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14.1.3反证法

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14.1.3 反证法(八年级数学)

14.1.3 反证法(八年级数学)

存在某个x成立
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
1.3反证法 课件(北师大版选修2-2)

1.3反证法 课件(北师大版选修2-2)


明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
导.学. 固. 思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是( C ).
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
64
1
又(1-a)a≤(
1-������ +������ 2
������ 1 5 ������ 2
导.学. 固. 思
用反证法证明至多、至少等形式的命题
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中 至少有一个负数.
【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则
1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.
������ ������ ������ 1 1 1
2
4
1.3 反证法一等奖创新教案

1.3 反证法一等奖创新教案

1.3 反证法一等奖创新教案14．1.3 反证法1．掌握反证法的定义；2．理解并掌握反证法证明命题的一般步骤；3．会利用反证法证明简单命题．体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证明命题的步骤；用反证法证明简单的命题．一、情景导入感受新知问题情境：根据等腰三角形的性质，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明吗？二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P114～P115，完成下面的内容：问题：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如果∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．探究：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理可知△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．【合作探究】归纳：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(一)反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．(二)根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾；(三)用反证法证明命题时，应注意的事项：(1)周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；(2)推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；(3)在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．【师生活动】①明了学情：关注学生在探究过程中对反证法的理解和掌握情况．②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时引导与点拨．③生生互助：学生在小组内交流、讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析运用新知【合作探究】例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.证明：假设∠B＝∠C，则AB＝AC.这与已知AB≠AC矛盾，假设不成立．∴∠B≠∠C.例2：用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．证明：假设等腰三角形两底角不是锐角，则有两种情况：(1)当两底角都是直角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是直角不成立；(2)当两底角都是钝角时，此时三内角的和大于180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以两底角都是钝角不成立．∴等腰三角形的底角都是锐角．四、课堂小结回顾新知通过本节课学习，你有了哪些新的收获？还有哪些疑惑？【师生共同归纳】(1)反证法(2)反证法证明命题的一般步骤(3)用反证法证明命题时，应注意的事项五、检测反馈落实新知1．“a＜b”的反面应是(D)A．a≠b _ B．a＞bC．a＝b D．a＝b或a＞b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(D)A．a垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设__两条边所对的角相等__．4．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”时，应假设__a2≥4__．5．请说出下列结论的反面：(1)d是正数；(2)a≥0；(3)a＜5.解：(1)d是非正数；(2)a＜0；(3)a≥5.6．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB、CD只有一个交点六、课后作业巩固新知见学生用书．。

八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版

八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版


知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
第14章 14.1 14.1. 3 反证法

第14章 14.1 14.1. 3 反证法

证明：已知：如图所示，直线 AB∥EF，CD∥EF. 求证：AB∥CD.
证明：假设 AB 与 CD 不平行，则直线 AB 与 CD 相 交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线(AB、 CD)都和直线 EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行相矛盾．所以假设不能成立．故 AB∥CD.
证明：假设 l1 不平行于 l2，即 l1 与 l2 相交于一 点 P，则∠1＋∠2＋∠P ＝ 180°(三角形内角和定理)， 所以∠1＋∠2 < 180°，这与 ∠1＋∠2＝180° 矛盾， 故 假设 不成立．
所以 l1∥l2.
6. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 解：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情 况： (1)两个底角都是直角，不妨假设∠B＝∠C＝90°，则∠A ＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＞180°，这与三角形的内角和 定理矛盾．∴∠B＝∠C＝90°这个假设不成立． (2)两个底角都是钝角，不妨设∠B、∠C 都是钝角，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，∴ 两个底角都是钝角这个假设不成立．故原命题正确．
1. 下列说法正确的是( C ) A．“垂直”的反面是“斜交” B．“成正比例”的反面是“成反比例” C．“不等”的反面是“相等” D．“点 O 在△ ABC 内”的反面是“点 O 在△ ABC 外”
2. 在用反证法证明时，推得与“三角形的外角和等
于 360°”相矛盾，这与下边哪一个相矛盾( D )
第14章 勾股定理 14.1 勾股定理
14.1.3 反证法
1. 不易用直接证法证明的简单问题，要用 反证 法．
2. 反证法的证明步骤是：先假设结论的 反面 是正 确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定 理、定义或已知条件相矛盾，从而说明 假设 不成立， 进而得出 原结论 正确．
精品课件：14.1.3 反证法

精品课件：14.1.3 反证法


的一面，从而得出事物真实的一面.反证法
是一种间接的证明方法.
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现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于且•∠斜单C边•击=的二9此0级平处°编方，辑.那即母么“版a在文2+本△b2样=AcB式2”C中是，一如个果真A命B题=c.，BC=a，CA=b， 思考：在•△三A级• B四C级中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a2+b2≠c2是真• 五命级题吗？
以考虑用反证法.
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证• 明单：击此假处设编两辑条母相版交文本直样线式l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与 l2有两• 个二级交点A和B.
• 三级
这样过•点四A级• 和五级点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条 直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
单击此处编辑母版标题样式
例• 单6•击二此求级处证编：辑在母版一文个本三样角式形中，至少有一个内角小于或等 于60°. • 三级
• 四级
已知：△ABC. • 五级 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
单击此处编辑母版标题样式
证• 明单击：此假处设编△辑A母B版C中文本没样有式一个内角小于或等于60°，即∠A ＞60•°二，级∠B＞60°，∠C＞60°.
• 四级
这与“多子• ”五级产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
单击此处编辑母版标题样式
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你 能•按单照击刚此才处王编辑戎母的版方文法本推样理式吗？
• 二级
(1)假•设三它级 是一个直角三角形；
1.3 反证法

1.3 反证法

a,b,c,d中至少有一个是负数. 例：已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证：a,b,c都大于0.
例：设等差数列an 的首项a1 =a(a 0),其前项和为Sn . (1)若S1 ,S2 ,S4成等比数列，求数列an 的通项公式； （2）证明：n N , Sn , Sn 1 , Sn 2不够成等 = x - 2y + b = y - 2z +
2
2

2
,

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
,c = z - 2x +
2

,
例：若x,y都是正实数且x+y>2. 1 x 1 y 求证： <2与 <2中至少有一个成立. y x 例：已知a+b=1,c+d=1,ac+bd>1,则
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成 ----立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ----论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
1.3 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
14.1.3反证法

14.1.3反证法


A、B、C三名嫌疑人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C说真话. - - 那么A、B都在撒谎; 由于A撒谎假, 知B说的是真 话. 这与C说B在撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
说谎者悖论
• M：有时我们会陷入了著名的说谎者悖论之中。
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于 或等于６０度
Ｂ
Ａ
证明 假设所求证的结论不成立，即 ＜ ＜ ＜ ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０度 三角形的内角和等于１８０° 这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿， 因此，所求证的结论成立．
例如：已知1+1=2 2+1=3，那么1+1+1等于3。 你就证1+1+1大于或小于3是否成立，结果肯定是错的。 因为1+1=2在加1就等3，1+1+1大于或小于3不成立，所以 原答案是正却的 1+1+1=3。 再如：妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次，我 和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然。有盘子 打碎了，当一片寂静。我说一定是妈妈打破的，为什么？ 证明：假如不是妈妈打破的，妈妈一定会责备妹妹，当事 实没有。所以结论是妈妈打破了盘子。
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交 于点P. l3 求证: l3与l2相交.
P
l1
l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, l3与l1相交于点P. 所以过直线l2外一点P,有两条直线l1, l3和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线与已知直线平行 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
新华师大版八年级数学上册《14.1.3反证法》学案

新华师大版八年级数学上册《14.1.3反证法》学案

新华师大版八年级数学上册《14.1.3反证法》学案姓名：班级:【学习目标】：1、通过实例，体会反正法的含义.2、了解反正法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题【学习重点】：运用反证法进行推理证明。

【学习难点】：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”【学习过程】一、单元导入，明确目标二、新知导学，合作探究预习课本114-116页内容。

（1）理解反证法是一种间接证明真命题的方法。

（2）了解反证法的三个步骤。

【自学指导一】反证法的定义及步骤1.反证法：人们在证明一个命题时，人们有时先假设（）不成立,从这样的假设出发,经过( )和已知条件矛盾,或者与( )等矛盾,从而得出假设的结论14.1.3反证法达标测试姓名：小组：得分：_____1、否定下列结论，并写出由此可能出现的情况：（1）a是有理数（2）a大于2（3）a小于2 （4）至少有2个（5）最多有一个2.已知：直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证：l3与l2相交.作业1.否定下列结论，并写出由此可能出现的情况。

（1）a<b.(2)点P在圆外。

（3）m是正数。

（4）∠A=∠B.2.求证：若a>b>0,则a>bL1L2 L3P不成立，即所求证的命题正确.这种证明方法叫反证法2.反证法的一般步骤：（1） 命题的结论的反面是正确的；（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与矛盾。

（3）由 判定假设不正确，从而命题的结论是正确的。

【自学指导二】 反证法的应用1.用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度证明；假设没有一个角大于或等于60°，即∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０度。

这与＿＿＿＿＿＿矛盾，所以假设命题＿＿＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．【自学指导三】反证法的再次利用 求证：△ABC 至少有两个角是锐角。

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与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0；
（3）b是正数； （4）a⊥b a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
做一做
学习是件很愉快的事
A D E C
已知：如图△ABC中，D、E两 点分别 在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 证明：假设CD、BE互相平分 连结DE，故四边形BCED是 B 平行四边形 ∴BD∥CE （平行四边形对边平行） 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
(2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°， 则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾
.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立． 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况， 这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题；
（4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明）
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街！
乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
b
c
C
a
C
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
P l1 l2
例6、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
A
P C
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真 假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄 蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！” 大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂 赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝 一声：“小偷就是他！”
E
3提示：证明：如图所示，假设两弦AB与CD互相平分
连接AC、CB、BD、DA，则四边形ACBD为平行四边形 所以∠ACB= ∠ ADB，因为四边形ACBD内接与圆，所以 ∠ ACB+ ∠ ADB=180°,所以∠ACB=90°，即 AB是直径，这与题设的“两条不是直径的弦”矛盾。 所以两弦AB和CD不能互相平分。
六、全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推 理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出 命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不 止。
大家议一议！
通过本节内容的学习，你 们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈）
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
他运用了怎样的推理方法？ • 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和 天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到 什么了？
各抒己见
自己的前额也被涂黑了.
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
≠∠
尝试解决问题
C
A
感 受 反 证 法:
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 （等 面 ） 已 正 知 确 命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 ， 原
.
反设
、
归谬
结论
反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立 什么时候运用反证法呢？ 所证命题 成立 与已知条 件矛盾
假设
假设命题结 论不成立
推理得出 的结论
你知道华盛顿是如何推理的吗？
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？ 你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
课外延伸
课时作业设计
• • • • • 用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。 求证：CD ∥EF。 3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两 条直线互相平行.”
A C B D F 第2题图
14.1.3反证法
小故事
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 所以，李子是苦的
D
.
B
C
A
4提示：证明：假设在同一平面内，垂直与同一直线的两条直线不平行，
那么它们的同旁内角不互补，又因为两条直线垂直于同一直线，
它们的同旁内角和等于180°，因此它们相互矛盾。 所以在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
点拨：至少的反面是没有！
例5
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点: 轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一 定是重的物体先落地.在意大利物理学家伽利略 提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士 多德的说法深信不疑.伽利略为了证明自己的观 点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中1 磅和重100磅的两个铁球同时从高空自由下落,果 然是同时着地.这是科学史上一个极其有名的实 验,它否定了亚里士多德的错误观点.你能用今天 所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗?试 一试.