︒，=90DEC ∴∠︒，∴CDE 的面积为：11010=502⨯⨯．25．（1）解：如图1中，90B ∠=︒ ，40BAC ∠︒=，904050ACB ∴∠=︒-︒=︒，18050130ACD ∴∠=︒-︒=︒，点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED ∴==，EAC ECA ∴∠=∠，ECD D ∠=∠，130EAC D ACD ∴∠+∠=∠=︒，360360*********AEC ACD EAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：100；（2）①结论：ADE V 是等边三角形．理由：如图2中，90B ∠=︒ ，60BAC ∠=︒，906030︒︒∴∠=-︒=ACB ，18030150ACD ∴∠=︒-︒=︒， 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED ∴==，EAC ECA ∴∠=∠，ECD D ∠=∠，150EAC D ACD ∴∠+∠=∠=︒，36036015015060AEC ACD EAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，EA ED = ，AED ∴ 是等边三角形；②结论：2EF AB =．理由：如图3中，连接AD ．11ADE ，CDF 是等边三角形，DA DE ∴=，DC DF =，60CDF ADE ∠=∠=︒，CDA FDE ∴∠=∠，(SAS)CDA FDE ∴△≌△，AC EF ∴=，90B ∠=︒ ，30ACB ∠=︒，2AC AB ∴=，2EF AB ∴=．26．（1）解：∵ABC 为等边三角形，∴AB AC =，60B CAP ∠=∠=︒，又由条件得AP BQ =，∴()SAS ABQ CAP ≌ ，∴BAQ ACP ∠=∠，∴60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：设时间为t ，则AP BQ t ==，6PB t =-，①当90PQB ∠=︒时，∵=60B ∠︒，∴906030BPQ ∠=︒-︒=︒，∴2PB BQ =，即62t t -=，解得：2t =；②当90BPQ ∠=︒时，∵=60B ∠︒，∴906030BQP ∠=︒-︒=︒，∴2BQ BP =，即()26t t =-，解得：4t =；∴当2t =或4时，PBQ 为直角三角形；（3）解：∵ABC 为等边三角形，∴AB AC BC ==，60ABC CAP ∠=∠=︒，∴18060120PBC ACQ ∠=∠=︒-︒=︒，又由条件得：AP BQ =，∵AB BC =，∴AP AB BQ BC -=-，∴BP CQ =，∵AC BC =，∴()SAS PBC QCA ≌△△，∴BPC MQC ∠=∠，∵PCB MCQ ∠=∠，又∵180PBC BCP BPC ∠+∠+∠=︒，180MCQ MQC CMQ ∠+∠+∠=︒，∴18060120CMQ PBC ∠=∠=︒-︒=︒．。

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元测试A卷一．选择题1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( )A. 30°B. 40°C. 45°D. 36°【答案】D【解析】∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2∠A．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．故选D.2. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于( )A. 31∶2B. 1∶23C. 13 2D. 2∶13【答案】D【解析】【分析】根据角度之比可求出各角的度数，可知△ABC为直角三角形，再利用30°的直角三角形的性质即可解答. 【详解】在△ABC中，∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，∴∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°，故△ABC为含30°的直角三角形，∴a:b:c=2∶1∶3，故选D.【点睛】此题主要考查含30°直角三角形的性质，解题的关键是求出各角的度数.3. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交线段AC 于D ，若△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是( )A. 22cm 和16cmB. 16cm 和22cmC. 20cm 和16cmD. 24cm 和12cm【答案】A【解析】【分析】根据已知条件作出图像，连接BD ，根据垂直平分线的性质可得BD=AD ，可知两三角形的周长差为AB ，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC ，即可得出答案.【详解】如图，连接BD ，∵D 在线段AB 的垂直平分线上，∴BD=AD ，∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm ，且AB+AC+BC=60cm ，∴AB=60-38=22cm,∴AC=22cm,∴BC=38-AC=38-22=16cm,即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,故选A.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答.4. 如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A. PA PB =B. PO 平分APB ∠C. OA OB =D. AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键． 5. 如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°【答案】A【解析】分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．6. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=22，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A. 2B. 94C.52D. 3【答案】C【解析】试题分析：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG 为等腰直角三角形，∴AG=BG=2，∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF= •EF•BH=×2×=，故选C．考点：1勾股定理；2三角形面积.二．填空题7. 等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为_______．【答案】108°【解析】如图，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∠B=∠C，∵∠4=∠1+∠B=2∠B=2∠C，∴∠2=∠4=2∠C，∵∠2+∠4+∠C=180°，∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∴α=∠BAC=180°-2∠C=108°．点睛：本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.8. 已知△ABC中，边长a，b，c满足a2＝13b2＝14c2，那么∠B＝______.【答案】60°【解析】【分析】由a2＝13b2，知3由a2＝14c2，知c=2a,由勾股定理逆定理知三角形为直角三角形，再根据其长度关系知∠B 的度数.【详解】∵a 2＝13b 2，∴b=3a, ∵a 2＝14c 2，∴c=2a, ∴22a b +=c²，故三角形为直角三角形，又b=3a ，∴b 所对的∠B=60°. 【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是由已知条件推出三角形是直角三角形.9. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为______海里（结果保留根号）．【答案】403+【解析】【详解】解：在Rt △APC 中，∵AP= 402∠APC=45°，∴AC=PC=40． 在Rt △BPC 中，∵∠ PBC=30°，∴BC=PCcot30°=403403 ∴AB=AC +BC=40403+．故答案为403+【点睛】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．10. 直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC 的垂直平分线交AB 于D ，若AD ＝2cm ，则BD ＝_____cm ．【答案】2【解析】如图:设AC 的垂直平分线交AC 于点E ，∴DE⊥AC，AE=12AC ， ∴∠AED=∠C=90°，∵∠A 是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE ：AC=1：2，∵AD=2cm，∴AB=2AD=4cm，∴BD=AB -AD=2cm ．故答案是：2．11. △ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是____．【答案】1<m <4【解析】【详解】解：延长AD 至E ，使AD=DE ，连接CE ，则AE=2m ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，在△ADB和△EDC 中，∵AD=DE ，∠ADB=∠EDC ，BD=CD ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC ﹣AC ＜AE ＜AC+EC ，即5﹣3＜2m ＜5+3，∴1＜m ＜4，故答案为1＜m ＜4．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．12. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______.【答案】4．【解析】【详解】如图，连接BE．∵点D、E分别为BC、AD的中点，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD=14S△ABC，S△CDE=12S△ACD=14S△ABC，∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=14S△ABC+14S△ABC=12S△ABC，∵F是CE的中点，∴S△BEF=S△BFC=12S△BCE=12×12S△ABC=14S△ABC，∴S△BFC：S△ABC=1：4．∵S△BFC=1，∴S△ABC=4．故答案为4．考点：三角形的面积．三．解答题13. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO＝DO．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）∵∠1=∠2，AC=AC ，∠3=∠4∴△ABC ≌△ADC ；（2）∵△ABC ≌△ADC∴AB=AD∵∠1=∠2，AO=AO∴△ABO ≌△ADO∴BO ＝DO ．考点：全等三角形的判定和性质点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.14. 已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝103cm ，底边BC ＝163cm ，求底边上的高AD 的长． 【答案】2cm.【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一知BD=CD=83cm ，在直角三角形ABD 中使用勾股定理即可求出直角边AD 的长. 【详解】∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝103cm ， ∴BD=CD=83cm ， 在Rt △ABD 中，22AB BD -2210833-（）（）， ∴AD=2cm.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用三线合一求出高的长度.15. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，PM ，QN 分别垂直平分AB ，AC ，求∠PAQ 的度数．【答案】40°．【解析】试题分析：求出∠B、∠C度数，根据线段垂直平分线得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠BAP=∠B=35°，∠CAQ=∠C=35°即可求出答案．试题解析：∵AB=AC，∠BAC=110°∴∠B=∠C=12（180°-110°）=35°又∵MP、MQ分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠BAP=∠B=35°，∠CAQ=∠C=35°∴∠PAQ=110°-35°-35°=40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．(简要说明作图过程即可)【答案】有；这个距离3．【解析】【分析】根据题意分别作出各内角的角平分线，交于点P，P即为所求；再根据P点到三边的距离相等，可根据面积相等的方法来求出这个距离.【详解】有这一点，如图所示，作∠BAC,∠ACB，∠ABC的平分线，其交点即为符合要求的点，根据角平分线的性质知PF=PD=PE,设PF=PD=PE=x，由题意可得S△APB+S△APC+S△CPB=S△ABC，即17x2⨯+124x2⨯+125x2⨯=12472⨯⨯解得x=3，即这个距离为3.【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知三角形内角的角平分线的性质再作图求解.17. 如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可用逆推法，欲证△ABC是等腰三角形，由图可知应证AB=BC，由“等角对等边”，应想到只要证∠A=∠C．由角的互余关系可知∠A＋∠D=90°，∠C＋∠CEF=90°，∠CEF =∠BED，由BD=BE可知∠BED=∠D，可得∠A=∠C，本题得证．试题解析：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，又∵∠BED＝∠CEF，∴∠BDE＝∠CEF，又∵DF⊥AC，∴∠A+∠BDF＝90°，∠C+∠CEF＝90°∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形．18. 如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．(1)求证B′E＝BF；(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）a，b，c三者存在的关系是a+b>c,理由见解析.【解析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．证明：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B'EF，∴B′F=BE，∴B′E=BF；解：（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．证明：连接BE，则BE=B′E，由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2；（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．证明：连接BE，则BE=B′E．由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．“点睛”此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．19. 如图所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为12cm，求BC的长．【答案】BC＝12 cm．【解析】试题分析：由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长；试题解析：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，所以DA＝DB，EA=EC，所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即为△ADE的周长．又因为△ADE的周长为12 cm，所以BC＝12 cm．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．20. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．【答案】见解析【解析】分析】由已知说明∠A=∠F，∠FEC=∠ACB，再结合EC=BC证明△FEC≌△ACB，利用全等三角形的性质即可证明．【详解】试题解析：证明：∵EF⊥AC∴∠FEC = 90°= ∠ACB∴∠F +∠FCE = 90°∵CD ⊥AB∴∠ADC = 90°∴∠A +∠FCE = 90°∴∠F = ∠A在△FEC 和△ACB 中FEC ACB F ACE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △FEC ≌ △ACB (AAS)∴ FC = AB考点：全等三角形的判定与性质．21. 现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20m ，30m ，40m ，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．【答案】见解析【解析】【分析】分别作∠C 和∠B 的角平分线，它们相交于点P ，连接PA ，经过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PH ⊥BC 于点H ，利用S △ABP =12AB×PE ，S △BCP =12BC×PH ，S △ACP =12AC×PF ，得出面积比即可． 【详解】方案：如图，分别作∠C 和∠B 的平分线，它们相交于点P ，连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比就是2∶3∶4.理由：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PH ⊥BC 于点H.∵点P 是∠C 和∠B 的平分线上的点，∴PE ＝PF ＝PH.∴S △ABP ＝12AB×PE ＝10PE ，S △BCP ＝12BC×PH ＝20PH ，S △ACP ＝12AC×PF ＝15PF ，∴S △ABP ∶S △ACP ∶S △BCP ＝10PE ∶15PF ∶20PH ＝2∶3∶4.【点睛】此题主要考查了三角形的面积求法以及应用与设计作图，根据已知表示出三角形面积是解题关键．22. 如图所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．(1)如图(2)所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；(不要求写证明)(2)如图(3)所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF=FD；（2）EF=FD仍然成立．【解析】【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB 即为关于直线OP对称的全等三角形；（1）猜想FE=FD；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，根据对顶角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE=FD．【详解】图①如图所示；（1）FE=FD；（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FK，在四边形BGFH 中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∠B=60°， ∴∠FAC+∠FCA=12（180°-60°）=60°， 在△AFC 中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA ）=180°-60°=120°，∴∠EFD=∠AFC=120°，∴∠EFG=∠DFH ，在△EFG 和△DFH 中，90EFG DFH FG FHEGF DHF ∠∠⎨⎪⎩∠⎪∠︒⎧＝＝＝＝， ∴△EFG ≌△DFH （ASA ），∴FE=FD ．。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题（附答案）一、单选题1.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A. 三角形三条边的垂直平分线的交点B. 三角形三条角平分线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条边的中线的交点2.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )A. 2.5sB. 3sC. 3.5sD. 4s3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是( )A. 68°B. 112°C. 124°D. 146°4.如图，在△ABC中，∠C=90 ，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，CD=5cm，则DE的长是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm5.已知一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为（）A. B. C. D.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD∶AD的值为( )A. B. C. D.9.有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A. △ABC三条角平分线的交点处B. △ABC三条中线的交点处C. △ABC三条高的交点处D. △ABC三边垂直平分线的交点处10.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( )A. AC＝ADB. AC＝BCC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD11.在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A. 30°B. 50°C. 75°D. 150°12.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB 的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③AM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个二、填空题13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是________．14.如图，在△ABC中，AB=a,AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E，则△AEC的周长等于________。