计量经济学受约束回归

第六章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。

带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。

第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。

第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。

第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212*********这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。

R 中每一行都是一个约束中的系数。

矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。

因此，J 一定要小于或等于K 。

R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。

给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。

d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。

由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。

但是，如果约束条件 受约束回归 但是 如果约束条件为真，则受约束回归 如果约束条件为 无约束回归模型具有相同的解释能力 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 可用 根据数理统计学的知识：
Y1 X 1 = Y X 2 2 0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数β的估计， β 而γ不外是用后n2个样本测算的预测误差X2(α - β) γ α
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 无约束回归模型 则可写出如下无约束回 无约束回
Y1 X 1 = Y 0 2 0 β μ + 1 X 2 α μ 2
(*)
如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对 α β 如下假设进行检验： H0: α=β β
这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + β k +1 X k +1 + L β k + q X k + q + µ
(*) (**)
RSSU / σ 2 ~ χ 2 (n − kU − 1)
RSS R / σ 2 ~ χ 2 (n − k R − 1)

F
(RSSR RSSU ) /(kU kR ) RSSU /(n kU 1)
~
F (kU
kR , n kU
1)
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结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
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一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
Y 0 1X1 2 X 2 k X k
Q
AX
P P 1 2 3 10
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
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考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4

利用Eviews得回归方程为：
ˆ ln y 1.6524 0.3397 ln x1 0.9460 ln x2
t = (-2.73) p= (0.0144*) R2=0.995 (1.83) (0.085) (9.06) (0.000**)
对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示 产出对劳动投入的弹性，即表明在资本投入保持 不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平 均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动 投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百 分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹 性系数相加为规模报酬参数，其数值等于1.1857 ，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如 果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属 于规模报酬递减）。
20.5879 z 1 20.5879 x (4.6794 ) (4.3996 ** )
3、半对数模型和双对数模型
形式为：
ln y 0 1 x u y 0 1 ln x u
的模型称为半对数模型。 把形式为:
ln y 0 1 ln x u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 t = a + b r + c r2 c<0
t：税收；
r：税率
设 z1 = r， z 2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b z1 + c z 2 c<0
例 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下 表，试用回归分析法确定其成本函数。
表5-1 墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本
年份 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 GDP 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 就业人数 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 固定资产 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825