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高一数学课件 ：向量数乘运算及其几何意义

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《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件

《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件

解：如图 → → ∵AD＝2DB， → → → → 2→ ∴CD＝CA＋AD＝CA＋ AB 3 → 2 → → 1→ 2→ ＝CA＋ (CB－CA)＝ CA＋ CB. 3 3 3 → 1→ → 又∵CD＝ CA＋λCB， 3 2 ∴λ＝ . 3
共线向量定理的应用
→ → BC 例3 (本题满分 9 分)已知向量AB＝a＋5b， → ＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D
③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所 以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以 进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运 算，如1＋a和λ－a无法运算．
2.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个 b＝λa 实数λ，使____________ ． 做一做 已知向量 a ， b 不共线，则 c ＝ a － 2b 与 d ＝－ 2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c＝ AB ＋ BM ＝ a＋ BC ＝ a＋ (b－ a)＝ (a 2 2 2 ＋b)． → 2→ ∵△ADN∽△ABM，AD＝ AB， 3 → 2→ 1 ∴AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 3
变式训练
→ 2.在△ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若AD → → 1→ → ＝2DB，CD＝ CA＋λ CB，求 λ 的值． 3
→ → 证明：∵CB＝2a－8b，CD＝3a－3b， → → → 又∵AC＝AB＋BC＝－a＋13b， → ∴CA＝a－13b.
→ → → 设CA＝xCB＋yCD＝2xa－8xb＋3ya－3yb ＝(2x＋3y)a－(8x＋3y)b＝a－13b，

向量数乘运算及其几何意义 课件

向量数乘运算及其几何意义 课件

【变式训练 3】
已知向量 a 和向量 b,求作向量:
1
2
(1) − 2a;
(2)2a-b.
解:(1)作 = 2a, =
图1
1
, 连接AB,则
2
=
1
− 2a.如图
2
图2
(2)作 = 2a, =b,连接 AB,则 = 2a-b.
如图 2.
1.
题型四
共线问题
【例 4】 已知非零向量 a,b 不共线.
归纳总结向量 λ(μ1a+μ2b)可以用平行四边形法则作出,如图
, = (1a+μ2b).
(
【做一做 4】 在▱ABCD 中, = 2a, = 3b,则 等于
)
A.a+b
B.a-b
C.2a+3b
D.2a-3b
解析: = + = 2a+3b.
答案:C
共线向量定理的应用
15
15
2 2 4
2 4 26
=
- +
+ - - +

5 3 15
5 3 15
=0·a+0·b=0+0=0.
题型二 用已知向量表示未知向量
【例 2】 已知在▱ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若
=e1, =e2,试用 e 1,e 2 表示 , .
1
2
分析:由于 MN , 则用e1 与 e2 表示可得 ; 在△AMN
步骤:
(1)设 ma+nb=λ(ka+pb);
(2)整理,得 ma+nb=λka+λpb,故

向量的数乘运算及其几何意义PPT优秀课件

向量的数乘运算及其几何意义PPT优秀课件

CD1CACB，则 等于（ A）
3
2 A.
1 B.
C. 1
3
3
3
D.

2 3
4.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，
并给出证明。 (1)ADBC;
(2)AD1BC 3
(3)ABDC,且AB AD
课堂作业
5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，
点N在线段BD上，且有BN= 1 BD，求证：M、N、C
2.证明:若u P u C u r u P u A u r ( 1 ) u P u B u r ，则A,B,C三点共线。
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
向量数乘运算及其几何意义
问题：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细 绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒 钟的位移对应的向量为 a，那么它在同一方
向 又3a上怎吗样3？秒表若钟示蚂的？蚁位是向移西3对a3吗应秒?的钟你向的能量位用怎移图样对形表应表示的示？向吗是量？
和探( 究a ) ：( a 已) 知( 非a )零.你向能量说说a它，们作的出几a 何 意a 义a 吗？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]

向量数乘运算及其几何意义 课件

向量数乘运算及其几何意义 课件

形状，并给出证明.
(1) AD BC;
(2) AD 1 BC 3
(3) AB DC, 且 AB AD
简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等.
（2）梯形，一组对边平行且不相等.
（3）菱形，一组对边平行且不相等，一组邻边相等.
5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD
向量数乘运算及其几何意义
如何求作两个非零向量的和向量？
r a
r
O
a
A
r
rr ab
r b
b
B
OA AB OB
首尾相连，起点到终点.
如何求作两个非零向量的差向量？
r a
O
r a
A
r
r b
b
rr
ab
B
OA OB BA 共起点连终点，被减向量定指向.
问题：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线
C
3br
B
r a
r b
r
2b
A
AC 2AB A、B、C三点共
线
r b
r
Oa
解：分别作向量 OuuAur、OuuBur，、Ouu过Cur 点A、C作直线AC.观察发 现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜
想A、B、C三点共线.
事实上，因为
uuur uuur uuur AB=OB-OA
向量 BD与 BC，AD 与DM 分别有什么关系？
BD 1 BC
A
2
AD 3DM
M
B
C
D
向量数乘的运算律及共线向量基本定理
思考1：你认为－2×（5
r a
），2
r a

向量数乘运算及其几何意义优秀课件

向量数乘运算及其几何意义优秀课件
向量数乘运算及其几何意义优秀 课件
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
作法: 在平面中任取一点 O
a
b
过O作OAa
o
过A作ABb
则OBab
a
ab
A
b
B
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量a b .
a
b
ob
a
A
作法:在平面中任取一点 O
问题2：你能说明它的几何意义吗？
讲授新课
注意： 实数与向量a，可以作积，
但不可以作加减法，即＋a， －a是无意义 的．
讲授新课
实数与向量的积的运算律：思考（ 3： 2a）与 6a之间的联
a
2a
3(2a)
6a 3 (2 a)6 a
(a ) ()a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：思考 (2： 3)a与2a3a的联 a
5a
2a
3a
( 2 3 ) a 2 a 3 a
( ) a a a
讲授新课
实数a与向量的b积的运算2 律( a ： 思 考 b 2() a： b)2 与 a 2 a 2b2 的 b 联
2(ab)
ab
2b
(a 2 ab ) a b
根据实数与向量的定积义的，可得运算律：
例 如 ， 已 图 A 知 D 3 A， D B E 3 B.试 C A 判 与 C A 断 是 E 否 .
E
解： AEADDE
C
3AB3BC
A B
3(ABBC)
3 AC ，
D
AC与AE共线
变式二：求证BC：//DE

人教版高一数学课件-向量数乘运算及其几何意义

人教版高一数学课件-向量数乘运算及其几何意义

ab
2b
結論: 2a+2b=2(a+b)
2a
三、向量的數乘運算滿足如下運算律：
，是实数，
（1）（ a) ( )a;
(2)( )a a a;
(3) (a b) a b.
特别地:（ ）a a a b a b
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算
例1.计算： （1）（ 3） 4a (2) 3(a b) 2(a b) a
問題: 如果把3都換成k( 不為0),結論會有什麼變化?
回饋演練：
1. 在ABC中,設D為邊ＢＣ的中點,求證:
(1)AD 1 (AB AC) (2)3AB 2BC CA 2AD
2
解：因為 AD AB BD
Ａ AB 1 BC
2
AB
1 2
(AC
AB)
1 2
(AB
BC)
（２）原式左边 AB 2AB 2BC CA
其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而時間、品質都是數量
a 3a = a + a + a
A
B
CD
a
-3a ＝(- a
)+ (-
a
)+ (-
a)
A
B
CD
練習1:
如圖,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..
a
Oa
a
-a B -a -a
a A OA= a+a+a =3a
第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算
2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義
復習1:向量的加法
如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.

高一数学课件 向量乘法运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
数乘向量的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
方向规定如下：
（1）a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0时， a 0
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅 a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答案:R=6

向量数乘运算及其几何意义

2023向量数乘运算及其几何意义contents •向量数乘运算的基本概念•向量数乘运算的几何意义•向量数乘运算在物理中的应用•向量数乘运算在数学中的拓展应用•向量数乘运算的实践应用案例目录01向量数乘运算的基本概念向量的定义零向量零向量记作0，是一个长度为0的向量，其所有分量都是0。

向量的模向量v的模记作|v|，定义为v的分量值的平方和的平方根。

向量的分量一个n维向量v可以表示为一个有序数组v = [v1, v2, ..., vn]，其中每个vi称为向量v的分量。

010203•向量数乘的定义：对于一个标量a和一个向量v，a数乘v的结果是一个向量，其每个分量是v的分量乘以a。

即，如果v = [v1, v2, ..., vn]，则av = [av1, av2, ..., avn]。

向量数乘的定义1向量数乘的运算性质23a(v + w) = av + aw，其中a是标量，v和w是向量。

标量与向量的数乘满足分配律a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向量。

向量数乘满足结合律av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。

向量数乘满足交换律02向量数乘运算的几何意义向量的方向向量的方向与数乘的顺序有关向量数乘运算的结果与数乘的顺序有关，不同的顺序可能得到不同的结果。

例如，对于两个向量a和b，如果先对a进行数乘，再对结果进行加法运算，得到的结果与先进行加法运算，再对结果进行数乘是不同的。

数乘可以改变向量的方向如果一个向量与一个正数相乘，那么它的方向将与原向量相同；如果与一个负数相乘，那么它的方向将与原向量相反。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的方向将与k的方向相同；如果a与负数k相乘，那么a的方向将与k的方向相反。

如果一个向量与一个正数相乘，那么它的长度将变为原向量的k倍；如果与一个负数相乘，那么它的长度将变为原向量的k分之一。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k倍；如果a与负数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k分之一。

向量数乘运算及其几何意义 课件


2
2
22
MC MD
12MABC121aDB12b，1
a
1
b
.
2
22
例3. 如图， ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上 ，且
BM 1 AB ，点 N 在 BC 上 ，且 BN 1 BC .
2
3
求证 ：M 、N 、D三点共线 . 证明：设 AB e1 ，AD e2 ，则
D A
C
BC
AD e2 ，
求证：AD BE CF 0 .
C
证明：
AD AC CD
AD AB BD
E
D
2AD AC AB CD BD AC AB 0 AC AB A
G
F
B
同理 2BE BA BC ，2CF CA CB
2( AD BE CF ) 2AD 2BE 2CF AC AB BA BC CA CB 0
新课讲述：
数乘运算
向量
.
加法
减法
数乘
.
例1 计算： (1) (3) 4a ； (2) 3(a b) 2(a b) a ； (3) (2a 3b c) (3a 2b c) . 解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a ；
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b；
求证：A，B，D 三点共线 .
证明： AD AB BC CD 2e1 3e2 6e1 23e2 4e1 8e2 12e1 18e2 6(2e1 3e2 ) 6 AB .
AD 与 AB 共线.
又 AD 与 AB 有共同的起点A， A，B，D 三点共线 .
例2 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且
显 然 3 a 的 方 向 与 a 的 方 向 相 同 ，3| 3a a的| 长3 度| a 是| . a 的 长 度 的 3 倍 ，

向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)


速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
THANK YOU
感谢聆听
也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。
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定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa
C
A B
E D
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
作业： １．P101 Ａ组9.10.12.
3(2a) (3 2)a
(2 3)a 2a 3a
2(a+b) = 2a+2b
以上通过 作图可验证
例1.计算: (1)(3) 4a 12a(2)3(a b) 2(a b) a 5b
(3)(2a 3b c) (3a 2b c) a 5b 2c
练习P100第5题
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连 ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
实际背景
一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应
向量a, 那么在同方向上3秒的位移对应的向量
即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系?
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
(2)向量3a的方向与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
练习P100第4题
思考:(1) 3 (2a) 6?a (3 2)a ?6a (2) (2 3)a 5?a 2a 3a 5?a
(3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
数乘向量的运算律:
设 , 为实数,那么
(1)(a) ()a (2)( )a a a (3)(a b) a b
用3a表示，试画出该向量。
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与 加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、质量都是数量
讲授新课
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a
aaa
a a a
OA
B
C
N
M
QP
OC OA AB BC a a a 记: a a a 3a
Ｂ组４ ２．作业6
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
MC= … = 1a+ b 2
N
A
M
B
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向
量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
3(2a)
3(2a)
=
6a
b a
ab
2a 2b
2b
2(a b ) 2a 2b
2a