上海市六校2011届高三年级联考数学理

2011年上海高考数学试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1.函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -=_______________. 2.若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =≥≤ ，则U C A =______________.3.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =_______________.4.不等式13x x+≤的解为_____________. 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角的大小为__________. （结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75CAB ∠=︒，60CBA ∠=︒,则A 、C 两点之间的距离为___________千米7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为_______________. 8.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 9.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x1 2 3 ()P x ξ=？！？请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ=__________________.10、行列式{}(),,,1,1,2a ba b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是_______________. 11、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3AB =，1BD =，则ABC D ⋅=___________. 12、随机抽取的9为同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为___________(默认每个月的天数相同，精确到0.001）13、设()g x 是定义在R 上，以周期为1的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，则()f x 在区间[]10,10-上的值域为_____________.14、已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和点0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足()()11220OQ OR--<，记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足()()22220OQ OR --<依次下去，得到12,,,,,n P P P 则0lim n n Q P→+∞=________________. 二、选择题（每小题5分，满分20分）15.若,a b R ∈，且0ab >，下列不等式中，恒成立的是（ ） （A ）222a b ab +> （B ）2a b ab +≥ （C ）112a b ab+>（D ）2b a a b +≥ 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,+∞上单调递减的函数是 ( ) （A ）1lny x= （B ）3y x = （C ）2xy = （D ）cos y x = 17.设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点则使12345MA MA MA MA MA ++++ =0成立的点M 的个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）1018.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，1A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件是 （ ）（A ）{}n a 是等比数列. （B ）1321,,,,n a a a - 或242,,,n a a a 是等比数列.（C ）1321,,,,n a a a - 和242,,,n a a a 均是等比数列.（D ）1321,,,,n a a a - 和242,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同.三、解答题（本大题满分74分） 19.（本大题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z .20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分） 已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.21.（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11AC 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β，求证：tan 2tan βα=；（2）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.22、（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36,27,()n n a n b n n N *=+=+∈.将集合{}{},,nnx x a n N x x b n N **=∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c（1）写出1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n C 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ； （3）求数列{}n C 的通项公式.23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l（1）求点(1,1)P 到线段:30,(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{}(,)1D P d P l =≤所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合{}12(,)(,)P d P l d P l Ω==，其中12l AB l CD ==，，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于以下三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，按照序号较小的解答计分①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D --. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .参考答案一、空题1．12x +；2．{|01}x x <<；3．16；4．0x <或12x ≥；5．25arccos 5；6．6；7．33π； 8．234+；9．2；10．6；11．152；12．0.985；13．[15,11]-；14．3。

上海市六校2011 届 高 三 联 考数学试题（理科）满分150分 时间14：00-16：00一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分） 1．函数x x f lg 1)(-= 的定义域为_____________2．过(1,2)P ,以(3,4)n =为法向量的点法向式直线方程为_____________3．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于_____________ 4．设集合{}{}0| 12|<-=<<-=a x x B x x A ，，若B A ≠⊂,则a 的取值范围为_____ 5．若函数)0(sin2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan)(xx g =的最小正周期相 等，则正实数ω的值为_____________6．现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是_____________ 7．设 ，++++=) 3+(2 443322104x a x a x a x a a x 则2312420)+(－)++(a a a a a 的值为_______8．已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________9．已知|a |＝|b |＝2, a 与b 的夹角为3π，则a +b 在a 上的投影为_____________10．在锐角△ABC 中, 角B 所对的边长01b =,△ABC 的面积为01,外接圆半径31R =,则△ABC 的周长为__ __11．一离散型随机变量ξ 且其数学期望E ξ＝1．5，则a －b ＝____________12．如右图所示，已知0为矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体体积为1，其中以OA 为母线的圆锥体积为41，则以OB 为母线的圆锥体积为____________13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻 近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，……．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________ 14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当圆”中，面积的最小值为____________ 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15．“Z k k ∈+=,2βπα”是“βαsin sin =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A ．2)(x x f = B ．xx x f ||)(=C ．xx x x e e ee xf --+-=)( D ．x x f =)(17．已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的（ ）A ．)212(-=x f y B ．)12(-=x f yC ．)12(-=f y D ．)212(-=f y 18． 数列}{n a 满足11=a ，14121=+⋅+nn a a （*∈N n ），记22221n n a a a S +++= ， 若3012m S S n n ≤-+对*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 （ ） A ．10 B ． 9 C ． 8 D ． 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若复数z满足i⋅(3+z)=−1（其中i为虚数单位），则z=________．2. 已知函数f(x)=arcsinx的定义域为[−1，1]，则此函数的值域为________．23. 有一组统计数据共10个，它们是：2，4，4，5，5，6，7，8，9，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．4. 某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的结果a=________．)=3的距离为________．5. 在极坐标系中，极点到直线ρcos(θ−π6)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B 6. 在二项式(√x+3x＝72，则n＝________．7. 已知集合A={x|ax−1<0}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．x−a8. 一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为________．9. 设圆x2+y2=4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|的最小值为________．10. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意抽取三个数，其中至少有两个数是连续整数的概率是________．x|的定义域为[a, b]，值11. 定义区间[x1, x2](x1<x2)的长度为x2−x1，已知函数y=|log12域为[0, 2]，则区间[a, b]长度的最大值与最小值的差为________．12. 已知a为常数，a>0且a≠1，指数函数f(x)=a x和对数函数g(x)=log a x的图象分别为C1与C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C1的另一个交点为N，若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为________．≥λa12对任何等差数列{a n}及任何正整13. 设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式a n2+S n2n2数n恒成立，则λ的最大值为________．14. 某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f(x)的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f(x)>0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|>1时，函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②a <b ；③a +b <ab ，④a 3>b 3，不正确的不等式的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 316. “函数f(x)在[a, b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a, b]上有最大值和最小值”的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 17. 已知△ABC 内接于单位圆，则长为sinA 、sinB 、sinC 的三条线段（ ）A 能构成一个三角形，其面积大于△ABC 面积的一半B 能构成一个三角形，其面积等于△ABC 面积的一半 C 能构成一个三角形，其面积小于△ABC 面积的一半D 不一定能构成一个三角形18. 已知直线y =k(x +2)(k >0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k =( ) A 13 B √23 C 23 D2√23三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增．若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围．20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且AB // CD ，∠BAD =90∘，PA =AD =DC =2，AB =4． (1)求证：BC ⊥PC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．21. 设a →=(a 1,a 2)，b →=(b 1,b 2)，定义一种向量运算：a →⊗b →=(a 1b 1,a 2b 2)，已知m →=(12,2a)，n →=(π4,0)，点P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动，点Q 在函数y =f(x)的图象上运动，且满足OQ →=m →⊗OP →+n →（其中O 为坐标原点）． （1）求函数f(x)的解析式； （2）若函数ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b ，且ℎ(x)的定义域为[π2，π]，值域为[2, 5]，求a ，b 的值．22. 将数列{a n}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{b n}，已知：①在数列{b n}中，b1=1，对于任何n∈N∗，都有(n+1)b n+1−nb n=0；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列；③a66=25．请解答以下问题：（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求上表中第k(k∈N∗)行所有项的和S(k)；（3）若关于x的不等式S(k)+1k >1−x2x在x∈[11000，1100]上有解，求正整数k的取值范围．23. 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为103．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q(t, m)是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y2=2px(p>0)写出一个更一般的结论，并加以证明．2011年上海市某校联考高考数学二模试卷（理科）答案1. −3+i2. [−π6，π2]3. 5.64. 1275. 36. 37. [13，12)∪(2,3]8. 2√63π9. 410. 81511. 312. (4, log a4)13. 1514. ①④⑤ 15. C 16. A 17. C 18. D19. 解：由已知命题P:limn →∞c =0，其中c 为常数，是真命题，得：c 为常数 三阶行列式|523x −c6418x|中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)， 则f(x)=−x 2+cx −4，且函数f(x)在(−∞,14]上单调递增． ∴ c2≥14，⇒c ≥12，∵ 命题Q 是假命题，∴ c <12．∴ 命题P 是真命题，而命题Q 是假命题， 实数c 的取值范围是−1<c <12．20. 解：方法1(I)证明：在直角梯形ABCD 中，∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，AD =DC =2 ∴ ∠ADC =90∘，且 AC =2√2． 取AB 的中点E ，连接CE ，由题意可知，四边形AECD 为正方形，所以AE =CE =2， 又 BE =12AB =2，所以 CE =12AB ，则△ABC 为等腰直角三角形， 所以AC ⊥BC ，又因为PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC(II)由(I)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC =C ， 所以BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAC ，过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ，所以AF ⊥平面PBC ， 则AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离，在直角三角形PAC 中，PA =2，AC =2√2，PC =2√3， 所以 AF =2√63即点A 到平面PBC 的距离为 2√63 方法2∵ AP ⊥平面ABCD ，∠BAD =90∘∴ 以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ∵ PA =AD =DC =2，AB =4．∴ B(0, 4, 0)，D(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)(I)∴ BC →=(2,−2,0)，PC →=(2,2,−2) ∵ BC →⋅PC →=0∴ BC →⊥PC →，即BC ⊥PC(II 由∵ PB →=(0,4,−2)，PC →=(2,2,−2)设面PBC 法向量 m →=(a, b, c) ∴ {m →⋅PC →=0˙∴ {4b −2c =02a +2b −2c =0设a =1，∴ c =2，b =1∴ m →=(1, 1, 2) ∴ 点A 到平面PBC 的距离为 d =|m →|˙ =2√63∴ 点A 到平面PBC 的距离为2√6321. 解：（1）P(x, y)在函数g(x)=sinx 的图象上运动可得，y =sinx ，设Q(x 1, y 1)， ∵ Q 满足OQ →=m →⊗OP →+n →=(12x ，2ay)+(π4,0)=(2x+π4，2ay)∴ {x 1=2x+π4y 1=2ay ⇒{x =2x 1−π2y =sinx =y 12a又因为y =sinx代入可得y 1=2asin(2x 1−π2)=−2acos2x 1 即f(x)=−2acos2x （2）ℎ(x)=2asin 2x +√32f(x −π4)+b=2asin 2x −√3asin2x +b =a +b −2asin(2x +π6)∵ x ∈[π2，π]，2x +π6∈[76π, 136π]当a >0时，{a +b +2a =5a +b −a =2∴ a =1，b =2当a <0时，{a +b +2a =2a +b −a =5∴ a =−1，b =522. 解：（1）由(n +1)b n+12−nb n 2+b n+1b n =0，b n >0， 令 t =b n+1b n得t >0，且(n +1)t 2+t −n =0即(t +1)[(n +1)t −n]=0， 所以 b n+1b n=nn+1因此b 2b 1=12，b 3b 2=23，…，b nb n−1=n−1n，将各式相乘得 b n =1n；（2）设上表中每行的公比都为q ，且q >0．因为3+4+5+...+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列b n 的前63项，故a 66在表中第10行第三列，因此a 66=b 10⋅q 2=25又b 10=110所以q =2．则 S(k)=b k (1−q k+2)1−q =1k (2k+2−1)k ∈N ∗（3）当x ∈[11000，1100]时，∵ 1x −x 为减函数，∴ 最小值为100−1100，∴ 1k (2k+2−1)>100−1100，∴ k ≥823. 解：（1）依题意，椭圆过点(2, 53)，故4a2+259b 2=1，a 2−b 2=4，解得a 2=9，b 2=5，故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1．（2）设Q(9, m)，直线QA 的方程为y =m 12(x +3)，代入椭圆方程，整理得(80+m 2)x 2+6x +9m 2−720=0， 设M(x 1, y 1)，则−3x 1=9m 2−72080+m 2，解得x 1=240−3m 280+m 2，y 1=m 12(x 1+3)=40m 80+m 2，故点M 的坐标为(240−3m 280+m 2, 40m80+m 2)．同理，直线QB 的方程为y =m 6(x −3)，代入椭圆方程，整理得(20+m 2)x 2−6x +9m 2−180=0，设N(x 2, y 2)，则3x 2=9m 2−18020+m 2，解得x 2=3m 2−6020+m 2，y 2=m6(x 1−3)=−20m20+m 2，故点M 的坐标为(3m 2−6020+m 2, −20m20+m 2)． ①若240−3m 280+m 2=3m 2−6020+m 2，解得m 2=40，直线MN 的方程为x =1，与x 轴交与(1, 0)点；②若m 2≠40，直线MN 的方程为y +20m 20+m2=10m 40−m2(x −3m 2−6020+m 2)，令y =0，解得x =1，．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1, 0)．（3）结论：已知抛物线y 2=2px(p >0)的顶点为O ，P 为直线x =−q(q ≠0)上一动点，过点P 作X 轴的平行线与抛物线交于点M ，直线OP 与抛物线交于点N ，则直线MN 必过定点(q, 0)．证明：设P(−q, m)，则M(m 22p , m)，直线OP 的方程为y =−mq x ，代入y 2=2px ，得y 2+2pq my =0，可求得N(2pq 2m 2, −2pq m)，直线MN的方程为y−m=2pmm2−2pq (x−m22p)，令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点(q, 0)．。

2011年上海高考理科数学试卷一、填空题：每题4分，共14题56分。

1.函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -=.2. 若全集U R=，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤U ，则U C A =.3. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = . 4.不等式13x x+<的解为 .5. 在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 .6. 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是千米.7. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 .9. 马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表:?!?321P(ε=x )x请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ε= .10. 行列式ab cd（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 .11. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=u u u r u u u r .12. 随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）.13. 设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .14. 已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记0Q R 的中点为1P ，取01Q P 和1P R 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,nP P P L L ，则0lim ||nn Q P →∞= .二、选择题：本大题满分20分.本大题共有4题，每题5分15. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A.222a b ab +> B.2a b ab+≥C.11a bab+> D.2b aa b+≥ 16. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A.1ln||y x = B.3y x =C.||2x y = D.cos y x =17. 设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.1018. 设{}na 是各项为正数的无穷数列，iA 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =L ），则{}nA 为等比数列的充要条件为（ ） A.{}na 是等比数列B.1321,,,,n a a a-L L 或242,,,,na a aL L 是等比数列 C.1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,na a a L L 均是等比数列 D.1321,,,,n a a a-L L和242,,,,na a aL L均是等比数列，且公比相同三、解答题：本大题满分74分.本大题共有5题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z .20.（本题满分12分）已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.(1)若0ab >，判断函数()f x 的单调性； ⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.21.（本题满分14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点.⑴ 设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan 2βα=；DCBA⑵ 若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D 的高.22.（本题满分18分）已知数列{}na 和{}nb 的通项公式分别为36nan =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}nnx x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,nc c c c L L .⑴ 求1234,,,c c c c ；⑵ 求证：在数列{}nc 中、但不在数列{}nb 中的项恰为242,,,,na a aL L；⑶ 求数列{}nc 的通项公式.23.（本题满分18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,lAB l CD==，,,,A B C D是下列三组点中的一组。

上海市2011届高三六校联考（数学理）六校联考数学学科试题一、填空题 1.函数f(x)?1?lgx 的定义域为_____________ 2.过P(1,2),以n?(3,4)为法向量的点法向式直线方程为_____________ 3.若复数z满足z1??1?2i，则z等于_____________ ?iiB,则a的取值范围，B??x|x?a?0?，若A?4.设集合A??x|?2?x?1??为_____________ 5.若函数等，则正实数?的值为_____________ xf(x)?2?sin2?x(??0)的最小正周期与函数g(x)?tan的最小正周期相26.现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是_____________ 7.设(2x+则(a03 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，+a2+a4)2－(a1+a3)2的值为_____________ 8.已知xy?0,且xy－9x－y?0,则x?y的最小值为_____________ ????????9.已知|a|＝|b|＝2, a与b的夹角为，则a+b在a上的投影为_____________ 3 10.在锐角△ABC中, 角B所对的边长b?10,△ABC的面积为10,外接圆半径R?13,则△ABC的周长为_____________ 1 2 3 ξ 0 11.一离散型随机变量ξ的概率分布律为：且其数学期望P a b Eξ＝，则a－b＝____________ B C 12.如右图所示，已知0为矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体O 1 体积为1，其中以OA为母线的圆锥体积为， 4 则以OB为母线的圆锥体积为____________ A D 13.在正整数数列中，1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，??．则在这个红色子数列中，1开始的第2011个数是_____________ 14．我们把形如y?b?a?0,b?0?的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动x?a地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a?1，b?1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为____________ 二、选择题15．“??2k???,k?Z”是“sin??sin?”的开始输入函数A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A．f(x) 否f(x)?f(?x)?0? 是f(x)?x2B．f(x)?|x| xf(x)存在零点？是输出函数否ex?e?xC．f(x)?x D．f(x)= x e?e?x17．已知函数f(x) f(x)?sin?x的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对结束应的函数解析式为y 1 x －101－1 A．y? y 1 －10 1 x －11f(2x?)B．y?f(2x?1) 2xx1C．y?f(?1)D．y?f(?) 222 18. 数列{an}满足a1若S2n?1?Sn?1，an?1?1222??4?1S?a?a???a，记n?Nn12n，2an?m?对n?N恒成立，则正整数m的最小值为30A. 10B．9C．8 D．7 三、解答题本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2011届六校高三毕业班联合考试试卷理科数学2011。

05。

24 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页,满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上,用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题（40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1、函数lg(1)y x =-的定义域为A ，函数1()3xy =的值域为B ，则A B ⋂= （ )A . (0,1) B. 1(,1)3C 。

D 。

2、 复数31i i+的模等于（ ）A 。

12B. 2C. D 。

3。

若函数y f (x)=的图象和y sin(x )4π=+的图象关于点P(,0)4π对称则f (x)的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为（ )A ．B ．C ．D ．5．设随机变量X ~ N (2，82),且P ｛2＜x ＜4＝0。

3,则P {x ＜0＝（ ）．第10题1侧视图俯视图正视图1.5411A ．0.8 B ．0。

2011年上海高考数学试卷（理）解答一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 【答案】：12x+ 【解】：111222y x x x y y =⇒-=⇒=+-；12y x =+1()2f x x⇒=+。

【评注】：2、若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 【答案】：{}01(0,1)x x <<= 【解】：【评注】：3、设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则___m = 【答案】：16【解】：29516m m +=⇒= 【评注】：4、不等式13x x+≤的解为 【答案】：102x x <≥或【解】：11312113300002x x x x x x x x x x x ++---≤⇒-≥⇒≥⇒≥⇒<≥或。

【评注】：5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）【答案】：1arctan arcsin 2== 【解法一】：【解法二】：【评注】：6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、B 两点之间的距离为 千米。

【答案】【解】： 【评注】：7、若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为【答案】 【解】： 【评注】： 8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为【答案】：24【解法一】：展开后利用辅助角公式化为一角一函数，然后求最值。

利用诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式sin()cos()26y x x ππ=+-cos (cos cos sin sin )66x x x ππ=+1cos (cos sin )22x x x =+21sin cos 2x x x =+1cos 211sin 2222x x +=+⋅11(sin 22)22x x =+1sin(2)23x π=++12≤=。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）一、填空题：本大题共4小题，每小题16分，共56分.1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= .2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤U ，则U C A = .3.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = .4.不等式13x x+≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75CAB ∠=o ，60CBA ∠=o ，则A 、C 两点之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 .9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x1 2 3 ()P x ξ=？！？请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= . 10.行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）所有可能的值中，最大的是 .11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若3AB =，1BD =，则AB AD ⋅=u u u r u u u r.12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.13.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .14.已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和点0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，记其端点为1Q ，1R ，使之满足11(2)(2)0OQ OR --<，记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ，2R ，使之满足22(2)(2)0OQ OR --<.依次下去，得到1P ，2P ，L ，n P ，L ，则0lim n n Q P →∞= .二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.若a ，b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b a a b +≥16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．1lny x= B ．3y x = C ．||2x y = D ．cos y x = 17.设1A ，2A ，3A ，4A ，5A 是平面上给定的5个不同点，则使1234MA MA MA MA +++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r5MA +u u u u r 0=r成立的点M 的个数为A ．0B ．1C ．5D ．1018.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a ，1i a +的矩形的面积（1i =，2，L ）则{}n A 为等比数列的充要条件是 A ．{}n a 是等比数列.B ．1a ，3a ，L ，21n a -，L 或2a ，4a ，L ，2n a ，L 是等比数列C ．1a ，3a ，L ，21n a -，L 和2a ，4a ，L ，2n a ，L 是等比数列D ．1a ，3a ，L ，21n a -，L 和2a ，4a ，L ，2n a ，L 是等比数列且公比相同. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z ．O 1D 1C 1B 1A 1CDBA20.（本小题满分12分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数a ，b 满足0a b ⋅≠. （Ⅰ）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点. （Ⅰ）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan βα=；（Ⅱ）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.21.（本小题满分18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n N *∈）.将集合{,}{,}n n x x a n N x x b n N **=∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成数列1c ，2c ，3c ，L ，n c ，L .（Ⅰ）写出1c ，2c ，3c ，4c ；（Ⅱ）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ，L ，2n a ，L ； （Ⅲ）求数列{}n c 的通项公式. 23.（本小题满分18分）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l（Ⅰ）求点(1,1)P 到线段l ：30x y --=（35x ≤≤）的距离(,)d P l ；（Ⅱ）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （Ⅲ）写出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中1l AB =，2l CD =，A ，B ，C ，D 是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -. ②(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --. ③(0,1)A ，(0,0)B ，(0,0)C ，(2,0)D .。

2011年高考上海卷理科数学解析版一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()fx -= 。

【命题意图】考查反函数的概念与求法，考查运算求解能力，属简单题. 【解析】函数()f x 的值域为{y |y ≠0}，由y =12x -得，12x y=+，∴1()fx -=12x+（x ≠0）.【答案】1()f x -=12x+（x ≠0）2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，则U C A = 。

【命题意图】本题考查集合的运算—补集，解题时可用数轴法，属送分题. 【解析】∵{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，∴U C A ={x |0＜x ＜1｝. 【答案】{x |0＜x ＜1｝.3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219yxm-=的一个焦点，则m = 。

【命题意图】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时注意焦点的位置，属容易题. 【解析】∵点(0,5)F 是双曲线2219yxm-=的一个焦点，∴295m +=，解得m =16.【答案】16 4．不等式13x x+<的解为 。

【命题意图】本题考查简单分式不等式的解法，考查等价转化思想，是容易题. 【解析】13x x+<⇔210x x ->⇔(21)0x x ->，解得{x |x ＜0或x ＞12}【答案】{x |x ＜0或x ＞12}5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线c o s 1ρθ=的夹角大小为 。

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、两直线夹角的计算，考查学生转化化归能力，是中档题.【解析】将极坐标方程化为直角坐标系下方程，两直线方程分别为22x y +=和1x =，如图所示，∵直线22x y +=的斜率为－2，∴其倾斜角β=arctan 2π-， ∴这两直线夹角α=arctan 22π-.【答案】arctan 22π-.6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60C AB C BA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是千米。

更多名校精彩内容请进入QQ 群：上海高考数学总群 566892532，12011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。

2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。

3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。

4．不等式13x x+<的解为 。

5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。

7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。

8．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。

9．马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10．行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。

11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。

12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

?!?321P(ε=x )x更多名校精彩内容请进入QQ 群：上海高考数学总群 566892532，214．已知点(0,0)O ．0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q ．1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ．2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= 。

2011年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）函数的反函数为f﹣1（x）=．2．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．3．（4分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=．4．（4分）不等式的解为．5．（4分）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）6．（4分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（4分）函数的最大值为．9．（4分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x123P（ξ=x）？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=．10．（4分）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）13．（4分）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为．14．（4分）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．16．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx17．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．1018．（5分）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．20．（12分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．21．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．22．（18分）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．23．（18分）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．2011年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x≠0）．【分析】直接利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案．【解答】解：设，可得xy﹣2y=1，∴xy=1+2y，可得，将x、y互换得．∵原函数的值域为y∈{y|y≠0}，∴，（x≠0）故答案为：，（x≠0）2．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【分析】由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）3．（4分）（2011•上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．4．（4分）（2011•上海）不等式的解为．【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，注意分母不为0；再解二次不等式即可．【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为：5．（4分）（2011•上海）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1∴2x+y﹣2=0与x=1∴2x+y﹣2=0与x=1夹角的正切值为直线ρ（2cosθ+sinθ）=2与直线ρcosθ=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan6．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．8．（4分）（2011•上海）函数的最大值为．【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．【解答】解：=cosxcos（﹣x）=sin（+2x）+≤故答案为：9．（4分）（2011•上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x123P（ξ=x）？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=2．【分析】根据已知设出P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，且根据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，根据离散型随机变量分布列的期望求法即可求得结果．在计算过程中注意整体性．【解答】解：设P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，则2a+b=1，Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为2．10．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．11．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．12．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.98513．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11] ．【分析】根据已知中g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间[﹣10，﹣9]，[﹣9，﹣8]，…，[9，10]上的值域，进而求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域．法二：可根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，研究函数f（x）=x+g （x）的性质，得f（x+1）﹣f（x）=1，由此关系求出函数在f（x）在区间[﹣10，10]上的值域即可．【解答】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又∵函数f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]令x+6=t，当x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10]此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11] (1)同理，令x﹣13=t，在当x∈[3，4]时，t=x﹣13∈[﹣10，﹣9]此时，f（t）=t+g（t）=（x﹣13）+g（x﹣13）=（x﹣13）+g（x）=[x+g（x）]﹣13所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8] (2)…由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]法二：由题意f（x）﹣x=g（x）在R上成立故f（x+1）﹣（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）﹣f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]14．（4分）（2011•上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．【分析】由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P 1，P2，…，P n，…，的极限为：（），然后求出．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P 1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C 错∵ab＞0∴故选：D16．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3 C．y=2|x|D．y=cosx【分析】根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．【解答】解：对于函数的定义域为x∈R且x≠0将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x∈（0，+∞）时，∵∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数故选A．17．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．10【分析】根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案．【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y）=，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B．18．（5分）（2011•上海）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【分析】根据题意可表示A i，先看必要性，{A n}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．【解答】解：依题意可知A i=a i•a i+1，∴A i=a i+1•a i+2，+1若{A n}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选D三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i20．（12分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b ≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f （x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R 上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．21．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β．求证：；（2）若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高．【分析】（1）此题由题意画出图形因为ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．【解答】解：（1）由题意画出图形为：∵ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴，又因为二面角A﹣B1D1﹣A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴而底面A 1B1C1D1为边长为1的正方形，∴，∴．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C 中，利用R t△AA1O1∽R t△CHA 得到，而，∴⇔⇒AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2．22．（18分）（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．【分析】（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．（2）对于数列{a n}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．（3）对{a n}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{b n}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．【解答】解：（1）a1=3×1+6=9；a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15 b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于a n=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7∈{b n}当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k﹣1+7不属于{b n}∴在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1（3）b3k﹣2b3k﹣1=6k+5a2k=6k+6b3k=6k+7∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…∴23．（18分）（2011•上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分．①A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．②A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）．③A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）．【分析】（1）根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．（3）根据题意从三组点的坐标中选第一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：x﹣y﹣3=0（3≤x≤5）的距离d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=，（2）由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴S=22+π=4+π（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，0）．利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=﹣1，到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l1）=d（P，l2）}，根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴．选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），根据第一组做出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线，直线y=﹣x﹣1（x＞1）．选第三组来求解到两条线段距离相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D （2，0），根据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段距离相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x，不是这条直线上的所有的点都合题意，根据所给的点到直线的距离知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x（0＜x≤1），（1＜x＜2），（x≥2）或x≤0，y≤0．。