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关系运算
关系模型与其他模型相比，最有特色的是它的 数据库语言。这种语言灵活方便、表达能力和 功能都很强。
目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、 查询、更新和控制一体化的特点，而查询是最 主要的部分。
查询的条件要使用关系运算表达式来表示。 因此，关系运算是设计关系数据语言的基础。 按表达查询的方法不同，关系运算可分为关系
代数和关系演算两大类。
3.4 关系代数
一种抽象的查询语言
用对关系的运算来表达查询
关系代数运算的三个要素
运算对象：关系 运算结果：关系 运算符：四类
关系代数运算符
集合运算符
将关系看成元组的集合 运算是从关系的“水平”方向即行的角度来进行
专门的关系运算符
不仅涉及行而且涉及列
算术比较符
RS
其结果仍为n元关系，由属于R或属于S的元 组构成。
并运算（续I）
R
ABC abc da f cbd
R∪S
A
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
a
b
c
d
a
f
c
b
d
b
g
a
S
ABC bga da f
差运算
定义
设R和S是n元关系，并且两者各对应属性的数据类 型也相同。则R和S的差运算定义为： RS ={t | tR tS }
A
B
C
a
b
c
c
b
d
B=b C=c(R)
A
B
C
a
b
c
选择运算
订购单关系
从订购单关系中选择职工 号为“E3”的元组构成新的关系
σ职工号="E3"(订购单)
投影运算
投影运算对指定的关系进行投影操作， 根据该关系分两步产生一个新关系：
1)选择指定的属性，形成一个可能含有重复 行的表格；
2)删除重复行，形成新的关系。
投影运算
投影运算表示为：
A (R) {r.A | r R}
其中R是关系名，π是投影运算符，A是被
投影的属性或属性集。
投影运算举例
订购单关系
选取职工号和供应商 号两列构成新的关系
π职工号，供应商号(订购单)
投影运算
选取运算是从关系的水平方向上进行运算的， 而投影运算则是从关系的垂直方向上进行的。
RS={ t | t=< r , s > rR sS }
RS的度为R与S的度之和， RS的元组个数 为R和S的元组个数的乘积。
广义笛卡尔积
R
ABC abc da f cbd
S
ABC bga da f
R×S
R.A R.B R.C S.A S.B S.C abcbga abcda f da f bga da f da f cbdbga cbdda f
辅助专门的关系运算符进行操作
逻辑运算符
辅助专门的关系运算符进行操作
关系代数运算符
运算符
∪ 集合 ∩
运算符
－
×
专门的 关系
∏
运算符
÷
含义 并 交 差 广义笛卡尔积
选择 投影 连接 除
运算符
＞
比较
≥
运算符
＜
≤
＝
≠
逻辑
∧
运算符
∨
含义 大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于
非 与 或
关系代数
RS
其结果仍为n元关系，由属于R而不属于S的元组构 成。
差运算（续I）
R
S
ABC abc da f cbd
R－S
ABC bga da f
A
B
C
a
b
c
c
b
d
交运算
定义
设R和S是n元关系，并且两者各对应属性的数据类 型也相同。则R和S的交运算定义为： RS ={ t | tR tS }
RS
其结果仍为n元关系，由既属于R又属于S的元组构 成。
选择运算
选择运算是从指定的关系中选择某些元 组形成一个新的关系，被选择的元组是 用满足某个逻辑条件来指定的。
选择运算表示为：
F (R) {t | t R F (t) true}
其中R是关系名，σ是选择运算符，F是逻 辑表达式。
选择运算
R
ABC abc da f cbd
B=b(R)
交运算可以通过差运算来重写：
RS = R (R S)
交运算（续I）
R
ABC abc da f cbd
S
ABC bga da f
R∩S
A
B
C
d
a
f
集合的并、交、差运算
广义笛卡尔积
定义
两个关系R，S，其度分别为n，m，则它们 的广义笛卡尔积是所有这样的元组集合：元 组的前n个分量是R中的一个元组，后m个分 量是S中的一个元组。
（2）若A={Ai1,Ai2,……，Aik}，其中Ai1,Ai2,……,Aik是 A1,A2,……，An中的一部分，则A称为属性列或域列，Ã 则表示{A1,A2,……，An}中去掉{Ai1,Ai2,……，Aik}后剩 余的属性组。t[A]={t[Ai1],t[Ai2],……,t[Aik]}表示元组t 在属性列A上诸分量的集合。
投影运算可以改变关系的属性次序 投影后取消了某些属性列后，就可能出现重复
行，应该取消这些完全相同的行。所以投影之 后，不但减少了属性，元组也可能减少，新关 系与原关系不相容。
两个关系R和S若进行并，交，差运算， 则它们必须是相容的：
关系R和S必须是同元的，即它们的属性数目 必须相同。
对于所有i，R的第i个属性的域必须和S的第i 个属性的域相同。
并运算
定义
设R和S是n元关系，并且两者各对应属性的 数据类型也相同。则R和S的并运算定义为： RS ={ t |t R tS }
专门的关系运算
（3）R为n目关系，S为m目关系，tr∈R, ts∈S,trts称为 元组的连接，它是一个n+m列的元组，前n个分量为R 的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
（4）给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组，定义 当t[X]=x时，x在R中的象集(image set)，为 Zx={t[Z]|t∈R,t[X]=x},它表示R中的属性组X上值为x的 诸元组在Z上分量的集合。
传统的集合运算
对关系的元组进行运算 其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的 包括集合并、集合交、集合差、广义笛卡儿积
专门的关系运算
对关系的元组和域进行运算 选择、投影、连接、除
基本运算
集合并、集合差、广义笛卡儿积、选择、投影 由基本运算可以推导出其它所有运算
集合的并、交、差运算
专门的关系运算
由于传统的集合运算，只是从行的角度 进行，而要灵活地实现关系数据库多样 的查询操作，必须引入专门的关系运算。
在讲专门的关系运算之前，为叙述上的 方便先引入几个概念。
专门的关系运算
（1）设关系模式为R(A1,A2,……An)，它的一个关系为 R，t∈R表示t是R的一个元组，t[Ai]则表示元组t中相应 于属性Ai的一个分量。