几何量试题及答案几何量是数学中的一个重要分支，它涉及到形状、大小、位置等概念。
以下是一些常见的几何量试题及答案，供学生练习和参考。
# 试题一：点、线、面的位置关系问题：在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(-1,2)、C(2,-1)，判断点A、B、C是否在同一直线上。
答案：要判断三点是否共线，可以计算线段AB和AC的斜率是否相等。
斜率公式为：\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]对于线段AB，斜率\( k_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)。
对于线段AC，斜率\( k_{AC} = \frac{-1 - 4}{2 - 3} = \frac{-5}{-1} = 5 \)。
由于\( k_{AB} \neq k_{AC} \)，所以点A、B、C不在同一直线上。
# 试题二：三角形的内角和问题：已知三角形ABC的三个内角分别为α、β、γ，证明三角形的内角和为180度。
答案：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180度。
证明如下：设三角形ABC的顶点A、B、C分别对应角α、β、γ。
将三角形ABC沿边BC翻折，使得点A与点A'重合，形成四边形ABA'C。
由于翻折，A'C与AC重合，A'B与AB重合，所以四边形ABA'C是一个矩形。
在矩形ABA'C中，对角线相等，即∠A'AB = ∠ABC，∠ABA' = ∠ACB。
由于矩形的对角线互相平分，所以∠A'AB + ∠ABA' = 180度。
又因为∠A'AB = α，∠ABA' = γ，所以α + β + γ = 180度。
# 试题三：圆的面积和周长问题：已知圆的半径为r，求圆的面积和周长。
答案：圆的面积公式为：\[ A = πr^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2πr \]其中，π是圆周率，约等于3.14159。
几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE =. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作C E A M ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=27点（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ……………1分∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分 （2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=， ∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分 丰台区27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE27．解：（1）如图； …………………1分（2）45°； …………………2分 （3）结论：AM ． …………………3分 证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ，∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM AG ．∴AMCN ． …………………7分 （其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：C图1连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分 证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证） ∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线 ∴∠AEP=90°，AE=PE ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90° ∠ACB=∠BAC=45° ∠AEP+∠ABC=180° ∴A ，B ，C ，E 四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45° ∴∠AEB=∠CEB=45° ∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS)∴BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分 即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．准蝶形AMBABM(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC中，AB=AC，2Aα∠=，点D是BC的中点，DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点.（1）EDB∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转1802α︒-，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN、与BC之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1）EDBα∠=……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DM DN=…………………………………3分∵,AB AC BD DC==∴DA平分BAC∠∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分大兴区BB27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ， 过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ． （1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间 的等量关系，并证明．27.（1）证明∵ ∠CAB=90°.∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°.∵∠GFB =∠CFA . ………………………………………………1分 ∴ ∠ABG =∠ACF . ………………………………………………2分（2）CG AG +BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GH AG . ………………………………………………………6分∴ CG =CH +GH AG +BG . ………………………………………7分 平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．27．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ····· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ······· 6 （3）tan 2DF αAE ． ········· 7 图1BB图2BBB怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．27.(1)如图E………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分(3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC的度数和∠CDF的度数，从而可知DF的长；…………………………………………………………………………………………………6分Ⅲ.过点A作AH⊥DF于点H，在Rt△ADH中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH、DH的长；Ⅳ. 由DF、DH的长可求HF的长；Ⅴ. 在Rt△AHF中, 由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长．…………………………7分延庆区27．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF．（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°．∴∠CDF+∠E=90°．∵BF⊥DE，图1FDE CB A∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ． 证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，∴四边形CGFM 是平行四边形， ∴CG =MF ．∴BF =DF +CG ． ……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．GFDBA（1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分 （2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ． ∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ．∴∠FAC =∠APF ．…………………………… 4分（3）判断：FM =PN ． …………………………………… 5分 证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ． ∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ．∴FM =PN ．…………………………………………………………… 8分。
中考数学几何测量问题注：第20题常考与锐角三角函数、相似三角形有关的几何测量问题．类型一与锐角三角函数有关的几何测量(2017、2012、2010.20)【类型解读】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年在第20题考查3次，分值为7分．命题特点：题干给出两个角度，至少含一个非特殊角，设问均为测量距离，且都要通过作辅助线构造直角三角形来解决．另外2019题型示例给出含两个特殊角题目，应引起重视．【满分技法】链接至P79“微专题锐角三角函数的实际应用”．针对训练1.(2019陕西定心卷)某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨想利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边．如图，他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行60米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向，请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．(结果保留根号)第1题图2.(2019海南改编)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，已知码头A到小岛C的距离AC为10海里，求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)第2题图3. (2019黄冈)如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)第3题图4.(2019陕师大附中模拟)某校在“建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C处测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第4题图5.(2019遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长．(结果保留根号)第5题图6.王顺山位于陕西省蓝田县，古称玉山，“天下名山此独奇，望中风景画中诗”是明朝诗人刘玑笔下的王顺山风光．王顺山森林公园内奇峰耸立、怪石嶙峋、清潭点点，是出游的好去处．如图，小延同学欲借助无人机在空中探测王顺山森林公园中某座小山的高度，当无人机向前飞行到A点时，测得飞行高度AF 为370米，此时山顶上C点的俯角为45°，无人机保持相同的高度继续向前飞行60米到达B点，此时测得山顶上C点的俯角是60°.已知DF表示水平地面，CD表示小山的高度，且图上各点均在同一平面内，求这座小山的高度C D.(结果保留根号)第6题图7. (2019衡阳)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第7题图8.某校航模设计小组制作了一个飞机模型准备参加航模大赛，该飞机模型的一个机翼形状近似于如图的四边形ABCD，其中∠A＝40°，∠C＝52°，AB＝8.5 cm，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为12.5 cm，请根据以上数据，求出CD的长度．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)第8题图类型二与相似三角形有关的几何测量(2018～2019、2013～2016、2011.20)【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年在第20题考查7次，分值为7分．命题特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测量高度．其中，2019年结合锐角三角函数考查，2016年解题需2次运用相似，其余均为1次．1.大唐芙蓉园位于陕西省西安市城南的曲江开发区大雁塔东南侧，园内的紫云楼是全园最主要的仿唐建筑之一，也是全园的点睛楼．小蓉和爸爸周天去紫云楼游玩，如图，正方形EFGH可以近似看作紫云楼的底部，A处为北门中点，爸爸从A处往正北方向走30米到达B处，C处为西门中点，小蓉从C处往正西方向走72米到达D处，此时正好看到B处的爸爸，则紫云楼底部的边长EF为多少米？(结果保留根号)第1题图2. (2019陕师大附中模拟)随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m.请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB 的高度．第2题图3.(2019荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG 为1.6 m，试确定楼的高度OE.第3题图4.一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥B C.经测量，∠ABP＝60°，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第4题图5.在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON 的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高AB为1.7米的小明在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度．(结果保留根号)第5题图6.晚饭后，小华陪父亲到广场散步，小华抬头看到一路灯，小华问父亲路灯臂MQ有多长，父亲说你已学过测量的知识，现在我们测量一下．如图所示，父亲背对路灯站在距路灯底座N点9 m的B处，小华站在父亲前面1 m的C处，此时小华通过父亲头顶A处刚好看到路灯臂的Q点，小华后退0.2 m到达F处，又恰好通过父亲头顶A处看到灯臂的M点，已知父亲身高AB＝1.8 m，小华身高CD＝EF＝1.4 m，MN⊥NF，MQ⊥MN，请你帮助小华计算灯臂MQ的长度．(眼睛到头顶的距离忽略不计)第6题图7.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得眼睛看到的旗杆顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，此时小明的眼睛到地面的高度AB 为1.5 m；然后用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8.0 m时，眼睛看到的旗杆顶端M也恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45 m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4 m，较短直角边为0.3 m，点B、N、D在同一条直线上，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1 m)第7题图8. (2019西安交大附中模拟) 如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼上观察这堵墙，视线所及示意图如图①.根据实际情况画出平面图形(如图②)，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差．图①图②第8题图参考答案类型一与锐角三角函数有关的几何测量1.解：如解图，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据题意，在△ABP中，∵∠P AB＝90°－30°＝60°，∠PBA＝90°－60°＝30°，∴∠APB＝180°－60°－30°＝90°.∴在Rt△APB中，AP＝AB·sin∠ABP＝60×sin30°＝30(米)．在Rt△APQ中，PQ＝AP·sin∠P AQ＝30×sin60°＝153(米)，∴小河的宽度为15 3 米．第1题解图2.解：设BP＝x海里，由题意得BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BP A＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠ABP＝60°，∴∠CBP＝45°，又∵∠BPC＝90°，∴∠C＝∠CBP＝45°，∴CP＝BP＝x海里．在Rt△ABP中，AP＝BP·tan∠ABP＝BP·tan60°＝(3x)海里，∴3x＋x＝10，解得x＝53－5.∴BP＝(53－5)海里．答：观测站B到AC的距离BP为(53－5)海里．3.解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形．第3题解图∵∠α＝45°，∠β＝60°，∴∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，∴△AED为等腰直角三角形，∵四边形BCDE为矩形，∴AE＝DE＝BC＝40 m，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠CAB＝40tan30°＝403≈40×1.732≈69.3 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝403－40≈29.3 m.答：建筑物AB的高度约为69.3 m，建筑物CD的高度约为29.3 m.4.解：如解图，过点C作CN⊥BM于点N，则四边形CDMN和四边形CDFE是矩形，且点E在线段CN上，∴MN＝CD＝1米，CE＝DF＝4米，∴BN＝BM－MN＝17－1＝16米．∵在Rt△BCN中，BN＝16米，∠BCN＝37°，∴CN＝BNtan37°≈21.33米．∵在Rt△AEN中，EN＝CN－CE≈17.33米，∠AEN＝45°，∴AN ＝EN ≈17.33米，∴AB ＝AN －BN ≈17.33－16≈1.3(米)． 答：宣传牌AB 的高度约为1.3米．第4题解图5. 解：如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ， ∴四边形DECF 为矩形， ∴DE ＝CF ，根据题意可得，在Rt △BDE 中， DE ＝BD ·sin30°＝168×12＝84(米)，∵DE ＝FC ，∴AF ＝AC －FC ＝AC －DE ＝154－84＝70(米)， ∴在Rt △ADF 中，AD ＝2AF ＝702米， 答：电动扶梯DA 的长为70 2 米．第5题解图6. 解：如解图，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，易得D 、C 、E 三点共线，由题意得∠EAC ＝45°， ∠EBC ＝60°，AB ＝60米，DE ＝AF ＝370米，设EC ＝x 米，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝EC BE，则BE＝ECtan∠EBC＝xtan60°＝3x3米，在Rt△ACE中，∵∠EAC＝45°，∴AE＝EC＝x米，∵AB＋BE＝AE，∴60＋3x3＝x，解得x＝90＋303，∴CD＝DE－EC＝370－90－303＝(280－303)米．答：这座山的高度CD为(280－303)米．第6题解图7.解：如解图，过点D作BC的垂线，交直线BC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，则四边形DGBF为矩形，∴DF＝GB，DG＝F B.∵山坡的坡度i＝1 ∶3，∴DF∶FC＝1 ∶3，∴DF∶FC∶CD＝1 ∶ 3 ∶2.∵CD＝10米，∴DF＝5米，FC＝5 3 米．∵CE＝10米，∴BE＝DG－FC－CE＝(DG－53－10)米．∵∠ADG＝30°，∴DG ＝AGtan30°＝3AG .∵∠AEB ＝60°， ∴tan ∠AEB ＝tan60°＝AB EB. ∵AB ＝AG ＋GB ＝AG ＋DF ＝(AG ＋5)米， ∴3＝AG ＋5EB ＝AG ＋5DG －53－10＝AG ＋53AG －53－10.解得AG ＝53＋10.∴AB ＝AG ＋GB ＝53＋10＋5≈23.7(米)． 答：楼房AB 的高度约为23.7米．第7题解图8. 解：如解图，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 、DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点E 、F ， ∵AE ∥CD ，∴四边形DFEC 为矩形，∴CD ＝EF ，∠EBC ＝∠DCB ＝52°， ∵CE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴在Rt △BCE 中，BE ＝CEtan ∠EBC≈9.77 cm ，在Rt △ADF 中，AF ＝DFtan A ≈14.88 cm ，∵AE ＝AB ＋BE ≈8.5＋9.77＝18.27 cm ， ∴CD ＝EF ＝AE －AF ≈18.27－14.88≈3.4 cm. ∴CD 的长度约为3.4 cm.第8题解图类型二与相似三角形有关的几何测量1.解：设紫云楼底部的边长EF为x米，则AE＝CE＝12x米，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABCE＝AECD，即3012x＝12x72，∴x＝2415.答：紫云楼底部的边长EF为2415 米．2.解：如解图，连接CD，由题可得△COF∽△ABF，△DOE∽△ABE，则COAB＝OFBO＋OF，DOAB＝OEBO＋OE，∵OD＝1 m，CO＝CD＋OD＝2.5 m，OE＝1 m，OF＝3 m，∴2.5AB＝3BO＋3，1AB＝1BO＋1，∴BO＝9 m，AB＝10 m.答：环保宣传牌AB的高度是10 m.第2题解图3.解：如解图，作点E关于OD的对称点M，由光的反射定律可知，延长F A、GC相交于点M.、第3题解图连接GF并延长，交OE于点H.∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH，∴ACFG＝MAMF＝MOMH，即ACBD＝OEMH＝OEMO＋OH＝OEOE＋BF，∴OEOE＋1.6＝22.1，∴OE＝32.答：楼的高度OE为32 m.4. 解：∵BC ∥EF ， ∴∠ABC ＝∠AEF ， ∠ACB ＝∠AFE ， ∴△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝BC EF ，即AB AB ＋60＝120200， 解得AB ＝90.∵AP ⊥BC ，∠ABP ＝60°，∴在Rt △APB 中，AP ＝AB ·sin60°＝90×32＝453， ∴彩虹桥AP 的长度为45 3 米．5. 解：如解图，过点Q 作QE ⊥DC 于点E ， 由题意可得△ABP ∽△CEQ ， 则AB BP ＝EC EQ ，即1.71.2＝EC EQ， 由作图可得EQ ∥NO ， 则∠1＝∠2＝30°， ∵DQ ＝5米，∴DE ＝52米，EQ ＝532米，∴1.71.2＝EC 532， ∴EC ＝85324米，∴CD ＝EC ＋DE ＝85324＋52＝853＋6024 米．答：大树的高度为853＋6024米．第5题解图6.解：如解图，过点A作AG⊥MN于点G，则有AG＝BN＝9 m，根据题意，易得CF＝DE＝0.2 m，BF＝PE＝1.2 m，∵MN⊥NF，AB⊥NF，EP⊥AB，∴AG∥PE，∴∠MAG＝∠AEP，又∵∠MGA＝∠APE＝90°，∴Rt△MAG∽Rt△AEP，∴MAAE＝AGEP.∵MQ⊥MN，∴AG∥MQ，MQ∥PE，∴∠MQA＝∠EDA，∠QMA＝∠DEA，∴△AMQ∽△AED，∴AMAE＝MQED，∴AGEP＝MQED，即91.2＝MQ0.2，∴MQ＝1.5 m.∴灯臂MQ的长度为1.5 m.第6题解图7. 解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ， 则AE ＝BN ，CF ＝DN ，EF ＝AB －CD ＝1.5－1.45＝0.05 m ， 设ME ＝x m ，则MF ＝(x ＋0.05)m ，∵∠AGH ＝∠AEM ＝90°，∠HAG ＝∠MAE ， ∴△AGH ∽△AEM ， ∴AG AE ＝HG ME ，即0.4AE ＝0.3x， ∴AE ＝43x m ，∵BD ＝8.0 m ，∴CF ＝DN ＝(8.0－43x )m ，∵∠CQP ＝∠CFM ＝90°， ∠PCQ ＝∠MCF ， ∴△CQP ∽△CFM ， ∴CQ CF ＝PQ MF，即0.48.0－43x＝0.3x ＋0.05，解得x ＝2.975，∴MN ＝ME ＋EN ＝2.975＋1.5≈4.5 m.答：旗杆MN 的高度约为4.5 m.第7题解图8. 解：由题意可知∠ABG ＝∠CDG ＝90°，又∵∠AGB ＝∠CGD ，∴△ABG ∽△CDG ，∴AB CD ＝BG DG .∵DF ＝100米，点B 是DF 的中点，∴BD ＝BF ＝50米，∵AB ＝5米，BG ＝10米，∴5CD ＝1050＋10，∴CD ＝30米，同理可求得EF ＝10米，CD－EF＝30－10＝20(米)，∴甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．。
专题19几何探究型问题1．(2019•重庆B卷)在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．(1)如图1，若∠D=30°，AB，求△ABE的面积；(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．【解析】(1)作BO⊥AD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠D=30°，∴∠AEB=∠CBE，∠BAO=∠D=30°，∴BO AB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB，∴△ABE的面积AE×BO．(2)作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：∵AB=AE，AQ⊥BE，∴∠ABE=∠AEB，BQ=EQ，∴PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠ABP=∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF=90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG=∠FAP，在△ABG和△FAP中，，∴△ABG≌△AFP，∴AG=FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC=180°，∠BCP=∠D，∵∠AEP+∠PED=180°，∴∠BPC=∠PED，在△BPC和△PED中，，∴△BPC≌△PED，∴PC=ED，∴ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．(2019•山西)综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是__________，的值是__________．(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．【解析】(1)由折叠的性质得：BE=EN，AE=AF，∠CEB=∠CEN，∠BAC=∠CAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45°，∴∠BEN=135°，∴∠BEC=67.5°，∴∠BAC=∠CAD=45°，∵∠AEF=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE EN，∴，故答案为：67.5°，．(2)四边形EMGF是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠的性质得：∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，∴MC=ME=CG=GF，∴∠MEC=∠BCE=22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，∴∠MEF=90°，∠GFE=90°，∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，∵∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴四边形EMGF是矩形．(3)连接EH、FH，如图所示：∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．【名师点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、矩形与菱形的判定是解题的关键．3．(2019•河北)如图1和2，ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x．(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．【解析】(1)AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°，∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得(4k)2+(3k)2=152，解得k1=-3(舍去)，k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上，∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD，∵ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．(2)如图2，过点C作CG⊥AP于G，∵ABCD，∴BC∥AD，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：(4m)2+(3m)2=152，解得m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG-BP=9-4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°．连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PH AP，在Rt△CPG中，13，∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度，∵2π<7，∴弦AP的长度>劣弧长度．(3)如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，∴∠CPM=∠CBP∴CB=CP，∵CM⊥AB∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．【名师点睛】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．4．(2019•河北)如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°，分别直接写出m，n的值．【解析】(1)在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE．(2)∵AD=6，AP=x，∴PD=6-x，当AD⊥BC时，AP AB=3最小，即PD=6-3=3为PD的最大值．(3)如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，∵I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)=180°(∠PAC+∠PCA)=180°(90°-α+60°)α+105°，∵0<α<90°，∴105°α+105°<150°，即105°<∠AIC<150°，∴m=105，n=150．【名师点睛】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．5．(2019•河南)在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．(1)观察猜想如图1，当α=60°时，的值是__________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是__________．(2)类比探究如图2，当α=90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【解析】(1)如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD=∠CAB=60°，∴∠CAP=∠BAD，∵CA=BA，PA=DA，∴△CAP≌△BAD，∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，∵∠AOC=∠BOE，∴∠BEO=∠CAO=60°，∴1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°．(2)如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD=∠CAB=45°，∴∠PAC=∠DAB，∵，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA=∠DBA，，∵∠EOC=∠AOB，∴∠CEO=∠OABB=45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．(3)如图3-1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE=EA，CF=FB，∴EF∥AB，∴∠EFC=∠ABC=45°，∵∠PAO=45°，∴∠PAO=∠OFH，∵∠POA=∠FOH，∴∠H=∠APO，∵∠APC=90°，EA=EC，∴PE=EA=EC，∴∠EPA=∠EAP=∠BAH，∴∠H=∠BAH，∴BH=BA，∵∠ADP=∠BDC=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA=∠DBC=22.5°，∵∠ADB=∠ACB=90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC=∠DBC=22.5°，∠DCA=∠ABD=22.5°，∴∠DAC=∠DCA=22.5°，∴DA=DC，设AD=a，则DC=AD=a，PD a，∴2．如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC，设AD=a，则CD=AD=a，PD a，∴PC=a a，∴2．【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
