湖北省恩施州2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

湖北省重点中学2014-2015学年度期末质量检测高 一 数 学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合{}2xM y y -==，{N y y ==，则M N =IA ．{}1y y >B ．{}1y y ≥C ．{}0y y >D ．{}0y y ≥2.如果b a >，则下列各式正确的是A . x b x a lg lg ⋅>⋅B . 22bx ax >C . 22b a >D . x x b a 22⋅>⋅3.方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k = A ．2 B ．3C ．4D ．54.若角α的终边过点(1,2)-，则cos 2α的值为 A ．35-B ．35C．D5.设()xf x a =，13()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2log (1)0a a ->，那么当1x >时必有 A ．()()()h x g x f x << B ．()()()h x f x g x << C ．()()()f x g x h x <<D ．()()()f x h x g x <<6.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 A ．108B ．83C ．75D ．637.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是 A ．若m ∥n ,m α⊂,则α∥β B ．若α∥β,m α⊂,则m ∥n C ．若m ∥n ,m α⊥，则αβ⊥D ．若α∥β,m n ⊥,则m α⊥8.已知实数,x y 满足约束条件2,2,6x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为A ．24B ．20C ．16D ．129.已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -体积为94，底若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21B．18 C ．21 D ．1811.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间t h 间的关系为0ktP P e-= ．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771) A ．26B ．33C ．36D ．4212.已知数列{}n a 的通项公式为n c a n n=+，若对任意n N +∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是 A ．[]6,12B ．()6,12C ．[]5,12D ．()5,12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 13.不等式220x x -<的解集为 ▲ .14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = ▲ 时，数列{}n a 的前n 项和最大.15.已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，且1294S S =,体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，则12V V = ▲ ． 16. 在△ABC 中，π6A =，D 是BC 边上一点（D 与B 、C 不重合），且22AB AD BD DC =+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，则B ∠等于 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)第10题图 111111111111侧视图俯视图正视图第9题图 D C 1B 1A 1PC B A17.(本小题满分10分)已知向量a =r，(1b =r ，(1cos ,sin )c αα=--r ，α为锐角.（Ⅰ）求向量a r，b r 的夹角； （Ⅱ）若b c ⊥r r，求α.18.（本小题满分12分）某体育赛事组委会为确保观众顺利进场，决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m 的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ），租用铁栏杆的总费用为y （单位：元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足:2,n S n n n N +=+∈.等比数列{}n b 满足：021log 2=+n n a b .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T .20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA 丄平面ABC ， AC 丄AB ，2PA AB ==，1AC =. (Ⅰ) 证明：PC 丄AB ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的正弦值； (Ⅲ) 求三棱锥P ABC -外接球的体积.体育场外墙入口第18题图第20题图CAP21.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，90ABC ∠=o,1AB BC =,P 为△ABC 内一点，90BPC ∠=o .(Ⅰ)若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=o ,求tan PBA ∠.22.（本小题满分12分）已知函数x x x f 2)(2+=． (Ⅰ)若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若存在实数t ，当],1[m x ∈，()3f x t x +≤恒成立，求实数m 的取值范围．湖北省重点中学2014-2015学年度期末质量检测高一数学参考答案及评分说明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)CDBAB DCBCA BA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)第21题图PC13.102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.8 15.32 16.5π12三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分10分）（Ⅰ）cos ,a b a b a b⋅===r r r r r r …………………………………………………………3分 [],0,πa b ∈r r Q π,6a b ∴=r r ……………………………………………………………5分（Ⅱ）由b c ⊥r r 知0b c ⋅=r r，即1cos 0αα--= …………………………………7分π2s i n ()16α∴-=， π1sin()62α∴-= ……………………………………………9分又α为锐角，π=3α∴. …………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）依题意有：72100(22)y x x=⨯+-，其中2x >.……………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式可得：72144100(22)100(2)y x x x x=⨯+-=+-2)2200=≥ ……………………………………8分当且仅当144x x=即12x =时取“=” ………………………………10分 综上：当12x =时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 …12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，………………2分 又1221a ==⨯，2n a n ∴=…………………………………………………………………4分 由21log 02n n b a +=得1()2n n b = …………………………………………………………6分 （Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==0121111()2()3()222n T =⨯+⨯+⨯+…2111(1)()()22n n n n --+-⨯+⨯ (1)121111()2()222n T =⨯+⨯+ (111)(1)()()22n n n n -+-⨯+⨯ ……（2）…8分(1)(2)-得121111()()222n T =+++…111()1112()()()22212nn n n n n --+-⨯=-⨯- …10分 114()(2)2n n T n -∴=-+……………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分） （Ⅰ）AB AC AB PAC AB PC AB PA ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭平面 …………………………………………4分（Ⅱ）过A 作AM PC ⊥交PC 于点M ，连接BM ，则AMB ∠为所求角 …6分在三角形AMB 中，sin AB AMB BM ∠==8分 (Ⅲ)求三棱锥P ABC -外接球即为以,,AP AB AC 为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径…………10分23)2(912222222=⇒==++=R R l334439ππ()π3322V R ==⨯= ……………………………………12分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）由已知得，60PBC ∠=o ，所以30PBA ∠=o ；………………………………………2分 在△PBA 中,由余弦定理得21173cos30424PA =+-=o ，……………………5分 故PA =………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=， ………………………………………………8分 在△PBA 中, sin sin(30)αα=-o，………………………………10分 4sin αα=； 所以tan α=tan PBA ∠= …………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意得， 当21a -<-≤时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==，MCAP∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a + …………………………………………………2分 当10a -<≤时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ， ∴此时)(x f 的值域为]0,1[-当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +- ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由()3f x t x +≤恒成立得22(21)20x t x t t +-++≤恒成立 令t t x t x x u 2)12()(22++-+=，],1[m x ∈，因为抛物线的开口向上，所以)}(),1(max{)(max m u u x u = …………………………………………………6分由()0u x ≤恒成立知(1)0()0u u m ⎧⎨⎩≤≤，化简得22402(1)0t t m t m m -⎧⎨+++-⎩≤≤≤ 令m m t m t t g -+++=22)1(2)(，则原题可转化为：存在]0,4[-∈t ，使得()0g t ≤即当]0,4[-∈t 时，min ()0g t ≤. …………………………………………………8分 1,()m g t >∴Q 的对称轴为12t m =--<-，① 当14m --<-，即3m >时，min ()(4)g t g =-，解得38m <≤② 当412m ---<-≤，即13m <≤时，min ()(1)13g t g m m =--=--解得13m <≤ …………………………………………………11分综上，m 的取值范围为(1,8]. ………………………………………………12分23,168(1)0m m m m >⎧∴⎨-++-⎩≤13130m m <⎧∴⎨--⎩≤≤。

2014-2015学年湖北省恩施州高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）若集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∪N）是（）A．{1，2，3}B．{4}C．{1，3，4}D．{2}2．（5.00分）已知向量=（﹣x+1，2），=（3，x），若，则x等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．（5.00分）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣44．（5.00分）已知角α的终边过点P（2x，﹣6），且tanα=﹣，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．25．（5.00分）在下列命题中，正确的个数是（）①若||=||，=；②若=，则∥；③||=||；④若∥，∥，则∥．A．1 B．2 C．3 D．46．（5.00分）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）A．（0，4） B．[4，9） C．[1，9） D．[1，4]7．（5.00分）已知，若函数f（x）=cos（ωx++θ）是周期为π的奇函数，则函数y=sin（ωx+θ）的单调增区间为（）A．[kπ﹣，k]（k∈Z）B．[kπ﹣，k]（k∈Z）C．[kπ﹣，k]（k∈Z）D．[kπ﹣，k]（k∈Z）8．（5.00分）已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在[0，1]上的值域是[0，1]，若函数g（x）=a x﹣m﹣4的图象不过第二象限，则m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，2] 9．（5.00分）若将函数f（x）=2sin（3x+φ）图象向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，当|φ|取最小值时，函数f（x）在[﹣，]上的最大值是（）A．1 B．C．D．210．（5.00分）若，是两个非零向量，且||=||=，，则与﹣的夹角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5.00分）函数y=2tanx+a在x上的最大值为4，则实数a 为．12．（5.00分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，=且=a，=b，则=．（结果用a，b表示）13．（5.00分）设向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），若，则y 的最大值为．14．（5.00分）设，是两个不共线的向量，已知向量=2+tan，=﹣，=2﹣，若A，B，D三点共线，则=．15．（5.00分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=﹣xlg（2m﹣x+），当x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，则m的取值范围是．三、解答题16．（11.00分）计算：log3+lg25+lg4++log23•log34；设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．17．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．18．（12.00分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（﹣θ）），=．（1）求证：．（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t，满足，试求此时的最小值．19．（12.00分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0．（1）当A=ω=2，φ=时，函数g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有两个零点，求m的范围；（2）当A=1，φ=时，若函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式，并求最小正实数n，使得函数f（x）的图象向左平移n 个单位所对应的函数是奇函数．21．（14.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2014-2015学年湖北省恩施州高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）若集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∪N）是（）A．{1，2，3}B．{4}C．{1，3，4}D．{2}【解答】解：因为M={1，2}，N={2，3}，所以M∪N={1，2，3}，又集合U={1，2，3，4}，则∁U（M∪N）={4}，故选：B．2．（5.00分）已知向量=（﹣x+1，2），=（3，x），若，则x等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵向量=（﹣x+1，2），=（3，x），由可得=3（﹣x+1）+2x=0，解得x=3故选：D．3．（5.00分）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：f（x）=，则f（﹣1）==2，∴f（f（﹣1））=f（2）=3+log22=3+1=4．故选：C．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（2x，﹣6），且tanα=﹣，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【解答】解：∵角α的终边过点P（2x，﹣6），且tanα=﹣，∴tanα=﹣=，即2x=8，即x=3，故选：A．5．（5.00分）在下列命题中，正确的个数是（）①若||=||，=；②若=，则∥；③||=||；④若∥，∥，则∥．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，||=||时，与的方向不一定相同，∴=不一定成立，命题错误；对于②，当=时，∥，命题正确；对于③，向量与是相反向量，∴||=||，命题正确；对于④，当∥，∥时，若=，则与的方向不能确定，∴∥不一定成立，命题错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．6．（5.00分）若函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4在区间[3，5）上有零点，则m的取值范围是（）A．（0，4） B．[4，9） C．[1，9） D．[1，4]【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4，对称轴x=2，在区间[3，5）上单调递增∵在区间[3，5）上有零点，∴即解得：1≤m＜9，故选：C．7．（5.00分）已知，若函数f（x）=cos（ωx++θ）是周期为π的奇函数，则函数y=sin（ωx+θ）的单调增区间为（）A．[kπ﹣，k]（k∈Z）B．[kπ﹣，k]（k∈Z）C．[kπ﹣，k]（k∈Z）D．[kπ﹣，k]（k∈Z）【解答】解：∵函数f（x）=cos（ωx++θ）的周期为π，∴T=，可解得：ω=2．可得：f（x）=cos（2x++θ），∵函数f（x）=cos（2x++θ）是奇函数，∴由+θ=kπ+，k∈Z，可解得：θ=kπ+，k∈Z，∵，∴，∴可得y=sin（2x+），∴由2k≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ，k∈Z，故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在[0，1]上的值域是[0，1]，若函数g（x）=a x﹣m﹣4的图象不过第二象限，则m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，2]【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，∴log a1=0，log a2=1，解得a=2．当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，∴log a1=1，log a2=0，舍去．故a=2．∵函数g（x）=2x﹣m﹣4的图象不过第二象限，∴g（0）=2﹣m﹣4≤0，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故选：A．9．（5.00分）若将函数f（x）=2sin（3x+φ）图象向右平移个单位后得到的图象关于点（，0）对称，当|φ|取最小值时，函数f（x）在[﹣，]上的最大值是（）A．1 B．C．D．2【解答】解：将函数f（x）=2sin（3x+φ）图象向右平移个单位后得到函数g （x）=2sin（3x﹣+φ）的图象，依题意知+φ=kπ（k∈Z），∴φ=kπ﹣（k∈Z），只有当k=0，即φ=﹣时，|φ|min=，∴f（x）=2sin（x﹣），∵x∈[﹣，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴f（x）max=2．故选：D．10．（5.00分）若，是两个非零向量，且||=||=，，则与﹣的夹角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：由于||=||=，，不妨设|+|=1，则||=||=λ，即有（+）2=++2=2λ2+2=1，即=，=﹣=﹣λ2=，||====，cos＜，＞==﹣=﹣=﹣，由于，则λ2∈[，1]，∈[，]，﹣∈[﹣，﹣]，由于0≤＜＞≤π，则有≤＜＞≤．故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5.00分）函数y=2tanx+a在x上的最大值为4，则实数a为4﹣2．【解答】解：∵函数y=2tanx+a在x上为增函数，∴当x=时，函数y=2tanx+a确定最大值为4，即在2tan+a=4，即a=4﹣2，故答案为：4﹣212．（5.00分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，=且=a，=b，则=．（结果用a，b表示）【解答】解：∵，=，，∴=+==．故答案为：．13．（5.00分）设向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），若，则y 的最大值为2．【解答】解：向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），，所以sin2α+2（cosα﹣y）=0，可得y=sin2α+2cosα=﹣cos2α+2cosα+1=﹣（cosα﹣1）2+2．∴y max=2．故答案为：2．14．（5.00分）设，是两个不共线的向量，已知向量=2+tan，=﹣，=2﹣，若A，B，D三点共线，则=0．【解答】解：若A，B，D三点共线，可设=，即有=λ（﹣），即有2+tan=λ（2﹣﹣+）=λ（+），则有λ=2，tanα=，可得tan，则===0．故答案为：0．15．（5.00分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=﹣xlg（2m﹣x+），当x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，则m的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∵当x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，∴由题意得出知，当x＜0时，f（x）=﹣xlg（2m﹣x）＞0恒成立．∴2m﹣x＞1恒成立．∵﹣x＞0，∴2m≥1，解得出；m≥﹣1三、解答题16．（11.00分）计算：log3+lg25+lg4++log23•log34；设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}．若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）log3+lg25+lg4++log23•log34=log3﹣1+2lg5+2lg2+2+•2log32=﹣+2+2+2=；（2）化简集合A=[﹣2，5]，集合B=（m﹣1，2m+1）∵A∪B=A，∴B⊆A，当2m+1≤m﹣1，即m≤﹣2时，B=∅⊆A，当B≠∅，即m＞﹣2时，∴，解得﹣1≤m≤2，综上所述m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，2]17．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．【解答】解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T==8．∴ω=．图象过点（﹣1，0），则2sin（﹣+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，于是有f（x）=2sin（x+）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+）=2cos x．∵x∈[﹣6，﹣]，∴﹣π≤x≤﹣．当x=﹣，即x=﹣时，y max=；当x=﹣π，即x=﹣4时，y min=﹣2．18．（12.00分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（﹣θ）），=．（1）求证：．（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t，满足，试求此时的最小值．【解答】解：（1）证明∵=cos（﹣θ）•cos（﹣θ）+sin（﹣θ）•sin=si nθcosθ﹣sinθcosθ=0．∴．（2）解由得=0，即[+（t2+3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+（t3+3t）+[t2﹣k（t+3）]=0，∴﹣k+（t3+3t）=0．又=1，=1，∴﹣k+t3+3t=0，∴k=t3+3t．∴==t2+t+3=2+．故当t=﹣时，有最小值．19．（12.00分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得：，解得．或，解得．（舍去）∴a=1，b=0．故g（x）=x2﹣2x+1，．（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即，∴．在x∈[﹣1，1]时，设，∴k≤（t﹣1）2，由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即≤t≤2，且t≠1．∵（t﹣1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（﹣∞，0]．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0．（1）当A=ω=2，φ=时，函数g（x）=f（x）﹣m在[0，]上有两个零点，求m的范围；（2）当A=1，φ=时，若函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式，并求最小正实数n，使得函数f（x）的图象向左平移n 个单位所对应的函数是奇函数．【解答】解：（1）当A=ω=2，φ=时，f（x）=2sin（2x+），则由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，]上有两个交点，如图所示：故m的范围为[1，2）．（2）当A=1，φ=时，若函数f（x）=sin（ωx+），图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得=2×，ω=2，故f（x）=sin（2x+）．把函数f（x）的图象向左平移n个单位所对应的函数的解析式为y=sin[2（x+n）+]=sin（2x+2n+），再根据y=sin（2x+2n+）为奇函数，可得2n+=kπ，k∈z，故n的最小值为．21．（14.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）=k，则k=．（2）g（x）=log4（a•2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），∴log 4（）=log 4（a•2x ﹣a ），方程等价于，设2x =t ，t ＞0，则（a ﹣1）t 2﹣﹣1=0有一解若a ﹣1＞0，设h （t ）=（a ﹣1）t 2﹣﹣1，∵h （0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解 ∴a ＞1满足题意若a ﹣1=0，即a=1时，h （t ）=﹣﹣1，由h （t ）=0，得t=﹣＜0，不满足题意若a ﹣1＜0，即a ＜1时，由，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意 当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a 的取值范围是{a |a ＞1或a=﹣3}．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

湖北省恩施州2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题C．命题“∃x0∈R，x+x0+1=0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”D．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题3．（5分）设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）下列类比中：①与圆心距离相等的两弦相等：类比到空间：与球心距离相等的两个数面圆的面积相等；②圆的面积S=πr2，类比到空间：球的体积为V=πr2；③圆心与弦（垂直经）中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直与截图，其中正确的类比是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5．（5分）已知a，b是实数，则“lga＞lgb”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）玩微信、玩微博、打游戏，当成年人享受智能手机带来的娱乐生活体验时，这些变化也悄悄降临时了中小学生身上，为了解学生平均每周的上网时间（单位：h），从2014-2015学年高二年级1000名学生中随机抽取100名进行了调查，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1：3：5，据此估计该校2014-2015学年高二年级学生中平均每周上网时间少于4h的学生人数是（）A．600 B．400 C．60 D．407．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+28．（5分）如图2，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图（又称正视图）是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为（）A．16 B．C．D．9．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线相交于A，B，C，D 四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3．12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=10．…，…，照此规律，第6个等式为．12．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到如下数据：单价x（元） 4.2 3.8 3.2 2.8 2.2 1.6销量y（千件） 1.6 2 4.4 4.8 5.2 6 由表中数据，求得线性回归方程为y=﹣2x+a，则a=．13．（5分）已知抛物线y=2ax2过点（1，4），则焦点坐标为．14．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m+n=．15．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0），C（5，0），顶点B在椭圆+=1，则=．16．（5分）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：x ﹣1 0 4 5f（x） 1 2 2 1①函数f（x）的最大值点为0，4；②函数f（x）在区间[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4．其中正确命题的序号是．17．（5分）若存在一个圆，当θ∈[0，2π]时，恒与直线xcosθ+ysinθ﹣cosθ﹣2sinθ﹣2=0相切，则圆的方程为．三、解答题（共5小题，满分65分）18．（12分）已知a＞0，命题p：f（x）=cos（2x+）+sin2x+a，x∈R，3≤f（x）≤6恒成立：命题q：g（x）=log3（ax2+ax+1）的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5（n∈N+）．（1）证明：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设关于x的函数f（x）=（a1+1）x+（a2+1）x2+…+（a n+1）x n，求函数f（x）在点x=1处的导致f′（1）的值．20．（13分）某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数如图表中所示，大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样方法从三个代表队中抽取16人在前排就座，其中亚军队有5人．（1）求季军队的男运动人数m的值；（2）从前排就座的亚军队5人（3男2女）中随机抽取2人上台颁奖，求季军队中有女生上台的频率；（3）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0，4]内的两个随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图相应程序，若电脑显示“中文”，则运动员获相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该运动员获得奖品的频率．冠军队亚军队季军队男生 30 30 m女生 30 20 3021．（14分）如图，椭圆：=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=4的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P（，1），求△PAB面积的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．湖北省恩施州2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置．解答：解：∵复数z====﹣1+i，∴复数对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数对应的点的在第二象限，故选B点评：本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，本题是一个基础题．2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题C．命题“∃x0∈R，x+x0+1=0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”D．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的否命题判断A；写出原命题的逆命题并判断真假判断B，D；直接写出特称命题的否定判断C．解答：解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A正确，命题“若x=y，则sinx=siny”的逆命题是“若sinx=siny”，则“x=y”是假命题，故B错误，命题“∃x0∈R，x+x0+1=0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≠0，故C错误，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：“若a＜b”，则“am2＜bm2”，是假命题，故D 错误，故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了原命题的逆命题、否命题的真假性的判定方法，是基础题．3．（5分）设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=﹣1的距离，由此求得结果．解答：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2﹣（﹣1）=3，故选C．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．4．（5分）下列类比中：①与圆心距离相等的两弦相等：类比到空间：与球心距离相等的两个数面圆的面积相等；②圆的面积S=πr2，类比到空间：球的体积为V=πr2；③圆心与弦（垂直经）中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直与截图，其中正确的类比是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对3个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①与圆心距离相等的两弦相等：类比到空间：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，正确；②圆的面积S=πr2，类比到空间：球的体积为V=πr3，错误；③圆心与弦（垂直经）中点的连线垂直于弦，类比到空间，球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直与截面圆，正确．故选：B．点评：本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．（5分）已知a，b是实数，则“lga＞lgb”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合对数不等式和指数不等式的解法进行判断即可．解答：解：由lga＞lgb得a＞b＞0，由（）a＜（）b得a＞b，则“lga＞lgb”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．6．（5分）玩微信、玩微博、打游戏，当成年人享受智能手机带来的娱乐生活体验时，这些变化也悄悄降临时了中小学生身上，为了解学生平均每周的上网时间（单位：h），从2014-2015学年高二年级1000名学生中随机抽取100名进行了调查，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1：3：5，据此估计该校2014-2015学年高二年级学生中平均每周上网时间少于4h的学生人数是（）A．600 B．400 C．60 D．40考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，利用频率和为1，求出前3个组对应的频率和以及各小组的频率是多少，再求出该校2014-2015学年高二年级学生中平均每周上网时间少于4h的频率与频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；直方图中从左到右前3个小矩形对应的频率和为1﹣（0.035+0.015）×2=0.9；又这3个小矩形的面积之比为1：3：5，∴这3组的频率分别为0.1，0.3，0.5；∴该校2014-2015学年高二年级学生中平均每周上网时间少于4h的频率为0.1+0.3=0.4，∴估计对应的学生人数是1000×0.4=400．故选：B．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．7．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+2考点：循环结构．专题：图表型．分析：写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件．解答：解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2（i﹣1）令2（i﹣1）=100解得i=51即需要i=51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n=n+2故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律．8．（5分）如图2，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的主视图（又称正视图）是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为（）A．16 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由画三视图的要求“长对正，宽相等，高平齐”可求出侧视图的高与宽，进而求出答案．解答：解：由题意可知：左视图的高与主视图的2014-2015学年高一样为4，左视图的宽度与俯视图的宽度一样都是底面正三角形的高2．因此左视图的面积=4×2=8．故选D．点评：本题考查了在给出原几何体及主视图的条件下求左视图的面积，明确画三视图的要求是正确求解的关键．9．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线相交于A，B，C，D 四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把x=±m代入双曲线可得，解得y=．由于四边形ABCD为正方形，可得，化为．利用m2＞a2，可得，化为b2＞a2，解出即可．解答：解：把x=±m代入双曲线可得，解得y=，∵四边形ABCD为正方形，∴，化为．∵m2＞a2，∴，化为b2＞a2，∴c2﹣a2＞a2，∴e2＞2，解得，故选A．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．10．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：不等关系与不等式；奇偶性与单调性的综合．专题：导数的概念及应用．分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较30.3，，的大小即可．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞＞0＞=﹣2，2=﹣＞30.3＞1＞＞0．∴（﹣）•f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即（）•f（）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即：c＞a＞b故选C．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3．12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=10．…，…，照此规律，第6个等式为12﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣21．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：等式的左边是连续正整数的平方和或差，根据这一规律得第6个等式，结合分组求和法求等式右边的值．解答：解：由题意得，12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10…，所以第6个等式为：12﹣22+32﹣42+52﹣62=（12﹣22）+（32﹣42）+（52﹣62）=﹣21，故答案为：12﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣21．点评：本题考查归纳推理，分别看左右两边的规律，注意看左右两边之间的联系，考查观察、分析、归纳能力．12．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到如下数据：单价x（元） 4.2 3.8 3.2 2.8 2.2 1.6销量y（千件） 1.6 2 4.4 4.8 5.2 6由表中数据，求得线性回归方程为y=﹣2x+a，则a=10.6．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算平均数，利用y=﹣2x+a，求a．解答：解：由题意，=3.3，=4∵y=﹣2x+a，∴4=﹣6.6+a，∴a=10.6．故答案为：10.6．点评：本题主要考查回归分析，考查运算能力、应用意识，属于基础题．13．（5分）已知抛物线y=2ax2过点（1，4），则焦点坐标为（0，）．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将点（1，4）代入抛物线方程可得a=2，即可求得抛物线y=4x2即x2=y的焦点坐标．解答：解：抛物线y=2ax2过点（1，4），即有4=2a，解得a=2，则抛物线y=4x2即x2=y的焦点坐标为（0，）．故答案为：（0，）．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，属于基础题．14．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m+n=9．考点：茎叶图．专题：图表型．分析：求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此求出它们的中位数和平均数，即可求出答案．解答：解：甲平均数是：（10+m+20+22+28），乙平均数是：（19+n+20+26），甲数据从小到大排列，位于中间的两个数的平均数是21，所以中位数21．乙数据从小到大排列，位于中间的数是20+n，所以中位数20+n．根据题意得：∴故答案为：9．点评：考查茎叶图、中位数与平均数的意义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0），C（5，0），顶点B在椭圆+=1，则=．考点：椭圆的简单性质．专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值．解答：解：椭圆+=1的a=6，c===5，△ABC的顶点A（﹣5，0），C（5，0），即为椭圆的两焦点，由椭圆定义可得，AB+CB=2a=12，又AC=10，由正弦定理知===，故答案为：．点评：本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来，需注意特殊点的“巧合”．16．（5分）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：x ﹣1 0 4 5f（x） 1 2 2 1①函数f（x）的最大值点为0，4；②函数f（x）在区间[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4．其中正确命题的序号是②．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据极大值的定义，可判断①的真假；根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，可判断②的真假；根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断③的真假；解答：解：∵由导函数的图象知，函数f（x）的极大值点为0与4，而不是最大值点，故①错误；由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误故答案为：②点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．17．（5分）若存在一个圆，当θ∈[0，2π]时，恒与直线xcosθ+ysinθ﹣cosθ﹣2sinθ﹣2=0相切，则圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为（a，b），求出圆心到直线的距离d=|acosθ+bsinθ﹣cosθ﹣2sinθ﹣2|，根据恒与直线xcosθ+ysinθ﹣cosθ﹣2sinθ﹣2=0相切，可得圆心与半径，即可求出圆的方程．解答：解：设圆心为（a，b），则圆心到直线的距离d=|acosθ+bsinθ﹣cosθ﹣2sinθ﹣2|，所以a=1，b=2时，d恒等于2，所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（共5小题，满分65分）18．（12分）已知a＞0，命题p：f（x）=cos（2x+）+sin2x+a，x∈R，3≤f（x）≤6恒成立：命题q：g（x）=log3（ax2+ax+1）的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先求出p，q为真命题时m的范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假，继而求出a的范围．解答：解：若命题p为真命题：f（x）=cos（2x+）+sin2x+a=（cos2x﹣sin2x）+（1﹣cos2x）+a=﹣sin2x++a，∵﹣1≤sin2x≤1，∴a≤f（x）≤a+1，∵3≤f（x）≤6恒成立，∴，解得3≤a≤5，若命题q为真命题：g（x）=log3（ax2+ax+1）的定义域为R，∴ax2+ax+1＞0恒成立，∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假，∴或，∴0＜a＜3，或4≤a≤5故a的取值范围为（0，3）∪[4，5]．点评：本题综合考查了对数函数的性质调性、三角函数的和差公式，二倍角公式，复合命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5（n∈N+）．（1）证明：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设关于x的函数f（x）=（a1+1）x+（a2+1）x2+…+（a n+1）x n，求函数f（x）在点x=1处的导致f′（1）的值．考点：导数的运算；数列递推式．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由数列递推式得到n≥2时，S n=2S n﹣1+n+4，和原递推式联立后得到a n+1=2a n+1，由等比数列的定义证得数列{a n+1}成等比数列；（2）由求导公式荷题意求出f′（x），再求出f′（1）的表达式，由（1）和等比数列的通项公式求出a n+1，代入f′（1）后，利用等比数列的前n项和公式、错位相减法求出f′（1）．解答：证明：（1）由已知S n+1=2S n+n+5（n∈N+），可得n≥2时，S n=2S n﹣1+n+4，两式相减得S n+1﹣S n=2（S n﹣S n﹣1）+1，即a n+1=2a n+1．则a n+1+1=2（a n+1）（n≥2）．当n=1时，S2=2S1+1+5，则a2+a1=2a1+6，又a1=5，得a2=11．即a2+1=2（a1+1）．所以a n+1+1=2（a n+1），n∈N+，又a1=5，a1+1≠0，所以数列{a n+1}成等比数列；解：（2）因为f（x）=（a1+1）x+（a2+1）x2+…+（a n+1）x n，所以f′（x）=（a1+1）+2（a2+1）x+…+n（a n+1）x n﹣1，则f′（1）=（a1+1）+2（a2+1）+…+n（a n+1），由（1）知a n+1=6×2n﹣1=3×2n，代入上式得，f′（1）=（a1+1）+2（a2+1）+…+n（a n+1）=3（1•21+2•22+3•23+…+n•2n），①2f′（1）=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），②①﹣②可得，﹣f′（1）=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）=3（﹣n•2n+1）=3（1﹣n）2n+1﹣6，所以f′（1）=3（n﹣1）2n+1+6．点评：本题考查利用等比数列的证明方法：定义法，等比数列的前n项和公式数列a n与S n的关系式，求导公式，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．20．（13分）某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数如图表中所示，大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样方法从三个代表队中抽取16人在前排就座，其中亚军队有5人．（1）求季军队的男运动人数m的值；（2）从前排就座的亚军队5人（3男2女）中随机抽取2人上台颁奖，求季军队中有女生上台的频率；（3）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0，4]内的两个随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图相应程序，若电脑显示“中文”，则运动员获相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该运动员获得奖品的频率．冠军队亚军队季军队男生 30 30 m女生 30 20 30考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的方法得关于m的等式，即可解得m．（2）记3个男运动员分别为A1，A2，A3，2个女运动员分别为B1，B2，利用列举法写出所有基本事件和亚军队中有女生的情况，最后利用概率公式计算出亚军队中有女生上台领奖的概率；（3）由框图得到，点（x，y）满足条件，其表示的区域是图中阴影部分，利用几何概型的计算公式即可得到该运动员获得奖品的概率．解答：解：（1）由题意得，解得m=20．（2）记3个男运动员分别为A1，A2，A3，2个女运动员分别为B1，B2，所有基本事件如下：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A3，B1），（B1，B2），共10种，其中亚军队中有女生有7种，故亚军队中有女生上台领奖的概率为0.7．（3）由已知，0≤x≤4，0≤y≤4，点（x，y）在如图所示的正方形内，由条件得到的区域是图中阴影部分，故该运动员获得奖品的概率为：1﹣=．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、程序框图、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．21．（14分）如图，椭圆：=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=4的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P（，1），求△PAB面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由于双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，又圆x2+y2=4的直径为4，则2a=4，从而列出关于a，b，c的方程求得a，b，c．最后写出椭圆M的方程；（2）直线AB的直线y=x+m．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△PAB面积的最大值，从而解决问题．解答：解：（1）双曲线x2﹣y2=4的离心率为，则椭圆的离心率为e==，圆x2+y2=4的直径为4，则2a=4，得：a=2，又b2=a2﹣c2，解得c=，b=，所求椭圆M的方程为+=1；（2）直线AB的方程为y=x+m，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得x2+mx+m2﹣2=0由△=2m2﹣4（m2﹣2）＞0，得﹣2＜m＜2，∵x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣2，∴|AB|=|x1﹣x2|=•=•=•，又P到AB的距离为d=．则S△ABP=•••=，由m2（4﹣m2）≤（）2=4，当且仅当m2=4﹣m2，即m=，取得等号．即有△PAB面积的最大值为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x），根据当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，可得函数的单调区间；（2）分别讨论a≤0和a＞0的情况：a≤0时，发现在（0，1）上函数f（x）＞0，∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；当a＞0时，再次求导求出a的值解答：解：（1）∵f（x）=alnx﹣x+1，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，故此时，f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；（2）由（1）知：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减区间，而f（1）=0，∴在（0，1）上函数f（x）＞0，∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；当a＞0时，f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，令g（a）=alna﹣a+1，依题意有g（a）≤0，而g′（a）=lna，且a＞0∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（a）min=g（1）=0，故a=1，点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数综合应用，运算量大，分类标准比较难找，属于中档题．。

2014-2015学年湖北省宜昌市部分示范高中高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜}B．{y|0＜y＜1}C．{y|＜y＜1}D．∅2．（5.00分）角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα的值（）A．B．﹣ C．D．3．（5.00分）函数f（x）=+log2（2x﹣1）的定义域为（）A．[0，]B．（，1）C．[，+∞）D．（﹣∞，1]4．（5.00分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）5．（5.00分）已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B． C．D．6．（5.00分）a=20.3，b=0.32，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c7．（5.00分）将函数y=2sin2x图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y=f（x）的图象，则f （x）等于（）A．2sin（x﹣）B．2sin（x﹣）C．2sin（4x﹣） D．2sin（4x﹣）8．（5.00分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2015）+f（2014）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．（5.00分）二次函数y=ax 2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5.00分）sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为．12．（5.00分）已知A是角α终边上一点，且A点的坐标为（，），则=．13．（5.00分）已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=．14．（5.00分）已知α为第三象限角，且sin（π﹣α）=﹣，f（α）==．15．（5.00分）函数y=cos2x+sinx的值域为．三．解答题（本大题共6小题，总分75分，解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（12.00分）向量=（1，2），=（x，1），（1）当+2与2﹣平行时，求x；（2）当+2与2﹣垂直时，求x．18．（12.00分）设向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，﹣cosx），记f（x）=•+（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]求函数f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的值．19．（12.00分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，0＜β＜α＜，求tan（α+2β）的值．20．（13.00分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？21．（14.00分）设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．（2）若f（x）为奇函数，求证：a2+b2=0；（3）设常数b=﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年湖北省宜昌市部分示范高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜}B．{y|0＜y＜1}C．{y|＜y＜1}D．∅【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选：A．2．（5.00分）角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα的值（）A．B．﹣ C．D．【解答】解：依题意可知tanα==﹣1，∵2cos30°＞0，﹣2sin60°＜0，∴α属于第二象限角，∴sinα==．故选：D．3．（5.00分）函数f（x）=+log2（2x﹣1）的定义域为（）A．[0，]B．（，1）C．[，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：∵函数f（x）=+log2（2x﹣1），∴；解得＜x＜1，∴f（x）的定义域为（，1）．故选：B．4．（5.00分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．5．（5.00分）已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B． C．D．【解答】解：=5，=13，=3×5+4×12=63，设夹角为θ，所以cosθ=故选：A．6．（5.00分）a=20.3，b=0.32，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：∵1＜a=20.3＜2，b=0.32＜1，c=log25＞log24=2，∴b＜a＜c．故选：C．7．（5.00分）将函数y=2sin2x图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y=f（x）的图象，则f （x）等于（）A．2sin（x﹣）B．2sin（x﹣）C．2sin（4x﹣） D．2sin（4x﹣）【解答】解：将函数y=2sin2x图象上所有点向右平移个单位，所得图象的解析式为y=2sin（2x﹣），然后把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=f （x）的图象的解析式为f（x）=2sin（4x﹣）．故选：D．8．（5.00分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2015）+f（2014）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵对于x≥0都有f（x+2）=f（x），∴T=2，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2015）+f（2014）=﹣f（2015）+f（2014）=﹣f（2×1007+1）+f（2×1007）=﹣f（1）+f（0）=﹣log22+log21=﹣1，故选：C．9．（5.00分）二次函数y=ax 2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C 不正确故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5.00分）sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为﹣．【解答】解：由诱导公式可得sin83°=sin（90°﹣7°）=cos7°，∴sin7°cos37°﹣sin83°sin37°=sin7°cos37°﹣cos7°sin37°=sin（7°﹣37°）=﹣sin30°=﹣故答案为：﹣12．（5.00分）已知A是角α终边上一点，且A点的坐标为（，），则=．【解答】解：∵sinα=，cosα=，∴==，故答案为：．13．（5.00分）已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=．【解答】解：∵，均为单位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案为：．14．（5.00分）已知α为第三象限角，且sin（π﹣α）=﹣，f（α）==．【解答】解：∵α为第三象限角，且sin（π﹣α）=sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，则原式==﹣cosα=，故答案为：．15．（5.00分）函数y=cos2x+sinx的值域为[﹣1，] ．【解答】解：y=cos2x+sinx=sinx+1﹣sin2x=﹣（sinx﹣）2+，∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=时，函数取得最大值为，当sinx=﹣1时，函数取得最小值为﹣1，故﹣1≤y≤，故函数的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．三．解答题（本大题共6小题，总分75分，解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12.00分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∁R A={x|x＞7或x＜3}，（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7＜x＜10}；（2）如果A∩C≠∅，如图则a＞3，即a的取值范围（3，+∞）．17．（12.00分）向量=（1，2），=（x，1），（1）当+2与2﹣平行时，求x；（2）当+2与2﹣垂直时，求x．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，1），∴+2=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4）2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）．（1）当+2与2﹣平行时，则3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得x=．（2）当+2与2﹣垂直时，（2x+1）（2﹣x）+12=0，化为2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2或x=．18．（12.00分）设向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，﹣cosx），记f（x）=•+（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]求函数f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=•+=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin（2x﹣）．则f（x）的最小正周期T===π．（2）由x∈[，]，则2x﹣∈[，]，当2x﹣=即x=时，函数f（x）的最大值及取得最大值1．19．（12.00分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，0＜β＜α＜，求tan（α+2β）的值．【解答】解：∵0＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，（3分）又cos（α﹣β）=，cosα=，∴sin（α﹣β）==，sinα=，tanα=4；（6分）∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=；（8分）∴cosβ=，tanβ=，tan2β==﹣．（11分）∴tan（α+2β）===．（12分）20．（13.00分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【解答】解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）（6分）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．（12分）21．（14.00分）设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．（2）若f（x）为奇函数，求证：a2+b2=0；（3）设常数b=﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，b=1时，函数f（x）=x|x﹣1|+1．x|x﹣1|+1=x 解得x=1或x=﹣1；（2）若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，即﹣x|﹣x﹣a|+b+x|x﹣a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a2+b2=0．（3）由b=﹣1，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，也即恒成立．令，因为，所以g（x）在[0，1]上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=0，令h（x）=，因为当0＜x＜1时，，则h（x）在[0，1]上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=2．∴实数a的取值范围为0＜a＜2．。