《直线与圆的方程的应用》习题

圆与直线的方程练习题一、选择题1. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，则该圆的半径为（）。

A. 1B. 2C. 4D. 82. 直线y = 2x + 1的斜率为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 1A. y = 3x + 2B. y = 3x 2C. x = 3D. y = 24. 若圆C的方程为(x 1)^2 + (y + 2)^2 = 16，则圆心坐标为（）。

A. (1, 2)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (2, 1)5. 两条平行线的斜率分别为2和2，则这两条直线（）。

A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直二、填空题1. 已知直线l的斜率为3，且过点(2, 1)，则直线l的方程为______。

2. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为______。

3. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k的取值范围为______。

4. 两条直线y = 2x + 3和y = 0.5x + 1的交点坐标为______。

5. 已知点A(3, 4)和B(2, 6)，则线段AB的中点坐标为______。

三、解答题1. 已知圆的方程为(x 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，求该圆的半径和圆心坐标。

2. 求过点(1, 2)和(3, 4)的直线方程。

3. 已知直线y = 3x 2和圆x^2 + y^2 = 16，求直线与圆的交点坐标。

4. 证明：若两条直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线平行。

5. 设圆C的方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，已知圆心在x轴上，半径为3，求圆C的方程。

四、应用题1. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)到直线y = x + 3的距离是多少？2. 一圆的圆心位于直线y = 2x + 1上，且与直线y = 2x 1相切，圆的半径为2，求该圆的方程。

3. 两条直线l1：2x + 3y + 1 = 0和l2：4x y 5 = 0相交于点P，求点P的坐标。

2.5.1(2)直线与圆的方程的实际应用参考答案1．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB |＝12米，拱高|CD |＝4米，则拱桥的直径为( )A ．15米B ．13米C ．9米D ．6.5米答案 B解析 如图，设圆心为O ，半径为r ，则由勾股定理得|OB |2＝|OD |2＋|BD |2， 即r 2＝(r －4)2＋62， 解得r ＝132，所以拱桥的直径为13米．2．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( ) A ．62－2 B ．8 C ．4 6 D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.3.如图所示，A ，B 是直线l 上的两点，且AB ＝2.两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π2 B ．(0，π] C.⎝⎛⎦⎤0，2－π2 D ．(0,2－π]答案 C解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S 取得最大值，此时四边形ABO 2O 1为矩形，且S max ＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2.4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，则DE 的最短距离为( )A ．6 kmB ．(42－1)kmC ．(42＋1)kmD ．4 km答案 B解析 以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.5．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x 2＋y 2－2x ＝0表示，在公园外两点A (－2,0)，B (0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( ) A ．3－ 2 B ．3＋2 C ．3－22D.3－22答案 A解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32， 所以AB 边上的高的最小值为32－1. 所以S min ＝12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.6．(多选)从点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射后，照射到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上，则下列结论正确的是( )A ．若反射光线与圆C 相切，则切线方程为3x －4y －3＝0B ．若反射光线穿过圆C 的圆心，则反射光线方程为x －y ＝0C ．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是52－1D ．若反射光线反射后被圆C 遮挡，则在x 轴上被挡住的范围是⎣⎡⎦⎤－34，1 答案 BCD解析 点A (－3,3)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)．圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y ＋3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0.由相切知|2k －2＋3k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝43或k ＝34.∴反射光线方程为y ＋3＝43(x ＋3)或y ＋3＝34(x ＋3)．即4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0，故A 错误． 又A ′(－3，－3)，C (2,2)的方程为y ＝x ，故B 正确；因为|A ′C |＝(2＋3)2＋(2＋3)2＝52，所以直线的最短路程为52－1，故C 正确．由于两条与圆C 相切的反射光线与x 轴的交点为(1,0)和⎝⎛⎭⎫－34，0，所以被挡住的范围是⎣⎡⎦⎤－34，1，故D 正确．7．某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m ，拱高为4 m ．现有一船宽9 m ，在水面以上部分高3 m ，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m ，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m 时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 答案 1.22解析 以水位未涨前的水面AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆经过点B (10,0)，C (0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋b 2＝r 2，(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5. ∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)， 令x ＝4.5，得y ≈3.28，故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h. 答案 1解析 如图，以A 地为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B 处于危险区， 即B 处于危险区时，台风中心在线段MN 上，可求得|MN |＝20， 所以时间为1 h.9．设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，设D 点坐标为(a ,0)，C 点坐标为(0，b )，则CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝b v .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75 km 时甲、乙两人相遇．10.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解 如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 的方程为x 2＋y 2＝252. 直线AB 的方程为x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设点O 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h)．11．(多选)如图所示，已知直线l 的方程是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，该圆运动的时间可以为( )A ．6秒B ．8秒C ．10秒D ．16秒 答案 AD解析 设当圆与直线l 相切时，圆心坐标为(0，m )， 则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋⎝⎛⎭⎫432＝32， 得m ＝－32或m ＝－132，所以该圆运动的时间为32－⎝⎛⎭⎫－320.5＝6(秒)或32－⎝⎛⎭⎫－1320.5＝16(秒)．12．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，则支柱A 2P 2的长为( )A ．(126－24)mB ．(126＋24)mC ．(24－126)mD ．不确定答案 A解析 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ，P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0，182＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝48，F ＝－324.故圆拱所在圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式， 结合图形解得y ＝－24＋12 6. 故支柱A 2P 2的长为(126－24)m.13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD 是矩形，且AB ＝4 m ，BC ＝8 m ，隧道顶APD 是一圆弧，拱高OP ＝2 m ，隧道有两车道EF 和FG ，每车道宽3.5 m ，车道两边留有0.5 m 人行道BE 和GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m ．(精确到0.01 m ，51≈7.141)答案 3.97解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设弧APD 所在圆的圆心坐标为O 1(0，b )，半径为r ，则其方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程，解得b＝－3，r＝5，故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，则|EN|≈4＋0.571＝4.571，从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m)．14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．答案x2＋y2＝2解析设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝x2＋y2.∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∴|PO|＝2|OM|＝2，∴x2＋y2＝2，即x2＋y2＝2.15．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A．2.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米答案B解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .由条件知，A (0,60)，C (170,0)， 直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，①k AB ＝b －60a －0＝34，② 联立①②解得a ＝80，b ＝120.所以|BC |＝(170－80)2＋(0－120)2＝150. 因此新桥BC 的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，|OM |＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0. 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－(60－d )≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆的面积最大．所以当|OM |＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．。

直线与圆的方程的应用(一)基础巩固1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与x 轴相切．当|MN |＝23时，弦心距最大，由点到直线的距离公式得|3k －2＋3|1＋k2≤1， 解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0. 答案：A2.直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得到的劣弧所对的圆心角为( )A ．30°B ．45°C ．60° D.90°解析：∵圆心到直线的距离为d ＝232＝3，圆的半径为2，∴劣弧所对的圆心角为60°.答案：C3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．10 6 B ．20 6 C ．30 6 D.40 6解析：圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，最长弦为圆的直径，故最长弦为10，所以四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×10×46＝20 6.答案：B4．圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x －3y ＋12＝0距离最小的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65B.⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－65C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，65 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－65 解析：圆的圆心(0，0)，过圆心与直线4x －3y ＋12＝0垂直的直线方程为3x ＋4y ＝0.3x ＋4y ＝0与x 2＋y 2＝4联立可得x 2＝6425，所以它与x 2＋y 2＝4的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，65，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－65.又圆上一点与直线4x －3y ＋12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，65. 答案：C5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，圆心(0，0)到直线的距离小于1，即|c |122＋（－5）2<1，|c |<13，－13<c <13.答案：(－13，13)6．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：两圆圆心分别为O (0，0)，O 1(m ，0)，且5<|m |<3 5.又易知OA ⊥O 1A ，。

一、选择题1．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2224x y -+= B ．()2224x y ++= C ．()()22448x y -+-=D ．()()22448x y ++-=2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．53．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D5．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)6．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．22⎡-⎢⎣⎦7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案9．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A．[1-+ B．(11]-- C．[3,1+D ．[1,3]-11．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ） ABCD12．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-二、填空题13．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.18．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ，（O 为坐标原点）（1）当ABO 的面积为4时，求直线l 的一般式方程； （2）当MA MB ⋅取最小时，求直线l 的一般式方程.23．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 26．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -； （1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为31l 的方程；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.5．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥= 所以实数r的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.6．C解析：C 【分析】在OMN=，从而得到M y =ONM ∠的取值范围，求出M y 的取值范围，即可得解； 【详解】解：设()2,M M y ，在OMN 中，由正弦定理得sin sin OM ONONM OMN=∠∠因为30OMN ∠=︒，ON=12==整理得M y =由题意知0150ONM ︒<∠<︒，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，所以sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆22:3O x y +=的切线时，My取值最值，所以M y ⎡∈-⎣故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN 中利用正弦定理计算，考查转化思想；7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．B解析：B 【分析】作出曲线21x y =-y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线21x y =-，它是单位圆的右半个圆，作出直线y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-， 当直线y x b =+与半圆相切时，12b =，2b =±，由图可知2b =-∴b 的取值范围是11b -<≤或2b =-． 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.10．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.12．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题13．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2 【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．【分析】求得直线与直线的交点的坐标然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标进而可求得直线的方程即为反射光线所在直线的方程【详解】联立解得则直线与直线的交点为设直线上的点关于直线的对称点为线段的中点在 解析：730x y --=【分析】求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为()1,4A .设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(,)22a b M -在直线220xy -+=上，则322022a b-⨯-+=，整理得220a b --=.直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213ba ⋅=-+，整理得230ab ++=.所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得1585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点1(,55)8C -.所以，反射光线所在直线的斜率为8457115ACk +==-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.16．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆 解析：23【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离d ==，根据图像的对称性可知2l==所以线段MN 长度的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.17．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：y x =-或11542y x =-+ 【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为1010k--，纵截距为1010k +，所以()101041010k k --=+，解得14k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542y x =-+，故答案为：y x =-或11542y x =-+. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.18．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或b = 【分析】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<.②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是 解析：53【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离2266521d ==+设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max5||,655OQ ==5 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA ()()2241225-+--=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA=2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．（1）240x y +-=；（2）30x y +-=. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解；（2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，表示出点A 、B ，进而可得,MA MB ，表示出MA MB ⋅后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线l 的方程为()1,0,0x ya b a b+=>>， 则142ABO S ab ==△，所以8ab =， 又直线l 过点(2,1)M ，所以211a b +=，所以42a b =⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y+=即240x y +-=； （2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，则12,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,21B k -+，所以MA =MB ，所以4MA MB ⋅=， 当且仅当21k =时，等号成立，所以当MA MB ⋅取最小时，1k =-（正值舍去）， 此时直线方程为12y x -=-+即30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解.23．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 24．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2） 【分析】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，圆222:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，半径为则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=.（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)B ， 设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d，则1||2d C B ≤==，当且仅当1l BC ⊥时，等号成立，所以弦长||AB =≥=.所以直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 25．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-. 【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.26．（1）22(1)4x y ++=；（2）0x =，或4390x y -+=.【分析】（1）求出线段AB 中垂线方程，由中垂线与直线l 相交求得圆心坐标，再求得半径可得圆标准方程；（2）求得圆心到直线1l 距离为1，检验斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设直线方程为30kx y --=，由圆心到直线的距离可得k ，得直线方程．【详解】（1）由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，0211(1)AB k -==---，线段AB 中点为(0,1)， ∴直线AB 的垂直平分线为10x y -+=，∴直线:10l x y ++=与10x y -+=的交点即为圆心C ，坐标为()1,0-．∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=，（2）当直线1l 斜率不存在时，方程为0x =，此时圆心到1l 距离为1，截得的弦长为当直线1l 斜率存在时，设为k ，则1:30l kx y --=，圆心(1,0)-到1l距离1d ===∴43k = ∴直线1l 的方程为0x =，或4390x y -+=．【点睛】易错点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知弦长求直线方程时，须考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在的情况下，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式可得结论．。

圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用层级一学业水平达标1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A．相离 B．相交C．内切 D．外切解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y －4)2＝42，圆心为C2(3,4)，半径长r2＝4，所以|C1C2|＝错误!＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )A.10B.10 2C.5 D．5解析：选B由题意，知2r＝32＋12＝10，r＝10 2.3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条 B．3条C．2条 D．1条解析：选C圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝错误!＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( ) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析：选B如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，可求得|MN |＝20，∴时间为1 h.6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________． 解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1，因为两圆相离，所以a2＋b2>2＋1， 即a 2＋b 2>3＋22. 答案：a 2＋b 2>3＋227．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a ＝ 错误!＝1⇒a ＝1.答案：18．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________． 解析：由已知可设所求的圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.答案：x 2＋y 2－34x －34y －114＝09．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解：圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 由题意可知错误!解得错误! 所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时， 错误!＝错误!＋错误!， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2错误!＝2错误!.层级二 应试能力达标1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 依题意可得圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心分别为C 1(0,0)，C 2(3,4)，则|C 1C 2|＝ 33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( ) A ．r <5＋1 B ．r >5＋1 C ．|r －5|<1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，两圆圆心之间的距离为错误!＝5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为________．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝错误!－2＝2(错误!－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－82. (2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r23－8|42＋42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.8．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2km 和22km，且A，B景点间相距2km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得{a＝0，b＝2或{a＝42，b＝52，由实际意义知a＝0，b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B景点在小路的投影处．。

直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。

答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。

答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。

答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。

解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。

将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。

解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。

2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。

解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。

将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。

解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。

四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。

解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。

人教A 版高一直线与圆的方程的应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．6D ．2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=3．已知直线0ax by c ++=（0abc ≠）与圆221x y +=相切，则三条边长分别为a 、b 、c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸5．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ）A BC ．D ．7．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．128．过点()3,0P作直线()2120x y λλ++-=（R λ∈）的垂线，垂足为M ，己知定点()4,2N ，则当λ变化时，线段MN 的长度取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．C ．D ．9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．311．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条12．若直线10x y --=被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为方程A ．()()22214x y -++= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22212x y ++-=D ．()()22212x y -++=13．若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤二、填空题14．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.15．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．16．已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 .17．在平面直角坐标系xOy 中，过点()5,P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为()11,M x y 、()22,Nx y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是______.18．已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-.设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________19．已知实数x 、y 满足()2211x y -+≤，则342z x y =-+的最大值为_____． 20．已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________.21．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约________秒（精确到0.1）．22．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．三、解答题23．已知圆C 经过点()0,6E ，()5,5F ，且圆心在直线:3590l x y -+=上 （1）求圆C 的方程.（2）过点()0,3M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问：在直线3y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-（AN k ，BN k 分别为直线AN ，BN 的斜率）恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．已知圆C 过(1,0)A ，(0,1)B -两点，且圆心C 在直线20x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 是直线4380x y --=上的动点，PM 、PN 是圆C 的两条切线，M 、N 为切点，求四边形PMCN 面积的最小值．25．已知圆()()22:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++=（1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．26．如图，某处立交桥为一段圆弧AB .已知地面上线段40AB =米，O 为AB 中点.桥上距离地面最高点P ，且OP 高5米.工程师在OB 中点C 处发现他的正上方桥体有裂缝.需临时找根直立柱，立于C 处，用于支撑桥体.求直立柱的高度.（精确到0.01米）.27．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 28．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3),A 直线:24=-l y x ，设圆C 的半径长为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 存在点M ，使2=MA MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 29．已知圆C 过点A (2,6),且与直线l 1: x +y －10=0相切于点B (6,4). (1)求圆C 的方程；(2)过点P (6,24)的直线l 2与圆C 交于M ,N 两点,若△CMN 为直角三角形,求直线l 2的斜率； (3)在直线l 3: y =x －2上是否存在一点Q ,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E ,F , 使△QEF 为正三角形,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,说明理由.30．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．31．已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2＝0上， （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设P 是直线x +y +2＝0上的动点．PC ，PD 是圆M 的两条切线，C ，D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．32．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？33．如图，12,l l是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到,l l距离分别为4公里和5公里.的12（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）34．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM 与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．35．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；②设l 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.36．已知椭圆22221(0)x y a b a b Γ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，点12⎫⎪⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同A 、B ）与直线2x =交于R ，D 为线段RB 的中点，证明：直线CD 与曲线E 相切；37．已知圆O ：224x y +=，直线:280l x y +-=，点A 在直线l 上． （1）若点A 的横坐标为2，求过点A 的圆O 的切线方程．（2）已知圆A 的半径为2，求圆O 与圆A 的公共弦EF 的最大值．38．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若AB =l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =u u u r u u u r ，NB mMB =u u u r u u u r，m ，n ∈R ，求m n +的值．39．已知圆M 与直线2x =相切，圆心M 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆M 截得的弦长为（1）求圆M 的方程，并判断圆M 与圆22:68150N x y x y +-++=的位置关系； （2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点Q ， 使得0AQ BQ k k +=，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由. 40．已知点M 与定点()6,0A 和原点O 的距离的比为2． （1）求点M 的轨迹C 方程；（2）设过点()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． ①求线段PQ 的中点N 的轨迹方程；②求证：BP BQ ⋅u u u r u u u r为定值，并求出这个定值．41．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，0)，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P 。

高中数学例题：直线与圆的方程在代数中的应用例3．已知实数x 、y 满足x 2+y 2+4x+3=0，求21y x --的最大值与最小值．【答案】34+ 34-【解析】 （1）如图所示，设M （x ，y ），则点M 在圆O ：(x+2)2+y 2=1上．令Q （1，2），则设21MQ y k k x -==-，即kx ―y ―k+2=0． 过Q 作圆O 1的两条切线QA 、QB ，则直线QM 夹在两切线QA 、QB 之间，∴k AQ ≤k QM ≤k QB ．又由O 1到直线kx ―y ―k+2=0的距离为1，得1=，即k =∴21y x --的最大值为34+，最小值为34-． 【总结升华】 本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由21y x --等联想到斜率公式． 由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如y b u x a-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x －a)2+(y －b)2形式的最值问题，可转化为到定点P （a ，b ）距离的平方的最值问题．举一反三：【变式1】设函数()f x a =和4()13g x x =+，已知当x ∈[－4，0]时，恒有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】(],5-∞-【解析】因为()()f x g x ≤，所以413a x ≤+，即413x a ≤+-，分别画出y =和413y x a =+-的草图，利用数形结合法，当直线413y x a =+-与半圆y =相切时a 取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出5a =-，即得答案．。

高中数学例题：直线与圆的方程的实际应用例1．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A 、B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．【解析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B （5，0）．在坐标平面内任取一点P （x ，y ），设从A 地运货到P 地的运费为2a 元／km ，则从B 地运货到P 地的运费为a 元／km ．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2<整理得222252033x y ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即点P 在圆2222520:33C x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．【总结升华】 利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．举一反三：【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱A P的长度（精确到0.01m）.22【答案】3.86m【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：222x y b r+-=()因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以22222204100()()b r b r⎧+-=⎨+-=⎩ 解得105=-.b ，22145=.r .所以圆的方程为222105145++=(.).x y 把22-(,)P y 代入圆的方程得2222105145-++=()(.).y ，所以386≈.y ,即支柱的高度约为3.86m.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy ，其中圆A 的半径为250 km ，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C 、D ，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C 开始至D 结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=33-(x-300)(x ≤300). 该市受台风影响时，台风中心在圆x 2+y 2=2502内，设射线与圆交于C 、D ，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D 点时，影响结束，作AH ⊥CD 于H ，则AH=AB ·sin30°=150，HB=3150，CH=HD=22AH AC -=200， ∴BC=3150-200，则该市受台风影响的起始时间t 1=402003150-≈1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t 2=40200200+=10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+21x -表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，x y 表示原点与曲线f(x ，y)=0上动点连线的斜率.。

直线与圆的方程的应用练习题（1）1. 已知圆C ：(x −1)2+y 2=25，则过点P(2, −1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.10√31 B.10√23 C.9√21 D.9√112. 直线y =kx +1与圆(x −2)2+(y −1)2=4相交于P ，Q 两点．若|PQ|≥2√2，则k 的取值范围是( ) A.[−34,0]B.[−√33,√33] C.[−1, 1] D.[−√3,√3]3. 若圆x 2+y 2−4x +2y +1=0关于直线ax −2by −1=0(a, b ∈R)对称，则ab 的取值范围是（ ） A.(−∞,14] B.(−∞,116]C.(−14，0]D.[116，+∞)4. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．5. 已知直线y =2x +1与圆x 2+y 2+ax +2y +1=0交于A ，B 两点，直线mx +y +2=0垂直平分弦AB ，则|AB |=________.6. 已知直线kx −y −k =0与曲线y =ln (x −1)有公共点，则实数k 的最大值为________.7. 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y =x 上截得弦长为2√7；③圆心在直线x −3y =0上．求圆C 的方程．8. 已知圆M ：(x −1)2+(y −1)2=4，直线l 过点P(2, 3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，求直线l 的方程．9. 已知圆C 经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与圆C 相切且与x ，y 轴截距相等，求直线l 的方程．10. 已知圆C:x 2+y 2+2x −4y +3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C 外一点P(x 1, y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．11. 已知圆C:x 2+(y −1)2=5，直线l:mx −y +1−m =0，且直线l 与圆C 交于A 、B 两点．（1）若|AB|=√17，求直线l 的倾斜角；（2）若点P(1, 1)，满足2AP →=PB →，求直线l 的方程．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −4)2+y 2=4，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为y =kx(k >0).(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点. ①若AB ≤4√1717，求实数k 的取值范围； ②直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，是否存在常数a ，使得k 1+k 2=ak 3恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析直线与圆的方程的应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦．因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．【解答】解：∵圆的方程为：(x−1)2+y2=25，∴圆心坐标为M(1, 0)，半径r=5．∵P(2, −1)是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|=√2，∴由垂径定理，得|BD|=2√25−2=2√23．因此，四边形ABCD的面积是S=12|AC|⋅|BD|=12×10×2√23=10√23．故选B．2.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】由已知可得圆心(2, 1)到直线y=kx+1的距离d≤√2，结合点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：若|PQ|≥2√2，则圆心(2, 1)到直线y=kx+1的距离为：d≤(2√22)=√2，即√1+k2≤√2，解得k∈[−1, 1].故选C.3.【答案】 B【考点】关于点、直线对称的圆的方程 【解析】由题意知，圆心在直线上，得到a +b =12，若a ，b 都是正数，利用基本不等式求得0<ab ≤116，若当a ，b 中一个是正数另一个是负数或0时，ab ≤0．【解答】解：∵ 圆x 2+y 2−4x +2y +1=0关于直线ax −2by −1=0(a, b ∈R)对称， ∴ 圆心(2, −1)在直线ax −2by −1=0上，∴ 2a +2b −1=0，a +b =12，若a ，b 都是正数，由基本不等式得 12≥2√ab >0， ∴ 0<ab ≤116．当a ，b 中一个是正数另一个是负数或0时，ab ≤0，故 ab ≤116， 故选B ．二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 4.【答案】(x −2)2+(y −2)2=2 【考点】圆的标准方程与一般方程的转化 直线和圆的方程的应用 点到直线的距离公式【解析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程． 【解答】解：曲线化为(x −6)2+(y −6)2=18， 其圆心到直线x +y −2=0的距离为d =|6+6−2|√2=5√2．所求的最小圆的圆心在直线y =x 上， 其到直线的距离为√2，圆心坐标为(2, 2)． 标准方程为(x −2)2+(y −2)2=2． 故答案为：(x −2)2+(y −2)2=2．5. 【答案】8√55【考点】直线与圆相交的性质 直线和圆的方程的应用 【解析】首先利用垂直，得m =12，再利用圆心，确定a =4，结合直线与圆相交的性质，即可求出弦长. 【解答】解：由题意可得直线y =2x +1与直线mx +y +2=0垂直， 所以 2(−m )=−1，所以m =12，因为圆心(−a2,−1)在直线mx +y +2=0上， 所以12(−a2)−1+2=0，所以a =4，所以圆x 2+y 2+ax +2y +1=0的方程可化为 (x +2)2+(y +1)2=4，所以圆心为(−2,−1)，半径为2， 圆心到直线y =2x +1的距离为d =√5=√5，所以弦AB 的长为|AB|=2√22−(√5)2=8√55.故答案为：8√55. 6.【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 直线与圆的位置关系 曲线与方程 导数求函数的最值 点到直线的距离公式【解析】 1【解答】 1三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 7.【答案】解设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线y =x 交于AB ， ∵ 圆心C 在直线x −3y =0上，∴ 圆心C(3a, a)，又圆=√2|a|．与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y−x=0的距离|CD|=|3a−a|√2在Rt△CBD中，R2−|CD|2=(√7)2，∴9a2−2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为(3, 1)和(−3, −1)，故所求圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．【考点】圆的标准方程【解析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，由题设知圆心C(3a, a)，R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程．【解答】解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，∵圆心C在直线x−3y=0上，∴圆心C(3a, a)，又圆=√2|a|．与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y−x=0的距离|CD|=|3a−a|√2在Rt△CBD中，R2−|CD|2=(√7)2，∴9a2−2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为(3, 1)和(−3, −1)，故所求圆的方程为(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．8.【答案】解：圆心坐标为M(1, 1)，半径R=2，∵|AB|=2√3，∴圆心到直线的距离d=√R2−(AB)2=√4−(√3)2=√4−3=1，2若过P的直线的斜率k不存在，则直线方程为x=2，此时圆心到直线的距离d=2−1=1≠R，则不满足条件．若斜率k存在，则线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0则由√1+k2=√1+k2=2得|k−2|=2√1+k2，平方得3k2+4k=0，解得k=0或k=−43，则对应的直线方程为y=3或4x+3y−17=0．【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据直线和圆相交的性质，结合弦长公式即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为M(1, 1)，半径R=2，∵|AB|=2√3，∴圆心到直线的距离d=√R2−(AB2)2=√4−(√3)2=√4−3=1，若过P的直线的斜率k不存在，则直线方程为x=2，此时圆心到直线的距离d=2−1=1≠R，则不满足条件．若斜率k存在，则线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0则由√1+k2=√1+k2=2得|k−2|=2√1+k2，平方得3k2+4k=0，解得k=0或k=−43，则对应的直线方程为y=3或4x+3y−17=0．9.【答案】根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，则其标准方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，圆C经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为(x−3)2+(y−4)2＝25，若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，解可得：k＝-，此时直线l的方程为y＝-x；②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，解可得m ＝7+5或7−5，此时直线l的方程为x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0；综合可得：直线l的方程为y＝-x或x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0．【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，结合圆的标准方程的形式可得，解可得a、b、r的值，代入圆的标准方程中即可得答案；（2）根据题意，①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，分别求出直线l的方程，综合2种情况即可得答案．【解答】根据题意，设圆C的圆心为(a, b)，半径为r，则其标准方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，圆C经过点A(0, 0)，B(7, 7)，圆心在直线上，则有，解可得，则圆C的标准方程为(x−3)2+(y−4)2＝25，若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，解可得：k＝-，此时直线l的方程为y＝-x；②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y−m＝0，则有＝5，解可得m ＝7+5或7−5，此时直线l的方程为x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0；综合可得：直线l的方程为y＝-x或x+y+5−7＝0或x+y−5−7＝0．10.【答案】由方程x2+y2+2x−4y+3＝0知(x+1)2+(y−2)2＝2，所以圆心为(−1, 2)，半径为√2．当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则√k2+1=√2，所以k＝2±√6，即切线方程为y＝(2±√6)x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则√2=√2，所以a＝−1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y−3＝0．综上知，切线方程为y＝(2±√6)x或x+y+1＝0或x+y−3＝0；因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝(x1+1)2+(y1−2)2，即2x1−4y1+3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x−4y+3＝0时，即直线PO的方程为2x+y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(−310, 35 )．【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】由方程x2+y2+2x−4y+3＝0知(x+1)2+(y−2)2＝2，所以圆心为(−1, 2)，半径为√2．当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则√k2+1=√2，所以k＝2±√6，即切线方程为y＝(2±√6)x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则√2=√2，所以a＝−1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y−3＝0．综上知，切线方程为y＝(2±√6)x或x+y+1＝0或x+y−3＝0；因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝(x1+1)2+(y1−2)2，即2x1−4y1+3＝0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO 垂直于直线2x −4y +3＝0时，即直线PO 的方程为2x +y ＝0时，|PM|最小， 此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标(−310, 35)． 11. 【答案】解：（1）由于半径r =√5，|AB|=√17，∴ 弦心距d =√32， 再由点到直线的距离公式可得d =√m 2+1=√32， 解得m =±√3．故直线的斜率等于±√3，故直线的倾斜角等于π3或2π3． （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得 2(1−x 1, −mx 1+m )=(x 2−1, mx 2−m )，∴ 2−2x 1=x 2−1，即2x 1+x 2=3． ①再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C:x 2+(y −1)2=5，化简可得 (1+m 2)x 2−2m 2x +m 2−5=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2m 21+m 2②．由①②解得x 1=3+m 21+m 2，故点A 的坐标为(3+m 21+m 2, 1+2m+m 21+m 2)．把点A 的坐标代入圆C 的方程可得m 2=1，故m =±1，故直线L 的方程为x −y =0，或x +y −2=0．【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l 的倾斜角； （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得2x 1+x 2=3． ①再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C ，化简可得x 1+x 2=2m 21+m 2②，由①②解得点A 的坐标，把点A 的坐标代入圆C 的方程求得m 的值，从而求得直线L 的方程． 【解答】解：（1）由于半径r =√5，|AB|=√17，∴ 弦心距d =√32， 再由点到直线的距离公式可得d =√m 2+1=√32， 解得m =±√3．故直线的斜率等于±√3，故直线的倾斜角等于π3或2π3． （2）设点A(x 1, mx 1−m +1)，点B(x 2, mx 2−m +1 )，由题意2AP →=PB →，可得 2(1−x 1, −mx 1+m )=(x 2−1, mx 2−m )，∴ 2−2x 1=x 2−1，即2x 1+x 2=3． ① 再把直线方程 y −1=m(x −1)代入圆C:x 2+(y −1)2=5，化简可得 (1+m 2)x 2−2m 2x +m 2−5=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2m 21+m 2②． 由①②解得x 1=3+m 21+m 2，故点A 的坐标为(3+m 21+m 2, 1+2m+m 21+m 2)．把点A 的坐标代入圆C 的方程可得m 2=1，故m =±1， 故直线L 的方程为x −y =0，或x +y −2=0． 12.【答案】解：(1)由题意k >0，圆心C 为(4，0),半径r =2∴ 当直线l 与圆C 相切时，直线的斜率k =√33 ∴ 直线l:y =√33x . (2)①由题意得解得8√1717≤d <2,由(1)知d =√1+k 2, ∴ 8√1717≤√k 2+1<2解得2√1313≤k <√33②l AM :y =k 1(x −2)与圆C:(x −4)2+y 2=4联立得(x −4)2+k 12(x −2)2=4[(k 12+1)x −(2k 12+6)](x −2)=0即A (2k 12+61+k 12,4k 11+k 12)同理得BN ，y 2=k 2(x −6)即B (2+6k 221+k 22,−4k 21+k 22)∵ k OA =k OB∴ 4k 12k 12+6=−4k22+6k 22 解得k 2=−13k 1,k 1=−3k 2设P (x 0,y 0)，则{y 0=k 1(x 0−2)y 0=k 2(x 0−6) 即P (2k 1−6k 2k 1−k 2,−4k 1k 2k 1−k 2), k 3=−4k 1k 22k 1−6k 2 k 1+k 2=2k 3∴ 存在常数a =2，使得k 1+k 2=2k 3恒成立.【考点】直线和圆的方程的应用 直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意k >0， 圆心C 为(4，0),半径r =2 ∴ 当直线l 与圆C 相切时， 直线的斜率k =√33 ∴ 直线l:y =√33x . (2)①由题意得 解得8√1717≤d <2,由(1)知d =√1+k 2, ∴ 8√1717≤√k 2+1<2解得2√1313≤k <√33②l AM :y =k 1(x −2) 与圆C:(x −4)2+y 2=4联立得(x −4)2+k 12(x −2)2=4[(k 12+1)x −(2k 12+6)](x −2)=0即A (2k 12+61+k 12,4k11+k 12) 同理得BN ，y 2=k 2(x −6) 即B (2+6k 221+k 22,−4k21+k 22) ∵ k OA =k OB∴ 4k 12k 12+6=−4k22+6k 22 解得k 2=−13k 1,k 1=−3k 2 设P (x 0,y 0)，则{y 0=k 1(x 0−2)y 0=k 2(x 0−6) 即P (2k 1−6k 2k 1−k 2,−4k 1k 2k 1−k 2), k 3=−4k 1k 22k 1−6k 2 k 1+k 2=2k 3∴ 存在常数a =2，使得k 1+k 2=2k 3恒成立.。

..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。